O CAMPO ELÉTRICO

O CAMPO ELÉTRICO
1. A CARGA ELÉTRICA
• Filósofo grego Tales de Mileto (640-546 a.C.): âmbar, quando atritado, atrai
pequenos objetos ( palavra elétrico vem de electron = âmbar ),
• Médico inglês Willian Gilbert (1540-1603): outras substâncias, quando atritadas,
adquirem propriedades atrativas. Estabeleceu diferenças entre atração elétrica
e magnética
magnética,
• Stephen Gray, (1729): propriedades de atração e repulsão elétricas podem ser
transferidas (condução elétrica),
• Charles François Du Fay (1698-1739): folha de ouro é atraída por uma bastão de vidro
atritado
t it d e, após
ó o contato,
t t é repelida
lid ((admitiu
d iti duas
d
espécies
é i de
d eletricidade:
l t i id d
vítrea e resinosa),
• Benjamin Franlin (1747): estudou condução/transferência da eletricidade e estabelece
lei da conservação
ç das cargas
g elétricas ((caracterizou o excesso de eletricidade
como positivo e deficiência como negativo),
• Joseph Priesteley (1733-1804): não há eletricidade no interior de um vaso oco
( exceto nas vizinhanças da abertura como forças gravitacionais).
Estabeleceu que forças entre duas cargas elétricas varia com o inverso do
quadrado da distância entre elas,
•
Charles Coulomb (1736-1806): confirmou lei do inverso do quadrado da
distância
usando balança de torção ( inventada por John Mitchell, 1724-1793).
Aplicou-a para estudar forças elétricas e magnéticas,
• Michael Faraday (1791-1867):
(1791 1867): realizou experimentos e estabeleceu
leis eletromagnéticas,
• James Clerk Maxwell (1831-1879): estabeleceu a teoria eletromagnética,
• J.J. Thompson (1897): estabeleceu a relação carga/massa,
• Robert
R b t Millik
Millikan (1909)
(1909): quantização
ti
ã d
da carga elétrica
lét i ((múltiplo
últi l d
de uma unidade
id d
fundamental, q=N.e, q-carga, N-número inteiro, e - carga fundamental). Eletron
tem carga –e e proton tem carga +e. Massa do próton 2000 massa eletron,
• Outros p
pesquisadores
q
continuaram seus trabalhos no século XX
2. A LEI DE COULOMB
A força que uma carga puntiforme exerce sobre outa:
¾ Orienta-se segundo uma reta que une as duas cargas,
¾ É repulsiva quando as cargas tem mesmo sinal, caso contrário é atrativa,
¾ Módulo da força varia intensamente proporcional com o quadrado da distância
que as separa,
¾Módulo da força varia proporcionalmente com a grandeza das cargas elétricas,
F12 = K •
q1 ⋅ q2
• r̂12
2
r12
Onde:
¾ K = 8,99x109 N.m 2 / C 2 = 9 x109 (no vácuo) - constante
¾ q1 e q2 são cargas elétricas medidas em Coulomb (C) no sistema MKS (
quantidade de carga que flui por um contador durante um segundo para uma
corrente elétrica de 1 Ampere)
¾ rˆ12 =
¾
r2 − r1
r2 − r1
F12 é a força exercida pela carga q1 sobre a carga q2
CARGA ELEMENTAR( Unidade fundamental de Carga)
e= 1,6 • 10
−19
Exemplo: Dados q1 = +25µC , q2 = −10µC e q3 = +20 µC , calcular a força
g q3 conforme a figura
g
abaixo.
resultante sobre a carga
Solução:
Como q1 e q3 tem mesmo tipo de
sinais, a força F13 é de repulsão
entre elas. Sendo a distância entre
elas é de 2 2 , esta força é
calculada por:
F13 = K
F13 = 9.10
9
q1 ⋅ q3
r132
(25.10 )(20.10 ) = 0,56 N
−6
−6
(2 2 )
2
e faz um ângulo de 45º com
o eixo dos x
Como q2 e q3 tem sinais opostos, a força F23 é de atração e é calculada
por:
(
)(
)
−6
q2 ⋅ q3
20.10 −6
9 10.10
F23 = K 2 = 9.10
= 0,45 N
2
r23
(2)
e é dirigida p/ baixo
A força resultante, F=F13+F23, é igual a soma de suas componentes no eixos
do x e do y:
Fx = F13 x + F23 x = 0 + 0,56 ⋅ cos 45º = 0,40 N
Fy = F13 y + F23 y = 0,56 ⋅ sen45º −0,45 = −0,05 N
3. O CAMPO ELÉTRICO
É a regiao do espaço onde cargas elétricas ficam sujeitas a ação de uma
força elétrica:
F = q⋅E
F
⇔ E=
q
Onde:
q : Carga
g elétrica ( escalar )
F : Força elétrica sobre a carga elétrica q ( vetor )
E : Vetor campo elétrico ( unidade MKS: N/C )
Atenção:
¾O campo elétrico é provocado por cargas elétricas puntiformes ou distribuídas,
¾É um conceito que permite evitar o problema da ação a distância ( quando o campo
não de propaga instataneamente) ou quandoa distribuiçao de cargas elétricas
geradoras do campo é desconhecida,
¾A relação
ç entre o campo
p elétrico e a(s)
( ) carga(s)
g ( )p
puntiforme(s)
( )q
que o
gerou(geraram) pode ser descrita por:
E=
F
q prova
=K⋅
q.q prova
r
2
1
^
q prova
r
onde q é a carga que gerou. Se for para n cargas puntiformes:
n
qi 0 ^
F = K .q prova ∑ 2 ri 0
i =1 ri 0
⇔
n
qi 0 ^
E = K ∑ 2 ri 0
i =1 ri 0
EXEMPLO: Calcular o campo elétrico no ponto P ( para pontos do eixo x
afastados das cargas elétricas) como mostra a ficgura.
Solução: Calcula-se o campo devido as cargas –q e +q no ponto P como segue:
Ex =
K.q
2
x
{
devido a ( + q)
+
k.( − q)
(x + a) 2
1
424
3
devido a (-q)
 1
1
E x = K .q  2 −
2
x
(
x
+
a
)


 2 ax (1 + a / 2) 

 = k .q  4
2 
 x (1 + a / x ) 

Com x>>a
x>>a, despreza a/2x
a/2x, então:
2.K .q.a 2.K . p
=
3
x
x3
Onde :
p = q.a
Ex =
é o vetor momento dipolo elétrico
(unidade MKS: C.m)
Linhas de campo elétrico
•
•
•
•
•
•
As linhas de campo elétrico são também chamadas de linhas de força
força, uma vez que
elas mostram a orientação da força exercida sobre uma carga de prova positiva.
Exclusivamente principiam em cargas positivas e terminam em cargas negativas.
O numero de linhas de força que saem de uma carga positiva ou entram numa
carga negativa é proporcional ao valor da carga.
As linhas que entram e saem de uma carga elétrica esferossimétricas.
A densidade de linhas (numero por unidade de área perpendicular as linhas) é
proporcional a grandeza do campo
campo.
Duas linhas de força nunca podem se interceptar
Atenção; casca esférica
carregada
d eletricamente
l ti
t não
ã ttem
campo elétrico em seu interior
(como campo gravitacional).
5 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES
5.
CONTÍNUA DE CARGAS
Um conjunto de muitas cargas agrupadas pode ser
considerado como uma distribuição contínua de cargas.
DENSIDADE LINEAR DE CARGA; carga distribuída num ‘fio’.

∆Q 
c arg a
λ=
= 
∆L  compriment
i
o
EXEMPLO: Calcular
EXEMPLO
Calc lar o campo magnético no ponto P sobre o ei
eixo
o do anel
de carga, uniformemente distribuída com densidade , de raio R, conforme
mostra a figura.
Solução:
Temos que:
dQ
dQ
dE = K 2 = K 2
(x + R2 )
s
Devido a simetria do problema a soma das componentes em y é igual a
zero.
E y = dE y = 0 e E x = dE x = dE. cos θ
∫
∫
∫
logo:
dQ
}
2πR
2πR
dQ
λdL
x
Ex = ∫ K 2
cosθ = ∫ K 2
⋅ 2
2
2
2 1/ 2
(
x
+
R
)
(
x
+
R
)
(
x
+
R
)
0
0
14243
cos θ
Daí;
KQx
Ex = 2
( x + R 2 )1 / 2
Densidade superficial de carga : carga distribuída numa superfície
∆Q (carga )
σ=
=
∆A (área)
EXEMPLO: calcular o campo magnético no ponto P sobre o eixo da casca esférica,
de raio R, carregada com densidade elétricas uniformemente distribuídas, conforme
mostra a figura.
Solução:
Escolhemos um anel de carga com largura
e comprimento
2πRsenθ
Rdθ
A área deste anel é:
dA = 2πRsen θRdθ = 2πR 2 senθdθ
a carga elétrica neste anel é:
dQ = σdA = σ 2πR 2 senθdθ
Vimos que a componente radial (eixo x) devido a este anel é:
KdQ
dE x = 2 cos a
s
Kσ 2πR 2 senθdθ
dE x =
cos a
2
s
Por outro lado podemos relacionar as variáveis s e
s = r + R − 2rR
R cos θ ∴
2
2
2
2sds = 2rRsenθdθ ⇔
R = s + r − 2 sr cos a
2
2
por: θ
que diferenciando chega
chega-se
se a
sds
senθdθ =
rR
Por outro lado podemos relacionar as variáveis s com
2
(I)
((II))
a como segue:
s2 + r 2 − R2
cos a =
2 sr
(III)
substituindo(II) e (III) em (I) (elimina-se e da equação), temos
r+R
r+R
 r 2 + R2 
Kσ 4πR
KσπR 
r 2 − R2 
∫ dE x = r 2 = r −∫R 1 + s 2 ds = r 2  s − s 
r−R
2
Logo:
Para pontos fora da casca (funciona como se fosse uma carga
puntiforme na origem)
Kσ 4πR 2 KQ
= 2
Ex =
2
r
r
para pontos
t dentro
d t da
d casca:
Ex =
r +R
KσπR 
r −R 
 =0

s
−
2

r
s  R −r

2
2
(muda limite inferior)
DENSIDADE VOLUME DE CARGA: carga distribuída num volume
∆Q
(carga )
ρ=
=
∆V (volume)
EXEMPLO: calcular o campo magnético no ponto P sobre o eixo da esfera, de raio R,
carregada com densidade volumar ρ de cargas elétricas uniformemente distribuídas,
conforme mostra a figura.
Solução:
Pode-se ver uma esfera como
uma superposição de cascas esféricas
concêntricas de espessura dr cuja
carga elétrica é:
dQ
Q = ρ 4{
πr 2 dr
1
4área
24
3
volume
Logo, o campo elétrico no ponto P devido a casca esférica de raio R é:
KdQ
K ρ 4π r 2 dr
dE =
=
2
s
s2
Conseqüentemente,
q
, se o ponto
p
P estiver fora da esfera,, temos:
R
4 3
Kρ πr
R
Kρ 4πr 2 dr
3
E = ∫ dE = ∫
=
2
2
s
s
r =0
0
ou
KQ
E= 2
s
Quando o ponto P estiver dentro da esfera, a carga q´ no interior:


4 3  Q  4 3  Qr 3
q`= ρV ´= ρ πr =
 πr = 3
3
 4 πR 3  3
 R


3


para s > R
Logo:
Q
Qr 3 
K  3
R
Kq´
E= 2 =  2 ⇒
s
r
KQ
E= 3 r
para s< R
R
6.MOVIMENTO DE CARGAS PUNTIFORMES EM CAMPO ELÉTRICO
CASO I: Carga elétrica que lançada na
di ã d
direção
do campo com velocidade
l id d
(MRUV)
Aceleração:
Força= m.a=q.E= força elétrica
Logo:
qE
a=
m
O espaço percorrido pela carga elétrica
até parar, é igual a:
v 2 = v02 + 2a.∆S
logo
mv02
∆S =
2qE
CASO II: carga elétrica lançada
perpendicularmente a direção do
campo elétrico com velocidade
Aceleração na vertical é:
qE
a=
m
(como no caso I)
na vertical temos um MUV onde:
qE
v = at =
t
m
e
at 2 qE 2
∆y =
=
t
2
2m
e na horizontal temos um MU.
7.DIPOLO ELÉTRICO EM CAMPO ELÉTRICO
Momento dipolo (p):
p = q.L
Ex: moléculas polares (centro das cargas positivas não concide com o centro das
cargas negativas, eg, NaCl, CO, etc.) a maioria das moléculas e todos os
átomos são apolares e, na presença de um campo elétrico, podem orientar
suas cargas e tomar um dipolo)
Torque sobre um dipolo (τ )
Temos:
Logo:
| F1 |=| F2 |= qE
τ = F .L.senθ = qL
{.E.senθ
p
Daí:
τ = p×E
Energia potencial de um dipolo (U):
O trabalho p
para aumentar o ângulo
g
dU = τdθ = p.E.senθ .dθ
θ
((aplica
p
torque
q p
para g
girar):
)
⇒ U = − pE cosθ + U 0
É convenção
ç fazer a energia
g p
potencial U=0 q
quando θ = 90 o, logo
g
U = − pE cos θ = − pE
• Bruno rafael e
aecio levy