TEOREMAS DA GEOMETRIA PLANA SO SOFTWARE GEOGEBRA

TEOREMAS DA GEOMETRIA PLANA SO SOFTWARE GEOGEBRA
Edna de Borba Cardoso
Suzana Scandolara Selau
Resumo:
Este artigo é resultado da aplicação de uma sequência didática planejada para a disciplina
de Educação Matemática e Tecnologias, do curso de Licenciatura em Matemática do IFCCampus Avançado Sombrio. No início do semestre letivo 2014/1 entre as atividades
desenvolvidas pelos acadêmicos estava à elaboração e apresentação de uma sequência
didática onde era escolhido um tema de preferência dos acadêmicos e um software
matemático.
Após a escolha do tema iniciou-se os estudos, notou-se que os Teoremas da Geometria
Plana poderia ser desenvolvido no Software GeoGebra. Então no decorrer da pesquisa foi
encontrado no site da UFRGS, uma forma dinâmica de mostrar os Teoremas, logo se
resolveu adapta-lo, para a sequência didática. Na apresentação da sequência didática foram
mostrados apenas os teoremas 01, 02, 04, 08 e 09, pois não dispomos de muito tempo.
Essa atividade foi muito proveitosa, pois possibilitou aos acadêmicos visualizar de forma
dinâmica os Teoremas da Geometria Plana.
Palavras-chave: Teoremas. Software. Matemática.
1 INTRODUÇÃO
As dificuldades na aprendizagem da matemática através da metodologia
tradicional de ensino da matemática mostraram-se ineficaz ao longo do tempo, apesar de
ainda ser presente no cotidiano escolar. Ao longo do tempo, surgiram novas metodologias
para a Educação Matemática, as mais conhecidas são: Etnomatemática, Modelagem
Matemática, História da Matemática, Resolução de Problemas, Uso de Tecnologias e os
Jogos Matemáticos. Essas metodologias mostra que não existe apenas uma forma para se
ensinar matemática, e que o professor deve conhecê-las para formar a sua prática docente,
conforme afirmam os PCN’s:
“É consensual a idéia de que não existe um caminho que possa ser identificado
como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da
Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de
aula é fundamental para que o professor construa a sua prática. (PCN’s pg. 42,
1998)”.
As tecnologias como computadores nas escolas, estão se tornando importantes no
ensino de matemática. O professor deve usar essa tecnologia a seu favor, já que os alunos
fora da escola costuma utilizar essa ferramenta como diversão, através de jogos e sites de
relacionamentos. Na escola o professor de matemática pode usar os computadores para
elaborar aulas dinâmicas, até mesmo jogos matemáticos pra atrair a atenção do aluno.
O artigo tem por objetivo mostrar através do uso da tecnologia como o software
Geogebra, os teoremas da geometria plana, visando melhorar a aprendizagem dos alunos.
A opção por utilizar o software GeoGebra foi devida os computadores do IFC-Sombrio já
terem instalado e também pelos colegas já saberem usa-lo.
Portanto o artigo tem por objetivo mostrar a utilização o software GeoGebra no
processo de aprendizagem na disciplina de matemática, podendo facilitar a compreensão
dos teoremas da geometria plana.
2 DESENVOLVIMENTO
Nas aulas da disciplina Educação Matemática e Tecnologias os acadêmicos,
poderão através das sequencias didáticas aprender a utilizar alguns softwares como
Winplot, Octave, GeoGebra, Poly e Graph, onde os colegas faziam a utilização de um
software com algum tema da matemática.
A opção da sequencia didática foi utilizar o software GeoGebra para mostrar os
Teoremas da Geometria Plana. Então foi necessário apreender a utilizar as ferramentas do
GeoGebra e também quais os teoremas da geometria. Optamos em mostrar apenas alguns
teoremas, pois o tempo era insuficiente para mostrar todos.
Na sequência didática apresentada foi necessário que a turma fosse para a sala de
informática, pois os computadores já tem instalado o software GeoGebra. Começamos pelo
teorema 1 que diz: “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°”.
A sequência didatica que seguida foi a seguinte:
1ª inserir os pontos A , B e C;
2ª inserir poligono entre os pontos, tirar rótulo dos segmentos;
3ª inserir retas entre os pontos AB, BC e inserir reta paralelela em C;
4ª inserir ângulos;
5ª tirar rotulos;
6ª colorir os ângulos congruentes;
7ª mover ponto A, B ou C.
Figura 1: Teorema 01
Fonte: Copilado pelo autor
Após apresentemos os Argumentos para a verificação da construção.



Do paralelismo das retas temos ângulos amarelos
congruentes (alternos internos).
E também ângulos vermelhos congruentes (correspondentes).
Assim, no triângulo ABC, os ângulos de vértices A, B e C somam um ângulo raso,
ou seja, 180°.
Em seguida partimos para o teorema 2 que diz: “Se um quadrilátero ABCD tem
diagonais se bisectando, congruentes e perpendiculares, então ABCD é quadrado”.
Fizemos as seguintes sequências, onde os colegas acompanhavam e construiam tem seus
computadores.
1ª inserir pontos A e C;
2ª inserir segmento de reta entre os ponto AC;
3ª inserir ponto médio M entre os pontos AC,
4ª inserir reta perpendicular entre os pontos AC, passando por M;
5ª inserir círculo com centro M, passando pelos pontos AC, tirar rótulo;
6ª inserir interseção de dois objetos, gerando os ponto B e D;
7ª inserir segmento de reta entre os pontos, formando um quadrado, tirar rotulo;
8ª mover ponto A ou C.
Figura 2: Teorema 2
Fonte: Copilado pelo autor
Em seguida foram apresentados os argumentos do teorema 2.
 Os segmentos MA, MC, MD e MB são raios do círculo, logo congruentes.
 Os ângulos de vértice M são retos.
 Aplicando o critério LAL temos a congruência dos triângulos AMB,
BMC, CMD e DMA.
 Logo os segmentos AB, BC, CD e DA são congruentes.
 E mais, os 4 triângulos são isóceles com ângulos da base de 45°, portanto os
ângulos em A, B, C e D são retos.
 Assim mostramos que ABCD é um quadrado.
Então seguiu-se para a construção do teorema 4 que diz: “Se um quadrilátero ABCD
tem um par de lados paralelos e congruentes, o quadrilátero é um paralelogramo”.
1ª inserir pontos A e B, segmento de reta entre AB e reta paralela;
2ª retas perpendiculares passando por A e por B;
3ª interseção de dois objetos, gerando pontos C e D;
4ª inserir segmentos de retas entre os pontos AD, DC, e CB;
5ª esconder retas; tirar rotulos;
6ª traças segmento de reta, formando uma diagonal do ponto B a D;
Figura 3: Teorema 4
Fonte: Copilado pelo autor
Em seguida fizemos a apresntação dos argumentos da contrução do teorema 4.
 Os ângulos ABD e CDB são congruentes pois alternos internos em
retas paralelas.
 Como AB e CD congruentes, por LAL os triângulos ABC e
CDB são congruentes.
 Assim os ângulos ADB e CBD são congruentes.
 Sendo alternos internos as retas AD e BC são paralelas.
 Portanto ABCD é paralelogramo.
Após passou-se para a sequência didatica do teorema 8 que diz: “Se P é ponto da
mediatriz do segmento AB então o segmentos PA e PB são congruentes”.
1ª inserir os pontos A e B;
2ª inserir o segmento de reta entre os pontos A e B;
3ª inserir ponto médio M entre os pontos AB;
4ª reta perpendicular r, passando pelo ponto M;
5ª inserir ponto P na reta r;
6ª inserir segmento de reta entre os pontos PA e PB;
7ª mover ponto A ou B.
Figura 4: Teorema 8
Fonte: Copilado pelo autor
Então foi mostrado os argumentos da construção do teorema 8.
 Como M é ponto médio de AB, tem-se MA e MB segmentos congruentes.
 Nos triângulos AMP e BMP ao ângulos de vértice M são retos.
 Portanto, pelo critéro LAL os triângulos AMP e BMP são congruentes.
 Assim PA e PB são segmentos congruentes.
O ultimo teorema que foi construido através da sequncia didatica foi o teorema 9
que diz: “Dado um triângulo ABC sempre existe um circulo passando pelos três vértices”.
1ª inseir os pontos A, B e C;
2ª traçar os segmentos de reta entre os pontos ABC;
3ª traçar a mediatriz r e s, entre os pontos AB e AC;
4ª inserir ponto de interseção O entre as mediatrizes;
5ª inserir cículo sendo o ponto O centro e passando pelos pontos ABC;
6ª mover ponto A.
Figura 5: Teorema 9
Fonte: Copilado pelo autor
Finalizou-se a apresentação do teorema 9 com os argumentos da construção.
 Como O pertence a mediatriz r de BC temos OC e OB congruentes.
 Como O pertence a mediatriz s de AB temos AO e OB congruentes.
 Assim o círculo passando por A também contém os pontos B e C.
3 CONSIDERAÇÕES FINAIS
No decorrer da sequência didática foi possível identificar o interesse dos colegas
em realizar a atividade. Foi possível mostrar os teoremas da geometria através do software
GeoGebra, tornando assim uma atividade dinâmica e mais interessante.
A sequência didática foi uma ótima experiência, pois foi possível não só ensinar a
construção dos teoremas, mas também apreendemos com os colegas a utilizar outros
softwares com outros temas matemáticos.
Referências
FERREIRA, Carlos Eduardo Souza; GRAVINA, Maria Alice. Teoremas da Geometria
Plana Usando Animações - Módulo I. Disponível
em:<http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/teoremas_geometria/Objetos/
GeometriaPlana.swf>. Acesso em: 27 maio 2014.