Apostila de Matemática 07 – Geometria Espacial de Posição

Apostila de Matemática 07 – Geometria
Espacial de Posição
1.0 Introdução
Dois pontos distintos formam uma reta.
Três pontos não-colineares formam um plano.
Duas retas distintas formam um plano.
Uma reta e um ponto fora dela formam um plano.
Duas retas concorrentes formam um plano.
2.0 Posições Relativas – Pontos no Espaço
2.1 Pontos Colineares
Existe uma reta que passa por todos os pontos.
Dois pontos são sempre colineares.
2.2 Pontos Coplanares
Existe um plano que passa por todos os pontos.
Três pontos são sempre coplanares.
3.0 Posições Relativas – Retas no Espaço
3.1 Retas Coplanares
Existe um plano que contém todas as retas.
Duas retas são sempre colineares.
3.1.1 Retas Paralelas Distintas
Não existe ponto em comum entre as retas.
3.1.2 Retas Concorrentes
Existe um único ponto em comum entre as retas.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
3.2 Retas Reversas
São retas não-coplanares, ou seja, não existe um plano que passa por todas as
retas.
4.0 Posições Relativas – Planos no Espaço
4.1 Planos Paralelos Distintos
Os planos não têm ponto em comum.
4.1.1 Planos Secantes/Concorrentes
Planos distintos que tem reta em comum, e essa reta intersectam-os.
4.2 Planos Coincidentes
Os planos possuem todos os pontos em comum.
OBS.: É verdadeiro: α e β são planos paralelos e distintos, então α ∩ β = { }.
É falso: α e β são planos paralelos, então α ∩ β = { }.
5.0 Posições Relativas – Retas e Planos
5.1 Reta Paralela ao Plano
Eles não têm ponto em comum.
5.2 Reta Contida no Plano
O plano contém todos os pontos da reta.
5.3 Reta Intersecta o Plano
A reta “fura” o plano num único ponto.
6.0 Paralelismo no Espaço
Pode-se ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas.
Podem-se ter retas paralelas em dois planos não paralelos.
6.1 Propriedades do Paralelismo
Quando dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela
ao outro plano.
Quando uma reta é paralela a um plano, pelo menos uma reta contida nesse
plano é paralela a ela.
Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta deste plano, ela é
paralela ao plano.
Se um plano intersecta dois planos paralelos, as intersecções são duas retas
paralelas.
Quando um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, esse
plano é paralelo ao outro.
7.0 Perpendicularidade no Espaço
7.1 Retas Perpendiculares
Retas concorrentes que formam quatro ângulos de 90°.
Retas concorrentes que não formam ângulos de 90 são chamadas de retas
oblíquas.
Se existe duas retas reversas e uma reta que é concorrente a uma delas e é
paralela a outra, essas duas retas são chamadas de retas reversas e ortogonais.
7.2 Reta e Plano Perpendiculares
Uma reta que intersecta um plano só será perpendicular a ela quando ela é
perpendicular também a todas as retas contidas no plano que passam no ponto de
intersecção.
O ponto de intersecção entre uma reta e um plano é chamado de Pé da
perpendicular.
Se uma reta intersecta um plano, mas não é perpendicular, era será oblíqua ao
plano.
7.2.1 Propriedades de Retas e Planos Perpendiculares
Se uma reta for perpendicular a duas retas concorrentes no plano de intersecção
no plano, ela será perpendicular ao plano.
Por um ponto passa uma única reta perpendicular a um plano dado.
Qualquer reta paralela a uma reta perpendicular a um plano será também
perpendicular a esse este plano.
Se dois planos são paralelos, qualquer reta perpendicular a um será
perpendicular ao outro.
Se existir uma reta (r) perpendicular ao plano (α) num certo ponto (P), uma reta
(s) contida neste plano que não passa no ponto (P), uma reta (t) contida neste plano que
passa no ponto (P) e é perpendicular à reta (s) num outro ponto (A), e um ponto (B)
contido na reta (r), a reta AB é perpendicular À reta (s).
7.3 Planos Perpendiculares
Dois planos concorrentes serão perpendiculares quando existe uma reta contida
num deles que seja perpendicular ao outro
Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, serão oblíquos.
Quando uma reta é perpendicular a um plano, todos os planos que a contêm são
perpendiculares ao primeiro plano.
Em dois planos oblíquos, nenhuma reta é perpendicular à outra.
A reta que passa por planos oblíquos pode ter uma reta perpendicular, mas esta
não será perpendicular a outro plano.
7.3.1 Propriedades de Planos Perpendiculares
Se uma reta e um plano são perpendiculares a outro plano, ou a reta está contida
ou é paralela ao plano inicial.
Se dois planos se intersectam em uma reta e um terceiro plano é perpendicular
os dois planos, este plano também é perpendicular a esta reta.
8.0 Resumo
paralelas
perpendiculares
coplanares
concorrentes
distintas
oblíquas
ortogonais
reversas
Duas retas no espaço
não-ortogonais
coincidentes
paralelos
distintos
perpendiculares
secantes
Dois planos no espaço
oblíquas
coincidentes