PDF - ELITE CAMPINAS

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O ELITE RESOLVE A UNICAMP 2005 – SEGUNDA FASE – FÍSICA
FÍSICA
'
(650 + 70 ) . 100 = (650 + 70 + 80) . v 'x -nave ⇒ v x -nave = 90 m/s
Na vertical
Q y -antes = Q y -depois
Utilize g = 10 m/s2 e π = 3 sempre que necessário na resolução
das questões.
Mpersonagem . v y -personagem = (Mnave + Mpiloto + Mpersonagem ) . v 'y -nave
1. O famoso salto duplo twist carpado de Daiane dos Santos foi
analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em
Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a
trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em
metros), assim como o tempo de duração do salto.
80 . 6 = (650 + 70 + 80) . v 'y -nave
v 'y -nave = 0,6 m/s
b) A variação da energia cinética é dada por:
∆Ec = Ec depois - Ec antes
'2
 (Mnave + Mpiloto + Mpersonagem ) . v nave
Mas, E cdepois = 

2


=


 (650 + 70 + 80) . (902 + 0,62 ) 
6
=
 =3,24.10 J
2


Além disso,
2
2
 (M

Mpersonagem . vpersonagem
nave + Mpiloto ) . v nave
 =
Ecantes = 
+
2
2




De acordo com o gráfico, determine:
a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.
b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a
distância percorrida nessa direção é de 1,3 m.
c) A velocidade vertical de saída do solo.
 (650 + 70) . 100 2
= 
2

+
80 . 6 2 
6
 = 3,60.10 J
2 
Portanto, ∆Ec = - 3,6.10 5 J
SOLUÇÃO:
a) A partir do gráfico temos Hmáx = 1,55 m aproximadamente.
3. Uma das aplicações mais comuns e bem sucedidas de alavancas
são os alicates. Esse instrumento permite amplificar a força aplicada
(Fa), seja para cortar (Fc), ou para segurar materiais pela ponta do
alicate (Fp).
a) Um arame de aço tem uma resistência ao corte de 1,3 x 109 N/m2,
ou seja, essa é a pressão mínima que deve ser exercida por uma
lâmina para cortá-lo. Se a área de contato entre o arame e a lâmina
de corte do alicate for de 0,1 mm2, qual a força Fc necessária para
iniciar o corte?
b) Se esse arame estivesse na região de corte do alicate a uma
distância dc = 2 cm do eixo de rotação do alicate, que força Fa deveria
ser aplicada para que o arame fosse cortado? (da = 10 cm)
~1,55
b) A velocidade média horizontal do salto é:
vm =
∆S
1,3 m
⇒ vm =
⇒ v m = 1,18 m/s
∆t
1,1 s
c) A velocidade vertical de saída do solo será:
v y = v oy - g . t ⇒ v oy = 10 . t s , onde ts é o tempo de subida, mas
ts = td =
v oy
1,1
s , logo,
2
= 5,5 m/s
2. No episódio II do filme Guerra nas Estrelas, um personagem
mergulha em queda livre, caindo em uma nave que se deslocava
horizontalmente a 100 m/s com os motores desligados. O
personagem resgatado chegou à nave com uma velocidade de 6 m/s
na vertical. Considere que a massa da nave é de 650 kg, a do
personagem resgatado de 80 kg e a do piloto de 70 kg.
a) Quais as componentes horizontal e vertical da velocidade da nave
imediatamente após o resgate?
b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse resgate?
SOLUÇÃO:
a) A força Fc necessária para iniciar o corte será dada por:
P=
Fc = 1,3 . 109
N
m
2
F
⇒ F =P.A
A
. 0,1 mm 2 = 1,3 . 109
N
m2
. 0,1 (10-3 m)2
Fc = 130 N
b) A força Fa que deveria ser aplicada para que o arame fosse
cortado, pode ser obtida considerando que a soma dos torques deve
ser nula:
SOLUÇÃO:
a) As componentes horizontal e vertical da velocidade da nave
imediatamente após o resgate podem ser determinadas pela
conservação da quantidade de movimento do sistema:
Na horizontal
Q x -antes = Q x -depois
Fc . dc - Fa . da = 0
130 N . 2 cm - Fa . 10 cm = 0
Fa = 26 N
(Mnave + Mpiloto ) . v x -nave = (Mnave + Mpiloto + Mpersonagem ) . v 'x -nave
4. Num conjunto arco e flecha, a energia potencial elástica é
transformada em energia cinética da flecha durante o lançamento. A
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força da corda sobre a flecha é proporcional ao deslocamento x,
como ilustrado na figura.
roda
catraca
coroa
v coroa = v catraca ⇒ ϖ coroa . Rcoroa = ϖ catraca . Rcatraca ⇒
a) Quando a corda é solta, o deslocamento é x = 0,6 m e a força é de
300 N. Qual a energia potencial elástica nesse instante?
b) Qual será a velocidade da flecha ao abandonar a corda? A massa
da flecha é de 50 g. Despreze a resistência do ar e a massa da
corda.
⇒ ϖ catraca
k.x
2
Mas, ϖ catraca = ϖ roda
2
ϖ catraca = ϖ roda =
A constante k pode ser obtida por:
F = k . x ⇒ 300 N = k . 0,6 m ⇒ k = 500 N/m
v roda
⇒ v roda = ϖ catraca . R roda ⇒
R roda
v roda = 10 . 0,30 ⇒
Assim:
500 . 0,6 2
Ep =
2
40 25
⋅
60 2 ⇒
10
2
2.3 ⋅
ϖ catraca = 10 rad/s
SOLUÇÃO:
a) A energia potencial nesse instante será:
Ep =
2.π .fcoroa .Rcoroa
=
=
Rcatraca
v roda = 3 m/s
⇒
Ep = 90 J
Portanto a velocidade de translação da bicicleta será de 3 m/s.
b) A velocidade da flecha ao abandonar a corda pode ser obtida pela
conservação de energia no sistema:
6. Numa antena de rádio, cargas elétricas oscilam sob a ação de
ondas eletromagnéticas em uma dada freqüência. Imagine que essas
oscilações tivessem sua origem em forças mecânicas e não elétricas:
cargas elétricas fixas em uma massa presa a uma mola. A amplitude
do deslocamento dessa “antena-mola” seria de 1 mm e a massa de 1
g para um rádio portátil. Considere um sinal de rádio AM de 1000
kHz.
a) Qual seria a constante de mola dessa “antena-mola”? A freqüência
de oscilação é dada por:
E c − final = E p-inicial
50 . 10-3 . v 2
m . v2
= 90 J ⇒
= 90 J
2
2
v = 60 m/s
5. Em 1885, Michaux lançou o biciclo com uma roda dianteira
diretamente acionada por pedais (Fig. A). Através do emprego da
roda dentada, que já tinha sido concebida por Leonardo da Vinci,
obteve-se melhor aproveitamento da força nos pedais (Fig. B).
Considere que um ciclista consiga pedalar 40 voltas por minuto em
ambas as bicicletas.
f=
1
2.π
k
m
onde k é a constante da mola e m a massa presa à mola.
b) Qual seria a força mecânica necessária para deslocar essa mola
de 1 mm?
SOLUÇÃO:
a) A constante de mola dessa “antena-mola” será:
f=
1
2.π
k
⇒ k = 4 .π 2 . f 2 .m ⇒
m
k = 4 . 32. (106 )2. 10-3 ⇒
k = 3,6.1010 N/m
b) A força mecânica necessária será:
F=k.x
a) Qual a velocidade de translação do biciclo de Michaux para um
diâmetro da roda de 1,20 m?
b) Qual a velocidade de translação para a bicicleta padrão aro 60
(Fig. B)?
F = 3,6.10 10 N/m. 10 -3 m
F = 3,6.10 7 N
7. Durante uma tempestade de 20 minutos, 10 mm de chuva caíram
sobre uma região cuja área total é 100 km2.
a) Sendo que a densidade da água é de 1,0 g/cm3, qual a massa de
água que caiu?
b) A partir de uma estimativa do volume de uma gota de chuva,
calcule o número médio de gotas que caem em 1 m2 durante 1 s.
SOLUÇÃO:
a) A velocidade de translação do biciclo de Michaux será dada por:
v biciclo = ϖ . R = 2 . π . f . R
40
⋅ 0,6 ⇒
60
= 2,4 m/s
v biciclo = 2 . 3 ⋅
v biciclo
⇒
SOLUÇÃO:
a) A massa d’água que caiu é: m = ρ . V, onde
b) a velocidade de translação da bicicleta padrão será dada por:
ρ = 1,0
2
g
cm3
= 103
kg
m3
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lente ocular. A que distância a ocular deve ficar da objetiva do
telescópio para que isso ocorra?
V = A b . h = 100 km 2 . 10 mm = 10 6 m 3
Assim, m = 10 3
kg
m3
m = 109 kg
. 10 6 m 3 ⇒
SOLUÇÃO:
a) O raio da imagem da Lua (I1) formada pela objetiva do telescópio
de Galileu será dado por:
b) Aproximando a gota da chuva por uma esfera de diâmetro igual a
0,5 cm, seu volume será:
Vgota
O1 = 1750 km
4
4
= . π . R 3 = . 3 . (0,25.) 3 ⇒
3
3
p1'
= 133 cm
Vgota = 0,0625 cm3
O volume de água que cai em 1 m2 durante os 20 minutos (1200s) é
2
dado por: V1 = 1 m .10 mm = 10
−2
3
4
m = 10 cm
p1 = 384000 km
I1
3
Portanto, para 1 m2, temos:
104 cm3 de água
X cm3 de água
–
–
lente 1
(objetiva)
1200 s
1s
3
Da equação do aumento linear, temos:
p'
i1
=− 1
o1
p1
2
⇒ X = 8,33 cm /(m .s)
Logo:
1 gota de água
n gotas de água
0,0625 cm3
8,33 cm3
–
–
⇒ n ≅ 133 gotas de água/(m .s)
Observações: I) o sinal negativo serve apenas para indicar que a
imagem está invertida em relação ao objeto.
II) Esta questão também poderia ser resolvida
simplesmente observando a semelhança de triângulos na figura
acima.
8. Uma sala tem 6 m de largura, 10 m de comprimento e 4 m de
altura. Deseja-se refrigerar o ar dentro da sala. Considere o calor
específico do ar como sendo 30 J/(mol.K) e use R = 8 J/(mol.K).
a) Considerando o ar dentro da sala como um gás ideal à pressão
ambiente (P = 105 N/m2), quantos moles de gás existem dentro da
sala a 27 oC?
b) Qual é a quantidade de calor que o refrigerador deve retirar da
massa de ar do item (a) para resfriá-la até 17 oC?
b) A distância entre a objetiva e a ocular na situação descrita é dada
por:
d
20 cm
p2
SOLUÇÃO:
a) O número de moles de gás existente dentro da sala será dado por:
P . V = n. R. T
Portanto: n =
⇒
O2
I2
lente 2
(ocular)
10 5.240
⇒ n = 10 000 moles
8.300
lente 1
(objetiva)
d = p 2 + 133
b) A quantidade de calor que deve ser retirado da sala para que a
temperatura caia a 17 ºC é dada por:
⇒
133 cm
N
m2
P. V
3
3
, onde: V = 6 . 10 . 4 m = 240 m
n=
R. T
T = 27 º C = 300 K
Q = n . c . ∆T
i1
133 cm
=−
1750 km
384000 km
i1 = − 0,606 cm
2
P = 105
⇒
(cm)
onde p2 pode ser obtido pela equação dos pontos conjugados:
1
1
1
=
+ '
f2 p 2 p2
4
Q = 10 . 30 . (17 − 27 )
Q = − 3 .10 6 J
⇒
1
1
1
=
+
9,5 p 2 − 20
p2 ≅ 6,44 cm
O sinal negativo indica que a sala está perdendo calor.
Portanto, d ≅ 139,44 cm
9. Um dos telescópios usados por Galileu por volta do ano de 1610
era composto de duas lentes convergentes, uma objetiva (lente 1) e
uma ocular (lente 2) de distâncias focais iguais a 133 cm e 9,5 cm,
respectivamente. Na observação de objetos celestes, a imagem (I1)
formada pela objetiva situa-se praticamente no seu plano focal. Na
figura (fora de escala), o raio R é proveniente da borda do disco lunar
e o eixo óptico passa pelo centro da Lua.
10. O efeito fotoelétrico, cuja descrição por Albert Einstein está
completando 100 anos em 2005 (ano internacional da Física),
consiste na emissão de elétrons por um metal no qual incide um feixe
de luz. No processo, “pacotes” bem definidos de energia luminosa,
chamados fótons, são absorvidos um a um pelos elétrons do metal. O
valor da energia de cada fóton é dado por Efóton = h f, onde h = 4 x
10–15 eV.s é a chamada constante de Planck e f é a freqüência da luz
incidente. Um elétron só é emitido do interior do metal se a energia
do fóton absorvido for maior que uma energia mínima. Para os
elétrons mais fracamente ligados ao metal, essa energia mínima é
chamada função trabalho W e varia de metal para metal (ver a tabela
a seguir). Considere c = 300.000 km/s.
a) Calcule a energia do fóton (em eV), quando o comprimento de
onda da luz incidente for 5 x 10-7 m.
b) A luz de 5 x 10-7 m é capaz de arrancar elétrons de quais dos
metais apresentados na tabela?
c) Qual será a energia cinética de elétrons emitidos pelo potássio, se
o comprimento de onda da luz incidente for 3 x 10-7 m? Considere os
elétrons mais fracamente ligados do potássio e que a diferença entre
a energia do fóton absorvido e a função trabalho W é inteiramente
convertida em energia cinética.
a) A Lua tem 1.750 km de raio e fica a aproximadamente 384.000 km
da Terra. Qual é o raio da imagem da Lua (I1) formada pela objetiva
do telescópio de Galileu?
b) Uma segunda imagem (I2) é formada pela ocular a partir daquela
formada pela objetiva (a imagem da objetiva (I1) torna-se objeto (O2)
para a ocular). Essa segunda imagem é virtual e situa-se a 20 cm da
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b) A corrente na espira será dada por:
i=
ε
R
onde
R = ρ.
SOLUÇÃO:
a) A energia do fóton será dada por:
h. c
E = h. f =
λ
⇒
E=
4 .10
−15
.3 .10
5 .10
i=
onde a energia do fóton para o comprimento de onda de 3.10-7 m é
de:
λ
E fóton =
4 .10 −15.3 .10 8
3 .10
−7
2
π .rfio
= 2.10 −8.
2.2.10 −2
(10 −3 ) 2
R = 8.10 −4 Ω
1,2.10 −5
8.10 − 4
⇒
i = 15.10 −3 A
12. A durabilidade dos alimentos é aumentada por meio de
tratamentos térmicos, como no caso do leite longa vida. Esses
processos térmicos matam os microorganismos, mas provocam
efeitos colaterais indesejáveis. Um dos métodos alternativos é o que
utiliza campos elétricos pulsados, provocando a variação de potencial
através da célula, como ilustrado na figura abaixo. A membrana da
célula de um microorganismo é destruída se uma diferença de
potencial de ∆Vm = 1 V é estabelecida no interior da membrana,
conforme a figura abaixo.
a) Sabendo-se que o diâmetro de uma célula é de 1µm, qual é a
intensidade do campo elétrico que precisa ser aplicado para destruir
a membrana?
b) Qual é o ganho de energia em eV de um elétron que atravessa a
célula sob a tensão aplicada?
E c = E fóton − Wpotássio
⇒
2.π .respira
Logo:
−7
b) A luz de 5.10-7 m é capaz de arrancar elétrons dos seguintes
metais da tabela: césio e potássio, pois sua energia é maior que a
função trabalho destes metais.
c) A energia cinética dos elétrons emitidos pelo potássio será dada
por:
h. c
R = ρ.
⇒
⇒
8
⇒ E = 2,4 eV
E fóton = h . f =
L
A
= 4 eV
Portanto, E c = 4 − 2,3 ⇒ E c = 1,7 eV
11. O princípio de funcionamento dos detectores de metais utilizados
em verificações de segurança é baseado na lei de indução de
Faraday. A força eletromotriz induzida por um fluxo de campo
magnético variável através de uma espira gera uma corrente. Se um
pedaço de metal for colocado nas proximidades da espira, o valor do
campo magnético será alterado, modificando a corrente na espira.
Essa variação pode ser detectada e usada para reconhecer a
presença de um corpo metálico nas suas vizinhanças.
a)
Considere
que
o
campo
magnético
B
atravessa
perpendicularmente a espira e varia no tempo segundo a figura. Se a
espira tem raio de 2 cm, qual é a força eletromotriz induzida?
b) A espira é feita de um fio de cobre de 1 mm de raio e a
resistividade do cobre é ρ = 2 x 10-8 ohm-metro. A resistência de um
fio é dada por R = ρ
l
, onde L é o seu comprimento e A é a área
A
SOLUÇÃO:
a) Sabemos que U = E.d, mas, da figura, temos: U = 2.∆Vm, portanto,
da sua seção reta. Qual é a corrente na espira?
2.∆Vm = E.d ⇒ E =
2.∆Vm
2 .1
=
⇒ E = 2.106 V/m (ou N/C)
−6
d
1.10
b) A variação da energia potencial é dada por ∆Ep = U.q = 2.∆Vm.q,
onde q é a carga do elétron, portanto,
∆Ep = 2.1.1 eV ⇒ ∆Ep = 2 eV
SOLUÇÃO:
a) A força eletromotriz induzida, ε, é dada por:
ε =−
∆φ
∆B.A
∆B.π .R 2
=−
=−
∆t
∆t
∆t
Do gráfico, temos:
∆B 5.10 −4 − 0
=
= 1.10 −2 T / s , portanto,
∆t
5.10 −2 − 0
ε = −1.10 −2.π .(2.10 −2 ) 2 ⇒ ε = - 1,2.10-5 V .
Observação: o sinal negativo serve apenas dizer que campo
induzido na espira é contrário ao fluxo que o gerou.
4