3 Met. Cholesky

1.5- O Método de Cholesky
1.5.1- O Processo de Decomposição de Cholesky
O Processo de Cholesky é definido para a resolução de sistemas lineares (n x n) cuja
matriz do Sistema é Simétrica e Definida Positiva (ver livro de Ruggiero, M.A.G.) A
decomposição feita a seguir considera estas hipóteses.
Seja:
a 12 ..... a1n   g11
0  g11
 a 11

 

a 22 ..... a 2 n   g 21
g 22
 a 21

 ..........
 = .........


 

 a
 

 n1 a n 2 ..... a nn   g n1 g n 2 ... g nn  0
Aplicando a definição de produtos de matrizes obtemos:
a) Elementos diagonais.
2
a 11 = g 11
a 22 = g 221 + g 222
M
a nn = g 2n1 + g 2n 2 + L + g 2nn
Assim:

g11 = a 11

1/ 2
i −1
(I )

 , i = 2,3, L , n
2
g ii =  a ii − ∑ g ik 

k =1


b) Elementos não diagonais.
b.1) 1ª coluna
a 21 = g 21 g11
a 31 = g 31 g11
M
a n1 = g n1 g11
20
g 21 ..... g n1 

g 22 ..... g n 2 

...........

g nn 
b.2) 2ª coluna
a 32 = g 31 g 21 + g 32 g 22
a 42 = g 41 g 21 + g 42 g 22
K
a n 2 = g n1 g 21 + g n 2 g 22
b.3) Para a j-ésima coluna , teríamos:
a j+1, j = g j+1,1 g j1 + g j+1, 2 g j2 + K+ g j+1, jg jj
a j+2 , j = g j+2 ,1 g j1 + g j+ 2, 2 g j2 + K + g j+ 2, jg jj
L
a nj = g n1 g j1 + g n 2 g j2 + L + g njg jj
Assim
a

g i1 = i1 , i = 2,3, K , n

g11
(II )
j −1


g ij =  a ij − ∑ g ik g jk  g jj ,2⟨ j⟨i



k =1



Utilizadas numa ordem conveniente as fórmulas (I) e (II) determinam os gij.
Uma ordem conveniente pode ser:
g11 , g21, g31 , ..., gn1 ; g22 , g32, ..., gn2 ; ..., gnn
Observação:
1.) Vimos no caso da decomposição LU, que det(A) = u11 .u22 ...unn , uma
vez que os elementos diagonais de L eram unitários.
No caso do método de Cholesky temos:
A = G.Gt
∴ det (A) = (det G)2 = (g11 g22 ......gnn)2
2.) Uma vez calculado G, a solução de Ax = b fica reduzida à solução
do par de sistemas triangulares:
Gy = b
Gtx = y
21
Exemplo 1.5.1:
Seja:
1 1 0 


A =  1 2 − 1
 0 −1 3 


a.)
Verificar se A pode ser decomposta em G.G t
b.)
Decompor A em G.G t
c.)
Calcular o determinante de A.
 2
 
d.)
Resolver o sistema Ax = b onde b =  1 
 5
 
Solução:
a.)
A é simétrica. Devemos verificar se é positiva definida. Temos:
det (A1) = 1 > 0
det (A2) = 1 > 0
det (A3) = det (A) = 2 > 0
Logo A pode ser decomposta em G.G t
b.)
g11 = a11 ⇒ g11 = 1
a
g 21 = 21 ⇒ g 21 = 1
g11
a
g 31 = 31 ⇒ g 31 = 0
g11
(
)1/ 2
g 22 = a 22 − g 221
⇒ g 22 = 1
a − g 31 g 21
g 32 = 32
⇒ g 32 = − 1
g 22
(
2
g 33 = a 33 − g 31
− g 232
∴
c.)
)1 / 2 ⇒ g 33 =
1 1 0   1 0

 
 1 2 − 1 =  1 1
 0 −1 3   0 −1

 
det (A) = (g11 g22 g33 )2 = 2
22
2
0  1 1

0  0 1
2  0 0
0 

−1
2 
d.)
Devemos resolver dois sistemas:
d1.) Gy = b
1 0

1 1
0 − 1

0  y1   2
   
0  y 2  =  1 
2  y 3   5 
Portanto:
y1 = 2
y1 + y 2 = 1 ⇒ y 2 = −1
− y2 + 2y3 = 7 ⇒ y3 = 2 2
d.2.) G t . x = y
 1 1 0  x 1   2 

  

 0 1 − 1  x 2  =  − 1 
0 0
2  x 3   2 2 

Portanto:
2x 3 = 2 2 ⇒ x 3 = 2
x 2 − x 3 = −1 ⇒ x 2 = 1
x1 + x 2 = 2 ⇒ x1 = 1
Logo a solução de
0  x 1   2 
1 1
1 

   
 
 1 2 − 1 x 2  =  1  é x =  1 
 0 − 1 3  x   5 
 2

 3   
 
1.5.1- Exercícios
1.5.1.1)
Sejam as matrizes:
 4 2 − 4
3 1 0




A =  2 10 4  ; B =  1 3 2 
−4 4 9 
0 2 0




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Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b, Bx = b, pelo processo de
2
 
Cholesky, onde b = 16 
9
 
1.5.1.2) Resolva o sistema abaixo pelo processo de Cholesky, completando
adequadamente os espaços em branco.
 2x 1 + K x 2 − x 3 = 3

x 1 + 10x 2 +K x 3 = 6
K x + 2x + 4x = −6
1
2
3

1.5.1.3)
Considerando-se que, o sistema de equações lineares algébricas Ax = b onde A
é a matriz não singular, é transformado no sistema equivalente Bx = c, com B =
At .A; c = At.b onde At é a transposta de A, então, o último sistema pode sempre
ser resolvido pelo processo de Cholesky (isto é, a matriz B satisfaz às condições
para a aplicação do método).
Aplicar a técnica acima para achar, pelo processo de
Cholesky, a solução do sistema:
1 0 1  x 1   2 

   
1 1 0  x 2  =  2 
1 − 1 0  x   0 

 3   
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