Texto Complementar

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Conceitos de mecânica.
Introdução
A mecânica, de muitas formas, é a parte mais importante da física. É no estudo da
mecânica que tomamos contanto pela primeira vez com alguns dos conceitos mais
importantes como força, trabalho e energia.
Estes conceitos formam as bases teóricas onde todo o entendimento da física esta
alicerçado. Ao estudarmos termodinâmica, por exemplo, falaremos sobre a força exercida
pelas partículas umas sobre as outras e sobre as paredes que as contém, além de
falarmos do trabalho exercido por um gás e da conversão de energia térmica em energia
mecânica. Em eletromagnetismo não é diferente: temos as forças entre as cargas
elétricas, a energia potencial, o trabalho eletrodinâmico, a força magnética e outros.
O objetivo deste texto é fazer um resumo, ou apresentar pela primeira vez, estes
conceitos para alunos que pretendem dar um passo além da mecânica. Porém estes
conceitos serão apresentados aqui de uma maneira bem geral, apenas para nos
familiarizarmos com os temas, procurarei não aprofundar muito em expressões
matemáticas ou aplicações.
A mecânica de Newton
A mecânica na realidade não é uma mecânica, e
sim duas mecânicas. Uma divisão meramente com fins
educativos, mas que serve bem aos nossos
propósitos.
A primeira versão desta mecânica é a desenvolvida
quase que exclusivamente pelo físico inglês Sir Issac
Newton. O centro desta formulação são os três
axiomas do movimento, ou como são mais
conhecidos: as três leis de Newton.
Vou apresentar as duas primeiras leis e discutir um
pouco seu significado, a terceira lei será apresentada
no curso formal de mecânica.
A primeira lei de Newton é chamada de lei da
Inércia e afirma que:
Ilustração 1- Issac Newton
Um corpo tende a permanecer em seu
estado de movimento: em repouso ou em
movimento retilíneo uniforme.
É claro que esta lei não é óbvia. Não vemos bolas ou automóveis se movendo
eternamente em linha reta, eventualmente eles param de se mover. Mas isso ocorre
devido à influência de agentes externos: o atrito com o chão, a resistência do ar (ou uma
arvore). A primeira lei de Newton diz o que acontece na ausência destas interferências.
A segunda lei, que por enquanto é o que mais nos interessa, diz respeito a essas
interferências. Ela diz o que acontece quando há interação entre os corpos. Ela afirma
que:
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As mudanças que ocorrem no movimento
são proporcionais à força motora, e se
fazem na linha reta na qual se imprimiu
essa força.
Uma versão matemática desta lei, devida não a Newton, mas a Leonard Euler, é a
famosa equação:
r
r
F = ma
Esta simples equação contém muitas informações importantes. Do lado esquerdo
aparece o que Newton chamou de força, o resultado de uma interação entre dois corpos.
Esta interação acontece quando eu empurro um corpo com as mãos, quando eu uso um
imã para atrair pequenos pedaços de ferro, ou quando a Terra puxa a Lua em sua
direção (mantendo-a em sua órbita).
Já do lado direito da equação temos o efeito da força: a aceleração. A aceleração é a
variação da velocidade no tempo1 , logo o efeito da força é provocar uma variação na
velocidade de um corpo. Mas além da aceleração, este lado possui mais um elemento, a
massa2 do corpo.
A massa é uma medida de como cada corpo reage à aplicação de uma dada força.
Por exemplo, três pessoas empurrando um carro pequeno produzem uma aceleração
maior do que produziriam empurrando um caminhão. O caminhão tem uma propriedade
de resistir a aplicação da força maior que o carro pequeno. Essa propriedade é chamada
inércia, e a massa é a forma de se medir essa inércia.
Outra informação que esta equação contém é que tanto a força como a aceleração
são vetores: tem módulo, direção e sentido. Então a lei diz o seguinte: quando eu aplico
uma força esta provoca uma aceleração, ambas as quantidades vetoriais de mesma
direção e sentido (já que a massa é sempre positiva), esta é uma característica
fundamental desta versão da mecânica, ela é toda vetorial.
O enunciado da segunda lei e sua formulação matemática são perfeitamente
equivalentes. Porém a formulação matemática tem algumas vantagens que podemos
explorar, vamos usar algumas regras matemáticas para retirar informações desta lei.
Comecemos com a formulação de Euler:
r
r
F = ma
Sabendo que a aceleração é a variação da velocidade no tempo temos:
r
r
∆v
F=m
∆t
passando o tempo para o lado esquerdo, e lembrando que ∆v = v-v0
r
r r
F∆t = m(v - v 0 )
e aplicando a distributiva:
1
Para fins desta introdução à mecânica, vamos considerar que em todos os problemas que estamos tratando
a massa é constante.
2
Chamada por Newton de massa inercial.
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r
r
r
F∆t = mv - mv 0
O lado esquerdo desta equação é chamado impulso da força. Quando aplicamos uma
força durante certo tempo diz-se que fornecemos um impulso ao corpo. Do lado esquerdo
tem-se dois produtos do tipo massa vezes velocidade. Cada um destes produtos é
chamado de quantidade de movimento do corpo, respectivamente: quantidade de
r
movimento inicial e quantidade de movimento final. Representamos o impulso por I e a
r
r
quantidade de movimento por Q (e sua variação por ∆Q ).
Ou seja: Ao aplicarmos uma força durante certo tempo em um corpo de massa
constante, produzimos uma variação da sua velocidade. Em mecânica newtoniana estes
fatos são representados em termos de impulsos e variações na quantidade de
movimento. Todas quantidades vetoriais. Em linguagem matemática teríamos:
r
r r
r
r
I = F∆t = mv - m v 0 = ∆Q
Há outras características a respeito da segunda lei de Newton que podemos explorar.
Voltemos novamente ao lado esquerdo da segunda lei. A força é o resultado da interação
entre dois corpos, mas a segunda lei não nos diz como calcular esta força, a lei está
incompleta, para utilizá-la de maneira correta temos que ter outras leis que nos mostrem
como calculá-las. Essas outras leis são apropriadamente chamadas de leis de forças.
Como exemplo podemos citar uma lei de força descoberta pelo próprio Newton, a lei
da Gravitação Universal.
Esta lei diz que entre dois corpos quaisquer no universo existe uma força, a força da
gravidade. Esta força depende da massa dos dois corpos3 , quanto maior as massas
envolvidas, maior a força. Depende também da distância entre esses corpos, quanto
maior a distância menor a força.
A formulação matemática desta lei é:
F=G
Mm
d2
Nesta expressão M é a massa de um corpo, m é a massa de outro corpo e d é a
distância entre os corpos, medida a partir de seus centros. A letra G é chamada de
constante da gravitação universal, é um valor que pode ser obtido em experiências de
laboratório.
Ilustração 2- A Terra atrais a Lua e a Lua atrai a Terra com a força predita pela lei da gravitação universal
Na forma que a lei foi escrita acima eu suprimi o seu caráter vetorial, mas isso foi
apenas uma opção de não complicar a expressão usando alguns símbolos matemáticos
que são desconhecidos por nós.
Uma das aplicações feitas por Newton desta lei foi a explicação do movimento dos
corpos em órbita, em particular vou citar o movimento da Lua em torno da Terra.
3
Newton chamou essas massas de massas gravitacionais, para distingui-las das massas inerciais da segunda lei.
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Segundo Newton, se a Lua fosse abandonada á sua própria sorte ela deveria
obedecer à primeira lei e seguir seu caminho em linha reta. Mas como tanto a Lua quanto
a Terra tem massa elas sofrem a ação da força da gravidade, e esta força muda a
velocidade vetorial da Lua, mantendo-a em órbita.
Newton em sua época usou a lei da gravitação e seus três axiomas para demonstrar
porque a Lua orbita a Terra. A discussão dos detalhes matemáticos de como isto é feito
não nos importa neste momento, apenas a idéia geral do processo.
O procedimento é basicamente este: utilize a lei da gravitação para determinar a força
entre a Terra e a Lua, e em seguida utilize a segunda lei para determinar a aceleração
desta força sobre a Lua. Com a aceleração em mãos podemos determinar qual é o tipo
de movimento que a Lua deve fazer, e em seguida podemos ficar realmente surpresos de
constatar que é exatamente o que ela faz!
Ainda em posse da lei da Gravitação Universal, Newton conseguiu explicar as marés,
a forma aproximadamente esférica dos planetas, porque e quanto a Terra é achatada nos
polos, o movimento dos planetas em torno do Sol e muitas outras coisas.
Não é fantástico você imaginar que uma operação matemática possa dizer
exatamente como é o movimento de objeto? Mesmo que este objeto seja a Lua?
Além da lei da gravitação universal de Newton existem leis de força para as mais
diversas situações: força elástica, força de atrito, força entre cargas elétricas em repouso,
força magnética e outras. Para muitas forças, mas não para todas, temos sua formulação
matemática que permite, a princípio, utilizarmos a segunda lei para determinarmos as
conseqüências de suas ações.
Ilustração 3- Exemplos de formulações matemáticas para as mais diversas situações físicas.
Estes exemplos permitem verificar o poder da versão Newtoniana da mecânica, mas
esta não é a única versão. Há toda uma formulação que não depende do uso de vetores,
uma mecânica escalar.
A Mecânica Escalar.
Se algum purista da física chegar a ver este nome, “mecânica escalar”, com certeza
me excomungaria do mundo da física. Mas o problema é que a versão da mecânica que
vou apresentar agora não tem um nome oficial. Um nome que talvez eu pudesse utilizar
é: “a formulação de energia”, mas não acho um bom nome. Então será a mecânica
escalar mesmo.
Primeiro retomaremos à um conceito visto a pouco, que é o de impulso de uma força:
r
r r
I = F∆t = ∆Q
Quando eu aplico uma força em um corpo durante certo intervalo de tempo eu forneço
um impulso. Este impulso varia o que chamamos de quantidade de movimento. Se a
massa for constante significa que estamos na verdade variando apenas a velocidade
deste corpo.
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A mecânica escalar muda um pouco essa idéia. Não nos importaremos mais qual é o
tempo ao longo do qual aplicaremos a força. Ao invés disto imaginaremos que enquanto
aplicamos a força estaremos deslocando o corpo ao longo de certa distância d, e essa
distância é quem importa.
Para representar esta nova idéia foi criado um novo conceito: o de trabalho de uma
força. Agora diremos o seguinte: ao aplicarmos uma força em um objeto, ao longo de
uma distância d, estaremos realizando um trabalho sobre ele. Traduzindo isso para a
linguagem matemática temos:
τ = Fd
Esta é uma expressão simplificada, que serve apenas no caso de uma força F
constante paralela ao deslocamento d. Mas por enquanto está bom. O trabalho é
representado usualmente pela letra grega τ (tau) ou pela letra W (da palavra inglesa
Work). Optei pelo grego.
Olhando com cuidado esta expressão podemos ver que o trabalho não foi escrito com
um vetor. E isso não é uma simplificação! De fato o trabalho é uma grandeza escalar. Ele
fica completamente caracterizado pelo seu módulo e por uma unidade de medida
apropriada.
Como no caso do impulso, o trabalho de uma força tende a variar a velocidade do
corpo. Para falar desta variação vamos introduzir uma nova palavra: energia. No caso do
impulso também tínhamos um termo estranho, a “quantidade de movimento”, que estava
basicamente relacionada com a velocidade vetorial. A nossa nova palavra também vai
transmitir essa idéia. A energia de um corpo está relacionada com sua velocidade, só que
agora é a velocidade escalar. Quanto maior a velocidade maior a energia. Como a
palavra energia vai aparecer em vários contextos diferentes vamos chamá-la aqui de
energia cinética.
τ = ∆E cin
Então é isso: uma força realiza um trabalho sobre um corpo. Este trabalho vai variar a
velocidade, que está ligada a um conceito chamado energia cinética. Se eu mostrar
agora como se calcula a energia cinética de um corpo teremos a solução escalar do
problema geral do movimento provocado por uma força constante. No entanto não
interessa neste momento chegar a este grau de detalhamento.
Em vez disto vamos ver o que acontece quando utilizamos estes conceitos para
estudar o problema da queda dos corpos.
Desta vez vamos considerar que o corpo em questão está inicialmente no solo. Em
seguida vamos levá-lo à uma altura h seguindo uma linha reta. Para isso temos que
aplicar uma força F ao longo do caminho, ou seja, temos que realizar um trabalho sobre o
corpo. No entanto desta vez acontece algo diferente, não houve variação da velocidade.
Tanto no inicio quanto no fim do movimento o corpo está parado.
Isto ocorre porque eu não sou o único a realizar trabalho sobre o corpo. Lembre-se da
lei da gravitação de Newton. A Terra faz uma força sobre o corpo, e como o há um
deslocamento a força da gravidade também realiza trabalho.
Os dois trabalhos têm valores absolutos iguais. Mas enquanto eu faço uma força para
cima, a gravidade faz força para baixo. O trabalho da gravidade é negativo. O resultado
liquido é que o trabalho total sobre o corpo é zero.
Só que agora o corpo está longe do chão e a Terra continua puxando-o para baixo. O
trabalho que eu realizei não foi simplesmente compensado pela gravidade, ele foi
armazenado por ela! Se agora o corpo for abandonado a gravidade realiza novamente o
trabalho, só que agora a favor do movimento! Ela devolve ao corpo todo o trabalho
realizado inicialmente por mim, e agora há a variação da velocidade (definida em termos
de energia cinética). A gravidade tem um papel intermediário entre o trabalho que eu
realizei sobre o corpo e a variação da energia cinética.
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Vamos usar novamente a palavra energia para representar essa outra idéia. Como a
energia cinética aparece assim que o corpo é solto dizemos que há um trabalho em
potencial a ser realizado pela gravidade. Ou como é mais comum, há uma energia
potencial gravitacional no sistema.
Uma variação desta experiência é lançar o corpo para cima com certa velocidade.
Novamente eu realizo trabalho sobre o corpo para isso. Mas desta vez o trabalho
realizado por mim é muito maior do que o trabalho realizado pela gravidade. Quando eu
solto o corpo ele continua subindo. Neste ponto a gravidade passa a agir sozinha, seu
trabalho negativo freia o corpo até que ele pare no ponto mais alto. Toda a energia
cinética foi convertida em potencial. Em seguida, durante a queda, o trabalho
gravitacional é positivo, e converte toda energia potencial novamente em cinética.
Quando o corpo chega ao ponto no qual saiu da minha mão ele está com a mesma
velocidade com que partiu. A gravidade converteu a energia cinética em potencial e
novamente a potencial em cinética. Mas a quantidade de energia total permaneceu a
mesma.
Para fixar a idéia de energia potencial vou citar uma outra forma na qual ela se
apresenta: a energia potencial elástica. Imagine alguém atirando com um arco e flecha. A
pessoa estica a corda e ao fazer isso realiza trabalho. Este trabalho não é imediatamente
convertido em energia cinética. Ele fica armazenado no arco vergado na forma de
energia potencial. Quando a corda for liberada ela volta à sua posição inicial fornecendo
esta energia armazenada à flecha. Assim o trabalho realizado pelo arqueiro aparece
finalmente como a energia cinética da flecha.
Esses três conceitos: trabalho, energia cinética e energia potencial formam a estrutura
geral desta versão da mecânica. A própria força torna-se um conceito secundário. Agora
o resultado da interação entre dois corpos é a transferência de energia, e o trabalho
representa esta transferência.
Mais tarde veremos que o conceito de energia é bem mais amplo do que foi
apresentado aqui. Haverá muitas formas de energia diferentes: nuclear, radiante,
química, sonora e outras. Quando estas formas surgirem, os conceitos aprendidos aqui
nos ajudarão a entender seus significados.
Comentário final
Há duas formulações da mecânica: uma de caráter vetorial e outra de caráter escalar.
Elas são perfeitamente equivalentes. Ora estaremos falando de forças, ora estaremos
falando de energia. Essa dupla interpretação também ocorre em outras áreas. São os
conceitos fundamentais para se entender a física, e tudo que ela representa.
O curso de mecânica que virá nos ajudará a refinar e ampliar estes conceitos. As
equações omitidas serão mostradas, os devidos cálculos serão feitos. Mas por trás de
tudo há esta base, que espero tenha ajudado a revelar.
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