Mecanica da Particula - Instituto de Física / UFRJ

Mecânica da Partícula(FIW121)
http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Prof. Antônio Carlos
17/7/2013
Instituto de Física-UFRJ
[email protected]
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Prof. Antônio Carlos ([email protected])
Departamento de Física Nuclear,
Sala A-307
Objetivos: Apresentar os princípios básicos da Mecânica Clássica, habilitando o aluno a resolver problemas
elementares acerca do movimento e suas causas.
Ementa: Sistemas de referência e sistemas de coordenadas. As leis do movimento: a lei da inércia; referenciais
inerciais e não-inerciais; a segunda lei de Newton; a lei da ação e reação. A realização de medidas indiretas. Trabalho
de uma força; energia cinética; teorema trabalho-energia cinética; forças conservativas e forças dissipativas; energia
potencial; energia mecânica e as condições para sua conservação. Momento linear e sua conservação. O princípio de
relatividade.
Referências
Física I - Mecânica (Livro Texto)
Sears & Zemansky - Young & Freedman
12a. Edição - Pearson Addison-Wesley
Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica
Halliday-Resnick - Jearl Walker
8a. Edição - LTC Grupo GEN
Curso de Física Básica 1 - Mecânica
H. Moysés Nussenzweig - Ed. Edgar Blücher LTDA
Física - Um curso universitário - Volume 1 – Mecânica
Marcelo Alonso & Edward J. Finn - Ed. Edgar Blücher
Física 1
Halliday-Resnick - Krane
4a. Edição - LTC
Critério de Avaliação
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As notas parciais N1 e N2 serão composta cada uma por 1 prova (70%) + listas de exercícios feitos em
sala (20%) + testes periódicos (10%). As listas deverão ser baixadas em
http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Cronograma
Encontro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
atividade
Aula 1
Aula 2
Aula 3
Aula 4
Aula 5
Buzz group
Teste
Aula 6
Aula 7
Aula 8
Buzz group
Teste
Primeira prova
Aula 9
Aula 10
Aula 11
Aula 12
Buzz Group
Teste
Aula 13
Aula 14
Aula 15
Aula 16
Aula 17
Buzz group
teste
Segunda prova
Je hais le mouvement, qui deplace les lignes,et jamais je ne pleure et jamais jê ne ris.
I hate movement, which changes shapes, and never do I weep and never do I laugh.’
Charles Baudelairnee, La Beauté.
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Sugestões para um melhor aproveitamento nesta disciplina:
1- Leia cada tópico abordado antes de ir para a sala de aula. Seu aproveitamento em sala de aula será muito
maior.
2- Participe ativamente da aula. Faça perguntas, responde às questões propostas, faça anotações. Os
resultados das pesquisas em ensino de física mostrar que a participação ativa maximiza o seu
aproveitamento.
3- Após a aula releia o tópico abordado. Resolva os exercícios e problemas propostos no final de cada
capítulo. Para cada hora de aula semanal, recomendamos outra três de estudo em casa. A maioria dos
alunos pensa que para resolver o problema precisa apenas encontrar a fórmula correta e inserir os dados.
Mas não é isto que esperamos de você. A Equação F=ma é fácil de memorizar, difícil de utilizar, e ainda
mais difícil de compreender.
Como funciona a dinâmica da aula
Durante as aulas você será colocado em situações onde terá que pensar, ou seja, ser ativo. As situações
nas quais somos obrigados a pensar são aquelas nas quais temos que responder a questões porque
perguntas exigem uma resposta ativa. A melhor maneira de aprender como resolver problemas é receber
problemas a serem resolvidos. Aprender a pensar não é um processo de absorção, ou seja, assistir
passivamente a uma aula não é efetivo se queremos aprender a pensar. Macacos e crianças foram
treinados a fazerem escolhas cada vez mais refinadas e abstratas e foram capazes de aplicar os princípios
que aprenderam resolvendo problemas fáceis em problemas mais complicados que nunca tinham visto
anteriormente. Conforme os problemas ficaram mais complexos, eles foram capazes de aplicar os
princípios dos problemas anteriores. A prática com problemas simples melhorou e possibilitou a
resolução de problemas mais complexos. Esta habilidade é essencial para o desenvolvimento do poder de
raciocínio do aluno. Quando um aluno recebe um problema a ser resolvido, ele não apenas aplica os
princípios, mas faz combinações dos mesmos para formar novos princípios de ordens superiores. Pensar é
justamente a combinação e aplicação de princípios. O gestaltismo descreve a resolução de problemas
como um processo de alcançar “insights”, através do reconhecimento do problema, pelo ganho de
familiaridade com seus elementos, pela constante reorganização dos elementos, culminando em um
lampejo de compreensão através do encontro da solução. Por exemplo, crianças que foram ensinadas a
encontrar a área de um retângulo através da multiplicação de sua altura por seu comprimento podem
tentar várias maneiras de rearranjar um paralelogramo antes de ter ideia repentina de cortá-lo e formar um
retângulo, de modo a usar a regra aprendida nesta situação nova.
Formato geral da nossa aula:
1) pergunta feita;
2) Estudantes têm tempo para pensar;
3) Estudantes registram ou relatam respostas individuais;
4) Estudantes vizinhos discutem suas respostas;
5) Estudantes registram ou relatam as sua respostas revistas;
6) Feedback para o professor: distribuição de respostas;
7) Explicação da resposta correta;
Dicas para a aula:
1) Leia o tópico a ser apresentado ANTES da aula;
2) não é necessário copiar o material do quadro. Está tudo no livro! Você pode fotocopiar as notas
de aula se desejar;
3) seja ativo!
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“Quem sou eu? De onde vim? O quê devo fazer?
De onde vem o mundo? O mundo pode acabar? O
que é beleza? Todas estas questões possuem um
aspecto em comum: estão relacionadas ao
movimento. Nossa busca por respostas nos leva ao
estudo do movimento em todos os seus detalhes.
Nesta busca, todo aumento na precisão de nossa
descrição do movimento é um passo em direção ao
pico da Montanha do Movimento. Quando
chegarmos ao topo da montanha, poderemos
Fonte: Christopher Schiller, Motion Mountain
saborear o que alcançamos e lembrar as emoções
(adaptado).
que sentimos. Em nossa subida, aprenderemos
como nos movemos, como crescemos, de que
somos feitos.
Teremos a experiência e a compreensão dos vários modos que a beleza aparece na natureza: cores,
formas, ritmos e acima de tudo: simplicidade”
“Primum movere, deinde docere” –Primeiro mova , então ensine. O movimento do coração chama-se motivação.
Ambos os termos possuem a mesma raiz latina
Alguns dos estudiosos do movimento
(ca. 530 a.C.- ca. 460 a.C.). Local: Eleia (perto da atual Nápoles). Argumentava que como
nada vem do nada, a mudança não pode existir. Ele ressaltou a permanência da natureza e
afirmava que toda mudança e todo o movimento é uma ilusão.
Parmenides
(ca 540 a.c.-489 a.c) Local: Éfeso, cidade da Jônia (atual Turquia). Os filósofos de Mileto
(Tales, Anaximandro, Anaxímenes, entre outros) haviam percebido o dinamismo das
mudanças que ocorrem na physis, como o nascimento, o crescimento e a morte, mas não
chegaram a problematizar a questão. Heraclito, inserido no contexto pré-socrático, parte do
princípio de que tudo é movimento, e que nada pode permanecer estático - Panta rei ou
"tudo flui", "tudo se move", exceto o próprio movimento.
Heráclito
(Estagira, 384 a.C.- Atenas, 322 a.C.) filósofo grego aluno de Platão e professor de
Alexandre, o Grande. Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica,
as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a
zoologia. Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão), Aristóteles é visto como
um dos fundadores da filosofia ocidental. Em 343 a.C. torna-se tutor de Alexandre da
Macedónia, na época com 13 anos de idade, que será o mais célebre conquistador do mundo
antigo. Em 335 a.C. Alexandre assume o trono e Aristóteles volta para Atenas, onde funda
o Liceu.
Aristóteles
(Pisa, 1564- Florença,1642). Desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do
movimento. Enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias
precursoras da mecânica newtoniana. Descobriu as manchas solares, as montanhas da Lua,
as fases de Vénus, quatro dos satélites de Júpiter, os anéis de Saturno, as estrelas da Via
Láctea. Estas descobertas contribuíram decisivamente na defesa do heliocentrismo.
Contudo a principal contribuição de Galileu foi para o método científico, pois a ciência
assentava numa metodologia aristotélica.
Galileu Galilei
(1643-1727) inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido
também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Sua obra, Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica, é considerada uma das mais influentes na história da ciência.
Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de
Newton, que fundamentaram a mecânica clássica.
Isaac Newton
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Aula 1 - Vetores
Nome:_______________________________________________________________________________
1a)
b)
c)
d)
e)
Indique se as grandezas a seguir são grandezas escalares (E) ou vetoriais(V):
( ) massa;
( ) carga elétrica;
( ) velocidade;
( ) força;
( ) volume;
2- Algumas vezes falamos de “um sentido do tempo” que evolui do passado para o futuro. Isto significa que
o tempo é uma grandeza vetorial?
3- Com base na figura abaixo, indique as opções corretas:
a) ( ) A + B = C;
b) ( ) B + D = 0 (vetor nulo);
c) ( ) A + C = D;
d) ( ) C + D = F;
4a)
b)
c)
d)
e)
Ainda com base na figura acima, indique as opções corretas
( ) A = F;
( ) B = -D;
( ) C = -E;
( ) D = B;
( ) C=3H+2I;
5a)
b)
c)
d)
e)
Qual o vetor que representa a operação F-A?
( )C
( )D
( ) 2F
( ) 2A
( ) vetor nulo
6a)
b)
c)
d)
Ainda com base na figura acima, é corretoa afirmar que:
( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então tg =3/2;
( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então tg =2/3;
( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então sen =2/3;
( ) se é o ângulo que C faz com a horizontal, então cos =2/3;
7- Com base na figura acima, o módulo de E vale:
a)
( )
5
b) ( ) 13
c) ( ) 3
d) ( ) 2
6
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Aula 2 - Vetores
Nome:_______________________________________________________________________________
1a)
b)
c)
d)
O módulo do vetor A=3i-4j
( ) -25
( ) -5
( )5
( ) 25
2a)
b)
c)
d)
A soma dos vetores A=-1i-1j-1k e B=1i+1j é
( ) -2i-2j-1k
( ) 2i+2j-1k
( ) +1k
( ) -1k
3a)
b)
c)
d)
O produto escalar entre os vetores A=-1i-1j-1k e B=1i+1j é
( )2
( )1
( ) -1
( ) -2
4a)
b)
c)
d)
O ângulo entre os vetores A=2i+3j e B=-3i+2j
( ) 0o
( ) 45o
( ) 60o
( ) 90o
 
5- O que resulta de A A , o produto escalar de um vetor consigo mesmo?
6- Qual é a área do paralelogramo definido pelo vetores A e B com módulos A=2 e B=3 e que fazem um
ângulo de 30o entre si?
a) ( ) 6;
b) ( ) 4;
c) ( ) 3;
d) ( ) 2;
7a)
b)
c)
d)
O produto k j é igual a:
( )i
( )0
( ) -i
( )j
8a)
b)
c)
d)
Se A=1i-1j+1k e B=1i+1j, determine A B.
( ) i+2k
( ) i-j+2k
( ) i+j
( )-i+j+2k
 
   
A e B são vetores diferentes de zero, é possível que A B e A B sejam ambos zero? Explique.
10- Se A B 0 , é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique.
  
11- Se A B 0 , é necessariamente verdadeiro que A=0 ou B=0? Explique.
 
12- O que resulta de A A , o produto vetorial de um vetor consigo mesmo?
  
  
  
13- Quais das seguintes operações são legítimas: a) A. B C ; b) A B C ; c) A. B C ; d)
  
  
A B C ; e) A B C
9- Se
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Para casa:
1- Uma sala tem dimensões 3 x 4 x 5 m3. Uma mosca parte de um de seus cantos e voa para o canto
diametralmente oposto. Qual é o módulo do deslocamento? Poderia sua trajetória ser menor do que este
deslocamento? Escolha um sistema de coordenadas convenientes e escreva este deslocamento na forma
vetorial.
2- Considere

r (t )
um
corpo
em
movimento
cujo
vetor
posição
é
dado
(em
cm)
por
3 cos tiˆ 4 sen tˆj . a) mostre num gráfico em escala o vetor r num determinado instante t; b)
após um intervalo de tempo
deslocamento

r

r (t
t pequeno, mostre no mesmo gráfico o novo vetor r; c) calcule o

t ) r (t ) sofrido pelo corpo no intervalo t; d) calcule
verifique sua orientação para t = 0, /2,
discuta o resultado.

v

r
e
t
e 3 /2; e) calcule r.v e discuta o resultado; f) calcule r ×v e
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Aula 3- Movimento Retilineo
Nome:______________________________________________________________________
“ O movimento está em todo o lugar: amigável e assustador; terrível e lindo. Ele é fundamental para a
nossa existência. Precisamos de movimento para crescer, para aprender, para pensar e para aproveitar
a vida. Assim como todos os animais, dependemos do movimento para obter comida e para sobreviver
aos perigos. Assim como todos os seres vivos, precisamos de movimento para reproduzir, para respirar e
para digerir. Assim como todos os objetos, o movimento nos mantém aquecidos. Tudo que acontece no
mundo é algum tipo de movimento. A fascinação do movimento sempre o fez um objeto de curiosidade.
Por volta do quinto século a.C., na Grécia antiga, seu estudo recebeu um nome: física.” Christopher
Schiller.
Questão de motivação: Todos os motoristas têm as vezes que decidir rapidamente se devem ou não
ultrapassar um sinal amarelo. Cálculos podem revelar algumas situações em que a intuição não ajuda.
Para uma determinada duração do sinal luminoso e para determinadas dimensões de um cruzamento,
quais são as combinações de velocidade inicial e distância que se exigem para parar ? Quais os limites de
velocidade e distância que lhe permitem passar a tempo?
1- Você deseja viajar com uma velocidade média v e percebe que quando está no meio do caminho de seu
destino que sua velocidade média foi v/2. Como você teria que viajar o restante do caminho para obter
uma velocidade média v?
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
) 3v/2;
) 2v;
) 5v/2;
) 3v;
) mais rápido do que a luz;
2- (Mec. Part. 2013/1) Você está fazendo uma viagem de ida e volta a uma velocidade uniforme v de A até
B, e retornar de B até A com uma velocidade constante 2v. Qual é a sua velocidade escalar média?
A)
B)
C)
D)
E)
(
(
(
(
(
) 3v/2;
) 4v/3;
) 5v/2;
) 2v/3;
) não há informação suficiente para encontrar a solução;
3- Um homem exercita seu cão durante uma caminhada de 15 minutos arremessando uma vareta para que
seu cão corra e a traga de volta ao seu dono. De modo a manter o cão correndo pelo maior tempo possível
enquanto caminha, de que forma o homem arremessa a vareta?
A)
B)
C)
D)
(
(
(
(
) à frente dele;
) atrás dele;
) lateralmente;
) em qualquer direção, pois são todas equivalentes.
Considere o diagrama abaixo para responder às duas primeiras questões. O diagrama representa um
objeto movendo-se ao longo de uma superfície horizontal. As posições indicadas no diagrama estão
separadas por intervalos de tempo iguais. O primeiro ponto indica a posição em que o objeto começou a
se mover e o último quando ele voltou a ficar em repouso.
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4- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a velocidade do objeto em função do tempo?
5- Qual dos gráficos seguintes representa melhor a aceleração em função do tempo?
Para responder às próximas três questões, baseie-se no gráfico da velocidade em função do tempo
mostrado a seguir, que representa o movimento de um objeto em uma dimensão
6- Qual é aproximadamente a aceleração média do objeto entre t= 0 e t= 6,0 s?
a) ( ) 3,0 m/s2
b) ( ) 1,5 m/s2
c) ( ) 0,83 m/s2
d) ( ) 0,67 m/s2
e) ( ) N. R. A
7- Qual o espaço percorrido pelo objeto entre t = 0 e t = 6,0 s?
a) ( ) 20 m
b) ( ) 8,0 m
c) ( ) 6,0 m
d) ( ) 1,5 m
e) ( ) N. R. A
8- Qual é aproximadamente a velocidade média do objeto nos primeiros 6,0 s?
10
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a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) 3,3 m/s
) 3,0 m/s
) 1,8 m/s
) 1,3 m/s
) N. R. A.
9- Queda livre: A figura representa uma fotografia múltipla de uma bolinha sendo atirada verticalmente para
cima. A mola, com a bolinha em cima, foi comprimida até o ponto marcado X e então foi solta. A bola
deixou a mola no ponto marcado com Y, e atingiu a altura no ponto marcado Z. Assumindo que a
resistência do ar é desprezível, indique se verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
A) ( ) A maior aceleração da bola foi no
momento em que atingiu o ponto y (ainda em
contato com a mola);
b) B) ( ) A aceleração da bola foi decrescendo
em seu trajeto do ponto Y ao ponto Z.
c) C) ( ) a aceleração da bola foi zero no ponto
Z.
d) D) ( ) a aceleração da bola foi a mesma em
todos os pontos de sua trajetória, do ponto Y
ao Z.
10- Queda livre: Uma pedra é largada do alto de uma torre. Um segundo depois uma segunda pedra é largada.
A separação entre as pedras conforme caem ...
a) ( ) aumenta;
b) ( ) diminui;
c) ( ) permanece constante;
11a)
b)
c)
Na situação acima, a segunda pedra atinge o solo em um tempo..
( ) menor do que um segundo após a primeira;
( ) exatamente um segundo após a primeira;
( ) maior do que um segundo após a primeira;
12a)
b)
c)
Duas pedras são largadas simultaneamente de alturas diferentes. Conforme caem a separação entre elas...
( ) aumenta;
( ) diminui;
( ) permanece a mesma;
13- Na situação acima há um intervalo de tempo entre as chegadas de ambas as pedras ao solo. Suponha que
as pedras são largadas do mesmo modo de alturas superiores mas com a mesma diferença de altura. Então
o tempo entre ambos os impactos...
a) ( ) aumenta;
b) ( ) diminui;
c) ( ) permanece o mesmo;
14A)
B)
C)
D)
E)
Uma pedra é lançada verticalmente para cima e no ponto mais alto de sua trajetória...
( ) a sua velocidade é nula e a aceleração é g;
( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas nulas;
( ) a sua velocidade e a aceleração são ambas não nulas;
( ) a sua velocidade é não nula e a aceleração é g;
( ) depende da velocidade inicial da pedra;
15- Um vídeo é feito sobre um objeto em queda livre (g aponta para baixo). Agora se o vídeo passa de trás
para frente, ele mostrará o objeto acelerando:
A) ( ) para cima;
B) ( ) para baixo;
11
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16- Dois ciclistas viajam a uma velocidade escalar constante de 10 km/h em direção um ao outro. No instante
em que os ciclistas estão afastados de 20 km, uma mosca voa de um ciclista ao outro com uma velocidade
de 25 km/h. A mosca toca o segundo ciclista e retorna rapidamente com a mesma velocidade escalar ao
primeiro ciclista. A mosca continua fazendo este movimento de ida e volta de um ciclista ao outro até que
ambos os ciclistas se encontrem. Qual foi a distância total percorrida nas suas idas e vindas. (Esta questão
pode ser muito simples ou muito difícil dependendo do modo como a resolva)
A) ( ) 20 km;
B) ( ) 25 km;
C) ( ) 50 km;
D) ( ) mais do que 50 km;
E) ( ) este problema não pode ser resolvido com as informações fornecidas;
Resposta da questão de motivação do inicio da aula: Quando se aproxima de um cruzamento no exato
instante em o sinal luminoso passa a amarelo, você escolhe entre parar com o máximo de aceleração
negativa (freiar), ou atravessar com uma aceleração positiva máxima, ou manter a mesma velocidade.
Considere que seu carro está a uma velocidade v quando o sinal muda para amarelo, o cruzamento tem
um comprimento L, e a duração da luz amarela é t, e aceleração máxima que seu carro alcança é a. Em
condições ideais em que o motor responde imediatamente ao acelerador e desprezando o seu tempo de
reação, podemos calcular as distâncias necessárias para as três opções possíveis. Para atravessar o
cruzamento sem problemas, tem de estar a uma distância inferior a d < (v t+a t2/2 – L) . Para parar a
tempo tem de estar a uma distância d> v2/2a . Entre estes extremos você pode optar.
Problemas adicionais (para casa):
1-Um carro inicia um movimento retilíneo, inicialmente com aceleração a=5,0 m/s2 (a velocidade inicial é
nula), então se move uniformemente, e finalmente, desacelera com a mesma taxa a e pára. O tempo total é
25s. A velocidade média durante este intervalo de tempo é 72 km/h. Por quanto tempo o carro se
movimenta uniformemente?
12
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Aula 4- Movimento em 2 e 3 dimensões
Nome: ______________________________________________________________________
1- Um objeto movimenta-se no plano xy com a posição descrita como uma função do tempo dada por r =
x(t) i + y(t) j. O ponto O está em r=0. O objeto movimenta-se na direção de O quando
a) ( ) vx > 0, vy > 0
b) ( ) vx < 0, vy < 0
c) ( ) xvx + yvy < 0
d) ( ) xvx + yvy > 0
2- Um carro viaja uma distância para leste com velocidade de módulo constante v, então prossegue por uma
distância igual com uma velocidade 2v. O que se pode concluir sobre o módulo da velocidade média?
a) ( ) v < 3v/2
b) ( ) v = 3v/2
c) ( ) v > 3v/2
3- Movimento bidimensional. Do topo de um edifício arremessamos três pedras idênticas e com a mesma
velocidade em módulo. A primeira é arremessada para cima, a segunda lateralmente e a terceira para
baixo. Qual pedra estará se movendo mais rapidamente quando atingir o solo?
a) ( ) a primeira;
b) ( ) a segunda;
c) ( ) a terceira;
d) ( ) todas terão a mesma velocidade;
4- Aceleração: a posição de uma partícula que se move no espaço é dada por r(t) = 2t3 i-3tj+5 k , onde t é
dado em segundos e r(t) em metros. A aceleração da partícula é (dica: a derivada de xn é nxn-1)
a) ( ) a(t) = 2t i-(3/t)j+(5/t2) k
b) ( ) a(t) = t3 i-3tj
c) ( ) a(t) = 6t2 i-3j
d) ( ) a(t) = 12 ti
5- Movimento de um projétil. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de módulo v o com um
ângulo o medido da horizontal. Despreze a resistência do ar. Em que momento do movimento a
aceleração no projétil se iguala a zero?
a) ( ) Em algum ponto antes de atingir sua altura máxima;
b) ( ) No ponto mais alto;
c) ( ) Em algum ponto depois de atingir sua altura máxima;
d) ( ) Em nenhum ponto da trajetória;
6- Movimento de um projétil. Um objeto é lançado no ar com uma velocidade inicial dada por vo = vo(cos i
+ sen j) m/s. Despreze a resistência do ar. No ponto mais alto, o módulo da velocidade é
a) ( ) 0.
b) ( ) vocos
c) ( ) vosen
d) ( ) vo.
7- Quando um rifle é disparado contra um alvo distante, a direção do cano não coincide com o alvo. Por quê
não coincide? O ângulo da correção depende da distância ao alvo?
8- No mesmo instante em que o projétil sai horizontalmente do cano de uma arma, você larga um corpo da
mesma altura do cano. Desprezando a resistência do ar, qual dos dois chegará primeiro ao solo?
9- Movimento de um projétil. Ainda sobre o objeto do item anterior, no instante t, o módulo da velocidade é
a) ( ) vo(cos + sen )
b) ( ) vo [(cos )2 + (sen )2]1/2
c) ( ) [(vocos )2 + (vosen -gt)2]1/2
d) ( ) [(vocos -gt)2 + (vosen -gt)2]1/2
13
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Aula 5- Movimento circular, movimento relativo e referenciais
Nome:______________________________________________________________________
Questão de motivação1: É difícil encontrar física mais real do que aquela que pode envolver a nossa
própria morte. Por exemplo, suponha que você conduz um automóvel e que, de repente, vê uma manada
de gado no fim de um cruzamento em T. O quê fazer? Pisar fundo nos freios, sem derrapar e manter a
mesma direção? Curvar a alta velocidade? Ou curvar usando os freios da melhor maneira possível?
Questão de motivação 2: Devemos correr ou caminhar ou caminhar debaixo da chuva para não ficar tão
molhado?
1) Um antiquado disco compacto de vinil gira sobre o prato do aparelho a 5 rpm. Qual é a sua velocidade
angular em rad/s?
a) ( ) /6;
b) ( ) 10 ;
c) ( ) 2 ;
d) ( ) ;
2)
a)
b)
c)
d)
No problema anterior, qual é o seu período em segundos?
( ) 3;
( ) 6;
( ) 10;
( ) 12;
3) Um grão de poeira está sob a superfície de um disco que gira em M. C. U. A equação horária da posição
angular do grão é (t) = - +2 t, onde é dado em radianos e t em segundos. O período de rotação do
disco em segundos é
a) ( ) 2
b) ( ) 1
c) ( ) (1/2 )
d) ( ) 2
4)
a)
b)
c)
d)
(M.C. U) Indique se as afirmações abaixo sobre o M. C. U são verdadeiras (V) ou falsas (F)
( ) a velocidade linear (vetor) é constante
( ) a velocidade angular é constante
( ) o módulo da velocidade linear é constante
( ) a aceleração (vetor) é constante
5) Movimento relativo. Um objeto tem velocidade de módulo v1 em relação ao solo. Um observador que se
move com velocidade de módulo vo relativa ao solo mede a velocidade do objeto como sendo de módulo
v2 . Os módulos das velocidades estão relacionados por
a) ( ) vo v1 + v2
b) ( ) v1 vo + v2
c) ( ) v2 v1 + vo
d) ( ) vo = v1 + v2
6) Um menino sentado em um vagão ferroviário, que se move a uma velocidade constante, atira uma bola no
ar, em linha reta. De acordo com uma pessoa que está sentada próxima a ele, onde a bola irá cair?
a) ( ) atrás do menino
b) ( ) Na frente do menino
c) ( ) Nas mãos do menino
7)
a)
b)
c)
d)
Onda a bola cairia se o trem estivesse acelerando para frente enquanto a bola está no ar?
( ) atrás do menino
( ) Na frente do menino
( ) Nas mãos do menino
( ) ao lado dele
14
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Baseie-se no gráfico abaixo para responder às três questões seguintes. Este diagrama representa um bloco
deslizando ao longo de uma rampa sem atrito. As oito setas numeradas representam direções a serem
tomadas como referência para responder às questões
1)
2) 8) A direção da aceleração do bloco, quando
estiver na posição A, é melhor representada por
qual das setas no diagrama?
a) A) ( ) 1
b) B) ( ) 2
c) C) ( ) 4
d) D) ( ) 5
e) E) ( ) 6
3) 9) A direção da aceleração do bloco, quando
estiver na posição B, é melhor representada por
qual das setas no diagrama?
a) A) ( ) 1
b) B) ( ) 3
c) C) ( ) 5
d) D) ( ) 7
e) E) ( ) nula
4) 10) A direção da aceleração do bloco, quando
estiver na posição C, é melhor representada por
qual das setas no diagrama?
a) A) ( ) 1
b) B) ( ) 3
c) C) ( ) 5
d) D) ( ) 6
e) E) ( ) nula
11) (UFRJ-unificado) Em uma loja duas escadas rolantes estão dispostas como mostra a figura abaixo. O
ângulo de elevação de cada escada, em relação a horizontal é o mesmo. As escadas movimentam os
degraus com velocidades de mesmo módulo v, medidas em relação à Terra. Num dado instante duas
pessoas A e B entram simultaneamente nas escadas e ao entrarem permanecem paradas em relação aos
degraus das respectivas escadas. A pessoa A entra na escada que sobe e a pessoa B na escada que desce;
vide a figura abaixo. Considerando que a Terra é um referencial inercial, o módulo da velocidade da
pessoa A em relação à pessoa B, enquanto eles estão nas escadas é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
vA/B
vA/B
vA/B
vA/B
vA/B
= 0;
= vcos ;
não é constante;
=2vsen ;
= vsen2 ;
Para casa: Um bêbado resolveu pegar uma canoa e remar rio acima. Quando passou embaixo de uma
pequena ponte, sem que percebesse, sua garrafa de cachaça caiu no rio e imediatamente passou a se
mover, em relacão às margens, coma velocidade do rio. Não tardou muito para que o bêbado se desse
conta dessa “tragédia”, e dois minutos depois da queda da garrafa, ele virou a canoa e começou a remar
rio abaixo, mas com a mesma intensidade com que remava rio acima. Quando ele por fim atingiu a
garrafa, para sua felicidade, ele se encontrava a 120m da ponte. Desprezando o tempo gasto pelo bêbado
para virar a canoa, calcule o módulo da velocidade do rio em relação às margens.
Resposta da questão de motivação 1: Se a manada for grande demais para poder contornar o melhor a
fazer é procurar parar o mais depressa possível. Descrever uma curva circular para tentar evitar a manada,
necessitaria despender uma força muito maior para fazer o carro parar.
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Buzz Group (encontro 6)
Nome:_______________________________________________________________________
Buzz Group, cuja tradução literal é grupo de zumbido é um formato alternativo de aula onde formam-se
grupos de discussões. Você irá trabalhar em dupla. A ideia é discutir e resolver um problema
apresentado. O problema pode ser simples ou de um nível maior, mas exigirá um conhecimento do
assunto em questão. O objetivo é clarificar os pontos que eventualmente não foram completamente
compreendidos. O objetivo poderá ser alcançado pela ajuda do seu colega que pode ajudá-lo de um modo
mais simples que o professor.
1- Em um movimento circular uniforme, qual é a velocidade média e a aceleração média para uma
revolução? Explique.
2- Uma lancha se movendo correnteza abaixo, ultrapassou uma balsa (em deriva) em um ponto A. Após 60
min, retornou correnteza acima e depois de algum tempo passou a mesma balsa a uma distância de 6,0 km
do ponto A. Encontre a velocidade do fluxo do rio assumindo que a potência do motor é uma constante.
3- Uma particular atravessa metade de uma distância com uma velocidade vo. O restante do percurso foi
coberto metade to tempo com uma velocidade v1 e metade do tempo com velocidade v2. Encontre a
velocidade média da partícula no percurso.
Hávera um teste sobre os assuntos cobertos até aqui na próxima aula
16
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Aula 6 - Leis de Newton do movimento
Nome:________________________________________________________________________
LEX I – Corpus omne persevare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi
quatenus a viribus impressis cogitir statum illum mutare.
LEX II – Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam
qua vis illa imprimitur.
LEX III – Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se
mutuo semper esse aequales et in prtes contrarias dirigi.
Nature and Nature’s Laws lay hid in Night.
God Said, “Let Newton be”; and all was light
Alexander Pope
1- Primeira lei de Newton: Uma espaçonave interestelar, longe da influência de qualquer estrela ou planeta,
está se movendo em alta velocidade sob o empuxo de foguetes, quando um defeito nos motores faz os
mesmos pararem. A espaçonave irá:
a) ( ) parar imediatamente, jogando todos os ocupantes para a frente do veículo
b) ( ) começar a desacelerar, eventualmente atingindo o repouso no vazio frio do espaço;
c) ( ) continuar se movendo com velocidade constante por um período, mas começando, então, a desacelerar.
d) ( ) continuar se movendo para sempre na mesma velocidade
2- Primeira lei de Newton: Uma criança pequena está brincando com uma bola em uma superfície nivelada.
Ela dá um empurrão à bola para colocá-la em movimento. Então, a bola rola uma pequena distância até
parar. A bola reduz a velocidade e pára porque
a) ( ) a criança parou de empurrá-la
b) ( ) a velocidade é proporcional à força
c) ( ) deve ter existido alguma força sobre a bola, oposta ao sentido do movimento.
d) ( ) a força resultante sobre a bola é nula, então ela quer permanecer em repouso.
3- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte. De posse apenas desta informação,
pode-se concluir:
a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte
b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte;
c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte;
d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto;
4- Segunda Lei de Newton: Um objeto está se movendo para o norte e a sua velocidade está aumentando. De
posse apenas desta informação, pode-se concluir:
a) ( ) que existe uma única força sobre o objeto, direcionada para o norte
b) ( ) que existe uma força resultante sobre o objeto, direcionada para o norte;
c) ( ) que podem existir várias forças sobre o objeto, mas a maior deve estar direcionada para o norte;
d) ( ) nada acerca das forças sobre o objeto;
5- Segunda Lei de Newton: Qual dos seguintes objetos não está experimentando uma força resultante
direcionada para o norte?
a) ( ) Um objeto que se move para o sul com a sua velocidade diminuindo;
b) ( ) Um objeto que se move para o norte com a sua velocidade aumentando;
c) ( ) Um objeto instantaneamente em repouso que inicia o movimento na direção norte;
d) ( ) Um objeto que se move para o norte com velocidade constante;
6- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície nivelada. O módulo da força sobre a
superfície, exercida pela pedra, é FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é F PS. Se
estas duas forças forem comparadas, observa-se que
a) ( ) FPS > FSP
b) ( ) FPS < FSP
c) ( ) FPS = FSP
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7- Terceira Lei de Newton: Uma pedra repousa sobre uma superfície inclinada. A pedra inicialmente está em
repouso, mas começa a deslizar para baixo. O módulo da força sobre a superfície, exercida pela pedra, é
FSP, e o módulo da força sobre a pedra, exercida pela superfície é F PS. Se estas duas forças forem
comparadas, observa-se que
a) ( ) Sempre FPS > FSP
b) ( ) Sempre FPS < FSP
c) ( ) Sempre FPS = FSP
d) ( ) FPS = FSP, quando a pedra está em repouso; caso contrário, F SP> FPS;
8- No gráfico seguinte é mostrada a velocidade de um objeto em função do tempo.
Qual dos gráficos abaixo mostra a relação entre a força resultante e o tempo?
9- Um carro tem uma aceleração máxima de 3,0 m/s2. Qual será a sua máxima aceleração quando estiver
rebocando um outro carro com o dobro de sua massa?
a) ( ) 2,5 m/s2
b) ( ) 2,0 m/s2
c) ( ) 1,5 m/s2
d) ( ) 1,0 m/s2
e) ( ) 0,5 m/s2
10- Uma mulher pesando 6,0 102 N está dentro de um elevador que sobe do primeiro para o sexto andar.
Quando o elevador se aproxima do sexto andar, ele diminui sua velocidade de 8,0 m/s para 2,0 m/s em 3,0
s. Qual será a força média exercida pelo piso do elevador sobre a mulher durante este intervalo de tempo
de 3,0 s?
a) ( ) 120 N
b) ( ) 480 N
c) ( ) 600 N
d) ( ) 720 N
e) ( ) 1200 N
11- O diagrama a seguir representa um bloco que se move sobre uma superfície horizontal e sem atrito, no
sentido indicado pela seta tracejada. Uma força constante de módulo F (horizontal para a direita),
mostrada no diagrama, está agindo sobre o bloco. Para que o objeto fique sujeito a uma força resultante
na direção da seta tracejada, em qual das direções indicadas deverá estar agindo uma outra força?
18
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a)
b)
c)
d)
e)
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)A
)B
)C
)D
)E
Considere o diagrama ao lado para responder
às duas questões seguintes. Os blocos A e B,
cada um com massa de 1,0 kg estão
suspensos no teto de um elevador pelas
cordas 1 e 2.
12- Qual é a força exercida pela corda 1 sobre o bloco A, quando o elevador está subindo com uma
velocidade constante de 2,0 m/s?
a) ( ) 2N
b) ( ) 10 N
c) ( ) 12 N
d) ( ) 20 N
e) ( ) 22 N
13a)
b)
c)
d)
e)
Qual é a força exercida pela corda 2 sobre o bloco B quando o elevador está estacionário?
( ) 2N
( ) 10 N
( ) 12 N
( ) 20 N
( ) 22 N
14a)
b)
c)
A força resultante que atua num carro em movimento circular uniforme em uma superficíe horizontal ...
( ) aponta na direção na qual o carro está se movendo;
( ) aponta para o centro do círculo;
( ) é nula;
15- O motorista em um carro em movimento circular experimenta uma dada força centrípeta. Esta força
aumentará mais se
a) ( ) dobrar a velocidade do carro;
b) ( ) dobrar o raio da circunferência;
c) ( ) diminuir pela metade o raio da circunferência;
d) ( ) as alternativas a e b produzem o mesmo resultado;
e) ( ) as alternativas a e c produzem o mesmo resultado;
16- Conforme a bola rola abaixo (vide figura), a respeito da velocidade e da aceleração é correto afirmar que:
A) A) ( ) a sua velocidade aumenta e sua aceleração diminui;
B) B) ( ) a sua velocidade diminui e sua aceleração aumenta;
C) C) ( ) ambas aumentam;
D) D) ( ) ambas diminuem;
E) E) ( ) ambas permanecem constante;
Para saber mais:
[1] M. C. D. Neves, Uma Investigação Sobre a Natureza do Movimento ou Sobre uma História para a
Noção do Conceito de Força, Rev. Bras. Ens. Fís. 22, 543 (2000).
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Questionário de Avaliação
Prezado Aluno, responda a este questionário de maneira consciente. Ele será empregado pra melhorar o
seu curso. Não se identifique. Imprima e entregue ao seu professor.
1 2
O professor preparava e organiza bem as aulas?
Nunca
Ele se expressava de maneira
Confusa
Quanto ao emprego do quadro-negro, ele era
Confuso
Durante a aula, o professor é
Monótono
O professor aceita divergência de opinião
Nunca
O professor estimula a participação do aluno
Nunca
O relacionamento do professor com o aluno é
antagônico
O professor está disposto a ajudar ao aluno?
Nunca
O professor é acessível fora da sala de aula?
Nunca
Para você, o conhecimento do professor é
fraco
Com relação às aulas, o professor demonstra
insegurança
O professor começava as aulas
atrasado
Você frequentou as aulas
raramente
Classifique sua participação na aula
desligado
Seu interesse pela disciplina
reduziu
seu tempo de estudo desta matéria é
pequeno
Qual é o seu C. R. acumulado
O professor desta disciplina merece algum destaque (positivo ou negativo)
3
4
5
Sempre
clara
organizado
vibrante
Sempre
Sempre
amigável
Sempre
Sempre
ótimo
segurança
pontualmente
sempre
atento
aumentou
grande
Coloque no espaço abaixo outras sugestões que considerar pertinentes.
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Aula 7- Leis de Newton do movimento
Nome:_____________________________________________________________________
1- Um pequeno objeto de massa M está suspenso, em repouso, por dois fios, conforme mostrado na figura
abaixo. O módulo da força exercida por um fio no objeto é F. O módulo da força da gravidade é P. O
módulo da força resultante no objeto é
a) a) ( ) 2F -P
b) b) ( ) 2Fcos45o - P
c) c) ( ) 2Fsen45o - P
d) d) ( ) F
e) e) ( ) zero
2- O fio do lado esquerdo da figura acima rompe-se repentinamente. No instante em que o fio se rompe, o
módulo da força resultante no objeto é
a) ( ) 2F-P
b) ( ) 2Fcos45o - P
c) ( ) 2Fsen45o -P
d) ( ) F
e) ( ) zero
Este enunciado se refere às questões 3, 4 e 5. Na figura abaixo, os corpos estão ligados por um fio
conforme indicado. Admitindo que as polias sejam ideais (sem massa, sem atrito).
3- Qual é a razão entre as acelerações dos corpos (a2/a1) ?. Dados: m1, m2, g.
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) -m2/m1
) -m1/m2
) -2
)-1
) -½
4a)
b)
c)
d)
e)
Qual a relação entre a tensão no fio 1 e a tensão no fio 4 (T 1/T4)?
( ) m2/m1
( ) m1/m2
( )2
( )1
( )½
5a)
b)
c)
d)
e)
Qual a relação entre a tensão no fio 3 e a tensão no fio 4 (T 3/T4)?
( ) m2/m1
( ) m1/m2
( )2
( )1
( )½
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6 - Um punhado de moscas são mantidas em um pote fechado. Você coloca o pote sobre uma balança.
A balança registrará um peso maior quando as moscas estiverem
A) ( ) apoiadas sobre a base do pote;
B) ( ) voando dentro do pote;
C) ( ) o peso do pote será o mesmo em ambos os casos.
7-Dois elos de correntes de massas iguais a m1 e m2 e entrelaçados, são puxados verticalmente para cima
por uma força F constante. Verifica-se que eles sobem com velocidade constante. A expressão correta da
dinâmica do movimento dos elos é:
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) F- (m1+m2)g=0
) F+(m1-m2)g=0
) F+ (m1+m2)g=0
) F+ (m2-m1)g=0
) nenhuma das respostas anteriores
Para saber mais:
V. B. Barbeta e I. Yamamoto, Dificuldades Conceituais em Física Apresentadas por Alunos Ingressantes
em um Curso de Engenharia, Rev. Bras. Ens. Fis. 24, 324, (2002)
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Aula 8 - Aplicações das Leis de Newton
Nome:_____________________________________________________________________
1- Um objeto está livre para se mover sobre uma mesa, com exceção da força de atrito constante, que se
opõe ao movimento do objeto quando ele se move. Uma aceleração a é observada quando uma força
horizontal F é usada para puxar o objeto. Uma aceleração de 3a é observada quando uma força horizontal
de 2F é usada para puxar o objeto. Qual é o módulo da força de atrito?
a) ( ) 2F
b) ( ) F
c) ( ) F/2
d) ( ) zero
2a)
b)
c)
d)
Ainda sobre o objeto da questão acima. Qual é a sua massa?
( ) 2F/a
( ) F/a
( ) F/2a
( ) F/3a
3- Uma pessoa empurra um bloco com velocidade constante através de uma superfície horizontal rugosa,
aplicando uma força de módulo F. As setas no diagrama indicam corretamente as direções, mas não
necessariamente as intensidades, das várias forças sobre o bloco. Qual das seguintes relações entre as
intensidades das forças P, Fat, N e F deve ser verdadeira?
A) a) ( ) F= Fat;
B) b) ( ) F= Fat e N > P;
C) c) ( ) F> Fat e N < P;
D) d) ( ) F> Fat e N = P;
E) e) ( ) NRA
4- Considere a figura abaixo. Há atrito entre todas as superfícies. A opção que melhor representa a força de
atrito sobre o bloco A
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
5a)
b)
c)
d)
A opção que melhor representa a força de atrito sobre o bloco B devido ao bloco A é
( )
( )
( )
( )
Um pequeno cilindro metálico repousa sobre uma
plataforma horizontal circular, a qual gira com
velocidade angular constante como ilustrado no
diagrama ao lado.
6- Qual dos seguintes conjuntos de vetores descreve melhor a velocidade, aceleração e a força agindo
sobre o cilindro no ponto indicado no diagrama?
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7-Suponha que o cilindro metálico do problema anterior tenha massa M e que o coeficiente de atrito
estático entre a superfície e o cilindro seja . Se o cilindro está a uma distância d do centro da plataforma,
qual é aproximadamente o módulo da máxima velocidade tangencial com que o cilindro pode se mover
ao longo de sua trajetória circular sem escorregar sobre a mesa?
a) ( ) (4 dg)1/2
b) ( ) (2 dg)1/2
c) ( ) ( dg)1/2
d) ( ) ( dg/2)1/2
e) ( ) ( dg/4)1/2
10- Um pára-quedista está em queda livre antes de abrir o seu pára-quedas. A força resultante nele possui um
módulo F e é direcionada para baixo; esta força resultante é um pouco menor que o seu peso P, em função
do atrito com o ar. Então ele abre o pára-quedas. A força resultante que age sobre ele, no instante após o
seu pára-quedas inflar totalmente é
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) maior que F e direcionada para baixo;
) menor que F e direcionada para baixo;
) zero;
) direcionada para cima, mas pode ser maior ou menor que F;
11- Um pára-quedista caindo em posição horizontal sujeito a força de resistência do ar f =Dv2, onde D é uma
constante e v a sua velocidade. A sua velocidade terminal é
a) ( ) v=mg/D
b) ( ) v=(D/mg)1/2
c) ( ) v=D/mg
d) ( ) v=(mg/D)1/2
e) ( ) v=(mg/D)2
12A)
B)
C)
Um elefante e uma pena caem de uma árvore alta. Qual sofre uma resistência do ar maior ao cair?
( ) O elefante;
( ) a pena;
( ) ambos sofrem forças iguais;
Para saber mais:
H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento I, Rev. Bras. Ens. Física 21, 359 (1999).
H. Caldas e E. Saltiel, Sentido das Forças de Atrito e Movimento II, Rev. Bras. Ens. Física 21, 542
(1999).
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Buzz Group (encontro 10)
1- Você está empurrando uma caixa grande do fundo para a frente de um elevador de carga enquanto ele se
move para o próximo andar. Em qual situação a força que você deve aplicar para mover a caixa é menor e
em qual é maior: quando o elevador está subindo com aceleração de baixo para cima, quando está
descendo com aceleração de baixo para cima, quando está subindo com aceleração de cima para baixo,
quando está descendo com aceleração de cima para baixo ou quando está se deslocando a uma velocidade
escalar constante? Comente cada uma das situações.
2- Encontre a aceleração do corpo 2 no arranjo abaixo se sua massa é n vezes a massa do corpo 1 e o ângulo
que o plano inclinado faz com a horizontal é . Considere as massas das roldanas e todos os atritos como
desprezíveis. Dica: note que a aceleração do corpo 2 é o dobro da aceleração do corpo 1
3-
No arranjo da figura abaixo as massas mo, m1, e m2 dos corpos são iguais. As massas da roldana e dos
fios são desprezíveis e não há atrito nas roldanas. Encontre a aceleração do corpo de massa m o e a tensão
nas cordas que liga os corpos de massa m1 e m2, se o coeficiente de atrito entre estes corpos e a superfície
é igual a .
Hávera um teste sobre os assuntos cobertos até aqui na próxima aula
25
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Problemas adicionais - Leis de Newton
1- 1- Um bloco de massa m encontra-se sobre uma
cunha de ângulo e massa M, conforme mostra a
figura. Não existe atrito entre a cunha e o chão, e o
o coeficiente de atrito estático entre a cunha e o
bloco é . A) Qual é o módulo da força horizontal
máxima F que pode se aplicada ao bloco m tal que
ele não deslize sobre a cunha? B) Qual é o valor da
força normal sobre o bloco m nesta situação?
2- Resp.: a) F=(m+M)(m/M)g(tg + )/(1- tg )
3- B) mg/(cos - sen )
4- 2- Um bloco de massa M encontra-se sobre outro
bloco de mesma massa, num plano inclinado liso,
de ângulo , conforme mostra a figura. O
coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é
, e entre o bloco inferior e o plano é zero. A)
Determine a máxima força F que pode ser aplicada
ao bloco superior sem que este deslize sobre o
bloco inferior. B) Neste caso, qual será a
aceleração do sistema?
5- Resp.:
6- A) F=2 Mgcos
7- B)a=g( cos -sen )
8- 3- Um bloco de massa M1 encontra-se sobre outro
bloco de massa M2, que desliza sobre o chão,
conforme mostra a figura. O atrito estático entre os
dois blocos é e. A) Determine a máxima força F
que pode ser aplicada ao bloco 2 sem que o bloco 1
deslize sobre ele. B) Se a força for aumentada tal
que M1 começa a deslizar, e o atrito cinético entre
os blocos também é c, qual será a aceleração de
cada massa?
9- 4- Um bloco de massa M encontra-se pendurado
através de uma corda ideal sobre uma cunha de
ângulo , conforme mostra a figura. Não existindo
atrito entre os blocos, pergunta-se qual é a
aceleração máxima que pode ser dada ao sistema
tal que o corpo M permaneça em contato com o
bloco triangular. Neste caso, qual é a tensão na
corda? Se o sistema estiver se deslocando com
velocidade constante, qual o valor da tensão na
corda e da normal sobre o bloco?
10- 5- Dado o ângulo de um plano inclinado sem
atrito, qual deve ser a aceleração aR tal que o bloco
de massa m mostrado na figura não deslize?
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
11- 6- Encontre a massa do corpo A tal que a
aceleração do corpo B na figura ao lado é nula.
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12- Encontre a aceleração do corpo de 2 kg da
figura ao lado
13- No sistema mostrado ao lado, o bloco em
contato com a superfície horizontal sem atrito
está sujeiro a um força F. Existe um
coeficiente de atrito estático entre este bloco
e o bloco A de tal maneira que não existe
movimento relativo entre os três blocos que
compõem o sistema. Calcule: a) o ângulo .
B) a tensão na corda e c) o mínimo
14- Um bloco de massa M repousa sobre uma
mesa com coeficiente de atrito estático .
Uma força F é aplicada ao bloco de maneira a
formar um ângulo com a horizontal, como
mostra a figura ao lado. Supondo que o bloco
esteja sempre na iminência de deslizar, a) qual
o ângulo o que permite que a força aplicada
seja mínima? e b) neste caso, qual será o valor
desta força?
27
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Aula 9 – Trabalho
Nome:________________________________________________________________________
Motivação:todos os animais terrestres, a despeito
de seu tamanho atingem ao pular uma altura
máxima de quase 2m, conforme mostrado na
figura ao lado. Por quê? A resposta está no final da
aula.
Altura atingida por um animal em função de seu comprimento
(Motion Mountain Vol. I).
1- Quanto trabalho é realizado pela força F= (6i-3j) N sobre uma partícula quando esta efetua o
deslocamento r = 2i m?
a) ( ) 0 J
b) ( ) -6 J
c) ( ) 12 J
d) ( ) -12 J
2- Trabalho realizado por uma força constante. Um aluno pega uma caixa que está sobre uma mesa e a
coloca no chão. Considere que o trabalho total realizado pelo aluno é W. Pode-se concluir que
a) ( ) W = 0
b) ( ) W > 0
c) ( ) W < 0
3- Trabalho realizado por uma força constante. Um objeto de massa igual a M move-se sobre uma mesa
horizontal sem atrito em um movimento circular uniforme. O raio do círculo é R e a força centrípeta é F.
O trabalho realizado por esta força enquanto o objeto se move durante a metade de uma revolução
completa é
a) ( ) zero
b) ( ) 2 FR
c) ( ) FR
d) ( ) FR
4- Quais das seguintes grandezas são independentes da escolha do sistema de referência inercial? (pode
existir mais de uma resposta)
a) ( ) velocidade
b) ( ) aceleração
c) ( ) força
d) ( ) trabalho.
5- Uma partícula de 2,0 kg que se move ao longo do eixo x experimenta a força representada na figura
abaixo. O trabalho entre as posições x = 0 m e x = 2 m é
a) a) ( ) 20 J
b) b) ( ) – 20 J
c) c) ( ) 10 J
d) d) ( ) – 10 J
e) e) ( ) 0 J
28
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6a)
b)
c)
d)
e)
Com base na mesma figura, o trabalho entre x = 2 m e x= 4m é
( ) 20 J
( ) – 20 J
( ) 10 J
( ) – 10 J
( )0J
7a)
b)
c)
d)
e)
Ainda com base na figura acima, o trabalho entre x = 1 e x = 3 m é
( ) 20 J
( ) – 20 J
( ) 10 J
( ) – 10 J
( )0J
(este enunciado se refere às cinco questões a seguir- Probl. 6.57 do livro texto). Um carregador empurra
uma mala de massa M para cima de uma rampa com inclinação de acima da horizontal com uma força
F de módulo igual a F que atua paralelamente à rampa. O coeficiente de atrito cinético é dado por . Se a
mala se desloca uma distância d ao longo da rampa.
8- O trabalho realizado sobre a mala pela força F é
a) ( ) Fd
b) ( ) Fdcos
c) ( )-Fd
d) ( ) -Fdcos
e) ( ) zero
9a)
b)
c)
d)
e)
O trabalho realizado sobre a mala pela força gravitacional é
( ) zero
( ) -mgdcos
( )-mgdsen
( ) mgdcos
( ) mgdsen
10a)
b)
c)
d)
e)
O trabalho realizado pela força normal é
( ) zero
( ) -mgdcos
( )-mgsen
( ) mgdcos
( ) mgdsen
11a)
b)
c)
d)
e)
O trabalho realizado pela força de atrito é
( ) - mgcos d
( ) - mgsen d
( ) mgtg d
( ) mgcos d
( ) zero
12a)
b)
c)
d)
O trabalho total realizado sobre a mala é
( ) zero
( ) Fd-mgd(sen - cos )
( ) Fd+mgd(sen - cos )
( ) Fd-mgd(sen + cos )
13- Um homem pula de um prédio de altura H sobre um colchão que tem uma espessura H/10. Se o colchão
é comprimido a uma espessura de H/20, qual é a aceleração média do homem enquanto ele pára?
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a)
b)
c)
d)
e)
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)g
) 9g
) 18g
) 27g
) 36g
Resposta à questão de motivação: Para pular até uma altura h, um animal de massa m precisa de uma
energia E=mgh e o trabalho disponível para os seus músuculo é proporcional a m. Assim, a altura h
independe da massa do animal. Ou seja, a energia mecânica específica dos animais terrestres é de 1,5 0,7
J/kg.
30
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Aula 10- Trabalho e Energia
Nome:_____________________________________________________________________
1- Uma partícula de massa m está se movendo para esquerda com velocidade de módulo v. Quanto trabalho
deve ser realizado sobre ela para fazê-la se mover para a direita com velocidade de módulo v?
a) ( ) mv2/2
b) ( ) mv2
c) ( ) 2mv2
d) ( ) zero
e) ( ) 2mv
2- (teorema do trabalho energia- probl. 6.27) Um carro se desloca sobre uma superfície com velocidade v o
no momento em que os freios ficam bloqueados, de modo que os pneus deslizam em vez de rolar. Qual a
distância mínima para o carro parar em função de vo, de g e do coeficiente de atrito cinético entre o pneu
e o solo .
a) ( ) d=vo2/ g
b) ( ) d=2vo2/ g
c) ( ) d=vo2/2 g
d) ( ) d=4vo2/ g
3- Ainda sobre o enunciado anterior, qual o fator da variação da distância mínima para o carro parar se
coeficiente de atrito cinético for dobrado (razão entre a nova distância e a anterior)
a) ( ) 1/4
b) ( ) ½
c) ( ) 2
d) ( ) 4
4a)
b)
c)
d)
O mesmo se a velocidade escalar for dobrada
( ) 1/4
( )½
( )2
( )4
5a)
b)
c)
d)
O mesmo se tanto o atrito cinético quanto a velocidade escalar inicial forem dobrados
( ) 1/4
( )½
( )2
( )4
6- (potência) Uma rocha de massa m está deslizando sobre uma superfície horizontal áspera com velocidade
inicial v e eventualmente para em função do atrito. O coeficiente de atrito cinético entre a rocha e a
superfície é . Que potência média é produzida pelo atrito até que a rocha pare?
a) ( ) mv2 g/2
b) ( ) mv g/2
c) ( ) 2mv2 g
d) ( ) 2mv g
7- (potência) Um elevador possui massa M, não incluindo a massa dos passageiros. O elevador foi projetado
para subir com velocidade constante uma distância vertical d em um intervalo de tempo t, sendo
impulsionado por um motor que o fornece uma potência máxima P. Qual é o número máximo de
passageiros que o elevador pode transportar se cada passageiro possui uma massa m?
a) ( ) P t/mgd – M/m
b) ( ) P t/mgd + M/m
c) ( ) P t/mgd – m/M
d) ( ) P t/mgd + m/M
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8- Uma única força atua sobre uma partícula em movimento retilíneo. O gráfico da velocidade desta
partícula em função do tempo é mostrado na figura abaixo. Considerando os quatro intervalos de tempo
tA B, tB C, tC D, tD E,respectivamente nesta ordem, a opção que diz se o trabalho realizado pela força
sobre a partícula é positivo (+), negativo (-) ou nulo (0) é:
a)
b)
c)
d)
e)
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) +, 0, +, ) +, 0, +, +
) +, +, +, ) +, +. -. –
) +, 0, -, +
Papai Noel e o consumo de Energia
Seja Nc o número de crianças cristãs e n o número de crianças por residência, o número de chaminés que
Papai Noel visita é Nc/n. O tempo disponível para ele para visitar cada chaminé é (em segundos)
24 3600 (Nc/n), ou seja T=86400n/Nc s. Papai Noel não pode perder muito tempo em cada casa, porque
ele dispõe somente de 24 horas para entregar todos os brinquedos. Por outro lado, ele não pode entregar
rápido demais porque ele precisaria de muito combustível resultando em um gasto enorme de energia.
Precisamos calcular o tempo gasto por chaminé que otimiza o gasto de energia. Seja t o tempo que Papai
Noel leva para descer (ou subir) por uma chaminé. Queremos escrever o consumo de energia de Papai
Noel em termos de t e encontrar o valor que minimiza o consumo de energia.Vamos supor, por
simplicidade, que a única energia que Noel utiliza é a energia necessária para alcançar a sua velocidade
final. Há dois tipos de utilização:a) para subir e descer pela chaminé e b) para ir de uma chaminé até a
próxima.
9- Se Noel tem que descer uma chaminé de altura h num tempo t, qual é a velocidade escalar média de
subida ou descida?
a) ( ) h/t
b) ( ) 2h/t
c) ( ) h/2t
d) ( ) 0
10- Sendo M a massa do Papai Noel e m a massa média de cada brinquedo, qual é a energia cinética total que
Noel gastará para entregar os n presentes?
a) ( ) (nm+2M)(h/t)2/2
b) ( ) (nm+M)(h/t)2
c) ( ) M(h/t)2/
d) ( ) (nm+M)(h/t)2/2
Para ir de uma chaminé a outra é um pouco mais complicado.Noel começa com todos os brinquedos e
conforme entrega, o número de brinquedos diminui. Lembrando que N c/n é o número de casas, a energia
total consumida para entregar todos os brinquedos é
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K
1
1
1
N cm M v2
Nc n m M v2
N c 2n m
2
2
2
Nc 1
Nc
1 2
N cm M v2
mv n 1 2 3 ....
1
n 2
2
n
Nc 1
N cm
n 2
N c2
mv 2
4n
M v2
1 Nc
M
2 n
M v2
...
1 2 Nc n Nc n 1
mv n
2
2
mN c 2
v
2
Dividindo pelo número de casas e fazendo Ncm >> (M + Mn/2) encontramos ~Ncmv2/4= (Ncm/4)[d/(T2t)]2, onde d é a distância média entre duas casas consecutivas. Assim, a energia total t, por casa é
K (t )
Ncm
d
4 T 2t
2
1
h2
nm 2 M 2
2
t
Derivando com respeito ao tempo, obtemos que o tempo que minimiza o consumo de energia é:
t=T/(a+2), onde a={Ncmd2/[h2(nm+2M)]}1/3
Agora, vamos adicionar alguns números: Vamos estimar o número de crianças e o número de
casas. Há aproximadamente 1,5 bilhões de cristãos no mundo e vamos supor que somente 10% desta
população é constituída por crianças que se comportaram bem. Assim N c = 1,5 108. Para tornar a vida de
Noel mais fácil, vamos supor 10 crianças por cãs. Assim o número de casas é 1,5 107 e T =0,00576 s.
Para ajudar ainda mais Noel nesta tarefa difícil, vamos colocar as casas bem próximas umas da outras,
com uma distância média de 10 m. Para cada uma, construímos uma chaminé de apenas 4m e a massa de
Noel como M=100kg e que cada brinquedo tenha uma massa m=2kg. Isto resulta num valor a=204,26 e a
fórmula para a energia cinética fica: K(t) = 7,5 109/(0,00576-2t)2 + 1760/t2. O valor que minimiza K é
2,79 10-5 s, ou 5,58 10-5 s por chaminé. Noel terá que cobrir 18 000 chaminés por segundo. Como isto
não viola nenhuma lei da física, vamos aceitar!
O mais importante é o consumo de energia. A energia gasta para descer a chaminé é (nm+M)(h/t) 2/2 =
1,12 1012 J e para subir 1,03 1012J. A energia para ir de uma casa a outra é 2,3 1014 J que é 100 vezes
maior que as anteriores. Assim podemos desprezar a energia gasta para subir e descer as chaminés. Para
as 15 milhões de casas, Noel precisa de 3,3 1021 J. Para ter uma ideia do que este número significa
vamos comparar com o consumo mundial de energia em um ano. Em 2001 este número foi 4 1020 J
incluindo uso residencial, industrial, agricultura e transporte. Noel precisa de 8 vezes este valor em um
dia. Mas se as pessoas aceitarem que Noel utilize toda esta energia – o que significa 8 anos sem energiahá ainda uma destruição não intencional. A explosão ocorre porque há um grande consumo de energia em
um tempo muito curto (P=dK/dt). O consumo de energia de Noel ao descer pela chaminé equivale a
energia liberada por 307,5 T de TNT num intervalo de tempo de 27.9 s. Mas o perigo mesmo surge cada
vez que Noel pousa em uma chaminé, quando ele libera uma explosão equivalente a 4 bombas de
Hiroshima.
Para saber mais:
S. Hassini, Santa Claus and the conservation of energy, Phys. Ed. 40, 579 (2005).
Comentários adicionais – aula 10
Importante!
Em qualquer discussão sobre trabalho, é importante ter claro que o trabalho é realizado sobre um sistema
por uma força. Então é necessário identificar e categorizar o sistema. O sistema será sempre fechado, ou
seja, limitado por uma superfície que envolve o sistema e o separa da sua vizinhança.
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W

F

r onde o deslocamento é sempre o deslocamento do ponto de aplicação da força. Para um
sistema consistindo de uma única partícula ou objeto não deformável e que não gira, o deslocamento do
ponto de aplicação d força é igual ao deslocamento do centro de massa do sistema. No entanto, para
objetos deformáveis ou girantes, o deslocamento do CM pode ser diferente do deslocamento do ponto de
aplicação da força.
O trabalho total realizado por várias forças sobre um sistema é igual à soma dos trabalhos individuais
realizados sobre o sistema por cada força individual. Esta definição difere a definição usual: o trabalho
total realizado sobre o sistema é igual ao produto da força resultante sobre o sistema e o deslocamento do
objeto quando o objeto não é perfeitamente rígido e não-deformável.
Na definição de trabalho W=F. r, há duas interpretações possíveis para o deslocamento r: i) o
deslocamento do ponto de aplicação da força ou ii) o deslocamento do CM do sistema. Para um sistema
que consiste apenas de uma partícula ou um objeto não deformável e não girante, o deslocamento do
ponto de aplicação da força e o deslocamento do CM são idênticos. No entanto, para sistemas
deformáveis ou girantes, eles são diferentes. Por exemplo, considere uma força horizontal de módulo F
que empurra um bloco de massa m por uma distância x1. O bloco está ligado a um segundo bloco idêntico
ao primeiro por meio de uma mola de constante de força k. Enquanto o primeiro bloco se move para a
direita uma distância x1, o segundo bloco se move para a direita uma distância x2. O CM do sistema então
se desloca de (x1 + x2)/2. O trabalho realizado sobre o sistema é Fx1 e não F(x1+x2)/2. Como resolver esta
inconsistência?
Figura; J. W. Jewett Jr., TPT vol. 46, p.38, janeiro de 2008.
Em um nível de partícula (sem nenhuma estrutura interna), a energia do sistema muda somente quando
um trabalho é realizado sobre o sistema por forças externas. Assim, a variação da energia do sistema é
dada por E= W. A energia total do sistema é a soma da energia mecânica e a energia interna (E=E mec +
Eint).
Assim, pelo método (ii), para resolver o este problema, o teorema trabalho-energia pode ser definido com
W= F. rCM= Kcm . No caso dos blocos acima, o sistema inteiro é visto como tendo massa 2m. Assim
F(x1+x2)/2=(2m)vCM2/2. Por outro lado, a equação E=W torna-se (pelo método i): F.x1=(2m)vCM2/2 +
Eint,. A Energia interna (vista do CM) é dada por E int = K1’+K2’+U = (m/2)v’12 + (m/2)v’22 + (k/2)(x2x1)2. Pela simetria v1’2 =v2’2=vrel2. Então Eint = 2(m/2)vrel2 + (k/2)(x2-x1)2. Como v1 = vcm + vrel e v2 = vcm –
vrel, temos que Fx1 = (1/2)mv12+ (1/2)mv22+ (1/2) k(x2-x1)2.
Assim, é importante saber quais forças e quais deslocamentos estão envolvidos no teorema do trabalhoenergia. Dependendo do contexto, devemos estar cientes se estamos incluindo forças internas ou externas,
se elas são conservativas ou não. No caso de deslocamentos, há duas opções: o do C.M. ou o do ponto de
aplicação.
Primeira lei da termodinâmica
E= W+ Q, onde Q é a quantidade de calor transferido ao sistema, ou seja é positivo quando entra (Q >
0) e negativo quando sai (Q < 0) do sistema, e W é o trabalho realizado sobre o sistema. Note que a
primeira lei da termodinâmica não pode ser derivada da dinâmica.
A energia total do sistema: E = K + U + Eterm + Equim + ....
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Exemplo 1: aceleração de uma caixa na presença de atrito.
Como não temos como saber os deslocamentos associados com os elementos da força de atrito sobre a
caixa, não podemos calcular o trabalho realizado pela força de atrito sobre a caixa. Podemos contornar
esta dificuldade tomando a caixa e o piso como o nosso sistema. Para este sistema, não há nenhuma
transferência de calor (Q = 0). O trabalho realizado sobre o sistema é devido por uma força externa F e é
expresso por W=F xcm. A mudança na energia do sistema tem duas componentes: uma mudança na
energia térmica interna da caixa e do piso Eterm e uma variação da energia cinética do sistema K. Assim
W= E
F xcm = Eterm + K
Mas K= (mvcm2/2)
Eterm = F xcm - (mvcm2/2)
Em outras palavras, a mudança da energia térmica do sistema caixa-piso é igual ao trabalho externo
realizado pela força externa sobre o sistema menos a energia cinética adquirida pelo sistema. Se o
deslocamento é realizado a velocidade uniforme sem alterar a energia cinética, todo o trabalho realizado
pela força externa é convertido em energia térmica, aumentando a temperatura do sistema.
Exemplo 2: Empurrando uma parede em cima de um skate
Neste caso, o sistema é o nosso corpo. Não há transferência de energia, logo W = 0, porque a força
normal não realiza trabalho. A mudança da energia é totalmente interna. Desprezando a variação da
energia térmica do nosso corpo e considerando a energia bioquímica dos nossos músculos: E= Ebio +
mvcm2/2 = 0, ou seja Ebio = -mvcm2/2. Ou seja, a energia bioquímica se transforma em energia cinética.
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Aula 11- Conservação da Energia
Nome:_____________________________________________________________________
1- Um tijolo é largado de uma dada altura. Um segundo tijolo, pesando o dobro do primeiro, também cai da
mesma altura. Quando o segundo tijolo atinge o solo ele tem:
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) a metade da energia cinética do primeiro;
) a mesma energia cinética do primeiro;
) o dobro da energia cinética do primeiro;
) quatro vezes a energia cinética do primeiro;
2- Um bloco de gelo é largado do topo de um plano inclinado, enquanto um segundo bloco de gelo é largado
de uma mesma altura. Qual o bloco que chega ao solo com maior velocidade?
a) ( ) o que deslizou;
b) ( ) o que caiu em queda livre;
c) ( ) ambos;
3- Um carrinho de montanha-russa sem atrito começa no ponto A, conforme a figura abaixo, com velocidade
de módulo vo. Qual será a velocidade do carrinho no ponto B, no ponto C e no ponto D, respectivamente?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) vo, (vo2 - gh)1/2, (vo2 + 2gh)1/2
) vo, (vo2 + gh)1/2, (vo2 - 2gh)1/2
) vo, (vo2 + gh)1/2, (vo2 + 2gh)1/2
) 0, (vo2 + gh)1/2, (vo2 + 2gh)1/2
4- Quando uma partícula de 4,0 kg está pendurada por uma mola de massa desprezível que obedece à lei de
Hooke, a mola se alonga de 2,0 cm. Quando trabalho é necessário realizar por um agente externo para
alongar a mola de 4,0 cm da sua posição de equilíbrio?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) 1,6 J
) 0,4 J
) 0,2 J
) 3,2 J
) 0,8 J
5- Energia potencial gravitacional. Uma caixa vazia desliza para baixo de uma rampa, começando com uma
velocidade inicial de módulo vo e atingindo a base com uma velocidade de módulo v e um energia
cinética K. Alguns livros são colocados no interior da caixa de modo que sua massa fica multiplicada por
quatro, A resistência do ar é desprezível e o coeficiente de atrito cinético é constante. Novamente
começando com uma velocidade inicial vo no topo da rampa, qual seria sua velocidade e sua energia
cinética na base da rampa, respectivamente?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) v, K
) 4v, 4K
) v/4, K
) v, 4K
6- Energia potencial elástica. Uma massa m é empurrada contra uma mola horizontal de constante de força
K sobre uma mesa de ar sem atrito. A mola é presa ao tampo da mesa, e a massa não está presa à mola.
Quando a mola for suficientemente comprimida para armazenar uma energia potencial U, a massa é
subitamente libertada do repouso. A maior velocidade escalar que a massa atinge e a maior aceleração da
massa são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) (U/m)1/2, [(2U/k)1/2]/m
) (2U/m)1/2, [(U/k)1/2]/m
) (2U/m)1/2, [(2U/k)1/2]/m
) (U/m)1/2, [(U/k)1/2]/m
36
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7- Energia potencial elástica. Na questão anterior, em que instantes a velocidade e a aceleração atingem o
seus respectivos valores máximos?
a) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa é libertada.
b) ( ) a velocidade e a aceleração atingem os valores máximos assim que a massa perde contato com a mola.
c) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa é libertada e a aceleração atinge o seu valor
máximo assim que a massa perde contato com a mola.
d) ( ) a velocidade o valores máximo assim que a massa perde contato com a mola e a aceleração atinge o
seu valor máximo assim que a massa é libertada.
8- Fazendo uma volta completa (um loop-the-loop). Um carro em um parque de diversões se desloca sem
atrito ao longo do trilho indicado na figura abaixo. Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura h
acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. Qual é o menor valor de h para que o
carro atinja o topo do círculo sem cair?
a) ( ) R/2
b) ( ) R
c) ( ) (3/2)R
d) ( ) 2R
e) ( ) (5/2)R
9a)
b)
c)
d)
e)
Se h=7R/2, calcule a velocidade no ponto C (altura R)
( ) (gR/2)1/2
( ) (gR)1/2
( ) (2gR)1/2
( ) (3gR/2)1/2
( ) (5gR/2)1/2
10a)
b)
c)
d)
e)
Calcule o componente radial da aceleração no ponto C
( ) g/2
( )g
( ) 3g/2
( ) 5g/2
( ) 2g
11a)
b)
c)
d)
e)
Calcule o componente tangencial da aceleração no ponto C
( ) g/2
( )g
( ) 3g/2
( ) 5g/2
( ) 2g
Não vemos nem sentimos a energia. Podemos medir e sentir certos parâmetros que são relacionados à quantidade
conhecida como energia: massa, carga, velocidade, etc... A energia é determinada pela combinação destes parâmetros
de acordo com conjunto específico de expressões: mgh, mv2/2, mc T, qQ/4 r, etc... As fórmulas são invenções
humanas. Ninguém levou tábuas para o topo de uma montanha de modo a ter as fórmulas inscritas por um relâmpago.
Mas por quê as pessoas inventaram estas fórmulas?
Cada uma destas fórmulas resultou do esforço de físicos no intuito de sintetizar, de formar uma ampla generalização
que poderia unificar uma variedade de fenômenos sob a mesma rubrica. Muitos conceitos inicialmente distintos
foram unificados para formar um cordão. O conceito de energia propiciou amarrar estas cordas em uma única rede.
A formulação matemática do principio da energia resultou das necessidades dos engenheiros durante a Revolução
Industrial. Eles precisavam de um modo de comparar a eficiência das máquinas a vapor, dos motores elétricos, dos
animais de tração, etc... Tornou-se uma prática aceitável em engenharia comparar o resultado energético de uma
máquina com o produto W=P.d, onde P é o peso, e esta quantidade foi batizada trabalho. O fato é : a energia foi assim
definida porque é conservada. Mas a habilidade de realizar trabalho é conservada? Não! Não se pode transformar
100% de calor em trabalho (Segunda Lei da Termodinâmica, espere até Física II), embora seja possível transformar
100% de trabalho em calor (por exemplo, um bloco que se move sob a ação de forças de atrito). A conversão
completa de calor em trabalho em um processo cíclico é impossível. Cada vez que a energia é convertida, a sua
habilidade de realizar trabalho é perdida. Se a habilidade de realizar trabalho fosse conservada, um elevador poderia
funcionar continuamente desde que o levássemos uma única vez ao último andar. Conforme desceria, a sua
37
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habilidade de realizar trabalho diminuiria e esta habilidade poderia ser armazenada em outro sistema. Assim esta
habilidade poderia ser utilizada para subir o elevador de novo até o topo. Logo, energia não é a habilidade de realizar
trabalho! A energia é sim uma medida escalar da mudança do estado do sistema.
Para saber mais:
[1] R. L. Lehrman, Energy is not the ability to do work, The Phys. Teach. January (1973) p. 15
38
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Aula 12- Energia potencial
Nome:_____________________________________________________________________
1- Seja F= 2i N . Qual o trabalho desta força entre xo = 2 m e x= 4 m?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) – 4J
)4J
)0J
)2J
2- Qual das seguintes grandezas nunca pode ser negativa (pode haver mais que uma)?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) massa;
) tempo;
) trabalho;
) energia potencial;
) energia cinética;
3- Um objeto situado em um ponto A possui energia cinética K A =5 J , energia potencial UA = -10 J se
move por ação de forças conservativas para um ponto B onde possui energia cinética K B = 10 J.. Qual é a
energia potencial do objeto no ponto B?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
)0J
)5J
) 10 J
) 15 J
) -15J
4- Uma partícula move-se ao longo do eixo x através de uma região em que a energia potencial U(x) varia
conforme ilustrado abaixo. A partícula tem uma energia mecânica constante de 4,0 J. Qual o valor da
energia cinética em x = 4 m?
a) ( ) 2 J
b) ( ) 3 J
c) ( ) 4 J
d) ( ) 5 J
e) ( ) 6 J
5- Ainda sobre o gráfico da questão anterior, qual o trabalho da força entre x =1 e x = 8?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
)1J
) -1 J
)0J
)2J
6- Sobre o gráfico da questão 4: Qual o trabalho total para deslocar o objeto de x=8 m para para x = 4 m e
então de volta para x= 8 m?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
)3J
) -3 J
) -6 J
)6J
)0J
39
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
7- A respeito do gráfico da questão 4, indique se verdadeiro (V) ou falso:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(
(
(
(
(
(
) o ponto x =4 m é um ponto de equilíbrio instável;
) o ponto x= 6 m, a força é nula;
) a força entre x = 0 e x= 1 m é F = 1 i N
) A força é nula em x= 4 m
) em x = 5 m a força é negativa (aponta para a origem)
) o ponto x =4 é um ponto de equilíbrio estável;
8- Forças conservativas. Seja k a constante de uma mola ideal que possui um bloco de massa m preso a uma
das suas extremidades. O bloco se move de x1=d a x2 = 2d. A seguir o bloco retorna de x2 a x1. Quais os
trabalhos realizados pela força da mola enquanto se move de x1 a x2 (ida), de x2 a x1 (volta) e o trabalho
total (ida e volta), respectivamente?
a) ( ) kd2/2, kd2/2, kd2
b) ( ) -kd2/2, +kd2/2, 0
c) ( ) kd2/2, -kd2/2, 0
d) ( ) 3kd2/2, -3kd2/2, 0
e) ( ) -3kd2/2, 3kd2/2, 0
9- Forças conservativas – Qual das seguintes forças não é conservativa?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) F = 3i+4j
) F = 3xi+4yj
) F = 3yi+4xj
) F = 3x2i+4y2 j
10- Força e energia potencial. A energia potencial de uma partícula se movendo ao longo do eixo x é dada por
U(x) =(kx2/2)+ (bx4/4). Determine a força
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) –kx-bx3
) +kx+bx3
) (kx3/6)+(bx5/20)
) –(kx3/6)-(bx5/20)
) –kx-bx2
11- Uma partícula de massa m move-se sob a influência de um potencial U(x), conforme ilustrado abaixo. Se
a energia total do sistema é nula, qual o período do seu movimento?
A) a) ( ) zero
m
Uo
B) b) ( )
d
C) c) ( )
2d
D) d) ( )
d m
2 Uo
m
Uo
12- A energia potencial entre dois átomos em uma molécula diatômica é dada por U(r) = a/r 12 – b/r6 , onde r é
a distância entre os átomos e a e b são constantes positivas. A) determine a força F(r) que um átomo
exerce sobre o outro em função de r.
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) a/r13- b/r7
) -12a/r11 +6b/r5
) -12a/r13 +6b/r7
) +12a/r13 -6b/r7
40
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13- Determine a distância entre os átomos para que haja equilíbrio no item anterior
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) (a/b)1/6
) (2a/b)
) (2a/b)1/6
) (a/2b)1/6
14- Forças conservativas
forças não-conservativas: Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)
a)
( ) Um força para a qual o trabalho realizado não é independente da trajetória chama-se força não
conservativa
b) ( ) O atrito é uma força conservativa
c) ( ) É possível definir uma energia potencial associada a uma força não-conservativa
d) (
) Se F é uma força não-conservativa então
 
F .dr 0
e)
( ) A energia do sistema Esis é a soma da energia mecânica Emec com a energia térmica Eterm (Esist = Emec
+ Eterm)
f) ( ) A energia pode ser transferida para um sistema realizando-se trabalho sobre ele
g) ( ) A energia potencial é uma função da velocidade da partícula
h) ( ) A energia potencial é uma função da posição da partícula
i) ( ) A energia pode ser transformada, dentro do sistema, entre cinética (K), potencial (U) e térmica (E term).
Este processo altera a energia do sistema.
j) ( ) Se Emec = 0 então o trabalho das forças não conservativas é nulo
k) ( ) A energia de um sistema isolado é conservada
15- Forças conservativas forças não-conservativas: Uma criança desce o escorregador de um playground
com velocidade de módulo constante. A transformação de energia envolvida é:
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
)U K
)K U
) Não existe transformação porque a energia é conservada
) U Eterm
) K Eterm
16- Quanto trabalho é realizado pela vizinhança no processo representado na figura abaixo? A energia é
transferida da vizinhança para o sistema ou sentido contrário?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
)+2J
)–2J
)0 J
)+1J
)-1J
41
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17- Um bloco de massa m está se movendo com velocidade v e colide com uma mola com força restauradora
F= -k1x-k2x3 sobre uma superfície sem atrito. Encontre a compressão máxima da mola
a)
b)
c)
d)
e)
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) (k1/k2)1/2
) (k1/k2)[(1+mv2k2/k12)1/2 -1]
) (k1/k2)1/2 [(1+mv2k2/k12)1/2 -1]1/2
) (k1/k2)[(1+2mv2k2/k12)1/2 -1]
) (k1/k2)1/2 [(1+2mv2k2/k12)1/2 -1]1/2
18- Um pêndulo simples de massa m é largado de uma altura h. Após colidir com uma mola que segue uma
lei de força não linear F = -kx-bx3. Calcule a compressão da mola.
a)
2mgh
k
a) ( ) x =
2k
b
b) b) ( ) x =
c)
c) ( ) x =
4
4mgh
b
d) d) ( ) x =
4mgh
b
k
b
e)
4mgh
b
k
b
e) ( ) x =
2
2
1/ 2
k
b
1/ 2
k
b
Confusões acerca da Conservação da energia
Energia potencial:
É importante lembrar que a energia potencial é uma propriedade de um sistema, não de um objeto. Está
associada com a força que atua entre membros do sistema. Uma partícula não pode possui energia
potencial. Está errado afirmar: “a energia potencial gravitacional da bola”. O correto é “ a energia
potencial gravitacional do sistema bola-Terra”
Calor:
A palavra mais incorretamente utilizada em física é calor. Calor é tanto um processo no qual a energia é
transferida quanto a quantidade de energia transferida, normalmente representado por Q. Não é a
entidade que está sendo transferida (calor não é transferido; é a energia que é transferida). Calor é um
substantivo, é o nome de um processo, não o nome daquilo que é transferido. Ao invés de falar:
“transferência de calor”, devemos falar em “transferência de energia por calor”.
Transferência de energia e transformação de energia
Há uma distinção entre transferência e transformação de energia. A transformação de energia ocorre
dentro do sistema. Por exemplo: energia cinética se transforma em energia potencial. A transferência de
energia ocorre através dos limites de um sistema. Há dois mecanismos de transferência de energia:
trabalho e calor. Em mecânica, a única forma de transferência de energia considerada é através do
trabalho de forças externas. Trabalho realizado sobre o sistema por forças externas (Wext) transfere
energia do ou para o sistema. A transformação de energia também ocorre através do trabalho, neste caso,
o trabalho é realizado por forças internas ao sistema W int. É o trabalho realizado por um componente do
sistema sobre outro que causa a transformação de energia. Enquanto o trabalho das forças internas ao
42
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
sistema está relacionado a uma mudança na energia potencial, o trabalho externo pode estar associado
com uma mudança em qualquer forma de energia no sistema: cinética (W= KCM), potencial (levar um
bloco ao topo de um plano inclinado), energia térmica (aquecer as mãos, atrito).
Trabalho e conservação da energia.
A lei da conservação da energia não é derivável das leis da dinâmica, mas sim uma afirmação
independente. A lei da conservação da energia, incluindo transferência de energia por calor é uma lei que,
na maioria dos casos, tem muito pouco a ver com o teorema do trabalho-energia cinética (W= KCM).
Nem sempre os livros deixam este fato suficientemente claro para o aluno. Muitos alunos saem da
disciplina de mecânica pensando que W= KCM é uma equação fundamental para a energia. O teorema do
trabalho-energia cinética só pode ser utilizada quando (i) trabalho é o único mecanismo de transferência
de energia ao sistema e (ii) a energia cinética do sistema é o única forma de energia que se altera no
sistema.
A primeira lei da termodinâmica diz que há somente duas formas de transferir energia para ou do sistema:
por calor e/ou por trabalho, ou seja: E Q Wext , onde E é a energia interna do sistema, Q é
quantidade de energia cedida por calor ao sistema, e W ext o trabalho total das forças externas ao sistema.
E é a soma das várias formas de energia interna: E= Etérmica + Equímica + K+ U + ..., onde Etérmica
é a variação da energia térmica interna, Equímica é a variação da energia química interna, K é a variação
da energia cinética (de translação + de rotação), U é a variação da energia potencial (gravitacional +
elástica+ elétrica), e outras associadas a emissão de som, radiação, etc...
Categorizando o sistema
Um sistema não-isolado é aquela no qual ocorre transferência de energia através dos limites do sistema
( E 0). Um sistema isolado é aquele no qual não ocorre transferência de energia através dos limites do
sistema ( E = 0).Vamos considerar três casos especiais para ver como utilizar o principio da conservação
da energia na prática.
(i) suponha que o sistema é um objeto único que pode ser modelado como uma partícula sob a ação de
uma força externa. Como o sistema não é isolado e a única forma de energia que pode ser alterada no
sistema é a energia cinética, então Wext = K.
(ii) considere agora um sistema arbitrário que é isolado de modo que não há transferência de energia do
ou para o sistema. Suponha ainda que nenhuma força não conservativa atue no sistema. Então E =
K+ U = 0 e Wc = K=- U. Onde Wc é o trabalho das forças conservativas internas ao sistema.
(iii) Finalmente considere um sistema não-isolado onde pode ocorrer transferência de energia por calor ou
trabalho : E Q Wext .
Para saber mais:
[1] A. B . Arons, Teaching Introductory Physics, Part I, p. 146
[2]A. B. Arons, Developing the energy concepts in Introductory Physics , The Phys. Teach. , outubro
(1989) p. 506
[]A. B. Arons, Development of energy concepts in Introductory Physics Course , Am. J. Phys , vol. 67
(1999) p. 1063
[3] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student I: work, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p. 38
[4] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student II: systems, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p. 81
[5] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student III: language, The Phys. Teach. , vol. 46 (2008) p.
149
[6] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student IV: A global approach to energy, The Phys. Teach. ,
vol. 46 (2008) p. 269
[7] J. W. Jewett Jr., energy and the Confused Student V: The energy/momentum approach to problems
involving rotating and deformable systems, The Phys. Teach. , abril (2008) p. 210
[8] Carl. E. Mungan, A primer in work –energy relationships for introductory physics, The Phys. Teach. ,
janeiro (2005) p. 10
[9] E. Hecht, Energy and Change, The Phys. Teach. , fevereiro (2007) p. 88
43
Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
[10] E. Hecht, Energy Conservation Simplified, The Phys. Teach. , vol.46 (2008) p. 77
[11] E. Hecht, An Historico-Critical Account of Potential Energy: Is PE Really Real?, The Phys. Teach.
41, 486 (2003)
Problemas adicionais – Conservação da energia
1- Considere um corpo de massa m preso a um aro de raio R,
sem atrito, através de uma mola de constante k e
comprimento livre nulo, como mostra a figura. O corpo é
solto do ponto O com velocidade inicial nula. Tomando o
zero da energia potencial gravitacional como mostrado na
figura, encontre: a) a energia mecânica do sistema no ponto
O, b) uma expressão para a energia mecânica no ponto P
descrito pelo ângulo , c) a velocidade da massa no ponto P,
d) a força de reação do trilho no ponto P, e e) o menor valor
de k para que a massa permaneça em contato com o trilho.
2- Um bloco de massa M desliza sobre uma mesa com
coeficiente de atrito cinético =3/4. Ele colide com uma mola
de massa desprezível, de constante de mola k, inicialmente na
posição relaxada, como mostra a figura. Na hora que o bloco
atinge a mola ele possui velocidade vo = (Mg2/k)1/2. A)
Encontre a energia cinética K(x) como função da posição x,
b) complete quadrados e faça um gráfico de K(x), c) qual a
deformação máxima da mola? D) que fração da energia
inicial é dissipada pelo atrito neste processo?
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
3- Um corpo de massa m é acelerado uniformemente a partir do repouso até atingir a
velocidade vf no tempo tf . Mostre que a potência instantânea fornecida ao corpo é
P(t)=mvf2(t/tf)
4- Considere o sistema da figura ao
lado onde a força F é constante e
os planos têm coeficiente de atrito
dinâmico . Calcule o trabalho
total realizado pelas forças agindo
no sistema (força F, atrito, peso
Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio
normal, tração no fio) quando o
mesmo desloca-se uma distância
infinitesimal x.
5- Considere o potencial de Lennard-Jones comumente utilizado como sendo a energia
de interação entre dois átomos constituindo uma molécula: U(r)=C[(ro/r)12 -2(ro/r)6]. A)
Faça um gráfico de U(r) contra r; b) Mostre que o mínimo de energia (posição de
equilíbrio) ocorre em ro ; c) Ache a força ente os átomos como função de r ; d) Qual é a
energia necessária para separar os átomos que constituem a molécula?
6- Um pêndulo de massa m e
comprimento l é solto de um
ângulo a partir do repouso, como
indicado na figura ao lado. Ao
atingir a posição vertical, o cordão
do pêndulo encontra um prego
colado a uma distância d do teto.
Encontre a distância d mínima que
Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio
a massa m execute rotação ao
redor do prego.
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7- Um corpo de massa m move-se no
interior de um trilho circular
vertical de raio R. Quando m está
na posição mais baixa sua
velocidade é vo. a) Qual é o mínimo
valor de vo tal que o corpo percorra
todo o trilho? B) se vo for 78% do
valor determinado em a), o corpo
Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio
sobre pelo trilho até o ponto P,
perderá contato com o trilho.
Determine a coordenada deste
ponto.
8- Um corpo de massa M, sujeito a um potencial U(x) =-cos x,é solto na origem (x=0)
com velocidade vo. a) Faça um esboço do potencial na região -1 x 1; b) Encontre a
força F(x) agindo no corpo e c) Qual é a máxima velocidade vo que pode ser dada ao
corpo de tal maneira que ele fique confinado na região -1 x 1?
9- Uma massa m escorrega sem atrito
ao longo da montanha russa
mostrada na figura ao lado. A parte
circular tem raio R e a massa parte
do repouso no ponto B, à altura h
medida em relação à base dos
Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio
trilhos. A) Qual é a energia cinética
de m no ponto P? b) Qual é a
aceleração de m no ponto P,
admitindo que a massa permaneça
no trilho: c) Qual é o menor valor
de h para que m execute o
movimento circular? D) Para um
valor de h maior que este mínimo
escreva a expressão da força
normal exercida pelo trilho sobre a
massa.
Respostas:
4- W= (F-2 Mg) x
56- 4l/5;
7- vo = (5gR)1/2 ; =20,3o
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89-K=mg(h-2R)=mvp2/2; ac = vp2/R=g+N/m c) N=0
h=5R/2 d) N=mg(2h/R-2-3cos )
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Encontro 17- Buzz group
Nome:________________________________________________________________________
Buzz Group, cuja tradução literal é grupo de zumbido é um formato alternativo de aula onde formam-se
grupos de discussões. Você irá trabalhar em dupla. A ideia é discutir e resolver um problema
apresentado. O problema pode ser simples ou de um nível maior, mas exigirá um conhecimento do
assunto em questão. O objetivo é clarificar os pontos que eventualmente não foram completamente
compreendidos. O objetivo poderá ser alcançado pela ajuda do seu colega que pode ajudá-lo de um modo
mais simples que o professor.
1- Uma caixa desliza de cima para baixo ao longo de uma rampa e o trabalho realizado sobre a caixa pelas
forças de gravidade e do atrito. O trabalho de cada uma dessas forças pode ser expresso em termos da
variação em uma função energia potencial? Para cada força, explique porque sim e porque não.
2- Uma partícula é deslocada ao longo de uma trajetória no plano xy do ponto 1 cujo vetor posição é r1 = i+
2j ao ponto 2 com vetor posição r2 =2i-3j. Durante este tempo, a partícula experimentou a ação de
algumas forças, uma das quais é F=3i+4j. Encontro o trabalho realizado pela força. (todas as grandezas
são expressas no SI)
3- Uma locomotiva de massa m inicia o seu movimento de tal forma que a sua velocidade é dada por
v=cx1/2, onde c é uma constante e x é a distância percorrida. Encontre o trabalho total realizado por todas
as forças que atuam na locomotiva durante os primeiro t segundos após o inicio do movimento.
Teste sobre as aulas 9 a 12 na próxima semana
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Aula 13- Momento Linear e Impulso
Nome:_____________________________________________________________________
“Em nossos estudos utilizamos modelos. A realidade é extremamente complicada. Jamais seríamos
capazes de desenvolver uma ciência se tivéssemos que nos preocupar com cada detalhe em cada situação.
Um modelo é uma descrição simplificada da realidade, usada para reduzir a complexidade de um
problema ao ponto em que ela pode ser analisada e compreendida.”
Motivação: Nas aulas de karatê ensinam a terminar um soco, um pontapé ou um golpe vários centímetros
adentro do corpo do adversário. Esta técnica é diferente da luta normal de rua, em que há muito corpo a
corpo. Qual das técnicas provoca mais estragos? Fazendo um cálculo aproximado, pode explicar por que
é que um lutador de karatê consegue partir uma tábua, um tijolo ou um osso humano com um soco?
1- Momento linear. Se a força resultante que age sobre um corpo é constante, o que pode ser concluído sobre
o seu momento?
a) ( ) o módulo e/ou a direção do momento podem mudar
b) ( ) o módulo do momento permanece constante, mas a sua direção pode mudar
c) ( ) a direção do momento não pode mudar, mas o seu módulo pode mudar
d) ( ) o módulo e a direção do momento permanecem constantes.
2- Momento linear. Uma bola de massa m que está caindo na vertical atinge o chão com velocidade v. Ela
ricocheteia para cima com v/2. Qual é o módulo da variação de momento da bola?
a) ( ) mv/2.
b) ( ) 3mv/2.
c) ( ) mv.
d) ( ) 2mv.
3- Momento linear. Um objeto está se movendo em círculo com velocidade de módulo constante v. O
módulo da taxa de variação de momento do objeto é
a) ( ) zero
b) ( ) proporcional a v
c) ( ) proporcional a v2
d) ( ) proporcional a v3
4- Impulso e momento. Um objeto está se movendo em círculo com velocidade de módulo constante v. Do
instante inicial ao instante final, o objeto percorre meia-volta do caminho circular. O módulo do impulso
devido à força resultante que age sobre o objeto durante este intervalo é
a) ( ) zero
b) ( ) proporcional a v
c) ( ) proporcional a v2
d) ( ) proporcional a v3
5a)
b)
c)
d)
Impulso e momento. Se J representa o impulso de uma determinada força, o que representa a dJ/dt?
( ) o momento
( ) a variação do momento
( ) a força
( ) a variação da força
6- Impulso e momento. Uma força variável age sobre um objeto durante um intervalo de tempo
impulso da força é nulo. Pode-se concluir que
a) ( ) r = 0 e p = 0
b) ( ) r = 0 e possivelmente p 0
c) ( ) possivelmente r 0 mas p = 0
d) ( ) possivelmente r 0 e p 0
t. O
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
7- Impulso e momento. Um objeto de massa M move-se para a direita com velocidade de V quando passa a
experimentar a força representada pela parte A da figura acima. Qual é o módulo da velocidade após a
força cessar?
a) ( ) V +FT/2M
b) ( ) V +2FT/M
c) ( ) V +FT/M
d) ( ) V - FT/M
8- Impulso e momento. Um objeto de massa M move-se para a direita com velocidade de módulo V
quando passa a experimentar a força representada pela parte B da figura acima. Qual é o módulo da
velocidade após a força cessar?
a) ( ) V + FT/M
b) ( ) V - FT/M
c) ( ) V - FT/2M
d) ( ) V + FT/2M
9- Impulso e momento. Um deslizador de trilho de ar com massa m colide com uma mola fixa a uma das
extremidades do trilho. A mostra acima mostra a velocidade do deslizador (parte D) e a força exercida
sobre ele pela mola (parte C). Por quanto tempo o deslizador fica em contato com a mola?
a) ( ) mvo/Fo
b) ( ) 2mvo/Fo
c) ( ) 3mvo/Fo
d) ( ) 4mvo/Fo
e) ( ) 8mvo/Fo
10- Impulso e momento. Vamos trabalhar a ideia de momento e impulso um pouco mais. Considere um bloco
de gelo sobre uma superfície sem atrito. Suponha que uma força contínua atua sobre o bloco. Claro que
isto leva ao bloco a acelerar. Após a força ter atuado por algum tempo, a velocidade do bloco aumentou
de uma certa quantidade. Agora, se a força e a massa do bloco não mudam, mas o tempo que a força atua
dobra, então o aumento na velocidade será...
a) ( ) inalterado
b) ( ) dobrado
c) ( ) triplicado
d) ( ) quadruplicado
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
e)
( ) diminuído à metade
11- Agora, se a força e o tempo de ação não mudam, mas a massa do bloco dobra, então o aumento da
velocidade será....
a) ( ) inalterado
b) ( ) dobrado
c) ( ) a metade
d) ( ) um quarto do valor anterior
e) ( ) quadruplicado
12- E agora suponha somente que a força é dobrada enquanto a massa e o tempo de ação não mudam. Então
o aumento na velocidade será
a) ( ) inalterado
b) ( ) dobrado
c) ( ) a metade
d) ( ) um quarto do valor anterior
e) ( ) quadruplicado
13- Finalmente, suponha que a força aplicada, a massa, e o tempo de ação permanecem inalterados, mas de
algum modo a força da gravidade é dobrada – como se o experimento fosse realizado em outro planeta .
Então o aumento na velocidade será
a) ( ) inalterado
b) ( ) dobrado
c) ( ) a metade
d) ( ) um quarto do valor anterior
e) ( ) quadruplicado
14- Assinale se verdadeiro V ou falso F.
a) ( ) A conservação do momento é válido somente quando o principio de ação e reação também é válido;
b) ( ) Em um sistema composto por duas bolas na presença da gravidade, os pesos das esferas representam
forças internas ao sistema;
c) ( ) No sistema Terra-Lua, a força de atração da Terra pelo Sol é uma força interna ao sistema.
d) ( ) No sistema Terra-Lua, a força de atração da Terra pela Lua altera o momento linear do sistema.
e) ( ) A condição necessária e suficiente para que o momento de um sistema de duas partículas se conserve
é que a resultante das forças externas aplicadas ao sistema se anule
f) ( ) Considere o sistema solar. A força de atração entre o Sol e a Terra altera o momento do sistema.
15- Um carro pequeno que viaja em alta velocidade em uma estrada perde o controle. O motorista tem de
fazer uma escolha – colide com uma parede sólida de concreto ou com um caminhão de 10 toneladas
completamente carregado, e também se movendo em alta velocidade. Qual das escolhas resulta na colisão
mais séria? Considere que em ambos os casos o carro pequeno fica em repouso após a colisão.
a) ( ) a colisão com o caminhão
b) ( ) a colisão com a parede de concreto
c) ( ) ambas as colisões são igualmente sérias, uma vez que o mesmo impulso é assimilado pelo carro em
ambas as situações
d) ( ) são necessárias mais informações para avaliar as colisões
16- Policiais do esquadrão antimotim normalmente usam balas de borracha, em vez de balas comuns.
Suponha que nenhuma das balas penetre na pele e que ambas possuem mesma massa, mesmo tempo de
contato e mesma velocidade inicial. A diferença é que as balas comuns “aderem” enquanto que as de
borracha ricocheteiam. Qual das duas machuca mais?
a) ( ) a bala comum
b) ( ) a bala de borracha
c) ( ) as duas balas machucam da mesma forma
d) ( ) depende da região atingida
17- Momento e energia cinética. Se o momento de um corpo que cai dobra, a sua energia cinética....
a) ( ) dobra;
b) ( ) quadruplica;
50
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c)
( ) é a mesma;
18a)
b)
c)
d)
Momento e energia cinética. Um revólver recua quando disparado. O revolver e o projétil possuem....
( ) a mesma energia cinética;
( ) momentos iguais e opostos;
( ) ambas as alternativas acima;
( ) nenhuma das alternativas acima;
Refira-se a este enunciado para responder às próximas três questões: Considere dois objetos com a mesma
posição inicial sobre uma mesa horizontal sem atrito. O bloco B tem massa quatro vezes maior que o
bloco A. Os dois blocos são empurrados, a partir do repouso, por duas forças iguais até a linha de
chegada.
19a)
b)
c)
Qual dos blocos terá energia cinética maior ao atingir a linha de chegada
( ) O bloco A
( ) O bloco B
( ) Ambos os blocos terão a mesma energia cinética
20a)
b)
c)
Qual dos blocos alcança primeiro a linha de chegada?
( ) o bloco A
( ) o bloco B
( ) ambos chegarão juntos
21a)
b)
c)
Qual dos blocos terá maior momento ao alcançar a linha de chegada?
( ) o bloco A
( ) o bloco B
( ) ambos terão o mesmo momento.
22- Conservação do momento. Considere um sistema formado por duas partículas. É possível que a lei de
conservação do momento seja violada para este sistema?
a) ( ) não
b) ( ) sim, se houver mais do que duas partículas
c) ( ) sim, se as forças entre as partículas variarem no tempo
d) ( ) sim, se duas partículas grudarem após a colisão
23a)
b)
c)
d)
Um jogador de basquete salta para acertar a cesta. O seu momento é conservado?
( ) sim, mas somente se for escolhido o sistema correto
( ) sim, mas somente na direção horizontal
( ) Não, porque a velocidade do jogador de basquete varia no tempo.
( ) Esta não é uma boa questão, porque a conservação do momento é para objetos que se movem com
velocidade constante, e o jogador de basquete está acelerando.
24- Preparando-se para um julgamento, um advogado se questiona: Um vaso de flores de 1 kg cai de uma
altura de 1 m em cima da cabeça de sua cliente. Quanta força o vaso exerceu sobre a cabeça de sua
cliente?
a) ( ) 1N;
b) ( ) 10 N;
c) ( ) 100 N;
d) ( ) Não é possível responder com os estes dados;
Resposta da questão inicial: a técnica do corpo a corpo produz poucos efeitos, visto que consiste
sobretudo em empurrar o adversário. O golpe de karatê concentra-se numa zona situada cerca de 2 cm
dentro do corpo do oponente, de forma que o contato inicial dá-se quando a mão atinge a velocidade
máxima e, portanto, força do impacto também é máxima.
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Aula 14 - Sistemas de 2 partículas
Nome:________________________________________________________________________
1- Qual o momento linear de cada uma das partículas 1 e 2 abaixo, respectivamente (ambas possuem massa
m e velocidade de módulo vo)?
a)
(
b) (
) p
1
mvo
2ˆ
i
2
2 ˆ 
j ; p2
2
) p
mvo
2ˆ
i
2
2 ˆ 
j ; p2
2
) p
1
mvo
2ˆ
i
2
2 ˆ 
j ; p2
2
mvo ˆj
) p mv
1
o
2ˆ
i
2
2 ˆ 
j ; p2
2
mvo ˆj
1
c)
(
d) (
mvo ˆj
mvo ˆj
2- Determine o centro de massa do sistema abaixo (ambas possuem velocidades de módulo vo)
( )

Rcm
b) ( )

Rcm
c)
( )

Rcm
d) ( )

Rcm
a)
4iˆ
ˆj
d
3
4iˆ 2 ˆj
d
3
7iˆ ˆj
d
3
7iˆ ˆj
d
3
3- Qual o momento do centro de massa do sistema acima?
a)
( )
b) ( )
c)
( )
d) ( )

P

P

P

P
mvoiˆ
mvoiˆ
2mvoiˆ

0
4- Um sistema é composto por duas partículas. A primeira está situada na posição r’1 = -2i+3 j (em metros)
em relação ao C. M. do sistema. Qual a posição da segunda partícula, com o dobro da massa da primeira,
em relação ao C. M.?
a) ( ) r’2 = +2i-3 j
b) ( ) r’2 = +2i+3 j
c) ( ) r’2 = +i-(3/2) j
d) ( ) r’2 = +(3/2)i- j
5- Na questão 2, qual é o momento total do sistema em relação ao C. M.
a)
( )
b) ( )
c)
( )
d) ( )

P

P

P

P
mvoiˆ
mvoiˆ
2mvoiˆ

0
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6) Dois blocos idênticos estão conectados por uma mola. O sistema está suspenso, em repouso, por um fio
preso ao teto, conforme mostrado abaixo. O fio se rompe repentinamente. Imediatamente após o fio se
romper, qual é a aceleração do bloco superior?
a) ( ) 0
b) ( ) g/2
c) ( ) g
d) ( ) 21/2g
e) ( ) 2g
7) Dois discos sem atrito estão conectados por uma correia de borracha de massa desprezível. Um dos discos
é projetado sobe uma mesa de ar, a correia de borracha estica, e o segundo disco segue- de um modo
aparentemente aleatório – o primeiro disco. O centro de massa deste sistema de duas partículas é
localizado
a) ( ) sob uma distância fixa a partir de um dos discos
b) ( ) normalmente, mas nem sempre, entre os dois discos.
c) ( ) sob uma distância a partir de um dos discos, que é uma razão fixa entre os dois discos.
d) ( ) algumas vezes mais perto do primeiro disco, e algumas vezes mais perto do segundo disco.
8)
a)
b)
c)
d)
Dois objetos estão se movendo sobre uma superfície. O centro de massa só existe se
( ) os dois objetos estiverem fisicamente conectados
( ) a superficie for plana
( ) a superfície for sem atrito
( ) N. R. A.
9) Dois objetos situam-se sobre uma superfície plana e sem atrito. Os objetos não estão conectados e nem se
tocando. Uma força de módulo F é aplicada em um dos objetos, que se move então com uma aceleração
de módulo a. Quais das seguintes afirmações é a mais correta?
a) ( ) o conceito de centro de massa não pode ser aplicado porque a atuação da força externa não se dá nos
dois objetos
b) ( ) o centro de massa se move com uma aceleração que pode ser maior que a
c) ( ) o centro de massa se move com uma aceleração que deve ser igual a a.
d) ( ) O centro de massa se move com uma aceleração que deve ser menor do que a.
10) Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma corda leve que passa por uma polia. Em um
dos objetos é dada uma condição inicial de velocidade para cima. O centro de massa do objeto irá
a) ( ) acelerar para cima ou para baixo, dependendo da massa relativa dos dois objetos.
b) ( ) acelerar para baixo somente depois que ele tiver alcançado o seu ponto mais alto
c) ( ) acelerar para baixo sob valores menores do que g
d) ( ) acelerar para baixo com um valor de g.
11) Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma mola comprimida. O objeto combinado é
lançado verticalmente. No ponto mais alto da trajetória a mola se solta, o que faz com que um dos objetos
seja projetado para um ponto ainda mais alto no ar. A mola permanece conectada ao outro objeto. Logo
após `a liberação da mola, o centro de massa do objeto está
a) ( ) movendo-se para cima e acelerando para cima
b) ( ) movendo-se para cima e acelerando para baixo
c) ( ) movendo-se para baixo e acelerando para cima
d) ( ) movendo-se para baixo e acelerando para baixo
e) ( ) N. R. A
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12) Justifique porque a colisão abaixo é impossível
13) Uma mesma colisão vista em três referencias diferentes. Você saberia explicar cada um deles?
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Aula 15 - Sistemas de muitas partículas
Nome:________________________________________________________________________
1- Um sistema é composto por três partículas de massas iguais. Seja Fij a força sobre a partícula i (i=1,2,3)
devido à partícula j (j i) e Fiext a força externa sobre a partícula i. Se F12 = Foi , F13 = -Foj, F1ext = Foj, F32
= Fok , F2ext = -Fok e F3ext = 0. Quanto vale a força total sobre a partícula 2?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) +Foi+Fok
) -Foi-Fok
) -Foi
) +Foi+2Fok
) -Foi-2Fok
2- Ainda sobre o item anterior, qual é a força total que atua no sistema?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) Fo(-j-k)
) Fo(j+k)
) Fo(-j-k)
) Fo(j-k)
) Fo(i +j+k)
3- Qual a aceleração do sistema na questão anterior?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) (Fo/m) (j-k)
) (Fo/m) (j+k)
) (Fo/3m) (j+k)
) (Fo/3m) (j-k)
) (Fo/m) (-j-k)
4- Indique se verdadeiro (V) ou Falso (F)
a)
( ) A taxa de variação com o tempo do momento total de um sistema de partículas é igual à resultante
das forças internas e externas que atuam no sistema
b) ( ) O anulamento da resultante das forças externa é equivalente à conservação do momento total do
sistema
c) ( ) Um sistema isolado é aquele que está livre de forças externas
d) ( ) Um sistema não pode deslocar seu C. M. sob a ação puramente de forças internas.
5- Pendurando um imã em frente de um carro, irá fazê-lo se deslocar?
a) ( ) sim
b) ( ) não
c) ( ) irá se mover na ausência de atrito.
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6- Questão para discussão: Se apenas as forças externas podem acelerar o centro de massa de um
sistema de partículas, como é possível que um carro se mova? Normalmente imagina-se o motor
fornecendo a força necessária para acelerar um carro, porém isto é de fato verdadeiro? Onde atuam as
forças externas que aceleram o carro?
7- Questão para discussão: Quando se aciona o pedal do freio para diminuir a velocidade de um carro,
um pastilha de freio é pressionada contra um disco de modo que o atrito da pastilha diminui a rotação
da roda. Entretanto, o atrito da pastilha contra o disco não pode representar a força que freia o carro,
uma vez que ela é uma força interna – tanto o disco quanto a roda fazem parte do carro; logo,
quaisquer forças entre eles são apenas internas ao sistema. Qual é a força externa que diminui a
velocidade do carro?
8- Questão para discussão: Ao oscilar para frente e para trás, um pêndulo conserva seu momento? E a
sua energia? Explique
9- (Unificado UFRJ 2012) Um menino, de massa m, encontra-se na extremidade esquerda de um barco
de comprimento L e massa M, distribuída homogeamente. Inicialmente, o conjunto, barco e menino,

move-se para a direita com velocidade V1 , em relação a um referencial inercial colocado na margem
do lago. Num dado instante o menino move-se para a extremidade direita do barco, onde permanece.

Nesta situação o conjunto move-se com velocidade constante V2 em relação ao mesmo referencial
inercial. Desprezando-se o atrito entre o barco e a água, pode-se afirmar, ao fim do processo, que:
a)
b)
c)
d)
e)
( ) V 1 V2
( ) V 1 = V2
( ) V2 = 0
( ) Não se pode determina V2, pois não se conhece a força exercida pelo menino sobre o barco.
( ) Não se pode determina V2, pois não se conhece a velocidade inicial do centro de massa do
sistema barco-menino.
10- Um projétil se fragmenta em três partes. Após a fragmentação, o primeiro pedaço de massa 2m possui
velocidade v1 = -vj, o segundo, de massa m, possui velocidade v2 = 2vj e o terceiro, de massa m, possui
velocidade v3 = vi. Qual era a velocidade do projétil imediatamente antes da fragmentação?
a) ( ) vi
b) ( ) (v/4)i
c) ( ) vj
d) ( ) -vj
e) ( ) v(-i+j)
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Problemas adicionais – Sistema de partículas Conservação do momento
1- Calcule a potência necessária para levantar verticalmente uma corda inicialmente enrolada no solo,
com velocidade constante vo. A densidade linear de massa da corda é
e no início ela está
completamente enrolada.
2- Um bloco de massa m repousa sobre uma
cunha de massa M e ângulo , que por sua vez
está colocada sobre uma superfície horizontal,
como mostrado na figura. Soltando o sistema
a partir do repouso, com o corpo a uma altura
h, determine a velocidade da cunha quando o
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
bloco tocar o solo. Todas as superfícies são
isentas de atrito.
3- Um carrinho motorizado, de massa m,
encontra-se sobre uma prancha de madeira de
massa M, que por sua vez encontra-se sobre o
chão extremamente liso (sem atrito), conforme
mostra a figura. O carrinho começa a se mover
com aceleração de módulo a relativa à
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
prancha. A) Encontre a distância que a
prancha percorre após decorrido um intervalo
de tempo t. B) Qual é a energia cinética
relativa ao centro de massa depois de
decorrido este tempo?
4- Um corpo de massa M é solto do repouso de uma altura h com relação à superfície da
Terra. Simultaneamente, uma bala de massa m é dispara verticalmente da superfície
com velocidade vo . Sabendo-se que em algum lugar da trajetória as massas colidem e
se unem, pergunta-se qual o tempo que as massas demoram para cair desde o
instante em que M é solta.
5- Sobre o prato de uma balança é colocada uma ampulheta. No instante inicial (t=0)
toda a areia está em repouso na parte superior da ampulheta. Sendo que a areia cai
para o recipiente inferior a uma taxa =dm/dt, obtenha uma expressão para a leitura
na balança para t 0
6- Um jato de água com velocidade vo e
fluxo =dm/dt é dirigido para cima
conforme mostra a figura ao lado.
Uma lata com a boca para baixo é
sustentada pelo jato. Se a massa da
lata é M, a que altura ela ficará?
Créditos: V. Bagnato e S. C. Zílio
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Aula 16- Colisões unidimensionais
Nome:_____________________________________________________________________
Motivação: Um escultor deve usar um martelo pesado ou leve quando cinzela? Que tipo de martelo se
deve usar para pregar um prego? Quando é que é preferível uma colisão elástica (isto é, com recuo do
martelo) a uma colisão inelástica? Imagine qualquer coisa maior, um bate-estacas, por exemplo: o bateestacas deve ser pesado ou leve, em comparação com as estacas?
1- Indique verdadeiro (V) ou falso (F)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
( ) A energia total apenas se conserva numa colisão elástica
( ) A energia mecânica (K+U) pode converter-se em calor
( ) A energia mecânica se conserva apenas quando as forças de interação são conservativas.
( ) A energia cinética sempre se conserva
( ) Numa colisão inelástica a energia cinética final é sempre menor que a energia cinética inicial.
( ) Numa colisão completamente inelástica a energia cinética assume o menor valor possível devido
apenas a movimento internos do sistema.
Colisões entre dois corpos. Considere uma colisão unidimensional que envolve um corpo de massa m 1,
originalmente se movendo no sentido positivo de x, com uma velocidade vo, colidindo com um segundo
corpo de massa m2, originalmente em repouso. A colisão pode ser completamente inelástica, com os dois
corpos se juntando, completamente elástica ou uma situação intermediária. Após a colisão, m1 move-se
com velocidade v1, enquanto m2 move-se com velocidade v2.
2a)
b)
c)
d)
Se m1 > m2, então
( ) –vo < v1 < 0
( ) 0 < v1 < vo
( ) 0 < v1 < 2vo
( ) vo < v1 < 2vo
3a)
b)
c)
d)
e sobre v2
( ) –vo < v2 < 0
( ) 0 < v2 < vo
( ) vo/2 < v2 < 2vo
( ) vo < v2 < 2vo
4a)
b)
c)
d)
Se m1 < m2, então
( ) –vo < v1 < 0
( ) -vo < v1 < vo/2
( ) 0 < v1 < vo/2
( ) 0 < v1 < vo
5a)
b)
c)
d)
e sobre v2
( ) –vo < v2 < 0
( ) –vo < v2 < vo/2
( ) 0 < v2 < vo/2
( ) vo < v2 < vo
6- (colisão elástica –alvo em repouso) Os reatores do Canadá usam moderadores de água pesada, nos quais
ocorrem colisões elásticas ente nêutrons de massa 1,0 u e dêuterons de massa 2,0 u. a) Qual a velocidade
de um nêutron, expressa em termos de sua velocidade inicial, depois de uma colisão frontal com um
dêuteron que estava inicialmente em repouso?
a) ( ) –1/3
b) ( ) +1/3
c) ( ) 2/3
d) ( ) –2/3
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7- Ainda sobre o item anterior, qual é a energia cinética final do nêutron, expressa como uma fração da sua
energia cinética inicial?
a) ( ) 1/3
b) ( ) ½
c) ( ) ¼
d) ( ) 1/9
8- (colisão totalmente inelástica) Em uma colisão unidimensional não relativística uma partícula de massa
2m colide com uma partícula de massa m em repouso. Se as partículas ficam grudadas após a colisão,
qual é a fração da energia cinética inicial é perdida na colisão?
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
) 0;
) ¼;
) 1/3;
)1/2;
) 2/3;
9- (Colisão inelástica) Um projétil de borracha e um de alumínio têm o mesmo tamanho, velocidade e
massa. Eles são disparados contra um bloco de madeira. Qual é o mais provável de derrubar o bloco?
a) ( ) o de borracha
b) ( ) o de alumínio
c) ( ) ambos
10a)
b)
c)
Sobre o item anterior, qual é o mais provável de danificar o bloco?
( ) o do borracha
( ) o de alumínio
( ) ambos
11a)
b)
c)
Ainda sobre o item anterior. Qual transfere mais momento?
( ) o de borracha
( ) o de alumínio
( ) ambos
12- Mamãe está fazendo pipoca. O milho “decai” em uma pipoca que é lançada em uma direção. Durante o
“decaimento” é provável que
a) ( ) uma partícula subatômica como um neutrino seja emitido em uma direção oposta.
b) ( ) não há neutrino envolvido no decaimento, mas algo invisível é emitido no sentido oposto
c) ( ) nada é emitido no sentido oposto.
13- (colisão inelástica) Um veículo utilitário muito pesado colide frontalmente com um carro compacto muito
leve. Qual destas afirmações sobre a colisão é correta? A) A quantidade de energia cinética perdida pelo
utilitário é igual à quantidade de energia cinética ganha pelo carro; b) A quantidade de momento linear
perdida pelo utilitário é igual à quantidade de momento linear ganha pelo carro; c) O carro sofre a ação de
uma força muito maior durante a colisão do que o utilitário; d) ambos os veículos perdem a mesma
quantidade de energia cinética.
14- Um boxeador leva um soco de seu oponente. De modo a reduzir a grande transferência de momento, ele
recua de modo a principalmente:
a) ( ) reduzir a velocidade de impacto
b) ( ) aumentar o tempo de contato
c) ( ) reduzir o momento do oponente
15- (colisão totalmente inelástica) Um projétil de massa m é disparado contra um pêndulo balístico de massa
M conforme mostrado na figura. O projétil permanece no bloco após a colisão e o sistema sobe a uma
altura h. Encontre o módulo da velocidade inicial do projétil
59
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a)
a) ( )
b) b) ( )
c)
c) ( )
d) d) ( )
M
m
m
2 gh
M
2 gh
m
m M
m M
2 gh
m
2 gh
16- Por quê o atrito e as forças gravitacionais podem ser desprezados durante nos problemas de colisão?
Resposta da pergunta inicial: Se o objetivo é deformar o objeto em que se bate, como é o caso da
escultura, então é preferível uma colisão não elástica. Quanto mais leve for o martelo, mais energia se
perde em cada colisão. Por isso, para esculpir devem-se usar martelos leves. Para bater estacas, pretendese transferir a energia cinética para as estacas, evitando-se qualquer perda de energia em deformações.
Portanto, nesse caso, devem usar-se martelos pesados.
60
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Aula 17- Colisões bidimensionais
Nome:_____________________________________________________________________
Motivação: Por quê o céu é azul? Por quê o pôr do sol é vermelho? Como o efeito Tyndal funciona?
Qual(is) a(s) lei(s) fundamental(ais) por detrás das reações químicas? Qual o fenômeno físico por trás das
Leis de Snell da reflexão e refração? Qual é o fenômeno físico envolvido num tratamento de tumores por
radioterapia? O quê todos os processos acima têm em comum?
1a)
b)
c)
d)
Indique se verdadeiro (V) ou falso (F)
( ) O referencial do laboratório é aquele no qual o centro de massa (C. M.) do sistema está em repouso
( ) O referencial do C. M. é aquela no qual o alvo está em repouso
( ) O momento do sistema apenas se conserva numa colisão elástica
( ) O momento do projétil sempre se conserva
Basear-se no diagrama ao lado para responder às
três próximas questões. O diagrama indica as
trajetórias de duas bolas de aço, P e Q, que
colidem.
2- Qual das setas representa melhor a direção da variação do momento linear da bola P ?
a)
( ) A ; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D;
e) ( ) E;
f) ( ) F
3- Qual das setas representa melhor a direção da variação do momento linear da bola Q ?
a)
( ) A ; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D;
e) ( ) E;
f) ( ) F
3) Qual das setas representa melhor a direção do impulso aplicado à bola Q pela bola P durante a colisão?
a)
( ) A; b) ( ) B; c) ( ) C; d) ( ) D;
e) ( ) E;
f) ( ) F
4) (colisões elásticas com massas iguais) Duas bolas de sinuca estão localizadas na posições indicadas na
figura abaixo. Se um jogador sem inexperiente consegue encaçapar a bola preta, a probabilidade da bola
branca cair na outra caçapa é:
a) ( ) grande
b) ( ) pequena
5) Dois objetos, A e B colidem, A possui massa m e B uma massa 3m. As velocidades antes da colisão são
vA = vo(i +2j) e vB = vo(-i +j). Após a colisão vAf = -voj . Qual a velocidade de B?
a)
b)
c)
d)
(
(
(
(
) (-2i+3j)vo
) (-2i+j)vo
) (+i+9j)vo
) (+2i-3j)vo
61
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6)
a)
b)
c)
No item acima, a colisão é
( ) elástica
( ) inelástica
( ) totalmente inelástica
7) (Colisões inelásticas -compartilhamento de energia – probl. 8.92) Um objeto com massa m, inicialmente
em repouso, explode em dois fragmentos, um com massa m1 e o outro com massa m2, onde m= m1 + m2.
Se a energia Q é liberada na explosão, quanta energia cinética cada fragmento terá imediatamente após a
colisão?
a) ( ) K1 = (m1/m)Q; K2 = (m2/m)Q;
b) ( ) K1 = (m2/m)Q; K2 = (m1/m)Q;
c) ( ) K1 = K2= Q/2;
d) ( ) K1 = (m1/m2)Q ; K2 = (m2/m1)Q;
8) (Colisões inelásticas - decomposição do nêutron – probl. 8.93) Um nêutron em repouso decai (se rompe)
em um próton e um elétron. Uma energia é liberada no processo de decaimento e se transforma em
energia cinética do próton e do elétron. A massa de um próton é mp e a massa do elétron é me (mp =
1836me). Qual é a fração da energia cinética total liberada (fração do fator Q) se converte em energia
cinética do próton (Kp/Q) (considere uma colisão frontal)?
a) ( ) (1+mp/me)-1
b) ( ) (1+mp/me)
c) ( ) (1+me/mp)-1
d) ( ) (1+me/mp)
9) Considere duas massas m1 e m2 movendo sobre uma superfície sem atrito. Encontre a distância de
máxima compressão da mola
( )
m1
v1
k
b) ( )
m2
v2
k
a)
c)
( )
d) ( )
e)
( )
(m1
m2 )
k
(m1
m2 )
k
v1 v2
v1
v2
(m1m2 )
v1 v2
k m1 m2
10) Uma partícula de massa m está se movendo ao longo do eixo x com velocidade v quando colide com uma
partícula de massa 2m em repouso. Após a colisão, a primeira partícula fica em repouso e a segunda
partícula se divide em duas massas iguais que se movem em ângulos >0o em relação ao eixo x, conforme
ilustrado abaixo. Quais das seguintes afirmações descreve corretamente as velocidades dos dois pedaços?
62
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a)
( ) cada pedaço se move com
velocidade v
b) ( ) um pedaço se move com
velocidade v e o outro com uma
velocidade menor que v
c) ( ) cada pedaço se move com v/2
d) ( ) um pedaço se move com
velocidade v/2 e o outro com uma
velocidade maior que v/2
e) ( ) cada pedaço se move com
velocidade maior que v/2
Relação com a química (Wikipédia)
A Teoria das colisões é baseada na ideia que partículas reagentes devem colidir para uma reação ocorrer,
mas somente uma certa fração do total de colisões tem a energia para conectar-se efetivamente e causar a
transformação dos reagentes em produtos. Isto é porque somente uma porção das moléculas tem energia
suficiente e a orientação adequada (ou ângulo) no momento do impacto para quebrar quaisquer ligações
existentes e formar novas. A quantidade mínima de energia necessária para isto ocorrer é conhecida como
energia de ativação. Partículas de diferentes elementos reagem com outras por apresentar energia de
ativação com que acertam as outras. Se os elementos reagem com outros, a colisão terá sucesso, mas se a
concentração de ao menos um dos elementos é muito baixa, haverá menos partículas para outros
elementos reagirem com aqueles e a reação irá ocorrer muito mais lentamente. Com a temperatura
aumentando, a energia cinética média e velocidade das moléculas aumenta mas isto é pouco significativo
no aumento do número de colisões. A taxa da reação aumenta com a diminuição da temperatura porque
uma maior fração das colisões ultrapassa a energia de ativação. A teoria das colisões está intimamente
relacionada com a cinética química.
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Problemas adicionais – Colisões
1- Dois corpos de massas m1 e m2 caminham
para a direita com velocidade com velocidades
v1 e v2 , tal que v1 > v2, conforme mostra a
figura. O corpo 1 possui uma mola de
constante de mola k, que é comprimida
durante a colisão. Qual será a máxima
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
deformação da mola?
2- Um homem de massa m está sobre um carrinho de massa M, que rola num terreno plano sem atrito,
com velocidade vo. Num certo instante ele pula para o chão com velocidade vo/2 em relação ao solo e
na direção oposta ao movimento do carro. A) qual é a velocidade do C. M. do sistema antes e depois
do pulo? B) qual é a velocidade do carrinho depois do pulo? C) transforme todas as velocidades para
o referencial do C.M. e indique num diagrama as velocidades iniciais e finais do homem e do carro
neste referencia. D) Que energia o homem dissipou no pulo? E) qual é a velocidade do centro de
massa depois que o homem atinge o chão e fica parado?
3- Uma partícula com velocidade inicial de
módulo vo colide com uma outra em repouso e
é desviada de um ângulo . A sua velocidade
depois da colisão possui módulo v. A segunda
partícula recua e a direção de seu movimento
faz um ângulo
com a direção inicial do
movimento da primeira, como mostra a figura
ao lado. Mostrar que tg =vsen /(vo-vcos ).
Para obter estes resultado, é necessário admitir
que a colisão é elástica ou inelástica?
4- Uma mola de massa desprezível e constante k
está comprimida de uma quantia d entre dois
corpos de massa m1 e m2. A mola não está
presa aos corpos, mas sua compressão é
mantida inicialmente por um barbante sem
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
massa, conforme ilustrado na figura. O
sistema está se movendo sobre uma mesa sem
atrito, com velocidade VCM. Subitamente o
barbante se rompe. Calcule as velocidades
finais v1 e v2 das massas.
Figura: S. C. Zílio e V. S. Bagnato
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Segundo Teste 2013/1 – Consevação da energia
Nome:_______________________________________________________________________
1- (5,0) Seja k a constante de uma mola ideal que possui um bloco de massa m preso a uma de suas
extremidades. A) (1,0) bloco se move de x1 a x2, onde x2 > x1 . Qual o trabalho realizado pela
força da mola? B) (2,0) O bloco se move de x1 a x2 e a seguir retorna para x1. Qual o trabalho
realizado pela força da mola durante o deslocamento de x2 para x1? Qual o trabalho total
realizado pela força da mola durante o deslocamento total x1 x2 x1? C) (2,0) O bloco se
move de x1 a x3 > x2. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante este deslocamento? A
seguir o bloco se move de x3 a x2. Qual é o trabalho total realizado pela força da mola durante
este deslocamento? Qual o trabalho total realizado pela força da mola durante o deslocamento
total x1 x3 x1?
2- (5,0) Você é membro de uma equipe de resgate nos Alpes. Você deve arremessar uma caixa de
suprimentos de baixo para cima de uma encosta com ângulo de inclinação , de modo que
chegue a um esquiador em apuros, que está a uma distância vertical h acima da base da encosta.
A encosta é escorregadia, mas há algum atrito presente, com coeficiente de atrito cinético . Use
o teorema do trabalho-energia para calcular a velocidade escalar mínima que você deve imprimir
à caixa na base da encosta, de modo que ela atinja o esquiador. Expresse sua resposta em termos
de g, h, e .
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Mecânica da Partícula(FIW121) http://www.if.ufrj.br/~toni/Mec_Part.pdf
Primeiro Teste de Mecânica da Partícula 2013/1 – Cinemática
Nome:_______________________________________________________________________
1- Saltando o rio . Durante uma tempestade, um carro chega onde deveria haver uma ponte, mas o
motorista a encontra destruída, levada pelas águas. Como precisa chegar ao outro lado, o
motorista decide tentar saltar sobre o rio com o carro. O lado da estrada em que o carro está fica
a uma altura H acima do rio, enquanto o lado oposto está apenas a uma altura h (h<H) acima do
rio. O rio é uma torrente de águas turbulentas com largura D. a) A que velocidade o carro deve
estar se movendo no momento em que deixa a estrada para cruzar sobre o rio e aterissar em
segurança na margem oposta? b) Qual é a velocidade escalar do carro pouco antes de aterrisar do
outro lado?
2- Um rio com largura L corre de oeste para leste com velocidade V. Seu barco se move com
velocidade 3V em relação à água, não importando a direção em que segue. Para atravessar esse
rio, você parte de um embarcadouro no ponto A localizado na margem sul.Há um barco
aportando na direção exatamente oposta, no ponto B localizado na margem norte, e ainda outro
no ponto C a uma distância D abaixo do ponto B. a) Aonde na marge norte você aportará, se
orientar seu barco perpendicularmente à correnteza e qual a distância terá percorrido? b) Se você
inicialmente orientar seu barco diretamente para o ponto C e não mudar essa posição em relação
à margem, onde na margem norte você aportará ? c) Para chegar ao ponto C: i) para qual posição
você deve orientar o barco, ii) quanto tempo levará para atravessar o rio, iii) qual distância
percorrerá e iv) qual a velocidade escalar do seu barco, conforme medido por um observador
parado na margem do rio?
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