Coluna? - LAC Concursos
Propaganda
Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES PROBABILIDADES Professora Rosana Relva Números Inteiros e Racionais Introdução [email protected] 1 MATRIZES MATRIZES O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada. 3 MATRIZES MATRIZES O que vocês acham? 5 www.lacconcursos.com.br 2 MATRIZES MATRIZES Onde podemos usar Matrizes além dos estudos de matemática? 4 MATRIZES MATRIZES Podemos usar em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras, Ciência da Computação. 6 1 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Os desenhos feitos em computadores, os programas são utilizado por matrizes!!! As Matrizes funcionam como um código de números, que possibilitam montar as imagens, desenho geométricos e outros desenhos em 2D e 3D. 7 8 MATRIZES MATRIZES MATRIZES Vejamos um exemplo: Na segunda guerra Mundial as matrizes foram utilizadas para se enviar mensagens A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: 9 10 MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Quím. Ing. Lit. Química Inglês Literatura Espanhol 1 A 8 7 9 8 2 B 6 6 7 6 3 C 4 8 5 9 A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9 = Então!!! 1 2 11 www.lacconcursos.com.br Esp. 3 4 12 2 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 = Linha C 4 8 5 9 13 14 MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: 1ª Linha 2ª Linha 3ª Linha 1 2 0 4 3 0 7 3 5 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: 1 2 0 4 3 0 7 3 5 3ª coluna 2ª coluna 1ª coluna 15 16 TREINE.......... MATRIZES Observe a matriz e responda a) De que tipo ou ordem é? 3x3 b) Quais são os números da 1ª 10, 0, 1 c) E os da 3ª coluna? 1, 1/5, 3 d) Quem é o elemento a 22 ? -3 17 www.lacconcursos.com.br 1 10 0 2 3 1 5 0,3 1,4 3 linha? MATRIZES MATRIZES CLASSIFICAÇÃO Matriz Quadrada: número de linhas igual ao números de colunas nº de Linha = coluna 2x2 18 3 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES Matriz quadrada. Matriz quadrada. A 8 Matriz quadrada de ordem 1. 0 B 9 2 Matriz quadrada 7 1 de ordem 2. 0 C 1 8 3 3 Matriz quadrada 3 9 de ordem 3. 7 5 2 8 19 20 MATRIZES MATRIZES Matriz Coluna. Matriz Linha. É aquela que possui somente uma coluna. É aquela que possui uma linha. O número de colunas é independente. A 5 1 2 1x 3 1 9 B 3 7 0 0 A 1 8 B 0 3 1 71x 4 21 22 MATRIZES Matriz Oposta. Exemplo: para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos. 0 2 3 A 1 4 5 3 A 1 23 www.lacconcursos.com.br 2 4 5 0 MATRIZES Matriz nula 0 A 0 B 0 0 0 0 0 0 2 x 3 01x 4 0 24 4 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES Exemplos: Matriz Retangular ≠ Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas 9 1 B 0 2 3 4 5 é uma matriz do tipo 4x2. 3 0 C 3 5 2 3 é uma matriz do 8 tipo 1x4. 25 26 A transposta da matriz A trocaremos os elementos de linhas por colunas . MATRIZES Matriz Transposta t A A transposta da matriz A por exemplo, é indicada por . 4 A 1 8 5 0 , 7 1 0 8 . 7 28 MATRIZES www.lacconcursos.com.br 5 0 , 7 4 At 5 27 29 4 A 1 8 MATRIZES Matriz Matriz Transposta Transposta 30 5 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES At Matriz Transposta 31 32 MATRIZES MATRIZES Matriz diagonal At Para que uma matriz tenha diagonal ela deverá ser uma matriz quadrada, então uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos que não pertencem à diagonal principal são obrigatoriamente iguais a zero. 33 34 MATRIZES Matriz diagonal Diagonal secundária 58 0 A 0 8 0 0 0 0 0 Diagonal principal 35 www.lacconcursos.com.br MATRIZES Agora é com você Classifique a matriz abaixo: A 0 Essa matriz é... Nula? Quadrada? Linha? Coluna? 36 6 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES Sim, é nula A 0 Sim, é quadrada Sim, é linha Sim, é coluna 37 Matriz Simétrica Observe a matriz A seguinte e a sua t transposta A : 2 A 3 5 5 2 4 8 e A t 3 5 8 9 3 5 4 8 8 9 3 Comparando, vemos que A = A t . Quando isso acontece, dizemos que A é simétrica. 38 MATRIZES Construção de Matrizes Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna dessa Matriz A . 3x2 39 40 MATRIZES É a letra ‘’ i ’’ (1ª linha) É a letra ‘’ 41 www.lacconcursos.com.br j ’’ (1ª coluna) 42 7 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES É a letra ‘’ i ’’ ( 1ª linha) MATRIZES É a letra ‘’ 43 MATRIZES 44 MATRIZES Continuando 45 MATRIZES Continuando j2 ’’ (1ª coluna) 46 MATRIZES MATRIZES Matriz Identidade ou 47 www.lacconcursos.com.br 48 8 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Matriz Identidade Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: ou A.I=I.A=A Diagonal Principal 49 50 MATRIZES MATRIZES MATRIZES MATRIZES Igualdade de Matrizes Igualdade de Matrizes Considere as mesmo tipo: matrizes de A = (aij) e B = (bij). 51 Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente (que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes A e B são ditas iguais. 52 MATRIZES MATRIZES MATRIZES Como exemplo, veja as matrizes A e B do tipo 3x2. Adição Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij = aij + bij. Dizemos que A = B. 53 www.lacconcursos.com.br 54 9 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES Adição 5 6 1 0 2 1 3 (1) 2 (3) 4 2 = 55 56 MATRIZES MATRIZES Subtração Subtração Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij – bij 1 5 3 2 A 2 3 B 2 5 1 4 0 1 1 5 3 2 A 2 3 B 2 5 1 4 0 1 57 MATRIZES Subtração 1 5 3 2 ( A B) 2 3 2 5 1 4 0 1 59 www.lacconcursos.com.br 58 MATRIZES MATRIZES Subtração 1 ( A B) 2 1 5 3 3 2 4 0 2 5 1 52 1 3 ( A B) 2 (2) 3 5 1 0 4 (1) 60 10 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES Subtração 2 3 A B 4 2 1 5 MATRIZES Produto de número por uma Matriz 2 1 4 A 0 3 5 6 3 12 3 A 0 9 15 61 MATRIZES Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo mxn e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B 62 MATRIZES Observações: O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. 63 MATRIZES 64 MATRIZES Dadas as matrizes Observações: Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p 65 www.lacconcursos.com.br 2 A 1 4 3 0 e B 5 3 2 1 4 2.3 3.2 2.1 3.4 AB 1.3 0.2 1.1 0.4 4.3 5.2 4.1 5.4 66 11 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES 2.3 3.2 2.1 3.4 AB 1.3 0.2 1.1 0.4 4.3 5.2 4.1 5.4 12 14 A.B 3 1 22 24 67 EXERCÍCIOS 68 MATRIZES MATRIZES CESGRANRIO – No produto de matrizes 0 2 a b 1 0 x 5 1 c d 0 1 O valor de bc-ad é igual a a) 0 b) 1/50 c) -1/20 d) -1/5 69 71 www.lacconcursos.com.br e) 1/10 70 MATRIZES 0 2 a b 1 0 x 5 1 c d 0 1 0.a 2c 0.b 2.d 1 5.a 1.c 5.b 1.d 0 0 2 a b 1 0 x 5 1 c d 0 1 MATRIZES 0 1 0 2 a b 1 0 x 5 1 c d 0 1 0.a 2c 0.b 2.d 1 5.a 1.c 5.b 1.d 0 2d 1 0 2c 5a c 5b d 0 1 0 1 72 12 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES MATRIZES 0 2 a b 1 0 x 5 1 c d 0 1 0.a 2c 0.b 2.d 1 5.a 1.c 5.b 1.d 0 2d 1 0 2c 5 a c 5 b d 0 1 0 1 2d 1 0 2c 5 a c 5 b d 0 1 Logo teremos.............. 73 74 MATRIZES 2d 1 0 2c 5 a c 5 b d 0 1 5a-c=0 2c=1 5a=c c =1/2 5a=1/2 5b-d=1 2d=0 d =0 a =1/10 Logo ......... bc - ad = 1 . 1 1 .0 1 5 2 10 10 5b-0=1 5b=1 b =1/5 75 76 MATRIZES ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR ESAF - Sejam as matrizes e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a: a) 2 b) 1/2 c) 3 d) 1/3 e) 1 Não esquecer transposta 77 www.lacconcursos.com.br (A.B)t =Bt . At Vamos transpor 78 13 Professor Luiz Antonio de Carvalho MATRIZES ÁLGEBRA LINEAR 1 1 2 3 3 t t .......................B A 4 4 6 3 5 ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR 1 2 3 4 1 1 2 3 3 .......................B t A t 4 4 6 3 5 (A.B)t =Bt . At x 31 3ª linha de B 80 ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR x12 1ª linha de B ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR 1 2 3 4 =1.2+1.6=2+6=8 2ª coluna de A LOGO A RAZÃO ENTRE X 31 16 2 X12 8 LETRA A 81 ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR ESAF – Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij onde “i” representa a linha e “j” representa a coluna que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij de terceira ordem, é a resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que (bij) = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13, é igual a: a) 16 b) 18 c) 26 d) 65 e) 169 83 www.lacconcursos.com.br =4.1+3.4=4+12=16 1ª coluna de A 79 1 1 2 3 3 t t .......................B A 4 4 6 3 5 t t t (A.B) =B . A 1 2 3 4 82 ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR x13 a13 b13 x13 12 1 3 2 x13 1 4 x13 5 84 14 Professor Luiz Antonio de Carvalho ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR ÁLGEBRA MATRIZES LINEAR x 31 a 31 b 31 x 31 3 2 3 1 2 x 31 .x13 13.5 65 x 31 9 4 x 31 13 LETRA D 85 86 “A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido. Não na vitória propriamente dita”. 87 www.lacconcursos.com.br 88 15
