Lista de exercicios

USP-FFCLRP
DCM
Prof. Rafael A. Rosales
1
Fundamentos de Matemática
Informática Biomédica
24 de maio de 2011
Combinatória
Exercı́cio 1. De quantas maneiras é possı́vel ordenar um conjunto formado por n elementos?
Exercı́cio 2. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto com n
elementos? (neste caso a ordem não é considerada)
Exercı́cio 3. Qual é o número de bijeções de um conjunto de n elementos a um conjunto
de m elementos?
Exercı́cio 4. Qual é o número de todas as relações (não unicamente as bijeções) de um
conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos?
Exercı́cio 5. Determine o número de quadrados com vértices no arreglo de 10×10 pontos
apresentado na figura abaixo.
Exercı́cio 6. Quantos pares ordenados de inteiros positivos (a, b) existem tais que o menor
múltiplo comum1 de a e b é 23 57 1113 ?
Exercı́cio 7. Determine o número de proteı́nas formadas por 17 aminoácidos de maneira
que: (i) nenhum aminoácido esteja repetido, e (ii) os aminoácidos G (glicina) e I (isoleucina)
não sejam adjacentes.
Exercı́cio 8. Uma permutação circular é simplesmentes uma permutação dos objetos
quando dispostos sobre um circulo. Duas permutações são consideradas iguais se uma
pode ser obtida da outra por rotação. Mostre o seguinte resultado.
1
por exemplo, os múltiplos de 4 são: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, . . ., e os múltiplos de 6 são: 6, 12,
18, 24, 30, 36, . . .. Os múltiplos comuns de 4 e 6 são 12, 24, 36, . . ., logo o menor múltiplo comum de 4 e 6
é 12
1
Lema 1. O número de permutações circulares (diferentes) de n objetos é (n − 1)!.
Exercı́cio 9. Vinte e cinco dos cavalheiros do Rei Artur são sentados na távola redonda.
Três cavalheiros são escolhidos (ao acaso) para lutar contra um dragão. De quantas maneiras
podem ser escolhidos os cavalheiros de maneira que pelo menos dois destes se encontram
em cadeiras adjacentes?
Exercı́cio 10. Seja L o conjunto dos pontos com coordenadas (x, y, z), onde x, y e z são os
inteiros tais que 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, e 0 ≤ z ≤ 4. Dois pontos de L devem ser escolhidos.
De quantas maneiras podemos fazer a escolha de forma que o ponto médio do segmento
determinado pelos pontos se encontre em L?
Exercı́cio 11. Mostre que
n
n
n
n
n
<
<
< ··· <
=
0
1
2
b n−1
b n2 c
2 c
Exercı́cio 12. Mostre as seguintes identidades
n
X
n
(i)
(−1)
= 0.
k
k=0
n X
n
(ii)
= 2n .
k
k
k=0
n/2 X
n
= 2n−1 , se n é par.
2k
k=0
n/2 X
n
(iv)
= 2n−1 , se n é par.
k
(iii)
k=0
Exercı́cio 13. Considerando as identidades
(1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n ,
(1 + x)m (1 + x)−n−2 = (1 + x)m−n−2 ,
mostrar que
k X
m
n
m+n
(i)
=
.
j
k−j
k
(ii)
j=0
Exercı́cio 14.
†
m
X
(−1)m−k
k=1
m n+k
n
=
.
k
n+1
m−1
Mostre que
n
n+k
n
n
n+k
n + 2k
=
.
r
r + 2k
r+k
r+k
r
r + 2k
(i) Interprete esta identidade utilizando triângulo de Pascal. Lembre que o triângulo de
Pascal é apresentado pelo seguinte arranjo de coeficientes binomiais, Cnm ,
C00
C10
C20
C30
C40
C11
C21
C31
C41
1
1
C22
C32
C42
1
=
C33
C43
1
1
C44
1
2
3
4
3
6
..
.
..
.
2
1
1
4
1
n
n!
A notação utilizada é a usual, isto é Cnm = m
= m!(n−m)!
(com C00 = 1, pois 0! = 1). (ii)
Mostre as identidades do Exercicio 12 utilizando o triângulo de Pascal.
Exercı́cio 15. Um tabuleiro com lados iguais é dividido em 9 (3×3) quadrados. Cada
um destes quadrados deve ser pintado de azul ou laranja. De quantas maneiras pode ser
pintado o tabuleiro de maneira que este não apresente um quadrado de 2-por-2 da cor
laranja? [Sugestão: utilice o Principio da Inclusão-Exclusão.]
2
2.1
Probabilidade
Espaços amostrais Ω
Exercı́cio 16. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguintes experimentos:
(i) uma moeda é lançada n vezes (n < ∞)
(ii) duas bolas são retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas pretas e
duas vermelhas. Considere todas as posı́veis situações: as bolas podem ser retiradas com
reposição ou sem reposição, e a ordem na qual são retiradas as bolas pode ser considerada
ou não.
(iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitário
{(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
(iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição,
até retirar-se o primeiro rei.
Exercı́cio 17. † Um torneio de tênis começa com 2n competidores e apresenta n etapas.
Descreva o espaço Ω de todos os possı́ves torneios. (Observe que não se trata de calcular
n(Ω), que de fato foi respondido em aula. Aqui você deve fornecer uma descrição do próprio
conjunto Ω.)
2.2
Eventos
Exercı́cio 18. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equações e frases,
unindo cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na
linguagem de eventos,
(a) A ∩ B ∩ C = A ∪ B ∪ C
(b) A ∩ B ∩ C = A
(c) A ∪ B ∪ C = A
(d) (A ∪ B ∪ C) \ (B ∪ C) = A
(i) A e “B ou C” são incompatı́veis
(ii) Os eventos A, B, C são idênticos
(iii) A ocorrência de A implica a de “B e C”
(iv) A ocorrência de A decorre de “B ou C”
Exercı́cio 19. Sejam A, B, C eventos de Ω. Mostre que A \ (B \ C) 6= A \ B ∪ C. Encontrar
uma expreção mais simples para A \ B ∪ C.
Exercı́cio 20. Sejam A, B e C três eventos em Ω. Encontrar as expressões para os seguintes
eventos:
(a) aconteceu somente A
(b) aconteceram A e B mas não C
(c) aconteceram os três eventos
3
(d) aconteceu ao menos um dos eventos
(e) aconteceram ao menos dois eventos
(f ) aconteceu só um dos eventos
(g) ocorreram só dois eventos
(h) não aconteceu nenhum dos eventos
(i) não aconteceram mais de dois eventos
Exercı́cio 21. Dois dados são lançados. Sejam os eventos E = {a soma dos dados é
impar}2 , F = {pelo menos um dado tem o número 1 na face superior}, e G = {a soma dos
dados é 5}. Descreva os eventos E ∪ F , E ∩ F , F ∩ G, E ∩ F c , e E ∩ F ∩ G.
2.3
Probabilidade (simetria)
Exercı́cio 22. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que:
(i) o número 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um número par, (iii) a soma
dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisı́vel por 3.
Exercı́cio 23. Dois dados equilibrados são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 12, (ii) a soma dos resultados
é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a diferença e impar, (v) o resultado de um dado é
menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentes e o menor dos dois números é r, para
1 ≤ r ≤ 6. [É importante distinguir os dois dados. No caso que isto não seja tomado em
conta, o espaço amostral Ω = {(i, j) : 1 ≤ i ≤ j ≤ 6}, apresenta 21 possibilidades, |Ω| = 21,
cada uma com probabilidades diferentes do caso no qual os dados são diferentes.]
Exercı́cio 24. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são
selecionadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo
sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa é selecionada para sair da sala. Qual a
probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente?
Exercı́cio 25. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade
de que na n-ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o número
de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duas caras, (iv) ocorreram pelo
menos duas caras.
Exercı́cio 26. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de:
(i) o resultado contem pelo menos três caras, (ii) o resultado contem exatamente três caras,
(iii) o resultado contém três o mais caras consecutivas, (iv) o resultado tem exatamente três
caras consecutivas.
Exercı́cio 27. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duas bolas são
retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaço amostral é formado por todos os
pares não ordenados de bolas indistinguı́veis. (ii) Qual é a probabilidade de que a primeira
bola seja branca? e da segunda branca?. (iii) A metade das bolas são removidas e colocadas
em uma caixa. Se das bolas restantes uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de
que esta última seja laranja?. (iii) Um dado honesto com n lados é jogado. Se a r-ésima face
é o resultado, r bolas são removidas da urna e colocadas num saco. Qual é a probabilidade
de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja?
2
Esta notação é a forma abreviada de {ω ∈ Ω : ω que apresentam soma impar}. Em geral {ϕ} denota o
conjunto dos eventos elementares {ω ∈ Ω : ω ∈ ϕ} onde ϕ é um predicado qualquer (da lógica de primeira
ordem).
4
Exercı́cio 28. Um jogo de 4 xı́caras e 4 pires contém duas xı́caras e dois pires da cor
branca e as outras duas xı́cares e os seus pires da cor preta. (i) Qual é a probabilidade de
que exatamente uma xı́cara esteja sobre um pires da mesma cor?. (ii) Qual é a probabilidade
de que duas xı́caras estejam sobre pires da mesma cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que
nenhuma xı́cara esteja sobre um pires da mesma cor se o jogo consiste de quatro cores
diferentes em lugar de só dois? [Sugestão: coloque primeiro os pires e deixe estes fixos!
(pense por que não faz diferença se também consideramos o casos onde os pires são colocados
ao acaso em qualquer disposição)]
Exercı́cio 29. Para começar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 no
primeiro lançamento. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé no
terceiro intento?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de três intentos?.
(iii) Qual é o número de intentos mais prováveis requeridos para obter um 6?
Exercı́cio 30. (Problema de Pepys)3 Calcule a probabilidade dos seguintes eventos: (i)
pelo menos um 6 é obtido ao lançar dois dados, (ii) dois 6, ou seja (6, 6), são obtidos pelo
menos uma vez ao jogar dois dados 12 vezes. (iii) Diga qual dos dois eventos acima é mais
provável.
Exercı́cio 31. † No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual é a probabilidade dos
seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lançamento, (ii) ganhar ou
perder antes ou no terceiro lançamento, (iii) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro
dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 6, e
(v) De ser possı́vel fixar o resultado de um dos dados no primeiro lançamento, qual seria o
número escolhido por você?
Exercı́cio 32. †† Uma urna contem três tickets marcados com “1”, “2” e “3”. Se os tickets
são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r = 1, 2, 3)
tal que na r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r?
2.4
Propriedades adicionais de P
Exercı́cio 33. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e B é P(A) +
P(B) − 2P(A ∩ B).
Exercı́cio 34. Demonstre as seguintes propriedades
(i) Se P(An ) = 0 para n = 1, 2, . . . , então P
∞
[
An = 0,
k=1
(ii) Se P(An ) = 1 para n = 1, 2, . . . , então P
∞
\
An = 1.
k=1
Exercı́cio 35. Demonstrar as seguintes desigualdades, conhecidas como as desigualdades
de Boole,
n
n
n
n
[
X
\
X
P
Ai ≤
P(Ai ),
P
Ai ≥ 1 −
P(Aci )
i=1
i=1
i=1
i=1
3
Esta questão foi feita por Pepys em 1693 a Isaac Newton. Pepys não quis aceitar en um primeiro momento
a resposta (correta) de Newton. Este problema foi incluido na primeira prova de Teoria de Probabilidade
para IBM em 2007.
5
Exercı́cio 36.
†
Mostre que se P(Ak ) ≥ 1 − ε para k = 1, . . . , n, então,
P
n
\
Ak ≥ 1 − nε.
k=1
Exercı́cio 37. †† Demonstre o seguinte fato: se A1 , A2 , . . . e B1 , B2 , . . . são eventos do
mesmo espaço de probabilidade tais que P(An ) → 1 e P(B) → p, quando n → ∞, então
P(An ∩ Bn ) → p.
Exercı́cio 38.
P
††
Demonstrar que
n
\
i=1
n
n
n
X
X
X
Ai =
P(Ai ) −
P(Ai ∪ Aj ) +
P(Ai ∩ Aj ∪ Ak )
i=1
i<j
n+1
+ · · · + (−1)
3
i<j<k
P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ).
Probabilidade (combinatória)
A condição de simetria também é válida nesta seção, porém a difênça a respeito da seção
anterior, agora é enfatizado o emprego de um método de contagem eficiente para determinar
o número de eventos elementares de um evento.
Exercı́cio 39. Suponha que você tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias
beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-ı́ris. Se são escolhida duas meias ao acaso,
qual é a probabilidade destas serem do mesmo par?
Exercı́cio 40. Um estudante do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bancos de dados, e
c de cálculo. Se os livros são colocados numa prateleira ao acaso, qual será a probabilidade
dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema não estam separados, (ii) os livros sobre
um mesmo tema estam em ordem alfabético mas não são necessariamente adjacentes, (iii)
os livros sobre o mesmo tema são adjacentes e seguem o ordem alfabético.
Exercı́cio 41. Um jogo de cartas4 é bem embaralhado e uma mão de 13 cartas é oferecida
a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogador tenha um ás, (ii)
um jogador tenha todos os asses.
Exercı́cio 42. † Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer em qualquer
dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quais é sabido que
nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao menos duas
destas tenham aniversário em dias consecutivos ou no mesmo dia é pr , onde
pr = 1 −
(365 − r − 1)!
365−r+1 ,
(365 − 2r)!
(2r < 365).
Mostre que para r = 13, a probabilidade de ter dois aniversários consecutivos é 1/2.
4
Um baralho padrão contém 52 cartas, as quais podem ser de um dos quatro posı́veis naipes: ♣, ♦, ♠,
♥. Cada naipe a suas vez apresenta as seguintes denominações: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, e A.
Observe que ainda é possı́vel clasificar as cartas segundo a usa cor, geralmente os naipes ♣, ♠ são pretos e
os naipes ♦, ♥ são vermelhos.
6
Exercı́cio 43. Uma urna contem 4n bolas, n das quais são pretas, n roxas, n azuis e n
marrons. Se r, r ≥ 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que:
(i) ao menos uma bola é preta? (ii) exatamente duas bolas são pretas? (iii) existe ao menos
uma bola de cada cor?
Exercı́cio 44. †† De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuı́das,
ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma
urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma conter no máximo uma bola?
Exercı́cio 45. Um indivı́duo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual
é a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k = 1, 2, . . . , n)?
Exercı́cio 46. † Dez pessoas são sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas uma ao lado da outra?
[Sugestão: enumere as cadeiras do 1 até o 10 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as
quais serão repartidas entre as dez pessoas. O número total de resultados é igual a todas
as permutações de 10 elementos. Conte o número de eventos “favoráveis”.]
Exercı́cio 47. Você encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas5 . Um full house consta
de três cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2♣, 2♦, 2♠, 4♦, 4♥). Uma
quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quinta carta de qualquer
outro valor, por exemplo (5♣, 5♥, 5♠, 5♦, K♦). O que é mais provável, que você receba
um full house ou uma quadra?
Exercı́cio 48. Seis números são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade
dos seguintes eventos (i) A = {os números escolhidos são 1, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é
um dos números escolhidos}.
Exercı́cio 49. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras
A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso?
Exercı́cio 50. Um elevador carega 7 pessoas e para subsequentemente em 10 andares.
(i) Qual a probabilidade de que não desça mais de 1 pessoa no mesmo andar? (ii) Os
diferentes arranjos de descarga podem ser denotados como h3, 2, 2i, caso 3 pessoas tenham
descido juntas em um andar, duas tenham descido juntas em outro andar e finalmente as
duas restantes em outro andar. Calcule a probabilidade dos quinze possı́veis arranjos de
descarga desde a configuração h7i até a h1, 1, 1, 1, 1, 1, 1i.
5
em Poker, um baralho padrão é repartido entre vários jogadores. Usualmente cada jogador recebe 5
cartas.
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