( ) z ) 0 - mit

8.07 Outono de 2001 – Prova Escrita 2
Duas horas. Sem consulta – Formulário permitido.
Problema 1. (15 pontos) Exercícios com solenóide.
Considere um solenóide de raio R, N espiras por unidade de comprimento e percorrido
por uma corrente I 0 , alinhado com o eixo-z.
(i) (5 pontos) Forneça a expressão matricial para o tensor Tαβ , em qualquer ponto do
interior do solenóide.
(ii) (5 pontos) Calcule a energia armazenada no solenóide por unidade de comprimento.
(iii) (5 pontos) Calcule a auto-indutância por unidade de comprimento.
Problema 2. (25 pontos) Considere um capacitor composto de duas placas circulares
condutoras de raio a. Uma das placas é colocada sob o plano xy, centrada na origem e a
segunda placa está em algum ponto z > 0 paralelo à primeira placa e também centrada
em x = y = 0 . Na região entre as placas existe um campo elétrico variável com o tempo
na direção z, da forma:
E = E0 cos(ω0t )ez
(1)
onde E0 é uma constante e E é independente de z e da distância radial ρ ao eixo-z.
Este é o termo principal do cálculo que faremos do campo real, existente entre as placas
do capacitor.
(i) (10 pontos) Devido à variação em relação ao tempo do campo elétrico em (1),
existirá um campo magnético induzido B (ρ , t ) . Encontre o módulo e a direção deste
campo magnético (dica: use a forma integral da equação de Maxwell: ∇ × B = " ).
(ii) (10 pontos) Devido à variação temporal do campo magnético calculado acima,
existirá um novo campo elétrico E 1 na direção z, o qual, pela definição de E0 acima,
precisa satisfazer E 1 (ρ = 0 ) = 0 .
Use a lei de Faraday para o cálculo. É conveniente usar um contorno fechado que inclua
o eixo-z.
(iii) (5 pontos) Assuma que o campo elétrico em (1) juntamente com o campo elétrico
E 1 calculado acima, correspondam a uma boa aproximação do campo elétrico exato
entre as placas. Para qual valor do raio a podemos transformar o capacitor em uma
cavidade condutora ressonante cilíndrica fechada? Expresse sua resposta como
c
a =γ
, onde γ é uma constante que você deve determinar. (No cálculo exato
ω0
γ ≅ 2, 40486 é o primeiro zero da função de Bessel J 0 ( x ) ).
1
Problema 3. (25 pontos) Potenciais Retardados.
Suponha que o plano xy, eletricamente neutro, conduz uma densidade superficial de
corrente uniforme, mas dependente do tempo na forma K = K (t )ey . Onde K (t ) é uma
função arbitrária que vai a zero num passado distante K (− ∞ ) = 0 .
(i) (5 pontos) Pela invariância translacional o potencial vetor A em um ponto (x, y, z )
depende somente de z. Use a fórmula do potencial retardado para escrever uma
expressão integral para o potencial vetor A( z , t ) no ponto P = (0,0, z ) , com z > 0 .
Simplifique de forma que a variável de integração seja ρ , distância radial do ponto até
a origem no plano xy.
(ii) (10 pontos) Mostre que o potencial vetor retardado pode ser escrito de maneira
excepcionalmente simples:
µc ∞ ⎛ z
⎞
A( z , t ) = 0 e y ∫ K ⎜ t − − u ⎟du
2
⎝ c
⎠
0
(iii) (10 pontos) Forneça as expressões integrais para B e E e resolva as integrais
escrevendo-as como derivadas totais.
Problema 4. (35 pontos) Uma onda circularmente polarizada movendo-se na direção z,
possui uma extensão finita nas direções x e y.
Uma descrição aproximada de tal onda é dada por ( exp− iωt implícita, E0 real).
(
)
⎛
∂E ⎤ ⎞
i ⎡ ∂E
E ( x, y, z ) ≈ ⎜⎜ E0 ( x, y ) e x + i e y + ⎢ 0 + i 0 ⎥ e z ⎟⎟eikz
∂y ⎦ ⎠
k ⎣ ∂x
⎝
B = −i µ 0ε 0 E
a condição de extensão finita significa que E0 ( x, y ) vai a zero quando x ou y são
infinitos. O campo acima é uma boa aproximação quando os termos das derivadas são
pequenos.
(i) (10 pontos) A equação de Maxwell ∇ ⋅ E = 0 é satisfeita exatamente por este ansatz?
(A equação de Maxwell ∇ × E = iω B é satisfeita apenas aproximadamente).
Vamos agora calcular a média temporal do momento angular L z levado por esta onda
na direção de propagação. A densidade do momento angular L é dada por:
L =
∗
x × Re ⎛⎜ E × B ⎞⎟
2
⎝
⎠
∗
∗
ε
x × Re⎛⎜ i E × E ⎞⎟ = 0 x × ⎛⎜ i E × E ⎞⎟
2c
⎝
⎠ 2c
⎝
⎠
e expandindo, a componente z da densidade do momento angular é
∗
∗
⎞
ε ⎛
L z = 0 ⎜⎜ x⎛⎜ i E × E ⎞⎟ − y⎛⎜ i E × E ⎞⎟ ⎟⎟
2c ⎝ ⎝
⎠x ⎠
⎝
⎠y
=
ε0
ε0
2
∗
Necessitamos portanto calcular as componentes x e y de ⎛⎜ i E × E ⎞⎟ .
⎝
⎠
(ii) (10 pontos) Mostre, sem utilizar cálculo explícito que, como assumido acima,
⎛ i E × E ∗ ⎞ é real (algo é real se é igual ao seu complexo conjugado). Calcule as
⎜
⎟
⎝
⎠
∗
componentes x e y de ⎛⎜ i E × E ⎞⎟ . Note que eles podem ser escritos como derivadas
⎝
⎠
totais.
Para evitar um resultado infinito para o momento angular desta onda , considere o
volume entre z = 0 e z = a .
(iii) (10 pontos) Mostre que o momento angular total (média temporal) levado pelo
campo sobre a placa pode ser escrito sob a forma:
a
JG
Lz
= K ∫ dz ∫ dxdyE02 ( x, y )
placa
0
Qual é o valor de K? (Dica:Você deve usar integração por partes nas direções x e y).
(iv) (5 pontos) Qual é a relação entre
JG
Lz
densidade de energia u levada pela onda?
3
placa
e a aproximação não derivada para