Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos

Uma Introdução à
Teoria Econômica dos Jogos
Humberto José Bortolossi1 Gilmar Garbugio2
Brígida Alexandre Sartini3
1 Universidade
Federal Fluminense
2 Universidade
Estadual do Sudoeste da Bahia
3 Universidade
Federal Rural do Rio de Janeiro
26o Colóquio Brasileiro de Matemática
IMPA
29 de julho a 3 de agosto de 2007
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
1
Parte 1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
2
Teoria dos jogos: descrição informal
Criada para se modelar fenômenos que podem ser
observados quando dois ou mais agentes de decisão
interagem entre si.
Aplicações em eleições, leilões, balança de poder,
evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática é
interessante por si própria.
Teoria econômica × teoria combinatória dos jogos.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
3
Um pouco de história . . .
Waldegrave
Cournot
Zermelo
Borel
(1713)
(1838)
(1913)
(1921)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
4
Um pouco de história . . .
1944: John von Neumann e Oscar
Morgenstern (The Theory of Games and
Economic Behaviour).
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Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
5
Um pouco de história . . .
1950:
John Nash (existência de
um equilíbrio de estratégias mistas
para jogos não-cooperativos com
n jogadores).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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6
Um pouco de história . . .
1994: John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten
(prêmio Nobel de economia)
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7
O que é um jogo?
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8
Exemplo: o dilema do prisioneiro
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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9
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
10
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
11
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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12
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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13
Exemplo: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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14
O que é um jogo?
J OGO F INITO
NA
F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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15
O que é um jogo?
J OGO F INITO
NA
F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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16
O que é um jogo?
J OGO F INITO
NA
F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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17
O que é um jogo?
J OGO F INITO
NA
F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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18
Exemplo: a batalha dos sexos
G={homem,mulher},
Shomem ={futebol,cinema},
Smulher ={futebol,cinema},
S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}.
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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19
Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos
(NADA, NADA)
(TUDO, NADA)
(NADA, TUDO)
(METADE, METADE)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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20
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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21
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
22
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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23
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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24
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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25
Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si do
jogador gi ∈ G é estritamente dominada pela
estratégia sik 0 ∈ Si se
ui (sik 0 , s−i ) > ui (sik , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,
seqüencialmente, se eliminam as estratégias que são
estritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um único
perfil de estratégias puras s∗ , dizemos que s∗ é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
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26
Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si do
jogador gi ∈ G é estritamente dominada pela
estratégia sik 0 ∈ Si se
ui (sik 0 , s−i ) > ui (sik , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,
seqüencialmente, se eliminam as estratégias que são
estritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um único
perfil de estratégias puras s∗ , dizemos que s∗ é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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27
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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28
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
29
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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30
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
31
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
32
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
33
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
34
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
35
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
36
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
37
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
38
Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
39
Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
40
Dominância estrita: a batalha dos sexos
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
41
Dominância estrita: a batalha dos sexos
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
42
Dominância estrita: mais um exemplo
g2
g1
s21
s22
s11
(1, 1)
(1, 0)
s12
(1, 0)
(0, 1)
Este jogo também não possui estratégias estritamente
dominantes!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
43
Solução de um jogo: dominância fraca
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si do
jogador gi ∈ G é fracamente dominada pela
estratégia sik 0 ∈ Si se
ui (sik 0 , s−i ) ≥ ui (sik , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i e, pelo menos para um s•−i ∈ S−i ,
ui (sik 0 , s•−i ) > ui (sik , s•−i ).
Se, no final do processo de eliminação de estratégias
fracamente dominadas, o jogo se reduz para um único
perfil de estratégias puras s∗ , dizemos que s∗ é um
equilíbrio de estratégia fracamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
44
Dominância fraca: exemplo
g2
g1
s21
s22
s11
(1, 1)
(1, 0)
s12
(1, 0)
(0, 1)
(s11 , s21 ) é um equilíbrio de estratégia fracamente dominante.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
45
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
46
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
47
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
48
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
49
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
50
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
51
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
52
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
53
O resultado da eliminação pode depender da ordem?
Não para dominância estrita [Gilboa, Kalai e Zemel, 1990].
Sim para dominância fraca.
g2
g1
g2
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
g1
(1, 0)
(0, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
s21
s22
s23
s11
(0, 2)
(0, 0)
(1, 0)
s12
(0, 3)
(1, 0)
(0, 0)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
54
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um
jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo
de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o
fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
∗
∗
, si∗ , s(i+1)
, . . . , sn∗ ) ∈ S
s∗ = (s1∗ , . . . , s(i−1)
é um equilíbrio de Nash em estratégias puras se
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (siji , s∗−i )
para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
55
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
56
Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
(futebol, futebol) e (cinema, cinema)
são os únicos equilíbrios de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
57
Equilíbrio de Nash: outro exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
58
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
N EM
TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE
N ASH
EM
ESTRATÉGIAS PURAS !
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
59
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
N EM
TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE
N ASH
EM
ESTRATÉGIAS PURAS !
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
60
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estrita
iterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash ao
simplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.
(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca
(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
61
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estrita
iterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash ao
simplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.
(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca
(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
62
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estrita
iterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash ao
simplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A Proposição 1 é falsa para dominância fraca.
(exercício [10], página 58)
A Proposição 2 continua verdadeira para dominância fraca
(sem unicidade).
(exercício [11], página 58)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
63
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
A recíproca da Proposição 2 é falsa!
s21
g2
s22
s23
s11 (−1, +1) (+1, −1) (−1, +1)
g1 s12 (+1, −1) (−1, +1) (+1, −1)
s13 (−1, +1) (+1, −1) (+5, +5)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
64
Exercício [01]: simplifique usando dominância estrita
g2
s21
s22
s23
s24
s11
(3, 0)
(1, 1)
(5, 4)
(0, 2)
g1 s12
(1, 1)
(3, 2)
(6, 0)
(2, −1)
s13
(0, 2)
(4, 4)
(7, 2)
(3, 0)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
65
Exercício [07]: simplifique usando dominância estrita!
C
Se B escolhe y1 : A
z1
z2
z3
z4
x1
(5, 0, 2)
(1, 0, 1)
(3, 0, 6)
(1, 2, 1)
x2
(3, 2, 2)
(9, 1, 8)
(2, 0, 5)
(2, 0, 2)
x3
(1, 0, 0)
(1, 0, 9)
(4, 0, 8)
(3, 0, 3)
z1
z2
z3
z4
x1
(0, 1, 1)
(0, 1, 2)
(2, 1, 3)
(0, 3, 9)
x2
(0, 3, 2)
(1, 2, 3)
(2, 1, 8)
(2, 1, 0)
x3
(1, 1, 0)
(2, 1, 1)
(3, 2, 2)
(3, 1, 3)
C
Se B escolhe y2 : A
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
66
Exercício [08]: simplifique usando dominância estrita!
C
Se B escolhe y1 : A
z1
z2
z3
z4
x1
(1, 2, 9)
(2, 9, 9)
(3, 7, 9)
(2, 8, 9)
x2
(3, 8, 3)
(4, 5, 4)
(4, 1, 3)
(3, 9, 3)
x3
(2, 9, 9)
(3, 9, 9)
(3, 9, 9)
(2, 9, 9)
z1
z2
z3
z4
x1
(2, 1, 9)
(3, 9, 9)
(2, 9, 9)
(1, 9, 9)
x2
(4, 9, 1)
(4, 2, 2)
(3, 2, 1)
(2, 2, 1)
x3
(1, 9, 9)
(2, 9, 9)
(2, 9, 9)
(1, 9, 9)
C
Se B escolhe y2 : A
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
67
Parte 2
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
68
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um
jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo
de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o
fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de
estratégia s∗ = (si∗ , s∗−i ) é um equilíbrio de Nash
em estratégias puras se
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (siji , s∗−i )
para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
69
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ
DE
PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
70
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
71
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
72
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
73
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
negar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
74
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
negar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
75
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
confessar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
76
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
confessar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
77
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
negar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
78
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
negar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
79
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
80
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
81
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
82
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
83
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
84
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
85
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
86
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
87
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
88
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
89
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
90
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
91
Melhor Resposta e Equilíbrios de Nash
Proposição
s∗ = (s1∗ , . . . , si∗ , . . . , sn∗ ) ∈ S é um equilíbrio de Nash
m
si∗ ∈ MRi (s∗−i ),
∀i = 1, . . . , n.
Definição
MRi : S−i → 2Si
MRi (s−i ) = argmaxsi ∈Si ui (si , s−i )
= {si∗ ∈ Si | ∀si ∈ Si , ui (si∗ , s−i ) ≥ ui (si , s−i )},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
92
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash em
estratégias puras?
Tente a sorte!
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
93
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash em
estratégias puras?
Tente a sorte!
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
94
Distribuições de probabilidades
S = {A, B}
B
A
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
B
A
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
95
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
96
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
97
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
0
1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
p1
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
98
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
B
A
1/2
0
1/2
1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
p1
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
99
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
3/4
B
0
1/4
1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
A
p1
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
100
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
101
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1 , p2 , p3 ) ∈ R3 | 0 ≤ p1 , p2 , p3 ≤ 1 e p1 +p2 +p3 = 1}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
102
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1 , p2 , p3 ) ∈ R3 | 0 ≤ p1 , p2 , p3 ≤ 1 e p1 +p2 +p3 = 1}.
p3
1
0
1
p2
1
p1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
103
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
104
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
105
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
106
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se ∀p, q ∈ C,
(1 − t) · p + t · q ∈ C, ∀t ∈ [0, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
107
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é compacto se ele é limitado e fechado.
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
108
Média dos payoffs
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
0 ≤ p1 , p2 ≤ 1,
p1 + p2 = 1.
0 ≤ q1 , q2 ≤ 1,
q1 + q2 = 1.
u1 (p1 , p2 , q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d,
u2 (p1 , p2 , q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
109
Exemplo: média dos payoffs
1/3
s21
2/3
s22
1/4
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
3/4
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 ( 14 , 34 , 31 , 23 ) =
11
12
31
32
4 3 (+1) + 4 3 (−1) + 4 3 (−1) + 4 3 (+1)
1
=+ ,
6
u2 ( 14 , 34 , 31 , 23 ) =
11
12
31
32
4 3 (−1) + 4 3 (+1) + 4 3 (+1) + 4 3 (−1)
1
=− .
6
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
110
Exemplo: média dos payoffs
1/2
s21
1/2
s22
1/2
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
1/2
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 ( 12 , 12 , 21 , 12 ) =
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (+1)
= 0,
u2 ( 12 , 12 , 21 , 12 ) =
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (−1)
= 0.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
111
Exemplo: média dos payoffs
1
s21
0
s22
1
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
0
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)(−1) + (0)(1)(−1) + (0)(0)(+1) = +1,
u2 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(−1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)(−1) = −1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
112
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
Si = {si1 , . . . , simi },
∆ = ∆m1 × · · · ∆mi−1 × ∆mi × ∆mi+1 × · · · × ∆mn ,
p
= (p1 , p2 , . . . , pn )
= (p11 , p12 , . . . , p1m1 ; p21 , p22 , . . . , p2m2 ; . . . ; pn1 , pn2 , . . . , pnmn ),
|
{z
}
|
{z
} |
{z
}
p1
p2
pn
∈ ∆ = ∆m1 × · · · ∆mi−1 × ∆mi × ∆mi+1 × · · · × ∆mn ,
p
= (pi , p−i ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
113
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
Si = {si1 , . . . , simi },
∆ = ∆m1 × · · · ∆mi−1 × ∆mi × ∆mi+1 × · · · × ∆mn ,
p
= (p1 , p2 , . . . , pn )
= (p11 , p12 , . . . , p1m1 ; p21 , p22 , . . . , p2m2 ; . . . ; pn1 , pn2 , . . . , pnmn ),
|
{z
}
|
{z
} |
{z
}
p1
p2
pn
∈ ∆ = ∆m1 × · · · ∆mi−1 × ∆mi × ∆mi+1 × · · · × ∆mn ,
p
= (pi , p−i ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
114
Notações
p
= (p1 , p2 , . . . , pn )
= (p11 , p12 , . . . , p1m1 ; p21 , p22 , . . . , p2m2 ; . . . ; pn1 , pn2 , . . . , pnmn ),
|
{z
}
|
{z
} |
{z
}
p1
p2
pn
∈ ∆ = ∆m1 × · · · ∆mi−1 × ∆mi × ∆mi+1 × · · · × ∆mn ,
ui (p) =
m2
m1 X
X
j1 =1 j2 =1
···
mn
X
p1j1 · p2j2 · · · pnjn · ui (s1j1 , s2j2 , . . . , snjn ).
jn =1
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
115
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Definição
Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogo
é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de
mudar sua escolha de distribuição de probabilidades se
os demais jogadores não o fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1 , p∗2 , . . . , p∗n ) ∈ ∆ = ∆m1 × ∆m2 × · · · × ∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui (p∗i , p∗−i ) ≥ ui (p, p∗−i )
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
116
Exemplo: equilíbrio de Nash
q
s21
1−q
s22
p
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
1−p
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 (p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1
e
u2 (p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.
(p, q) = (1/2, 1/2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
u1 (p, 1/2) = 0 ≤ 0 = u1 (1/2, 1/2),
u2 (1/2, q) = 0 ≤ 0 = u2 (1/2, 1/2).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
117
Exemplo: equilíbrio de Nash
q
s21
1−q
s22
p
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
1−p
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 (p, q) = +4pq − 2q − 2p + 1
e
u2 (p, q) = −4pq + 2q + 2p − 1.
(p, q) = (1/3, 2/3) não é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.
u1 (1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1 (1, 2/3).
u1 (1/3, 2/3) = −1/9 < +1/3 = u1 (1, 2/3).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
118
O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
Mas como calculá-lo?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
119
O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
Mas como calculá-lo?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
120
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
=
MRi (p−i )
=
argmaxpi ∈∆(Si ) ui (pi , p−i )
{p∗i ∈ ∆(Si ) | ∀pi ∈ ∆(Si ), ui (p∗i , p−i ) ≥ ui (pi , p−i )}
MRi : ∆(S−i ) → 2∆(Si )
MRi (p−i ) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:
∆(Si ) é compacto não-vazio e pi 7→ ui (pi , p−i ) é contínua.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
121
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
=
MRi (p−i )
=
argmaxpi ∈∆(Si ) ui (pi , p−i )
{p∗i ∈ ∆(Si ) | ∀pi ∈ ∆(Si ), ui (p∗i , p−i ) ≥ ui (pi , p−i )}
MRi : ∆(S−i ) → 2∆(Si )
MRi (p−i ) 6= ∅ pelo Teorema de Weierstrass:
∆(Si ) é compacto não-vazio e pi 7→ ui (pi , p−i ) é contínua.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
122
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi (p−i ) = argmaxpi ∈∆(Si ) ui (pi , p−i )
Proposição
p∗ = (p∗1 , . . . , p∗i , . . . , p∗n ) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash
m
p∗i ∈ MRi (p∗−i ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∀i = 1, . . . , n.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
123
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
q
futebol
1−q
cinema
p
futebol
(10, 5)
(0, 0)
1−p
cinema
(0, 0)
(5, 10)
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
124
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
125
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
126
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
127
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
128
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
129
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
130
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
131
Funções de melhor resposta em estratégias mistas

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
(Mulher)
(Futebol)
(Cinema)
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
q
1
0
(Cinema)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
132
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
133
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
134
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
135
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
136
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
137
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
138
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
139
Funções de melhor resposta em estratégias mistas

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
(Homem)
(Futebol)
(Cinema)
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
p
1
0
1/3
(Cinema)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
1
q
(Mulher)
(Futebol)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
140
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
(Futebol)
q
1
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Existem 3 equilíbrios de Nash em estratégias mistas:
(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
141
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
(Futebol)
q
1
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash
para jogos 2 × 2.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
142
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
(Futebol)
q
1
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Genericamente, o número de equilíbrios de Nash é finito e ímpar:
(Wilson, 1971) e (Harsanyi, 1973).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
143
Exercício: o dilema dos prisioneiros
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
144
Resposta
MRBob (p) = argmaxq∈[0,1] ((4 p + 1) q − (9 p + 1)) = {1},
MRAl (q) = argmaxp∈[0,1] ((4 q + 1) p − (9 q + 1)) = {1}.
(Bob)
(Confessar)
(Negar)
q
1
0
(Negar)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
1
p
(Al)
(Confessar)
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
145
Exercício: comparar moedas
g2
s21
g1
s22
s11 (+1, −1) (−1, +1)
s12 (−1, +1) (+1, −1)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
146
Resposta
MR2 (p) = argmaxq∈[0,1] (2 (+1 − 2 p) q − 1 + 2 p)

se p ∈ [0, 1/2),
 {1},
[0, 1], se p = 1/2,
=

{0},
se p ∈ (1/2, 1],
MR1 (q) = argmaxp∈[0,1] (2 (−1 + 2 q) p + 1 − 2 q)

se q ∈ [0, 1/2),
 {0},
[0, 1], se q = 1/2,
=

{1},
se q ∈ (1/2, 1].
(g2)
(s21 )
q
1
1/2
(s22 )
0
(s12 )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
1/2
1
p
(g1)
(s11 )
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
147
Exercício
jogador 2
jogador 1
U
A
B
V
547
547
,−
+
1000 1000
548
548
,−
+
1000 1000
549
549
,−
+
1000 1000
545
545
,−
+
1000 1000
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
148
Parte 3
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
149
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Definição
Dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1 , p∗2 , . . . , p∗n ) ∈ ∆ = ∆m1 × ∆m2 × · · · × ∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui (p∗i , p∗−i ) ≥ ui (p, p∗−i )
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
150
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi (p−i ) = argmaxpi ∈∆(Si ) ui (pi , p−i )
Proposição
p∗ = (p∗1 , . . . , p∗i , . . . , p∗n ) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash
m
p∗i ∈ MRi (p∗−i ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∀i = 1, . . . , n.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
151
Exercício
jogador 2
jogador 1
U
A
B
V
547
547
+
,−
1000 1000
548
548
+
,−
1000 1000
549
549
,−
+
1000 1000
545
545
,−
+
1000 1000
Quem fez?
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
152
Resposta
MR2 (p) = argmaxq∈[0,1] ((5 p − 4) q − 545 − 3 p)/1000

se p ∈ [0, 4/5),
 {0},
[0, 1], se p = 4/5,
=

{1},
se p ∈ (4/5, 1],
MR1 (q) = argmaxp∈[0,1] ((3 − 5 q) p + 545 + 4 q)/1000

se q ∈ [0, 3/5),
 {1},
[0, 1], se q = 3/5,
=

{0},
se q ∈ (3/5, 1].
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
153
Resposta
(g2)
(U)
q
1
3/5
(V)
0
(B)
4/5
1
p
(g1)
(A)
Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:
(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
154
Equilíbrio de Nash via otimização
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d
a b
q1
p1 p2
=
c d
q2
= p1 · u1 (1, 0; q1 , q2 ) + p2 · u1 (0, 1; q1 , q2 ).
u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w
x y
q1
p1 p2
=
z w
q2
= q1 · u2 (p1 , p2 ; 1, 0) + q2 · u2 (p1 , p2 ; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
155
Equilíbrio de Nash via otimização
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d
a b
q1
p1 p2
=
c d
q2
= p1 · u1 (1, 0; q1 , q2 ) + p2 · u1 (0, 1; q1 , q2 ).
u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w
x y
q1
p1 p2
=
z w
q2
= q1 · u2 (p1 , p2 ; 1, 0) + q2 · u2 (p1 , p2 ; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
156
Equilíbrio de Nash via otimização
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d
a b
q1
p1 p2
=
c d
q2
= p1 · u1 (1, 0; q1 , q2 ) + p2 · u1 (0, 1; q1 , q2 ).
u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w
x y
q1
p1 p2
=
z w
q2
= q1 · u2 (p1 , p2 ; 1, 0) + q2 · u2 (p1 , p2 ; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
157
Equilíbrio de Nash via otimização
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d
a b
q1
p1 p2
=
c d
q2
= p1 · u1 (1, 0; q1 , q2 ) + p2 · u1 (0, 1; q1 , q2 ).
u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w
x y
q1
p1 p2
=
z w
q2
= q1 · u2 (p1 , p2 ; 1, 0) + q2 · u2 (p1 , p2 ; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
158
Equilíbrio de Nash via otimização
z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (1, 0; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (0, 1; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 1, 0) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 0, 1) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
159
Equilíbrio de Nash via otimização
z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (1, 0; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (0, 1; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 1, 0) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 0, 1) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ).
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
m

∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
z
(p

11
1 2 1 2



 z (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
 z21 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )




z22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
160
Equilíbrio de Nash via otimização
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
161
Equilíbrio de Nash via otimização
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
m

∗
∗
z11 (p1 , p2 ; q1∗ , q2∗ )



 z (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
∗ ∗ ∗ ∗

z
21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )



z22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0.
m

g11 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )



 g (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
∗ ∗ ∗ ∗

g
 21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )


g22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
162
Equilíbrio de Nash via otimização
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
m

g11 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )



 g (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
∗ ∗ ∗ ∗

g
21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )



g22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
m
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
minimiza
[g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2
sujeito a
0 ≤ p1 , p2 , q1 , q2 ≤ 1,
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
p1 + p2 = 1,
q1 + q2 = 1.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
163
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2
sujeito a
0 ≤ p1 , p2 , q1 , q2 ≤ 1,
p1 + p2 = 1,
q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C 1
(McKelvey, 1998).
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
164
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2
sujeito a
0 ≤ p1 , p2 , q1 , q2 ≤ 1,
p1 + p2 = 1,
q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C 1
(McKelvey, 1998).
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
165
Equilíbrio de Nash via otimização
minimizar
[g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2 + [g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )]2
sujeito a
0 ≤ p1 , p2 , q1 , q2 ≤ 1,
p1 + p2 = 1,
q1 + q2 = 1.
A função que queremos minimizar é de classe C 1
(McKelvey, 1998).
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
166
Exemplo: o dilema do prisioneiro
minimizar G(p, q) =
sujeito a
(max {0, − (−1 + p) (4 q + 1)})2 +
(max {0, −p (4 q + 1)})2 +
(max {0, − (4 p + 1) (−1 + q)})2 +
(max {0, −q (4 p + 1)})2
0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
167
Exemplo: o dilema do prisioneiro
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
25
0.8
20
0.6
15
q
10
0.4
5
1
0.2
0.5 q
0
0
0.2
0.4
0.6
p
0.8
1
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
0
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
168
Exemplo: a batalha dos sexos
minimizar G(p, q) =
sujeito a
(max {0, −5 (−1 + p) (3 q − 1)})2 +
(max {0, −5 p (3 q − 1)})2 +
(max {0, −5 (3 p − 2) (−1 + q)))2 +
(max {0, −5 q (3 p − 2)})2
0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
169
Exemplo: a batalha dos sexos
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
3
0.8
2.5
2
0.6
q
1.5
0.4
1
1
0.8
0.6
0.4 q
0.2
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
p
0.8
1
0.2
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
0
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
170
Exemplo: combinar moedas
minimizar G(p, q) =
sujeito a
(max {0, −2 (−1 + p) (2 q − 1)})2 +
(max {0, −2 p (2 q − 1)})2 +
(max {0, 2 (2 p − 1) (−1 + q)})2 +
(max {0, 2 (2 p − 1) q})2
0 ≤ p ≤ 1,
0 ≤ q ≤ 1.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
171
Exemplo: combinar moedas
p
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4
1
3
0.8
2
0.6
1
q
1
0.4
0.8
0.6
q
0.2
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
0
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
172
Le Her simplificado
Vamos jogar!
1713: James Waldegrave (solução em
estratégia mista para o jogo Le Her).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
173
Le Her simplificado
Analysis of N-Card Le Her
A. T. Benjamin e A. J. Goldman
(2002)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
174
Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher1_br.html
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
175
Parte 4
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
176
Le Her simplificado
Analysis of N-Card Le Her
A. T. Benjamin e A. J. Goldman
(2002)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
177
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
178
Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher2_br.html
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
179
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
180
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
181
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
182
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
183
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
184
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
185
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
0.538 0.543
8
0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
186
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
0.538 0.543
8
0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
187
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
8
0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
188
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
8
0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
189
Exercício
jogador 2
jogador 1
U
A
B
V
547
547
+
,−
1000 1000
548
548
+
,−
1000 1000
549
549
+
,−
1000 1000
545
545
+
,−
1000 1000
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
190
Resposta
(g2)
(U)
q
1
3/5
(V)
0
(B)
4/5
1
p
(g1)
(A)
Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:
(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
191
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
2
3
4
5
6
7
8
0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
Equilíbrio de Nash: (4/5, 1/5; 3/5, 2/5)
Payoff médio: (0.5474, 0.4526)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
192
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
858
792
737
693
660
638
627
627
638
660
693
737
792
2
924
858
803
759
726
704
693
693
704
726
759
803
858
3
979
924
869
824
790
767
755
754
764
785
817
860
914
4 1022
977
932
887
851
826
812
809
817
836
866
907
959
5 1052 1016
980
944
908
880
863
857
862
878
905
943
992
6 1068 1040 1012
984
956
928
907
897
898
910
933
967 1012
7 1069 1048 1027 1006
985
964
943
928
924
931
949
978 1018
8 1054 1039 1024 1009
994
979
964
949
939
940
952
975 1009
9 1022 1012 1002
992
982
972
962
952
942
936
941
957
984
10
972
966
960
954
948
942
936
930
924
918
915
923
942
Q
903
900
897
894
891
888
885
882
879
876
873
872
882
J
814
813
812
811
810
809
808
807
806
805
804
803
803
K
704
704
704
704
704
704
704
704
704
704
704
704
704
×
1
1716
Equilíbrio de Nash: (6/7, 1/7; 4/7, 3/7)
Payoff médio: (0.551, 0.449)
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
193
Le Her
(Benjamim e Goldman, 2002): redução para uma
matriz 2 × 2 ocorre para qualquer baralho com um
número N ≥ 3 de cartas de um mesmo naipe.
Jogo original: 52 cartas e o o jogador 2 pode se negar
a trocar de cartas com o jogador 1 se sua carta for K .
Para cartas de mesmo valor (mas naipes diferentes), o
jogador 2 vence.
Estudado por Montmort, Bernoulli e Waldegrave: Isaac
Todhunter, A History of the Mathematical Theory of
Probability, 1949. (http://gallica.bnf.fr/).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
194
O Teorema de Equilíbrio de Nash
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
195
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Definição
Dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1 , p∗2 , . . . , p∗n ) ∈ ∆ = ∆m1 × ∆m2 × · · · × ∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui (p∗i , p∗−i ) ≥ ui (p, p∗−i )
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
196
O teorema de equilíbrio de Nash
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
197
O teorema do ponto fixo de Brouwer
Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e nãovazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e se
F : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui um
ponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que
F(p∗ ) = p∗ .
Referências
C. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.
T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generalizations. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
198
O teorema do ponto fixo de Brouwer
Se ∆ é um subconjunto compacto, convexo e nãovazio de um espaço euclidiano de dimensão finita e se
F : ∆ → ∆ é uma função contínua, então F possui um
ponto fixo em ∆, isto é, existe p∗ ∈ ∆ tal que
F(p∗ ) = p∗ .
Referências
C. H. Hönig, Aplicações da Topologia à Análise. Projeto Euclides, IMPA, 1986.
T. Stuckless, Brouwer’s Fixed Point Theorem: Methods of Proof and Generalizations. Master dissertation, Simon Fraser University, 2003.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
199
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
200
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
q
1
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
1
p
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
201
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
q
1
∆
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∆
1
p
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
202
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
q
1
∆
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∆
1
p
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
203
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
q
1
∆
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∆
1
p
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
204
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
∆ = [0, 1]
q
1
∆
0
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∆
1
p
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
205
Combinações convexas
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d
= p1 · u1 (1, 0; q1 , q2 ) + p2 · u1 (0, 1; q1 , q2 ).
u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w
= q1 · u2 (p1 , p2 ; 1, 0) + q2 · u2 (p1 , p2 ; 0, 1).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
206
Teorema 3.2
z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (1, 0; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u1 (0, 1; q1 , q2 ) − u1 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 1, 0) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ),
z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
u2 (p1 , p2 ; 0, 1) − u2 (p1 , p2 ; q1 , q2 ).
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
m

∗
∗
z11 (p1 , p2 ; q1∗ , q2∗ )




 z (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
 z21 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )




z22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0,
≤ 0.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
207
Teorema 3.3
g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )},
g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = max{0, z22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )}.
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
m

∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
g
(p
11 1 2 1 2



 g (p∗ , p∗ ; q ∗ , q ∗ )
12 1 2 1 2
 g21 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )



g22 (p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
208
Teorema 3.4
F : ∆ 2 × ∆2 → ∆2 × ∆ 2
F (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = (y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ); y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ))
y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p2 + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q2 + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
⇔
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é ponto fixo de F
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
209
Teorema 3.4
F : ∆ 2 × ∆2 → ∆2 × ∆ 2
F (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = (y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ); y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ))
y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p2 + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q2 + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é equilíbrio de Nash
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
⇔
(p1∗ , p2∗ ; q1∗ , q2∗ ) é ponto fixo de F
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
210
O teorema de equilíbrio de Nash
F : ∆ 2 × ∆2 → ∆2 × ∆ 2
F (p1 , p2 ; q1 , q2 ) = (y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ); y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ), y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ))
y11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y12 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
p2 + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g11 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g12 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
y22 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) =
q2 + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
1 + g21 (p1 , p2 ; q1 , q2 ) + g22 (p1 , p2 ; q1 , q2 )
∆ = ∆2 × ∆2 é compacto, convexo e não-vazio e F é contínua.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
211
Os teoremas de Brouwer e Nash são equivalentes
(Torrez-Martínez, 2006)
e
(Zhao, 2002)
demonstraram o teorema do ponto fixo de Brouwer a partir do
teorema de equilíbrio de Nash.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
212
Parte 5
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
213
Gambit
Gambit é um programa de computador,
gratuito e multiplataforma,
orientado para a construção e análise de jogos finitos.
http://econweb.tamu.edu/gambit
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
214
Jogos infinitos
G = {g1 , . . . , gi , . . . , gn },
S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn
mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1 , . . . , Sn
podem ser infinitos.
ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → R
s = (s1 , . . . , si , . . . , sn ) 7→ ui (s1 , . . . , si , . . . , sn )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
215
Jogos infinitos
G = {g1 , . . . , gi , . . . , gn },
S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn
mas, agora, os conjuntos de estratégias puras S1 , . . . , Sn
podem ser infinitos.
ui : S = S1 × · · · × Si × · · · × Sn → R
s = (s1 , . . . , si , . . . , sn ) 7→ ui (s1 , . . . , si , . . . , sn )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
216
Jogos infinitos: dominância estrita
Definição
Dizemos que uma estratégia pura si ∈ Si do jogador
gi ∈ G é estritamente dominada pela estratégia si0 ∈ Si
se
ui (si0 , s−i ) > ui (si , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
217
Jogos infinitos: equilíbrio de Nash
Definição
Dizemos que um perfil de estratégias
∗
∗
s∗ = (s1∗ , . . . , s(i−1)
, si∗ , s(i+1)
, . . . , sn∗ ) ∈ S
é um equilíbrio de Nash se
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i )
para todo i = 1, . . . , n e para todo si ∈ Si .
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
218
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
219
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
220
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura x ∈ [0, 1) do jogador g1 é estritamente dominada.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
221
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Para x ∈ [0, 1),
u1 ( ? , y ) > u1 (x, y ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
para todo y ∈ [0, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
222
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Para x ∈ [0, 1),
u1 ((x + 1)/2, y ) > u1 (x, y ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
para todo y ∈ [0, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
223
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Toda estratégia pura y ∈ [0, 1) do jogador g2 é estritamente dominada.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
224
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Para y ∈ [0, 1),
u2 (x, ? ) > u2 (x, y ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
para todo x ∈ [0, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
225
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
Para y ∈ [0, 1),
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
u2 (x, (y + 1)/2 ) > u2 (x, y ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
para todo x ∈ [0, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
226
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
(x, y ) = (1, 1) é o único equilíbrio de Nash do jogo.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
227
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)
G = {g1 , g2 },
S1 = S2 = [0, 1],
u1 , u2 : S = S1 × S2 → R

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
u1 (1, 1) = 1 ≥ u1 (x, 1)
e
u2 (1, 1) = 1 ≥ u2 (1, y ),
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
∀x, y , ∈ [0, 1].
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
228
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
( , )
( , )
t
(, )
(, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
229
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
( , )
( , )
t
(, )
(, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
230
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, )
( , )
t
(, )
(, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
231
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, )
(0, )
t
(, )
(, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
232
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, )
(0, )
t
(t, )
(, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
233
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, )
(0, )
t
(t, )
(t, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
234
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, )
t
(t, )
(t, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
235
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, )
(t, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
236
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, 0)
(t, )
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
237
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, 0)
(t, t)
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
238
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Elimine todas as estratégias diferentes de 1 e t para algum t < 1:
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, 0)
(t, t)
g1
Moral: em jogos infinitos, o resultado pode depender da ordem de eliminação!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
239
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2 ?
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, 0)
(t, t)
g1
Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
240
Exemplo (Dufwenberg e Stegeman, 2002)

 x,
0,
u1 (x, y ) =

1,

 y,
0,
u2 (x, y ) =

1,
se x < 1,
se x = 1 e y < 1,
se x = 1 e y = 1,
se y < 1,
se y = 1 e x < 1,
se y = 1 e x = 1.
Qual é a melhor resposta de g1 à estratégia y = 1/2 de g2 ?
g2
1
t
1
(1, 1)
(0, t)
t
(t, 0)
(t, t)
g1
Moral: em jogos infinitos, pode não existir a melhor resposta!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
241
Jogos infinitos
E estratégias mistas?
Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,
a teoria de medida e integração é necessária!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
242
Jogos infinitos
E estratégias mistas?
Para estudar soluções em estratégias mistas em jogos infinitos,
a teoria de medida e integração é necessária!
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
243
O modelo de duopólio de Cournot
1838: Augustin Cournot.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
244
O modelo de duopólio de Cournot (Gibbons)
Quantidades produzidas pelas empresas 1 e 2: q1 e q2 .
Situação de market-clearing.
O preço depende da quantidade agregada Q = q1 + q2 :
P(Q) =
A − Q, se Q < A,
A − (q1 + q2 ), se q1 + q2 < A,
=
0,
se Q ≥ A,
0,
se q1 + q2 ≥ A.
A é o preço máximo aceitável pelo mercado.
Custos totais: C1 (q1 ) = c ·q1 e C2 (q2 ) = c ·q2 , com c > 0.
Para simplificar: c < A.
O ganho de cada empresa é o lucro que ela obtém.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
245
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
246
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
247
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
248
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
249
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
250
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
251
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
252
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
253
O modelo de duopólio de Cournot
g1 = Empresa 1, g2 = Empresa 2.
q1 ∈ S1 = [0, ∞), q2 ∈ S2 = [0, ∞), S = S1 × S2 .
Funções utilidade u1 , u2 : S1 × S2 → R:
u1 (q1 , q2 ) = q1 · P(q1 + q2 ) − c · q1
q1 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q1 · [−c],
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)),
=
q1 · [−c],
u2 (q1 , q2 ) = q2 · P(q1 + q2 ) − c · q2
q2 · [A − (q1 + q2 ) − c],
=
q2 · [−c],
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)),
=
q2 · [−c],
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A,
se q1 + q2 ≤ A,
se q1 + q2 > A.
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
254
O modelo de duopólio de Cournot
u1 (q1 , q2 )
=
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q1 · [−c],
se q1 + q2 > A,
MR1 (q2 )
=
{(A − c − q2 )/2}, se q2 ≤ A − c,
{0},
se q2 > A − c,
u2 (q1 , q2 )
=
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q2 · [−c],
se q1 + q2 > A,
=
{(A − c − q1 )/2}, se q1 ≤ A − c,
{0},
se q1 > A − c.
MR2 (q1 )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
255
O modelo de duopólio de Cournot
u1 (q1 , q2 )
=
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q1 · [−c],
se q1 + q2 > A,
MR1 (q2 )
=
{(A − c − q2 )/2}, se q2 ≤ A − c,
{0},
se q2 > A − c,
u2 (q1 , q2 )
=
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q2 · [−c],
se q1 + q2 > A,
=
{(A − c − q1 )/2}, se q1 ≤ A − c,
{0},
se q1 > A − c.
MR2 (q1 )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
256
O modelo de duopólio de Cournot
u1 (q1 , q2 )
=
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q1 · [−c],
se q1 + q2 > A,
MR1 (q2 )
=
{(A − c − q2 )/2}, se q2 ≤ A − c,
{0},
se q2 > A − c,
u2 (q1 , q2 )
=
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q2 · [−c],
se q1 + q2 > A,
=
{(A − c − q1 )/2}, se q1 ≤ A − c,
{0},
se q1 > A − c.
MR2 (q1 )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
257
O modelo de duopólio de Cournot
u1 (q1 , q2 )
=
q1 · (−q1 + (A − q2 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q1 · [−c],
se q1 + q2 > A,
MR1 (q2 )
=
{(A − c − q2 )/2}, se q2 ≤ A − c,
{0},
se q2 > A − c,
u2 (q1 , q2 )
=
q2 · (−q2 + (A − q1 − c)), se q1 + q2 ≤ A,
q2 · [−c],
se q1 + q2 > A,
=
{(A − c − q1 )/2}, se q1 ≤ A − c,
{0},
se q1 > A − c.
MR2 (q1 )
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
258
O modelo de duopólio de Cournot
MR1 (q2 ) =
{(A − c − q2 )/2}, se q2 ≤ A − c,
{0},
se q2 > A − c,
MR2 (q1 ) =
{(A − c − q1 )/2}, se q1 ≤ A − c,
{0},
se q1 > A − c.
q2
A{c
(A { c)/2
(q 1*, q2* )
0
(A { c)/2
Equilíbrio de Nash: (q1∗ , q2∗ ) =
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
A{c
q1
A−c A−c
,
.
3
3
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
259
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
260
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
261
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
262
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
263
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
264
Tem no livro, mas não vimos . . .
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash usando
o teorema de Kakutani.
Cálculo do equilíbrio de Nash resolvendo-se equações
polinomiais.
Jogos de soma zero: programação linear.
Cálculo do equilíbrio de Nash via um problema de
complementaridade.
Jogos seqüênciais.
Outros exemplos: os modelos de duopólio de Bertrand e
Stackelberg, a tragédia dos comuns.
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
265
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
266
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
267
O que não tem no livro?
Jogos de informação incompleta, leilões.
Jogos cooperativos, jogos repetidos.
Jogos diferenciais (jogos seqüências infinitos).
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos
268
Obrigado!
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini
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269