CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL

CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL
1.0 Conceitos
Cinemática é a parte da Mecânica que descreve os movimentos.
Ponto material é um corpo móvel cujas dimensões não interferem no estudo em questão.
Trajetória é o conjunto das posições sucessivas de um móvel no decorrer do tempo. A forma
da trajetória feita por um corpo depende do referencial.
Origem dos espaços é o marco zero da trajetória.
Referencial ou sistema de referência é o corpo em que identifica se um móvel está em
movimento ou em repouso. Um corpo está em movimento em relação a um referencial
quando a sua posição muda no decurso do tempo. Um corpo está em repouso em relação a
um referencial quando sua posição não varia no decurso do tempo.
2.0 Movimento em Uma Dimensão
2.1 Posição
Se um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, diz-se que ocupa uma
certa posição P na reta. Para definir esta posição, escolhe-se uma origem O fixa na reta e um
sentido positivo ao longo dela; mede-se a distância x de O a P atribuindo-se um sinal positivo
ou negativo, de acordo com a orientação escolhida. A coordenada de posição no ponto
material é a distância OP, representada por x.
Quando a coordenada de posição x for conhecida para qualquer valor do tempo t, diz-se que o
movimento do ponto será conhecido.
Note que a posição não indica quando o móvel andou nem o sentido do movimento.
2.2 Velocidade
2.2.1 Velocidade Média
Velocidade é uma grandeza que modifica diretamente a posição.
A velocidade média da partícula no intervalo Δt é um vetor e é definida como o quociente
entre o deslocamento Δx e o intervalo de tempo Δt.
Este vetor independe da trajetória e fornece o resultado do movimento.
A velocidade escalar média é dada por:
Esta depende da trajetória e fornece detalhes do movimento.
2.2.2 Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida da velocidade média,
considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa
a velocidade de uma partícula num único instante de tempo.
O sinal da velocidade instantânea depende da inclinação do gráfico posição em função do
tempo.
2.3 Aceleração
2.3.1 Aceleração Média
Aceleração é uma grandeza que modifica diretamente a velocidade.
A aceleração média do ponto, no intervalo de tempo Δt, é um vetor e é definida como o
quociente entre Δv e Δt:
2.3.2 Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida da aceleração média,
considerando-se intervalos de tempo cada vez menores, tendendo a zero, ou seja, representa
a aceleração de uma partícula num único instante de tempo.
O sinal da aceleração instantânea depende da inclinação do gráfico velocidade em função do
tempo.
Quando a velocidade e a aceleração do corpo estão na mesma direção, o corpo se torna mais
rápido. Se eles estiverem em direções opostas, a velocidade escalar do corpo diminui no
tempo.
2.4 Determinação do Movimento de um Ponto Material
Um movimento é raramente definido entre x e t; muitas vezes, as condições do movimento
estarão especificadas pelo tipo de aceleração que o ponto possui.
Para qualquer caso de aceleração em função do tempo, posição ou velocidade, temos que:
Utilizando a regra da cadeia, temos:
Podemos encontrar:
Utilizando-se da integral, temos:
OBS.: Lembrando que, ao resolver a integral, deve-se adicionar a constante C, pois se trata
de uma integral indefinida. Geralmente na questão contém informações cujo objetivo é
identificar esta constante.
2.5 Movimento Retilíneo Uniforme
Nesse movimento, a aceleração do ponto material é nula para qualquer valor de t, tornando a
velocidade constante.
A velocidade instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a velocidade média
durante o intervalo.
Equação horária da posição:
2.6 Movimento Retilíneo Uniformemente Acelerado
Nesse movimento, a aceleração do ponto material é constante não-nula para qualquer valor
de t.
A aceleração instantânea durante um intervalo de tempo é a mesma que a aceleração média
durante o intervalo.
Equação horária da velocidade:
Equação horária da posição:
Equação da velocidade em função da posição (Equação de Torricelli):
A velocidade média é a soma aritmética da velocidade inicial e final:
Como x – x0 = vxt, então:
2.6.1 Corpos em Queda Livre
Corpos em queda livre sofrem efeito da gravidade g, que é constante. O vetor g aponta para
baixo em direção ao centro da Terra com um módulo de 9,8 m/s².
Corpo em queda livre é um corpo que se move livremente sob a influência apenas da
gravidade, independe de seu movimento inicial.
Como o movimento é vertical e a gravidade aponta para baixo, as equações do movimento
com aceleração constante são adaptadas:
OBS.: A diferença entre Queda livre e Lançamento Vertical é que este último depende de seu
movimento inicial, ou seja, v y 0 adquire um valor diferente de zero na equação.
3.0 Movimento em Duas e Três Dimensões
Quando um ponto material desloca-se ao longo de uma curva, dizemos que está em
movimento curvilíneo.
3.1 Vetor Posição
O vetor r é originado quando traçamos um vetor unindo a origem O ao ponto P, no instante t.
3.2 Vetor Velocidade
3.2.1 Vetor Velocidade Média
A velocidade média no ponto material é definida como o quociente entre Δr e Δt.
Independe da trajetória entre os dois pontos.
3.2.2 Vetor Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero:
A direção do vetor velocidade instantânea está ao longo da linha tangente à trajetória.
3.3 Vetor Aceleração
3.3.1 Vetor Aceleração Média
A aceleração média do ponto material no intervalo de tempo Δt é definida como o quociente
Δv/Δt.
Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória do material.
3.3.2 Vetor Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea do ponto material no instante t é obtida quando Δt tende a zero:
3.4 Componentes Cartesianas
O movimento tridimensional com aceleração constante é equivalente a três movimentos
independes nas direções x, y e z.
Princípio de Independência dos Movimentos Simultâneos: Se um móvel apresenta um
movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais
não existissem e no mesmo intervalo de tempo.
Ou seja, um movimento não depende do outro para surgir e agir.
Quando a posição de um ponto P for definida por suas coordenadas cartesianas x, y e z, é
conveniente decompor sua velocidade v e sua aceleração a em função de tais componentes:
OBS.: Na decomposição vetorial, o vetor g, como aponta para baixo na direção vertical, é
decomposta apenas no eixo y, ou seja: g = gj.
OBS.: A equação da trajetória não é r(t), e sim y(x).
Adaptações:
3.5 Movimento de Projétil – Lançamento Horizontal e Oblíquo
Modelo de simplificação:
 A aceleração g é constante e direcionada para baixo.
 O efeito da resistência do ar é desprezível.
 A direção y é vertical e positiva apontando para cima.
 No t = 0 o projétil parte da origem.
Pelo desenho, podemos identificar que:
A trajetória é completamente especificada conhecendo o ângulo e a velocidade inicial:
Aplicando (I) em (II), temos:
Um projétil lançado sobre um solo plano, com trajetória simétrica, possui as seguintes
características:
Tempo de subida é igual ao tempo descida:
Na altura máxima, vy = 0:
No alcance, utiliza-se t = 2t1:
No alcance máximo, utiliza-se θ = 45°:
Analisando o desenho abaixo, percebe-se que o alcance será máximo quando o ângulo entre a
trajetória e o eixo x for 45°.
3.6 Movimento Circular Uniforme
O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do corpo e perpendicular ao raio da
trajetória circular, cujo módulo é constante, mas a direção não.
O vetor aceleração é sempre perpendicular à trajetória e sempre aponta para o centro do
círculo, sendo chamada de aceleração centrípeta.
Por semelhança de triângulos, sabe-se que:
Substituindo Δv por aΔt, temos:
Aproximando t para zero, a razão |Δr|/Δt aproxima-se da velocidade escalar v e a aceleração
média torna-se instantânea:
OBS.: A aceleração centrípeta não é constante, pois ela muda frequentemente de direção ao
se deslocar na trajetória circular.
Período é o tempo necessário para uma revolução (volta) completa. Em 1 período, a partícula
descola-se 2πr (comprimento de 1 volta):
3.7 Movimento Circular Não-Uniforme
Neste movimento a partícula move-se com uma velocidade cuja direção e módulo variam. O
vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, e o vetor aceleração faz um ângulo θ com a
trajetória, sendo descrito como a soma vetorial entre a aceleração tangencial e a aceleração
radial:
A aceleração tangencial surge da mudança na velocidade escalar (módulo da velocidade) da
partícula:
A aceleração radial surge da mudança na direção do vetor velocidade:
O módulo da aceleração é dado por:
4.0 Velocidade Relativa
Considere 2 partículas em movimento. Quando as suas velocidades estão em sentidos
contrários, o módulo da velocidade relativa entre os corpos é dado pela soma dos módulos
das velocidades; quando estão em sentidos iguais, o módulo é dado pela diferença dos
módulos das velocidades.
A velocidade relativa será aproximação quando houver um ponto de encontro, e de
afastamento quando não houver.
4.1 Composição de Movimento
Considere:
 Velocidade do barco: Velocidade relativa ( ).
 Velocidade da correnteza: Velocidade de arrastamento (
 Velocidade resultante: ( ).
Se um barco navega rio abaixo, ele navega a favor da correnteza.
).
Se um barco navega rio acima, ele navega contra a correnteza.
Se um barco atinge a outra margem navegando perpendicularmente às margens:
Se um barco atinge a outra margem no ponto em frente ao ponto de partida, ele possui o
menor deslocamento resultante possível, com a velocidade resultante perpendicular às
margens.