Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica

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Termodinâmica
Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
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A Segunda Lei da Termodinâmica
Em 1865, Rudolf Clausius (1822-1888) introduziu o conceito de entropia. No início, relacionava tal
grandeza à “energia desperdiçada”, o que pode ser conferido no seguinte trecho de autoria do cientista:
Proponho que a quantidade S seja a entropia do Sistema,
a propósito da palavra grega associada à transformação. Eu escolhi tal
palavra deliberadamente de forma a lembrar a palavra energia.
Em meados do séc. XIX, nós nos demos conta de uma nova função termodinâmica, ou potencial
termodinâmico, denominada Entropia. Tal grandeza, representada pela letra S, permite a formulação
da Segunda Lei da Termodinâmica.
Pode-se formular a segunda lei de duas formas distintas. A primeira delas é baseada em processos
termodinâmicos, especialmente aqueles de interesse tecnológico. Essa formulação é baseada no
que pode ou não ser conseguido nesses processos.
A formulação de Clausius da segunda lei, por exemplo, postula que o
Calor nunca passa de um corpo mais quente para um corpo
mais frio sem que ocorra alguma outra transformação,
ligada a essa, ocorrendo ao mesmo tempo.
Figura 1: Não existe um refrigerador perfeito.
1
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
2
Nesse sentido, o calor não flui espontaneamente de um sistema mais frio para um sistema
mais quente.
Já o enunciado de Kelvin para a mesma lei é:
Não existe transformação termodinâmica cujo único efeito
é retirar uma quantidade de calor de um reservatório quente
e convertê-lo integralmente em trabalho.
Ou seja, o calor é uma forma de energia que não se pode aproveitar integralmente.
Na segunda formulação, a ser apresentada com maior ênfase a seguir, ela é centrada no conceito
de entropia. Clausius, a rigor, faz uso das duas formulações, pois ele termina o trabalho já citado, de
1965, reformulando as duas leis da termodinâmica, recorrendo ao conceito de Universo:
Figura 2: Rudolf Clausius.
A energia do Universo é constante.
A entropia do Universo tende a um valor máximo.
A entropia é uma função termodinâmica, ou potencial termodinâmico, que caracteriza um
sistema físico da mesma forma que a energia.
Para entendê-la, consideramos um sistema contendo N partículas. Admitiremos que os níveis
de energia formam um espectro discreto. Para uma determinada energia, existe um número (N(E))
de estados microscópicos que estão disponíveis ao conjunto de partículas para que sejam por elas
ocupados. A definição de entropia dada por Boltzmann, em 1877, é que tal grandeza física pode ser
definida a partir desse número:
S = k ln Ω ( E )
( 1 )
em que k é constante de Boltzmann.
A entropia é uma grandeza física que caracteriza um sistema físico da mesma forma que a
energia. É isso que elas têm em comum.
Em termos da grandeza entropia, a segunda lei da termodinâmica pode ser enunciada da
seguinte forma:
Figura 3
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
3
Quando em equilíbrio, um sistema termodinâmico pode ser caracterizado por uma grandeza S,
denominada entropia, a qual exibe as seguintes propriedades:
a. Em qualquer processo reversível (quase-estático, portanto) e no qual o sistema absorve
/ , a entropia muda por um valor dS, de tal forma que
(ou perde) uma quantidade de calor dQ
dS =
/
dQ
T
( 2 )
Em que T é a temperatura absoluta do sistema.
b. Quando o sistema se encontra isolado, termicamente falando, e experimenta uma transformação de um estado para outro, sua entropia tende a aumentar. Ou seja,
dS ≥ 0
( 3 )
A combinação dos dois enunciados nos permite escrever:
dS ≥
/
dQ
T
Figura 4: A entropia cresce nos processos irreversíveis.
( 4 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
4
Entropia e a forma como a energia é distribuída
A entropia pode ser encarada como uma função que descreve como a energia é distribuída
quando dividimos um sistema em “células”. Tais células tanto podem representar uma fração do
espaço físico que elas ocupam, uma fração do espaço de fase ou, como no caso quântico, faixas do
espectro de energias.
Considere-se um sistema tal que os valores possíveis da energia, seu espectro, sejam
ε1 , ε 2 , ε3 ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ε n
( 5 )
Figura 5
A energia E do sistema é dada pela soma:
E = n1ε1 + n2ε 2 + n3ε3 , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ni εi
( 6 )
Em que ni é o número de ocupação de i-ésimo nível de energia. Partículas bosônicas podem ter
qualquer valor do número de ocupação. No entanto, observando apenas esse número quântico, as
partículas fermiônicas dotadas de spin ½, como os elétrons, podem exibir até dois valores de ni. Ou seja:
ni = 0,1
No caso de partículas bosônicas, o número de ocupação pode ser qualquer.
( 7 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
5
A grandeza física entropia não leva em conta apenas se os estados estão ocupados ou não.
Assim, se n i = 0 , dizemos que esse estado não está à disposição do sistema naquelas circunstâncias. Para entendermos o conceito de entropia, consideremos uma partição do volume em células.
Definimos um microestado a partir do número de moléculas em cada célula. No caso quântico, as
células são compostas por níveis subjacentes, cada uma delas contendo gi níveis.
G1 

G2 

  célula G1
 

Gg1 
Ggl −1 +1 
Gg1 +1 


Ggl −1 +2 
Gg1 +2 



 célula G2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 
 célula Gl






Gg1 + g2 
Ggl −1 + gl 


( 8 )
A distribuição de 4 partículas em uma célula dispondo de oito níveis, por exemplo, pode ser a
que segue:
0,1, 0, 0, 2,1, 0, 0
( 9 )
Um estado macroscópico será caracterizado pelo número ni de moléculas em cada grupo de
células vizinhas.
n1 , n2 , n3 ,⋅⋅⋅ng l
( 10 )
Em se tratando de estados macroscópicos, esses números são, usualmente, altos, o que será
considerado oportunamente.
O problema de contagem consiste em contar o número de estados acessíveis, levando em conta
as maneiras distintas de colocarmos as partículas nas várias células. Ou seja, determinar os estados
disponíveis em cada um dos subsistemas. Esse número é também conhecido como peso estatístico
de uma dada distribuição, que será determinado pelo número de maneiras distintas que podemos
distribuir ni partículas, pertencentes ao i-ésimo subsistema numa célula contendo gi estados, ao
qual denominamos peso estatístico - Ωi. Ele depende, portanto, do número gi de estados na i-ésima
célula, bem como do número ni de partículas que queremos acomodar nela. Ou seja,
Ωi = Ωi ( ni , Gi )
( 11 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
6
Definimos a entropia do i-ésimo subsistema como
Si ( ni ) ≡ k ln Ωi ( ni , Gi )
( 12 )
Utilizamos o princípio da independência estatística para escrever o peso estatístico do sistema,
como um todo, como um produto dos pesos estatísticos de cada um dos subsistemas
Ω = Ω1 ( n1 , g1 ) Ω 2 ( n2 , g 2 ) ⋅⋅⋅ Ωl ( nl , gl ) ≡ ∏ Ωi ( ni , gi )
( 13 )
i
Portanto,
l
l
i =1
i =1
S ( ni ) = k ∑ lnΩi ( ni , Gi ) = ∑ Si ( ni )
( 14 )
Em que l é o número de células. O máximo da entropia definida acima será designado por S.
Esse é o valor da entropia quando o sistema está em equilíbrio.
Assim, a entropia depende da energia e de como essa energia é distribuída pelos diversos
estados do sistema.
Entropia e probabilidade
Outro avanço no entendimento do conceito de entropia foi dado por Boltzmann, ao relacionar
tal grandeza com um conceito estatístico: o conceito de probabilidade.
Se designarmos por P(E) a probabilidade de encontrarmos o sistema em um dos seus estados
acessíveis, e definindo o número de estados acessíveis ao sistema quando a energia do mesmo
está compreendida em uma faixa de energia entre E e E + dE por Ω, então, no ensemble canônico,
esse número depende da energia:
Ω = Ω(E)
( 15 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
7
Tendo em vista que a soma sobre as probabilidades deve ser igual 1, e como temos Ω estados
acessíveis, podemos escrever
Ω ( E ) P( E ) = 1
( 16 )
De (000) e (000), segue que, na mecânica estatística clássica, o número de estados acessíveis é
dado por:
Ω(E) =
N
∏d
∫∫∫
3
E ≤ H ( p , x )≤ E + dE i =1
pi d 3 xi
( 17 )
Muitas vezes, é mais fácil determinar o número de estados acessíveis até um determinado valor
da energia E. Designando tal grandeza por Σ(E), o número de estados acessíveis em um certo
intervalo de energias será dado por
Ω ( E ) = Σ ( E + dE ) − Σ ( E ) ≅
d (Σ ( E ))
dE
dE
( 18 )
Definimos a densidade de estados W(E) como sendo a derivada, em relação à energia, de Σ(E):
W (E) ≡
d (Σ ( E ))
( 19 )
dE
Todas essas grandezas físicas podem ser calculadas tanto no contexto clássico quanto no
quântico. No contexto clássico, a grandeza física Σ(E) é dada pela integral
Σ(E) =
N
∫∫∫ ∏ d
H ( p , x )≤ E i =1
3
pi d 3 xi
( 20 )
Tendo em vista o resultado de probabilidade igual a priori, podemos agora associar o conceito
de entropia a partir de conceitos estatísticos. Definimos a entropia de um sistema físico como
sendo, a menos de uma constante, o logaritmo da probabilidade de encontrarmos o sistema em
qualquer um dos seus estados acessíveis. Ou ainda, o número de estados acessíveis ao sistema
quando dotado de energia E.
S ( E ) ≡ −k ln P( E ) = k ln Ω( E )
( 21 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
8
De outra forma:
S ( E ) ≡ k ln W ( E )
( 22 )
Como regra geral, a entropia é função da energia e do volume. Escrevemos
S = S ( E ,V )
( 23 )
Quando se atinge o equilíbrio termodinâmico, o sistema faz uso do maior número possível de
estudos disponíveis. Ou seja, no equilíbrio a entropia é máxima.
Quando um sistema termodinâmico experimenta uma transformação, sua entropia pode ou
não se alterar. Em geral, ela se altera.
Figura 6: Depois de algum tempo, a segunda situação é muito mais provável.
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
9
Combinando as duas leis
Tendo em vista que a entropia depende da energia e do volume S(E, v), uma variação infinitesimal
da entropia pode ser escrita com uma soma das variações da energia (dE) e de volume ocupado
pelo sistema macroscópico:
dS =
∂S
∂S
dΕ +
dV
∂Ε v
∂V Ε
( 24 )
Quando em equilíbrio, podemos falar de temperatura do sistema, definida em termos de taxa
de variação, como:
1 ∂S
=
T ∂Ε v
( 25 )
Portanto:
dS =
1
∂S
dE +
dV
T
∂V Ε
( 26 )
Utilizando a segunda lei da termodinâmica, resulta que:
dQ 1
∂S
= dΕ +
dV
T
T
∂V Ε
( 27 )
Multiplicando a equação acima pela temperatura T, obtemos:
dQ = d Ε + T
∂S
dV
∂V Ε
( 28 )
Por outro lado, tendo em vista que:
dQ = dE + PdV
( 29 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
10
Segue da primeira lei (000) e da segunda lei (000) combinadas que
P =T
∂S
∂V
( 30 )
Ε
Ou seja, a pressão está relacionada à taxa de variação da entropia.
Finalmente, podemos escrever:
d Ε = ΤdS − PdV
( 31 )
Ou seja, de (000), podemos pensar a energia como sendo função da entropia e do volume.
Suas derivadas parciais têm uma interpretação bem simples:
P=
∂E
∂V
( 32 )
S
A pressão é a taxa de variação da energia com respeito ao volume na medida em que tal taxa é
determinada quando a entropia do sistema é mantida fixa.
T=
∂E
∂S V
( 33 )
Ou seja, a temperatura do sistema em equilíbrio é igual à taxa de variação da energia em respeito
à entropia, quando no cálculo dessa taxa mantemos o volume do sistema fixo. Quanto maior a
temperatura, maior será a variação da energia.
Número de estados acessíveis em um gás livre
Para entendermos o conceito de estudos disponíveis para um sistema, analisemos o número
 
de estados da partícula livre. Nesse caso, o estado é caracterizado pelo par de coordenadas ( x , p ).
 
O número de estado numa célula no espaço de fase xx intervalo de valores de p e r é dado por:

d =d 3 pd 3 x
( 34 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
11
Assim, o número de estado para energias até um valor E é dado por:
W ( E ,V ) =
∫
E<
p2
em
d 3 pd 3 x = V 4π∫
V 2 mE
0
dpp 2 = V
3
4π
( 2mE ) 2
3
( 35 )
Consideramos agora o caso de um gás ideal contendo N moléculas. Para um sistema constituído
de um número N de partículas, o estado clássico e microscópico desse sistema é caracterizado por
N pares de grandezas:  
 
 
 
[ r1, p1 ] , [ r2 , p2 ] ,....[ ri , pi ] ,.....[ rN , pN ])
( 36 )
em que cada par representa a velocidade e a posição de cada um dos constituintes.
O estado microscópico para o qual essas grandezas assumem valores diferentes, por exemplo:
 
 
 
 
[ r1′, p1′ ] , [ r2′, p2′ ] ,....[ ri′, pi′] ,.....[ rN′ , p′N ])
( 37 )
Ocorre com igual probabilidade, pois não há como distingui-lo de outros tantos, desde que sua
energia seja a mesma do estado microscópico descrito por (000).
Resta-nos agora contar o número de estados microscópicos acessíveis ao sistema. No caso do
gás livre, todos os microsestados satisfazendo à condição:
p12 p2 2 p32
p 2
+
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + N = E
2m 2m 2m
2m
( 38 )
São estados acessíveis ao sistema. Devemos determinar, portanto, a integral
N
Σ(E) =
∫∫∫ ∏ d
H ( p , x )≤ E i =1
3
pi d 3 xi
( 39 )
A integração sobre as posições nos leva ao resultado:
Σ(E) = V N
N
∫∫∫ ∏ d
i =1
p 2
p12
+⋅⋅⋅+ N ≤ E
2m
2m
3
pii
( 40 )
Pode-se demonstrar que a entropia de um gás ideal é dada por

 V ( 2mE ) 3 2  

S ( E ,V ) = k  − S ( N ) + N log 


H0




( 41 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
12
É uma constante que tem dimensão de momento angular, em que H0 e S(N) dependem apenas
do número de partícula. Para grandes valores de N, temos
3
3 
4π 
S ( N ) = − N log N + N 1 + log 
e 
2
2 
( 42 )
1 ∂S
3K N
=
=
⋅
T ∂E V
2 E
( 43 )
3
E = kT
2
( 44 )
p ∂S
1
=
= Nk
T ∂V
V
( 45 )
pV − NkT
( 46 )
Para um gás ideal, temos
Ou seja,
Por outro lado,
De outra forma,
Expansão livre de um gás
Consideremos o caso de expansão livre de um gás ideal contendo N moléculas. Antes e depois
da expansão, a energia é a mesma. No entanto, este é um processo irreversível. Ou seja, em
nenhum momento se observará todo o gás no compartimento do qual o gás foi liberado.
Figura 7
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
13
Nesse caso, uma vez que o sistema não troca calor e não realiza trabalho, temos:
dQ = 0
dτ = 0
( 47 )
Consequentemente, de acordo com a primeira lei da termodinâmica, sua energia não varia:
dE = 0
( 48 )
Portanto, sua temperatura permanece a mesma. A entropia do gás livre aumenta, isso porque
o número de estados acessíveis ao sistema composto por N moléculas se alterou, uma vez que o
volume se alterou. Ou seja, o sistema dispõe agora de mais pontos no espaço de fase para serem
ocupados. De (000) e (000), segue que:
V 
∆S = Nk ln  2 
 V1 
( 49 )
Como o processo é irreversível, notamos que:
/
∆S > dQ
( 50 )
A disponibilidade de um sistema físico em relação ao do número de estados é um fator limitante em
relação à ocorrência de processos que ocorrem nele, pois esse número pode se manter constante ou
aumentar. É nesse fato que se baseia o princípio do aumento da entropia em processos irreversíveis.
Quando se atinge o equilíbrio termodinâmico, o sistema faz uso do maior número possível de
estudos disponíveis. Ou seja, no equilíbrio a entropia é máxima.
Entropia e calor
De acordo com o enunciado da segunda lei da termodinâmica, se uma substância absorve
(ou fornece) uma quantidade de calor dQ, sua entropia sofre uma variação, de tal forma que:
dS ≥
dQ
T
( 51 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
14
Sendo (000) uma diferença exata, pode-se afirmar que, durante um processo termodinâmico, a
variação de entropia é tal:
SB − S A ≥ ∫
B
A
dQ
T
( 52 )
Pode-se enunciar a segunda lei de termodinâmica com a afirmação de que a entropia é uma variável
termodinâmica que, ao longo de um caminho, sua variação depende apenas dos pontos extremos.
No caso de processos irreversíveis, escrevemos:
S ( A) − S ( B ) > ∫
A
B
dQ
T
( 53 )
No caso de um processo isotérmico e reversível, como numa transição de fase:
∆S =
∆Q
T
( 54 )
Figura 8
Assim, podemos relacionar o calor latente com o incremento da entropia do sistema. De fato,
lembrando a definição de calor latente, obtemos a relação
∆S =
mL
T
( 55 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
15
Portanto, o calor latente pode ser escrito em termos da variação de entropia, como:
L=
T
∆S
m
( 56 )
Ao longo de um ciclo (como SB = SA), podemos escrever:
∫
dQ
≤0
T
( 57 )
O sinal indicando a igualdade se aplica ao caso de transformações reversíveis.
Podemos enunciar a segunda lei da termodinâmica a partir da seguinte afirmação:
Em todo processo ocorrendo num sistema isolado,
sua entropia ou aumenta ou se mantem constante.
Assim, no estado de equilíbrio, a entropia atinge o valor máximo.
Quando os sistemas estão em interação, um dos subsistemas pode ter sua entropia reduzida.
Operação das máquinas térmicas
Uma máquina a vapor opera de tal forma a converter calor em trabalho: ou seja, ela utiliza calor
para realizar tarefas, ao retirar calor de alguma fonte e transferi-lo para outra sob a forma de
trabalho mecânico. Isto requer que os dois corpos tenham temperaturas diferentes (T2 e T1), em
que admitiremos que T2 > T1. Com isso, pode-se assegurar que haverá trocas de calor entre eles.
Além dos corpos a diferentes temperaturas, para sua operação, uma máquina a vapor
requer uma substância capaz de se expandir durante sua operação. A substância é então colocada
em contato com o corpo a uma temperatura mais alta (T2). Uma quantidade de calor Q2 é retirada
do corpo quente (de temperatura T2) pela substância que, ao se expandir, realiza trabalho τ2,
transmitido aos corpos vizinhos.
Em seguida, a substância é colocada em contato com o corpo frio (à temperatura T1) e transfere
a ele uma quantidade de calor Q1 a expensas de um trabalho τ1, realizado pelas forças externas.
Nesse estágio, a substância é comprimida.
Figura 9
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
16
Figura 10
A máquina deve operar por ciclos. Com isso, asseguramo-nos que ela opere de forma contínua.
O processo de compressão deve levar a substância ao mesmo estado termodinâmico no qual ela
estava antes de ser colocada em contato com o corpo quente. Assim, ao longo de um ciclo, não
haverá variação de energia interna da substância,
∆E = E2 − E1 = 0
( 58 )
Q1 + τ1 = Q2 + τ2
( 59 )
consequentemente:
O que implica que o trabalho resultante é igual à diferença entre o calor absorvido do corpo
quente e o calor cedido ao corpo frio. Ou seja:
τ = Q2 − Q1
( 60 )
Definimos a eficiência (η) ao longo do ciclo como a relação entre o trabalho resultante e a
quantidade de calor absorvido.
η=
τ
Q
= 1− 1
Q2
Q2
( 61 )
O processo de operação de uma máquina térmica, como descrito anteriormente, é um
esquema abstrato. No entanto, as características essenciais de máquinas térmicas reais podem ser
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
17
incorporadas nesse esquema simples. Gases ou vapor muitas vezes são, na prática, as substâncias
que experimentam contrações (redução do seu volume) e expansões. Geralmente, o meio no qual
a máquina opera é o meio ambiente, que se constitui, assim, do corpo frio. Um aquecedor de água,
quando vapor, ou uma mistura de combustíveis numa câmara de combustão se constituem, para
usos práticos, em corpos quentes.
Em um refrigerador, o ciclo é invertido. No entanto, ele requer os mesmos componentes: dois
corpos a temperaturas diferentes e uma substância.
O ciclo de Carnot
Figura 11
Carnot imaginou uma máquina operando em ciclos especiais, os chamados ciclos de Carnot.
Pode-se mostrar que nenhuma máquina é mais eficiente do que aquela operando nessas
condições, o que a tornaria uma máquina ideal, pois operaria sem perdas. Utilizaremos a segunda
lei da termodinâmica para estabelecer a eficiência de uma máquina de Carnot.
O ciclo de Carnot, por outro lado, é composto por quatro transformações: duas isotérmicas e
duas adiabáticas.
Na primeira transformação do ciclo de Carnot, a substância se encontra em contato com o corpo
quente (temperatura T2) e este primeiro processo é reversível. Para tal, ele acontece lentamente,
passando por sucessivos estados de equilíbrio.
Figura 12
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
18
Na primeira transformação, a entropia do corpo quente se reduziu pela quantidade.
Q2
T2
( 62 )
Consequentemente, a entropia da substância aumentou, de acordo com a expressão:
∆S =
Q2
T2
( 63 )
Na terceira transformação do ciclo de Carnot, a substância é colocada em contato com o
corpo frio, a uma temperatura T. Os mesmos comentários em relação à primeira transformação se
aplicam a esse caso. Em particular, a entropia do corpo quente aumenta enquanto a entropia da
substância é reduzida por um valor.
∆S3 = −
Q1
T1
( 64 )
A segunda e a quarta transformações são adiabáticas, ocorrendo por meio de processos
reversíveis, a variação de entropia é nula. Ou seja,
∆S 2 = ∆S 4 = 0
( 65 )
Levando-se em conta que, ao longo do ciclo, a variação de entropia é nula, obtemos:
∆S =
Q2 Q1
− =0
T2 T1
( 66 )
Portanto, em um ciclo de Carnot temos:
Q2 T2
=
Q1 T1
( 67 )
Consequentemente, a eficiência de uma máquina de Carnot depende apenas das temperaturas
do corpo quente e do corpo frio: ou seja, de (000) e (000), segue que:
η = 1−
T2
T1
( 68 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
19
O curioso desse resultado é que ele independe da substância utilizada.
Figura 13
A eficiência máxima de uma máquina térmica operando entre duas temperaturas é sempre
menor do que uma máquina operando em ciclos de Carnot. Escrevemos:
η ≤ 1−
T2
T1
( 69 )
A Terceira Lei da Termodinâmica
O conceito de entropia é utilizado também na formulação da terceira lei da termodinâmica.
De acordo com essa lei:
A entropia de um sistema termodinâmico tende a zero
quando sua temperatura tende a zero.
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
20
Na realidade, tal enunciado é formulado para um cristal perfeito.
O fato é que um sistema contendo partículas bosônicas tende a ocupar o seu estado de energia
mais baixa. Essa ocupação macroscópica recebe o nome de condensação de Bose-Einstein.
Figura 14
No limite em que a temperatura tende a zero, resta apenas um estado microscópico acessível ao
sistema. Portanto, nesse limite:
=
S k=
ln1 0
( 70 )
Para um gás livre, esse estado é aquele no qual todas as partículas estariam em repouso. Ou seja,
 


p1 = p2 = ⋅⋅⋅⋅⋅ = pi = ⋅⋅⋅⋅⋅ = pN = 0
( 71 )
Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
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Termodinâmica » Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques e Valdir Bindilatti.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Mônica Gama.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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