1 1a Lista de Exercícios Força Elétrica – Campo Elétrico – Lei de

1
1a Lista de Exercícios
Força Elétrica – Campo Elétrico – Lei de Gauss
R
θ
P
1. Uma carga de 3, 0µC está afastada 12, 0cm de uma
carga de −1, 5µC. Calcule o módulo da força que atua
em cada carga.
Figura 2: Exercício 7.
2. Qual deve ser a distância entre duas cargas pontuais
q1 = 26, 0µC e q2 = −47, 0µC para que o módulo da
força de atração elétrica entre elas seja de 5, 7N ?
Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme
q colocada à distância ρ do fio (figura 3).
3. Duas pequenas esferas estão positivamente carregadas. O valor total das duas cargas é de 5, 0 × 10−5 C.
As esferas repelem-se com uma força de 1, 0N , quando
estão separadas por uma distância de 2, 0m. Sendo
assim, calcule a carga em cada uma delas. Trate-as
como cargas pontuais.
4. Duas cargas fixas de 1, 0µC e −3, 0µC estão fixas
e separadas por uma distância de 10, 0cm. Onde você
deverá localizar uma terceira carga, para que nenhuma
força atue sobre ela?
ρ
O
q
θ
z
dz
Figura 3: Exercício 8.
5. Duas partículas carregadas são mantidas fixas no
plano xy nas posições x1 = 3, 5cm; y1 = 0, 50cm e
x2 = −2, 0cm; y2 = 1, 5cm. Elas possuem cargas
q1 = 3, 0µC e q2 = −4, 0µC , respectivamente. (a)
Determine o módulo e a direção da força elétrica na
carga q2 . (b) Onde deverá ser localizada uma terceira
carga q3 = 4, 0µC para que a resultante das forças que
atuam em q2 seja nula?
6. As cargas q , 2q e 3q são colocadas nos vértices de
um triângulo equilátero de lado a, como mostrado na
figura 1. Uma carga Q de mesmo sinal que as outras
três é colocada no centro do triângulo. Obtenha a força
elétrica resultante sobre Q (módulo e direção).
2q
9. Uma linha de carga com uma densidade uniforme
de 35nC/m encontra-se ao longo da linha y = −15cm,
entre os pontos com corrdenadas x = 0 e x = 40, 0cm.
Encontre a força elétrica que atua numa carga de 1, 0µC
colocada na origem.
10. Duas pequenas esferas condutoras com 10, 0g de
massa estão suspensas por dos fios de seda de 120cm de
comprimento e possuem a mesma carga elétrica q, como
mostrado na figura 4. Considerando que o ângulo θ é tão
pequeno que tan θ possa ser aproximada por sin θ e que
este sistema esteja em equilíbrio, com x = 5, 0cm, calcule
o valor de q.
a
a
θ θ
Q
L
L
q
3q
a
x
q
q
Figura 1: Exercício 6.
Figura 4: Exercício 10.
7. Uma carga Q é distribuída uniformemente sobre um
fio semicircular de raio R. Calcule a força com que atua
sobre uma carga de sinal oposto −q colocada no centro
(ver figura 2).
8. Um fio retilíneo muito longo (trate-o como infinito)
está eletrizado como uma densidade linear de carga λ.
11. A figura 5 mostra uma longa barra isolante sem
massa, com comprimento L, presa por um pino no seu
centro e equilibrada com peso W a uma distância x de
sua extremidade esquerda. Nas extremidades esquerda
e direita da barra são colocadas cargas positivas q e 2q,
respectivamente. A uma altura h imediatamente abaixo
dessas cargas está fixada uma carga positiva +Q. (a)
2
Determine a distância x para o peso na situação de equilíbrio da barra. (b) Qual deverá ser o valor de h para
que a barra não exerça nenhuma força vertical sobre o
suporte quando em equilíbrio?
L
x
2q
q
h
W
Q
Q
Figura 7: Exercício 15.
Figura 5: Exercício 11.
12. Quatro cargas pontuais idênticas (q = 10µC) estão
localizadas nos vértices de um retângulo, como mostrado
na figura 6. As dimensões do retângulo são L = 60cm
e W = 15cm. Calcule a magnitude e a direção da força
elétrica resultante exercida na carga situada no vértice
esquerdo inferior pelas outras três cargas.
y
q
q
16. Duas cargas pontuais de módulo 2, 0 × 10−7 C e
8, 5 × 10−8 C, respectivamente, estão 12cm distantes uma
da outra. (a) Qual é o campo elétrico que cada uma
produz no lugar da outra? (b) Qual é a força que atua
sobre cada uma delas?
17. Duas cargas pontuais estão fixas e separadas por
uma distância d, como mostrado na figura 8. Esboce
E (x) no ponto P , supondo x = 0 na carga da esquerda.
Considere ambos os sinais de x. Esboce E positivo se
o campo elétrico apontar para a direita e negativo se
apontar para a esquerda. Considere q1 = 1, 0µC; q2 =
3, 0µC e d = 10cm.
W
q
L
q
x
Figura 6: Exercício 12.
13. Uma linha de carga está uniformemente carregada
e encontra-se sobre o eixo ox, de modo que seu centro
esteja na origem de sistema de coordenadas. Esta linha
possui 50cm de comprimento e sua carga total vale 3µC.
Uma carga pontual de valor −5µC está sobre o eixo oy,
a uma distância y do centro da linha. (a) Calcule a
força elétrica da linha sobre a carga pontual em função
de y. (b) Qual a direção e sentido desta força? (c)
Mostre que se y for grande em relação ao comprimento
da linha, esta se comporta como uma carga pontual. (d) Neste caso, qual o valor da força elétrica para
y = 10m? (e) Compare este resultado com o valor exato.
14. Uma partícula α, o núcleo de hélio, tem massa de
−
6, 7 × 10−27 kg e uma carga de 2 e. Quais são o módulo e
a direção do campo elétrico que equilibrará o seu peso?
15. Na figura 7 as cargas estão localizadas nos vértices
de um triângulo equilátero. Para qual valor de Q, tanto
em sinal como em magnitude, o campo elétrico total se
anula no centro do triângulo?
Figura 8: Exercício 17.
18. Duas cargas, q1 = 2, 1µC e q2 = −8, 4µC, estão
fixas e distantes 50cm uma da outra. Determine o ponto
ao longo da linha reta que passa pelas cargas no qual o
campo elétrico é nulo.
19. Calcule o valor da força devido a um pequeno dipolo
elétrico com momento de dipolo de valor 3, 6 × 10−29 Cm
sobre um elétron distante 25nm ao longo do eixo do
dipolo.
20. Um anel, com 2, 5cm de raio, está uniformemente
carregado com uma densidade linear de carga de valor
3, 0nC/m. O anel está no plano xy com seu centro na
origem. Determine o ponto ao longo do eixo do anel,
eixo z, no qual o campo elétrico produzido pelo anel
é máximo. Calcule a intensidade deste campo elétrico
máximo.
21. Uma barra isolada “semi-infinita” possui uma carga
constante por unidade de comprimento de valor λ. Mostre que o campo elétrico no ponto P da figura 9 forma
3
um ângulo de 45o com a barra e que este resultado é
independente da distância R.
Figura 9: Exercício 21.
22. Uma linha de carga com uma densidade uniforme
de 35x, em nC/m, encontra-se ao longo da linha
y = −15cm, entre os pontos com corrdenadas x = 0 e
x = 40, 0cm. Encontre o campo elétrico criado por esta
distribuição de cargas na origem.
23. Uma carga Q é distribuída sobre um fio semicircular
com 5, 0cm de( raio,
de modo que a densidade linear de
)
carga é 35 cos θ2 , em nC/m. (a) Calcule a carga elétrica
total desta linha de cargas e (b) calcule o campo elétrico
criado por ela no centro (ver figura 10).
R
25.
Um próton (1, 67 × 10−27 kg) acelera a partir do repouso em um campo elétrico uniforme de
640N/C. Algum tempo depois, sua velocidade alcança
1, 20 × 106 m/s. Calcule a aceleração do próton, o tempo
que leva para ele atingir esta velocidade, a distância
por ele percorrida e sua energia cinética nesta velocidade.
26. Em um canal de irrigação, cuja largura é w = 3, 22m
e profundidade d = 1, 04m, a água flui com uma velocidade de 0, 207m/s. Determine o fluxo de massa através
das seguintes superfícies: (a) uma superfície de área wd,
totalmente na água e perpendicular ao fluxo; (b) uma
superfície de área 3wd/2, da qual wd está na água e
perpendicular ao fluxo; (c) uma superfície de área wd/2,
totalmente na água, perpendicular ao fluxo; (d) uma
superfície de área wd metade na água e metade fora,
perpendicular ao fluxo; (e) uma superfície de área wd,
totalmente na água, fazendo um ângulo de 34o com a
direção do fluxo.
27. Um cubo com 1, 35m de aresta está orientado com
um dos vértice na origem de um sistema cartesiano, como
mostrado na figura 12. Nesta região existe um campo
elétrico uniforme. Calcule o valor do fluxo elétrico que
atravessa a face direita do cubo, que é paralela ao plano
xz, se o campo elétrico, em newton/coulomb, for dado
por: (a) 6î; (b) −2ĵ; (c) −3î + 4k̂. (d) Qual é o valor
total do fluxo através de todo o cubo para cada um destes
campos?
θ
P
z
Figura 10: Exercício 23.
24. Um elétron (9, 1 × 10−31 kg), com velocidade inicial
de 3000km/s, horizontal para a direita, penetra numa
região onde existe um campo elétrico uniforme dado por
⃗ = 200N/C ĵ. Este campo uniforme é gerado por duas
E
placas paralelas, de comprimento L = 0, 100m (figura
11). Calcule (a) a aceleração do elétron enquanto ele estiver na região do campo; (b) o tempo que demora para
o elétron atravessar esta região e (c) o deslocamento
vertical do elétron após atravessar a região do campo.
Figura 11: Exercício 24.
y
x
Figura 12: Exercício 27.
28. Determinou-se, através de experiências, que o campo
elétrico situado numa certa região da atmosfera terrestre
está dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de
300m, o campo vale 60N/C e, numa altitude de 200m,
ele vale 100N/C. Determine a carga total resultante
contida num cubo de 100m de aresta e localizado numa
altitude entre 200m e 300m. Despreze a curvatura da
Terra.
29. Determine o fluxo líquido através do cubo do
exercício 27. se o campo elétrico for dado por: (a)
⃗ = 3y ĵ e (b) E
⃗ = −4î + (6 + 3y) ĵ. (c) Em cada caso,
E
qual é o valor da carga elétrica contida no interior do
4
cubo?
30. Uma esfera condutora uniformemente carregada,
de 1, 2m de diâmetro, possui uma densidade superficial
de cargas de 8, 1µC/m2 . (a) Determine a carga sobre
a esfera. (b) Qual é o valor do fluxo elétrico total que
está deixando a superfície da esfera?
31. Uma infinita linha de cargas produz um campo
de 4, 5 × 104 N/C a uma distância de 2, 0m. Calcule a
densidade de carga linear.
32. Considere um tubo de metal cujas paredes são finas.
O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de
comprimento λ sobre sua superfície. Obtenha expressões
para E para várias distâncias r a partir do eixo do
tubo, considerando ambas: (a) r > R e (b) r < R.
Faça um gráfico dos seus resultados para a faixa de
r = 0 a r = 5, 0cm, supondo que λ = 2, 0 × 10−8 C/m e
R = 3, 0cm.
Figura 13: Exercício 38.
39. Uma esfera isolante sólida de raio a tem uma densidade de carga uniforme ρ e carga total Q. Uma esfera
condutora oca, não carregada, cujos raios interno e externo são b e c, como mostra a figura 14, é concêntrica
a essa esfera. (a) Encontre a magnitude do campo elétrico nas regiões r < a, a < r < b, b < r < c e r > c.
(b) Determine a carga induzida por unidade de área nas
superfícies interna e externa da esfera oca.
33. Dois cilindros carregados, longos e concêntricos,
têm raios de 3, 0cm e 6, 0cm. A carga, por unidade de
comprimento, sobre o cilindro interno é de 5, 0µC/m
e sobre o cilindro externo é de −7, 0µC/m. Calcule o
campo elétrico em: (a) r = 4, 0cm e (b) r = 8, 0cm.
34. Cargas são distribuídas uniformemente através de
um cilindro não condutor infinitamente longo de raio R.
(a) Mostre que E a uma distância r do eixo do cilindro
ρr
(r < R) é dado por E = 2ε
, onde ρ é a densidade
o
volumétrica de cargas. (b) Que resultado podemos
esperar para r > R?
35. Uma placa metálica de 8, 0cm de lado possui uma
carga total de 6µC. (a) Usando a aproximação de uma
placa infinita, calcule o campo elétrico 0, 50mm acima
da superfície da placa e próximo do seu centro. (b)
estime o valor do campo a uma distância de 30m.
36. Uma esfera condutora de 10, 0cm de raio possui uma
carga total de valor desconhecido. Se o campo elétrico a
15cm do centro da esfera é igual a 3000N/C e aponta
radialmente para dentro, qual é o valor da carga total
da esfera?
37. Duas esferas carregadas e concêntricas têm raios
de 10cm e 15cm. A carga sobre a esfera interna é de
4, 0 × 10−8 C e sobre a esfera externa é de 2, 0 × 10−8 C.
Calcule o campo elétrico em (a) r = 12cm e em (b)
r = 20cm.
38. A figura 13 mostra uma casca esférica, feita de material isolante, com densidade uniforme de carga ρ. Faça
um gráfico da variação de E com r (distância do ponto
considerado ao centro da casca no intervalo de 0 a 30cm).
Suponha que ρ = 1, 0µC/m3 ; a = 10cm e b = 20cm.
Figura 14: Exercício 39.
40. Uma esfera condutora sólida com raio de 2, 0cm tem
carga de 8, 0µC. Uma casca esférica condutora com raio
interno de 4, 0cm e raio externo de 5, 0cm é concêntrica
com a esfera sólida e tem uma carga total de −4, 0µC.
Encontre o campo elétrico a uma distância do centro
dessa configuração de carga de r = 1, 0cm, r = 3, 0cm,
r = 4, 5cm e r = 7, 0cm.
41. Um pedaço de isopor de 10, 0g tem uma carga
líquida de −0, 70µC e flutua acima do centro de uma
folha horizontal grande de plástico que tem densidade
de carga uniforme sobre sua superfície. Qual é a carga
por unidade de área sobre a folha plástica?
42. Uma placa quadrada de cobre de 50, 0cm de lado
não tem carga líquida alguma e é colocada em uma
região de campo elétrico uniforme de 80kN/C orientado
perpendicularmente à placa. Encontre a densidade de
carga de cada face da placa e a carga total em cada face.
43. Uma casca cilíndrica de raio 7, 00cm e comprimento
de 240cm tem sua carga distribuída uniformemente
sobre sua superfície curva. A magnitude do campo
elétrico em um ponto radialmente distante 19, 0cm do
seu eixo (medido a partir do centro da casca) é de
36, 0kN/C. Encontre (a) carga líquida sobre a casca e
(b) o campo elétrico em um ponto a 4, 00cm do eixo,
5
medido radialmente para fora a partir do eixo da casca.
44. Resolva o exercício 39. supondo dois cilindros longos
e concêntricos, como mostrados na figura 15. O cilindro
interno, de raio a, é isolante, maciço e possui densidade
de carga por unidade de comprimento constante igual a
λ. O cilindro oco concêntrico, de raios interno b e externo
c, é condutor e está descarregado. Considere a situação
de equilíbrio eletrostástico.
Figura 15: Exercício 44.
RESPOSTAS**
1. F = 2, 81N
2. r = 1, 39m
3. 38, 4µC e 11, 6µC
4. −13, 66cm a esquerda da carga de 1µC, supondo que
esta esteja carga esteja na origem
5. F = 34, 56N e θ = −10, 3o ; x3 = −8, 4cm e y3 =
2, 7cm
√
6. Fx = 3 3kqQ/a2 e Fy = 0. Direção horizontal para
a direita.
7. Fy = 2KqQ
πR2 . Direção vertical para cima.
8. F = 2Kqλ/ρ, na direção radial.
9. Fx = −1, 36mN ; Fy = 1, 97mN ; F = 2, 39mN ; θ =
−55, 4o
10. ± 23, 8(nC
√
)
KqQ
W h2
L
2
3KqQ
W
11. x =
1+
;h=
12. Fx = −4, 79N ; Fy = −40, 5N ; θ = 83, 2o
13. Fy = √ 0,135 2 , vertical para baixo. Se y 2 >>
y
0,0625+y
0, 0625 Fy ≈ 0,135
y 2 . Em y = 10m Fy = 0, 00135N enquanto que o valor exato é Fy = 0, 001348...N
14. E = 20, 5 × 10−8 N/C
15. Q = 1µC
16. E1 = 0, 125 × 106 N/C, E2 = 0, 53125 × 105 N/C.
F12 = F21 = 0, 010625N
18. −50cm
19. 6, 63 × 10−15 N
√
20. E é máximo em z = ±R/ 2. Neste caso Emax =
2, 61kN/C.
22. Ex = 242N/C; Ey = 204N/C; 139, 9o
23. 3, 5 nC; Ex = 4, 2 × 103 N/C; Ey = 8, 4 × 103 N/C;
63, 4o
24. −3, 52 × 1013 m/s2 ĵ; 33, 3ns; −1, 95cm
25. 19, 6µs; 11, 7m; 1, 2 × 10−15 J
26. 693kg/s; 693kg/s; 346kg/s; 346kg/s; 0, 575m3 /s
27. 0; −3, 645N m2 /C; 0; 0
28. 3, 54µC
29. 7, 38N m2 /C; 7, 38N m2 /C; 65, 3pC
30. 37µC; 4, 2 × 106 N m2 /C
31. 5µC/m
32. 0 para r < R; 2πελo r para r > R
33. 2, 25 × 106 N/C; −4, 5 × 105 N/C
35. 5, 3 × 107 N/C; 60N/C
36. −7, 5nC
37. 0, 25 × 105 N/C; 0, 135 × 10(5 N/C )
38. E = 0 para r < a; E = 3ερo r −
(
)
E = 3εoρ r2 b3 − a3 para r > b
39.
40.
41.
42.
43.
44.
a3
r2
para a < r < b;
Q
E = 4πεQo r2 para r > c; σext = 4πc
2
6
6
0; 80 × 10 N/C; 0; 7, 3 × 10 N/C
−2, 5 × 10−6 C/m2
±708nC/m2 ; ±177nC
913 nC
λ
E = 2πελo r para a < r < b; σint = − 2πb
; σext =
λ
2πc
**Caso seja percebido algum equívoco nas respostas, por
favor, me avise.