O que é um conjunto? - Blog dos Professores

ESCOLA ADVENTISTA ARLETE AFONSO
Prof: Hévio de Souza
Teoria dos conjuntos
O que é um conjunto?
Representa uma coleção de objetos bem definidos.
O que são elementos de um conjunto?
São os objetos ou membros que compõem o conjunto
Teoria dos conjuntos
Exemplos:
O conjunto de todos os brasileiros: cada brasileiro.
O conjunto de todos os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4 , ...
O conjuntos de notas musicais: dó, ré, mi fá, sol, lá, si.
Em geral, um conjunto é representado por uma letra maiúscula do
alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Em geral, um elemento de um conjunto, é representado por uma letra
minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
TIPOS DE conjuntos
Conjunto Vazio
O conjunto vazio (representado graficamente por Ø) é o
único conjunto que não possui elementos.
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto
vazio representado por { } ou Ø.
Exemplo: A = Conjunto dos números naturais negativos.
Não existe números naturais negativos, logo:
A = Ø ou A = { }
Teoria dos conjuntos
Conjunto Unitário
É todo e qualquer conjunto que possui somente um elemento.
Conjunto Universo
É o conjunto formado por todos os elementos com os quais
estamos trabalhando num determinado assunto.
Um conjunto importante é o conjunto Universo, cuja notação é U.
Simbologia em conjuntos
Notação para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de
duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma
geométrica.
Apresentação por chaves
1. Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves.
Exemplos:
A={a,e,i,o,u}, N={1,2,3,4,...}, M={João,Maria,José} .
2. O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A={x / x é uma vogal}
N={x / x é um número natural}
M={x / x é uma pessoa da família de Maria}
Notação para conjuntos
Apresentação por Diagrama de Venn-Euller
Os conjuntos são mostrados graficamente.
Teoria dos conjuntos
Igualdade de conjuntos
Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de
um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os
elementos são iguais podemos dizer que A = B.
Isso significa que todo elemento de A pertence a B, e que todo
elemento de B pertence a A. Se A não é igual a B escrevemos A ≠ B.
Teoria dos conjuntos
Relação entre dois conjuntos
Quando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos
os símbolos de pertence ∈ e ∉ não pertence .
Por exemplo: Dado o conjunto dos números naturais o elemento
5∈N
e
-8 ∉ N.
Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os
símbolos de ⊂ está contido e ⊄ não está contido .
Por Exemplo:
{1,2,3} ⊂ {1,2,3,4,5,6}
O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N ⊂ Z e o conjunto
dos inteiros não está contido dentro do conjunto dos naturais Z ⊄ N.
Teoria dos conjuntos
Subconjunto
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado
por A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão em B.
Teoria dos conjuntos
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C AB, é a
diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A - B = {x/x ∈ A e x ∉ B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Teoria dos conjuntos
Complemento de um conjunto
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos
trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no
conjunto, para indicar o complemento deste conjunto.
AC = { X / X ∈ u e X ∉ A}
u
A
u-A
Teoria dos conjuntos
Diferença de conjuntos
O conjunto diferença de A e B é formado por elementos de A que não
pertencem a B.
A _ B = { X / X ∈ A e X ∉ B}
Teoria dos conjuntos
Conjunto das partes
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado
de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, denotado por P(A) ou
2n.
Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S
é:
•{ } (conjunto vazio);
•{x};
•{y};
•{z};
•{x, y};
•{x, z};
•{y, z};
•{x, y, z};
e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:
P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.
União e Intersecção
Reunião
O conjunto reunião de A com B é formado pelos elementos que pertencem
a A, a B ou a ambos.
A U B = { x/x ∈ A ou x ∈ B }
União e Intersecção
Intersecção
O conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos comuns a
AeB.
A B = { x/x ∈ A ou x ∈ B }
Exemplo 1
Resolvendo:
Informações:
A
B
8
12
40
Temos Portanto:
Número de elementos de B é:
12 + 40 = 52 elementos
Alternativa e
Exemplo 2
Resolução
3000 pessoas
DN
EN
200
450
400
Informações
100
400
250
650
FM
Nenhum dos Jornais
550
1000 liam o DN
1100 liam o EN
1400 liam a FM
300 liam o DN e o EN
500 liam a FM e o EN
350 liam a FM e o DN
100 liam os três jornais
Resolução
1000 pessoas
400 pessoas
Temos: 400 + 650 = 1050 pessoas
550 pessoas
Temos: 450 + 400 + 350 = 1500 pessoas
Temos: 100 + 400 + 200 + 250 = 950 pessoas
Exercícios
01) (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam
matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é:
a) 120
b) 60
c) 90
d) 180
e) N.d.a.
02) (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60
trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos.
Assim:
a) 150 operários trabalham em 2 períodos;
b) há 500 operários na indústria;
c) 300 operários não trabalham à tarde;
d) há 30 operários que trabalham só de manhã;
e) N.d.a.
03) (UNIV. FED. PARÁ) Num colégio foi realizada uma pesquisa para saber quais os esportes praticados pelos alunos. Sabe-se que
A={alunos que jogam basquete}, B={alunos que jogam futebol} e C={alunos que jogam voley}, e o resultado está resumido na
tabela abaixo.
150
180
100
O número total de alunos da escola é:
a) 790
b) 600
c) 675
30
d) 570
40
25
e) 335
20
245
Exercícios
04) (NUNO LISBOA) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8
números ímpares. O número de elementos de X é:
a) 22
b) 27
c) 24
d) 32
e) 20
05) (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B.
Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é:
a) 48%
b) 60%
c) 40%
d) 140%
e) 80%
06) (GV) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B
e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
210 compram o produto A.
210 compram o produto B.
250 compram o produto C.
20 compram os três produtos.
100 não compram nenhum dos três produtos.
60 compram os produtos A e B.
70 compram os produtos A e C.
50 compram os produtos B e C.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
07) (UF-BH) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45
alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se
matricularam em inglês?
Exercícios
08) (FAAP) Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios do clube B se A tem 1600 e existem
600 que pertencem aos dois clubes?
09) (MED. RIO PRETO) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, das 94 pessoas presente, 56
comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 17
e) 18
10) (UNIV. FED. PARÁ) Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 Química e 4 ensinam
Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam
somente Física?
a) 3 e 2.
b) 2 e 5.
c) 2 e 3.
d) 5 e 2.
e) 3 e 4.
Gabarito