exercicios-basicos-de-matematica

EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
1.
NÚMEROS INTEIROS
Efetuar:
1) − 12 + 7 =
2) − 18 − 4 =
3) − 20 − 13 − 8 =
4) 15 − 6 + 7 =
5) 17 ⋅ 4 =
6) 200 ÷ (−5) =
7) (22 ⋅ 3) − (56 ÷ 2) =
8) 14 + 5 ⋅ 2 =
9) 16 ÷ 2 + 6 =
10) 16 ÷ (2 + 6) =
11) 28 ÷ 7 + 36 ÷ 2 − 0 ÷ 5 =
12) 0 6 =
13) 1412 =
14) − 5 2 =
15) (−5) 2 =
16) 10 ÷ (−2 2 − 1) =
17) 10 6 =
18) 10 8 + 10 7 =
19) 36 + 64 =
20) 36 + 64 =
21) 4 ⋅16 =
22) 4 ⋅ 16 =
23) 0 − 1 =
24) 144 + 169 − 3 ⋅ 625 =
25) 49 + 3 1 =
26) 6 64 − 4 16 =
27) 2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 7 128 =
28) 4 ⋅ 5 32 − 5 ⋅ 3 343 =
29) 8 ⋅ 4 10000 − 6 ⋅ 4 4096 =
2.
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Simplificar:
30 30 ÷ 2 15 15 ÷ 3 5
=
=
=
=
Exemplo:
24 24 ÷ 2 12 12 ÷ 3 4
30)
2
15000
=
750
240
32)
=
360
31)
Escreva em forma de fração mista o
45
número
7
45 7
45
3
3 6 → parte int eira ∴ = 6
7
7
Escreva em forma de fração mista os
números:
8
33)
=
5
111
34)
=
7
528
35)
=
13
Escreva em forma de fração imprópria o
2
número 8
7
2 8 ⋅ 7 + 2 56 + 2 58
8 =
=
=
7
7
7
7
2
=
3
3
37) 10 =
8
5
38) 238 =
2
Efetuar:
36) 4
1 12 18
−
+
=
7 7
7
5 1
40)
− +2=
8 4
1
2
41)
− 25 + 3 =
2
5
39)
400
=
12
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Efetuar:
3 7 3 ⋅ 7 21
⋅ =
=
8 5 8 ⋅ 5 40
2 4
⋅ =
3 9
2
14 12
43)
⋅5⋅ ⋅ =
7
3 15
42)
Efetuar:
4 9 4 5 4 ⋅ 5 20
⋅ = ⋅ =
=
7 5 7 9 7 ⋅ 9 63
3 1
÷ =
7 2
1 1 9
45)
÷ − =
2 4 2
1 4
46) 2 − ÷ =
2 7
44)
 2
Efetuar:  
5
−3
3
5 3 125
 5
=  = 3 =
8
2
 2
3
−2
1


49)  −1
−1 
3 + 2 
Efetuar:
3
=
−2
=
16
42 4
=
=
49
72 7
2
=
9
27
51) 3
=
64
−6
52)
=
5 3
50)
FRAÇÕES DECIMAIS E NÚMEROS
DECIMAIS
Exemplo: Transformar em fração decimal o
número decimal 0,03
3
0,03 =
100
Transformar em fração decimal os números
decimais:
53) 0,4
54) 241,47
55) 0,1020304
Exemplo: Transformar em número decimal
17
fração decimal
= 0,017
1000
 3
47)   =
 5
2 1
48) 3 ÷  
7  3
3.
253
10
890047
57)
10.000.000
314159265
58)
100.000.000
56)
Exemplo: Efetuar 3,7 x 0,85
3,7
x 0,85
185
296
3,145
Efetuar:
59) 0,02 × 400
60) 43,17 × 1,2
61) 0,1009 × 0,17
Exemplo: Efetuar 0,036 ÷ 0,2
0,036 0,2
0,036 0,200
36
200
360
200
1600
0,18
000
,Portanto
0,036 ÷ 0, 2 = 0,18
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Efetuar:
69) A soma de quatro números inteiros e
consecutivos
é
igual
a
90.
Determine-os.
62) 15,75 : 12,6
63) 0,01 : 1000
64) 816,0024 : 8
4.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Resolver em ℜ a equação: 5 x − 2 = 2( x − 4)
5 x − 2 = 2( x − 4)
5x − 2 = 2 x − 8
5x − 2 x = 2 − 8
3x = −6
−6
∴ x = 2 ⇒ S = (− 2)
x=
3
Resolver em ℜ as equaçôes:
5.
x% =
PORCENTAGEM
x
100
Exemplo: Calcular 25% de 80
25
1
25% de 80 =
⋅ 80 = ⋅ 80 = 20
100
4
Calcular:
65) 13( x − 1) = −2
70) 20% de 10
66)
x −1 x + 2
−
= −1
3
5
71) 30% de 180
67) A soma de dois números inteiros é
48. Determine-os sabendo que um
deles é igual ao triplo do outro.
68) Um número inteiro, somado com sua
quarta parte e somado com seu
dobro é igual a 650. Calcule o triplo
do quadrado desse número.
4
72) 15% de 20%
73)
(20% )2
74)
81%
75) 30% de 64%
76) 2% de 8% deR$ 450,00
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
6.
REGRA DE TRÊS
144 9
1.152
= ∴ 9 x = 1.152 ∴ x =
∴ x = 128
8
9
x
Regra de Três Simples e Direta
Exemplo:
Uma secretária ganha R$2.100,00 por 10
dias de trabalho. Quanto ganhará
trabalhando 14 dias?
Resolução: Sendo x o salário que
receberá por 14 dias, temos:
Salário
Resposta:
Serão
funcionários.
necessários
128
77) Um operário ganha R$1.800,00 por
12 dias de trabalho. Determine
quanto receberá se trabalhar 8 dias?
Dias
2100
10
x
14
78) Um caminhão com velocidade de
90Km/h, demora 6 horas para
percorrer o trajeto entre duas
cidades. Determine quanto tempo
demorará para percorrer a mesma
distância caso trafegue à 150Km/h.
2100 10
=
x
14
10 ⋅ x = 14 ⋅ 2100
29.400
= 2.940 ∴ x = 2.940
10
Resposta:
A
secretária
R$2.940,00
x=
receberá
Regra de Três Simples e Inversa
Exemplo:
Sabendo-se
que
144
funcionários realizam um serviço em 8
dias, determine quantos funcionários
serão necessários para realizar o mesmo
serviço em 9 dias.
79) Considere uma roda de 42 dentes
que engrena com outra de 35
dentes. Quantas voltas dará esta
última quando a primeira der 245
voltas?
Resolução: Sendo x o número de
funcionários necessários para realizar o
serviço em 9 dias, temos:
Funcionários
144
8
x
9
Funcionários
5
Dias
80) Um pintor pinta 5 paredes em 19
manhãs. Quantas paredes irá pintar
se trabalhar 76 manhãs?
Dias
144
9
x
8
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
7.
POTENCIAÇÃO
88)
Potência de expoente inteiro
Qualquer que
definimos:
seja
um
número
a,
Efetuar as operações
redutíveis à mesma base.
89)
n ≥2
a = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ....⋅ a , n inteiro,
n
92)
Ampliando a definição, colocando:
a1 = a
e
a0 = 1 .
Para a ≠ 0 e n inteiro positivo, definimos
a
pela relação: a
1 1
= n = 
a
a
n
Se existem a , a e b no conjunto dos
números reais, valem as propriedades:
m
n
m
a ⋅a = a
m
n
m+n
am : an = am−n , a ≠ 0
(a )
m p
= a m⋅ p
a m ⋅ b m = (a ⋅ b )
m
m
am  a 
=  ,b≠0
bm  b 
Calcular o valor de cada expressão:
81)
(− 2)4 − (− 1)3 − 22
−3
 2
−2
82)  −  − (− 2)
 3
−3
 1
−1
83)  −  − (0,1)
 2
6
5
84) (− 2 ) − (− 2)
85)
86)
87)
6
(− 2)3 − 23
(− 3)4 − 34
(− 1)−3 − (− 2)2 ⋅ (− 3) + (− 7 )0
−6
)(
: 7 −2 : 7 −8 : 7 −4
com
−2 6
2
potências
)
( )
(3 ) : (3 : 3 )
(25 ⋅125 ⋅ 625 ) : (5
4
91)
−n
(7
90) 53 : 53
n fatores a
−n
(− 1)100 + (− 1)101 − (− 1)102 + (− 1)103
(− 1)105 − (− 1)106 + (− 1)0 − 1107
4
2 −3
4
−1 2
3
3
: 25
)
−1
−2
−2

 1   1

93) 7 ⋅ 342 ⋅    :  : 49
 7    7


(
)(
94) a −6 : a −2 : a −3 : a 2
)
−1
, a≠0
Reduzir cada expressão a uma única
potência:
1
95) 162 ⋅ 8−1 ⋅ 2563 ⋅  
2
−4
6
 1
96) 729 ⋅  −  ⋅ 2432
 3
−2
 10 
97) 25 ⋅  
2
a+2
a
x
 1  1
98) 49 ⋅ 
 ⋅ 
 343   7 
−x
2x
Simplificar cada fração:
312 − 311 − 310
311 + 310 + 310
3n −1 + 3n + 3n +1
100)
3n + 2 − 3n
100
4100 + (− 4)
101)
100
2100 + (− 2)
99)
102)
5 ⋅ 450 − 5
100
3 ⋅ (− 2) − 3
− 22
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
8.
RAIZ N-ÉZIMA
9.
Raiz n-ésima ( n inteiro, n ≥ 2 ) de um
número a é um número x tal que x n = a .
No conjunto dos números reais, temos
situações distintas conforme n seja par ou
impar.
a) Para n par:
se a < 0 , não existe raiz n-ésima de
a;
se a = 0 , a única raiz n-ésima é zero;
se a > 0 , existem duas raízes nésimas de a , uma positiva e a outra
negativa, indicadas respectivamente
1
1




por, n a  ou a n  e − n a  ou − a n  .




b) Para n impar:
qualquer que seja o número real a ,
existe uma única raiz n-ésima, que é
1



indicada por n a  ou a n  .


Se existem m a , m b , m a n e m n a no
conjunto dos números reais, valem as
propriedades:
POTÊNCIA
RACIONAL
DE
EXPOENTE
Sejam um número real a e uma fração
m
irredutível
, com m inteiro e n natural,
n
n ≥ 2 . Definimos:
m
n
a = n a m para a > 0 ou para a < 0 e
n ímpar
m
m
0 n = 0 para
>0
n
Exercícios referentes aos itens 8 e 9.
Calcular o valor de:
103)
3
− 125 + 4 81 − 5 − 32
1,21 − 3 − 0,008 + 9 − 1
5
− 3125 − 3 − 343 − 4 625
− 64 + 196 − 4 16
104)
105)
106)
3
107)
2+ 2 + 2 + 4
108)
2 2 2 4
109)
5 + 13 + 8 + 10 1
110)
3
− 59 − 4 623 + 4 16
Efetuar as operações indicadas
m
a ⋅ m b = m a ⋅b
m
a :m b = m a:b , b ≠ 0
m
an =
( a)
m
m n
p
m⋅ p
a np , p int eiro, p ≥ 1
= m ap
a = m⋅ n a
3 + 12 − 27 + 867
40 + 3 135 − 6 25
4
1.875 + 4 243 − 4 768
111)
112)
113)
3
114)
3
( 6)
6
2
Escrever sob a forma de um único radical
115)
116)
7
162 + 3 48 −
535 5
3
7 7 4 73
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Efetuar as operações indicadas
117)
118)
119)
120)
4
6
8: 2
72 ⋅ 6
2 ⋅ 3 12
72 : 4 12
(2
122)
(
3
3+ 6
135)
)(
)
(
3 +2 6 −3 2 5+ 2
)(
)
(
3 + 2 ⋅ 3 5 − 2 ⋅ 3 13 − 2 2
127)
6
5
4
243
2
8
137)
x3 , x > 0
10
4
5
5
3
138)
7
139)
6
140)
(− 6)3
141)
 5
− 
 7
142)
(− 2)5
143)
 2 6
 
3
144)
2
 
3
−
3
4
1
−
2
3
3
−
3
2
145)
343 3 − 625 0, 25
146)
32 5 + 8
−
1
4
−
1
3
1
− (− 216 ) 3
147)
625
148)
81 4 + 64
−
1
3
Reduzir cada expressão a uma única
potência
7
73 7
(
5
1
Efetuar as operações indicadas
133)
4
2
3
2
5 5
3
x3 x 2 : 3
2
1
131)
132)
2
Calcular o valor de cada expressão:
1
130)
)
136)
200
2
3
4
5
2
128)
129)
8
10
10
3
)
2+ 5 3 2− 5 − 5 5+2 2
Racionalizar o denominador de cada
fração:
126)
3
Obter o radical equivalente:
1+ 2 − 3 ⋅ 1+ 2 + 3 ⋅ 2
124)
125)
0,25 − 3 2
3
3
121)
123)
134)
16 8 ⋅ 6 0,125
)
2 ⋅ 5 4 : 10 16
149)
150)
151)
 23  −3 −0,5
 3 ⋅ 3 : 3




1
 2 −1 23  3 −0,5
5 ⋅ 5 ⋅ 5  : 5 ⋅ 5




( )
(
(7
−4
: 7 −2
)
) : (7 )
0,5
−4 1, 5
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA

6


2 0,5
152)
153)
( )
(3 ) : (3
2 0,5
154)
10.
2
3
1

−
 ⋅ 64 2


+ 2 0,5 + 2 0,5 + 2 0,5
2 0,5 + 2 0,5
1
−
3
0,5
+ 30,5 + 30,5 )
PRODUTOS NOTÁVEIS
159)
(− 5xy
160)
(2 x + 5 y )3
161)
(3a
162)
(x + 3 y + 4 z )2
Lembrar os desenvolvimentos:
163)
a (b + c ) = ab + ac
164)
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b2
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
(a − b )3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
(a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a3 + b3
(a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a3 − b3
(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
165)
Em geral, temos:
(a + b )2 ≠ a 2 + b 2
(a − b )2 ≠ a 2 − b 2
(a + b )3 ≠ a 3 + b 3
(a − b )3 ≠ a 3 − b 3
Desenvolver:
166)
167)
168)
169)
170)
171)
172)
175)
9
 x y  x y 
 +  − 
 6 3  6 3 
(x + x −1 )(x − x −1 )
 2x 2 y 5   y 5 2x 2
⋅

+
−
7   7
3
 3
3
3
− x + 12 − x − 12



(2
)
(
)(
)
(7 2 + 6)(7 2 − 6)
)(
2 −3 3 2 2 +3 3
6
4−2 3
6
3 2+2 3
2
2 2 −2
53
7 2 −3 5
 x2 y3 
 +

4 
 6
− 7 x(8 x 2 − 4 x 5 )
(4m + 5)
)
3
(5x
156)
158)
− 7b 4
173)
174)
2
2
Desenvolver:
5(3x − 2)
(3a + b ) ⋅ (2a − 5b )
)
−3
Racionalizar o denominador de cada
fração:
155)
157)
2
2
(x
2
4
+ 3y3
)
2
2
+ x −2 )
2
176)
(− 6 x + 5 y )2
177)
3+ 5
178)
(
(7 x
3
)
2
− 4y2 )
2
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
 x3 y 2
 −
4
 6
179)
(x
180)
(
181)
5
− x −5 )



11.
2
Fatorar uma expressão algébrica significa
escreve-la na forma de multiplicação.
2
7− 2
)
2
Exemplos:
Efetuar as operações indicadas:
182)
183)
(
(3x + 2)2 − (3x − 2)2
(5 x + 3) (5 x − 3) − (5 x − 3)2
) (
2
)(
184) 5 2 − 3 3 − 2 2 + 3 2 2 − 3
185)
)
 6 + 3 + 3  6 − 3 + 3 



Desenvolver:
186)
187)
188)
189)
190)
191)
192)
193)
194)
195)
(x
3
+5
)
(x − 4)
(3x − 5)
3
(2 x + 7 )3
(x − 10)3
(4 x + 5) (16 x 2 − 20 x + 25)
(2 x + 5) (4 x 2 − 10 x + 25)
(4 x − 1) (16 x 2 + 4 x + 1)
(
197)
2
25 
 x 5 x

−

  + 1 + 2 
x 
 5 x   25
fatoração
(x + y ) (x 2 − xy + y 2 ) − (x − y ) (x 2 + xy + y 2 )
(x + x ) − (x − x )
199)
(x − 4)3 − (x + 4)3
−1 3
−1 3
)
Para fatorarmos ax + ay − az − bx − by + bz ,
colocamos, em evidência, a nos três
primeiros termos, − b nos três últimos e, a
seguir, x + y − z nos dois agrupamentos:
(x − 2) (x 2 + 2 x + 4) − (x + 2) (x 2 − 2 x + 4)
198)
10
de
2° CASO: FATORAÇÃO POR
AGRUPAMENTO
Efetuar as operações indicadas:
196)
Recordaremos os casos
através de exemplos.
Na expressão 12 x 3 y 3 + 15 x 2 y 6 − 21x 3 y 4 z , o
fator comum a todos os termos é 3x 2 y 3 (é
o mínimo múltiplo comum dos termos);
então:
12 x 3 y 3 + 15 x 2 y 6 − 21x 3 y 4 z =
= 3 x 2 y 3 4 x + 5 y 3 − 7 xyz
3
2
a) A fatoração de x 2 − 25 é (x + 5)( x − 5)
b) A fatoração de ax − ay + bx − by não é
a ( x − y ) + b( x − y ) , pois essa expressão não
está na forma de multiplicação. A forma
fatorada é (x − y )(a + b )
1° CASO: COLOCAR O FATOR COMUM
EM EVIDÊNCIA
3
(5 x + 2)3
4
FATORAÇÃO
ax + ay − az − bx − by + bz =
Fatorar:
200)
201)
202)
203)
a ( x + y − z ) − b( x + y − z ) =
(x + y − z )(a − b )
60a 3 x 4 − 96a 4 x 2 + a 5 x 5
ax n + x n +1 + x n + 2 + x n + 3
x2 y 2 − x3 y3 + x y3 − x2 y 4
5a 4 x 5 + 15a 3 x 5 − 10a 4 x 4 − 30a 3 x 4
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Simplificar cada fração
Fatorar no conjunto dos números reais
204)
ax − ay − 2 x + 2 y
ax − ay + 2 x − 2 x
205)
x −x +x −x
x4 + x3 + x2 + x
4
3
207)
208)
2
(
Toda diferença de quadrados a 2 − b 2
pode ser fatorada; basta lembrar que:
)
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
210)
211)
212)
213)
214)
215)
Exemplos:
216)
a) 81x 2 − 121y 2 = (9 x + 11y )(9 x − 11y )
b) ( x − a )2 − ( y − b )2 =
[(x − a ) + ( y − b )] [(x − a ) − ( y − b )] =
(x − a + y − b )(x − a − y + b )
217)
(
)(
(x
+y
2
)(x + y )(x − y )
)
Um polinômio é quadrado perfeito se é o
desenvolvimento do quadrado de outro
polinômio.
Para
reconhecermos
e
fatorarmos um trinômio quadrado perfeito,
basta lembrar que:
)
)
(a + b )(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
(a − b )(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
Exemplos:
(
)
a) x 3 + 8 = x 3 + 2 3 = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 4
b) x 3 − 1000 = x 3 − 10 3 = (x − 10) x 2 + 10 x + 100
(
6° CASO: POLINÔMIO CUBO
PERFEITO
Exemplos:
a) 9 x 2 + 30 x + 25 = (3x + 5)
(
Toda soma de cubos a 3 + b 3 e toda
diferença de cubos a 3 − b 3 podem ser
fatoradas. Basta lembrar que:
(
4° CASO: TRINÔMIO QUADRADO
PERFEITO
(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2
6 x 4 − 48 x 2 + 96
6 x 4 − 96
x 3 − 2 x 2 − xy 2 + 2 y 2
x 2 − 2 x − xy + 2 y
5° CASO: SOMA DE CUBOS E
DIFERENÇA DE CUBOS
x4 − y4 = x2 + y2 x2 − y2 =
2
x2
y2
−
81 225
a 2 − 16 x 2
x5 y3 − x3 y5 − x3 y + x y3
36 x 2 + 84 x + 49
9 x 2 + 66 xy + 121 y 2
25 x 2 − 30 x + 9
49 x 2 + 4 y 2 − 28 xy
209)
3° CASO: DIFERENÇA DE
QUADRADOS
c)
16 x 2 − 49 y 2
x 2 − 169
x −2 − y −2
206)
2
b) 49 x 2 − 28 x + 4 = (7 x − 2)
2
Um polinômio é cubo perfeito se é o
desenvolvimento do cubo de outro
polinômio.
Para
reconhecermos
e
fatorarmos um polinômio cubo perfeito,
basta lembrar que:
(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
11
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
)
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Exemplos:
Exemplos:
a) 8 x 3 + 60 x 2 + 150 x + 125 = (2 x + 5)
2
b) 64 x 3 − 48 x 2 y + 12 xy 2 − y 3 = (4 x − y )
3
Fatorar no conjunto dos números reais:
218)
219)
220)
221)
222)
223)
224)
225)
226)
227)
228)
229)
x 3 + 27
64 x 3 + y 3
x 3 − 125
216 x 3 − 343
x6 − a6
x6 + a6
x 3 + 12 x 2 + 48 x + 64
x 3 + 18 x 2 + 108 x + 216
8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3
x 3 − 15 x 2 + 75 x − 125
27 x 3 − 27 x 2 + 9 x − 1
x 3 − 30 x 2 + 300 x − 1000
Simplificar cada fração:
230)
x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
x3 + y3
231)
x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
x 3 − x 2 y − xy 2 + y 3
232)
233)
12.
3

− 4 x − 3 = 0 ⇔ x = − 4

ou
(− 4 x − 3)(x − 2)(5 x + 2) = 0 ⇔  x − 2 = 0 ⇔ x = 2
ou

2

5 x + 2 = 0 ⇔ x = − 5
Portanto,
o
conjunto
solução
(− 4 x − 3)(x − 2)(5 x + 2) = 0 é:
2
 3
S = − ; 2; −  .
5
 4
Resolver as equações-produto:
234)
235)
236)
237)
13.
(2 x − 7 )(3x + 5) = 0
x (− 3 x − 11)(7 x − 2 ) = 0
(2 x + 1)(3x − 4)(− x + 6)(− 5 x − 17 ) = 0
(4 x − 3)(− 2 x − 3)(x − 4)(5 x − 2 )(8 x − 5) = 0
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equação do 2º grau com uma incógnita é toda
equação redutível à equação
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , onde x é a incógnita, e
a, b e c são os coeficientes.
2 x 3 − 250
x 3 + 10 x 2 + 50 x + 125
x 3 + ax 2 − a 2 x − a 3
x 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + a 3
As raízes de
dadas por:
EQUAÇÃO-PRODUTO
Sendo α e β dois números, sabemos que:
x=
α ⋅ β = 0 ⇔ α = 0 ou β = 0
Utilizando essa propriedade, poderemos,
finalmente, resolver equações do tipo
(ax + b )(cx + d ) = 0
ou
(ax + b )(cx + d )(ex + f ) = 0
,
que
denominaremos equações-produto.
12
de:
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , são
−b± ∆
2a
onde ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c é o discriminante.
Uma equação do 2° grau ax 2 + bx + c = 0 ,
com a, b e c reais, admite:
duas raízes reais desiguais ⇔ ∆ > 0
duas raízes reais iguais
⇔∆=0
duas raízes não-reais
⇔∆<0
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA
Resolver, no conjunto dos números reais,
as equações completas do 2° grau:
238)
239)
240)
241)
242)
243)
244)
245)
246)
247)
3x 2 − 8 x + 4 = 0
7 x 2 + 19 x + 10 = 0
36 x 2 − 84 x + 49 = 0
− 25 x 2 + 60 x − 36 = 0
7x 2 + 6x + 2 = 0
2 x 2 + 5 − 8x = 0
3x 2 = 6 x + 1
28 x + 49 + 4 x 2 = 0
6 x + 5x 2 + 2 = 0
2x + 1 = 2x 2
262)
263)
264)
265)
255)
x 2 − 6x + m − 2 = 0
2x 2 − 4x − m − 1 = 0
x 2 − (2m − 1)x + m 2 − 2 = 0
x 2 − (2m − 3)x + m 2 = 0
Resolver as equações, em x, com m ∈ ℜ
Resolver, no conjunto dos números reais,
as equações incompletas do 2° grau:
248)
249)
250)
251)
252)
253)
254)
Discutir, em função dos valores reais de m,
o número de raízes de cada equação:
266)
267)
268)
269)
2x 2
2x 2
4x 2
4x 2
− (4m − 3)x + 2m 2 − 3m = 0
− (2m + 1)x + m = 0
− 6mx + 2m 2 − m − 1 = 0
− 4(m + 2 )x + m 2 + 4m − 12 = 0
5 x 2 + 11x = 0
30 x 2 − 25 x = 0
64 x 2 − 81 = 0
− 121x 2 + 169 = 0
16 x 2 + 25 = 0
3x 2 − 8 = 0
5 x( x − 2 ) = x(3 x − 10 )
2x 2 = x 2
Resolver, no conjunto dos números reais,
as equações:
256)
(4 x + 3)2 − (2 x − 1)(2 x + 1) = 2
257)
(x + 3)2 − (x − 3)2 = (x − 2
258)
(x + 5)(x 2 − 5 x + 25) − x 2 = (x + 3)(x 2 − 3x + 9)
259)
(x − 1)(x 2 + x + 1) − x 2 = (x + 1)(x 2 − x + 1) − (x − 1)(x + 2)
260)
261)
13
)(
7 x+2 7
)
(x − 2)3 − (x − 1)3 = 3x − 4
(2 x + 1)3 − (2 x − 1)3 = 26
EXERCÍCIOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA - PROF. MARCO ANTONIO