NO ÂMAGO COGNITIVO DA MATEMÁTICA úmeros

NO ÂMAGO COGNITIVO DA MATEMÁTICA
PARCELATÓRIAS DE SEGUNDA ORDEM
úmeros não existem de fato. O que existe são processos de contagem, uma habilidade humana
N
que consiste em quantificar, medir, comparar e enumerar objetos. Qualquer objeto!
Por existirem apenas na nossa imaginação, números são apenas objetos abstratos que utilizamos
para realizar nossas costumeiras contagens.
Como todo objeto abstrato, foi necessário criarmos propriedades simbólicas para representá-los.
Mas substancialmente, eles não existem! São pois, conceitos cognitivos fundamentais.
Entretanto a contagem é um conceito mais fundamental ainda! Tão fundamental que não nos
damos conta disto. Por este motivo, é viável definir números em termos de contagens.
A contagem mais simples é aquela que ocorre com a adição da unidade. Qualquer número,
exceto o zero, pode ser expresso como uma adição simples de dois outros números. Por
exemplo, uma contagem de moedas pode ser feita da seguinte forma:
Zero que é o inicio;
Uma moeda, que é igual à unidade mais zero (1+0);
Duas moedas, que é igual à unidade mais um (1+1);
Três moedas, que é igual à unidade mais dois (1+2);
Quatro moedas, que é igual à unidade mais três (1+3);
Cinco moedas, que é igual à unidade mais quatro (1+4);
e assim por diante.
Bastante simples, este processo de contagem com duas parcelas é o 'conceito-processo' mais
fundamental da Matemática. E, precisamente, as Parcelatórias com 2 parcelas — Parcelatórias
de segunda ordem ou simplesmente 2ª Parcelatórias — identificam e descrevem qualquer
número.
Certamente alguém indagará: "Se as contagens são mais fundamentais que os números, por que
nós utilizamos os números e não as contagens?" A explicação mais sensata é obtida pela Lei do
menor esforço: é mais prático para a mente humana trabalhar com números do que com
contagens.
O número 5, por exemplo, pode ser completamente definido como sendo o resultado de duas
adições com 2 parcelas. São elas:
P(5,2)
5 = 1+4
5 = 2+3
Até as contagens de contas, ou em outras palavras, contagens com mais de duas parcelas,
também são reflexos de contagens com duas parcelas. Para explicar isto, tomemos como
exemplo o desenvolvimento da Parcelatória P(13,5):
P(13,5) = P(12,4) + P(8,5)
1+1+1+1+9
1+1+1+9
1+1+1+1+4
1+1+1+2+8
1+1+2+8
1+1+1+2+3
1+1+1+3+7
1+1+3+7
1+1+2+2+2
1+1+1+4+6
1+1+4+6
1+1+1+5+5
1+1+5+5
1+1+2+2+7
1+2+2+7
1+1+2+3+6
1+2+3+6
1+1+2+4+5
1+2+4+5
1+1+3+3+6
1+3+3+6
1+1+3+4+4
1+3+4+4
1+2+2+2+4
2+2+2+6
1+2+2+4+4
2+2+4+4
1+2+3+3+4
2+3+3+4
1+3+3+3+3
3+3+3+3
2+2+2+2+6
2+2+2+3+4
2+2+3+3+3
Por sua vez,
P(12, 4) = P(11, 3) + P(8,4)
1+1+1+9
1+1+9
1+1+1+5
1+1+2+8
1+2+8
1+1+2+4
1+1+3+7
1+3+7
1+1+3+3
1+1+4+6
1+4+6
1+2+2+3
1+1+5+5
1+5+5
1+2+2+7
2+2+7
1+2+3+6
2+3+6
1+2+4+5
2+4+5
1+3+3+6
3+3+6
1+3+4+4
3+4+4
2+2+2+2
2+2+2+6
2+2+3+5
2+2+4+4
2+3+3+4
3+3+3+3 
Da mesma forma:
P(11,3) = P(10,2) + P(8,3)
1+1+9
1+9
1+1+6
1+2+8
2+8
1+2+5
1+3+7
3+7
1+3+4
1+4+6
4+6
2+2+4
1+5+5
5+5
2+3+3
2+2+7
2+3+6
2+4+5
3+3+6
3+4+4
E por aí vai.
Observe que as primeiras contas, delimitadas com a cor vermelha, correspondem às contas do
primeiro termo da parcelatória acrescido da parcela "1+" na frente (Exemplos: 1+1+9 e 1+9;
1+2+4+5 e 2+4+5; 1+1+2+4+5 e 1+2+4+5).
As segundas contas, delimitadas com a cor azul, correspondem às contas do segundo termo da
Parcelatória onde todas as parcelas são acrescidas do número 1 (Exemplos: 2+2+7 e 1+1+6;
2+2+3+3+3 e 1+1+2+2+2; 3+3+3+3 e 2+2+2+2). Pelo fato de que as contas do segundo termo
sempre mantêm uma relação equivalente das parcelas entre si, são elas que determinam os
divisores do número.
Assim, o número 12 possui 3 como divisor pois ele aparece na Parcelatória P(12,4) em todas as
suas parcelas: 3 + 3 + 3 + 3.
Já o número 13 não tem nenhum divisor pois em nenhuma das suas Parcelatórias, P(13,1),
P(13,2), P(13,3), ... e P(13,12), existem parcelas repetidas, exceto a última (P(13,13)).
Em outras palavras, o que determina se um número possui divisores ou não é o segundo termo
de sua parcelatória, ou seja, se o segundo termo da parcelatória de um número possui divisores,
então o número possui os mesmos divisores também.
Desenvolvendo recursivamente esta análise aos menores números, verifica-se que, se o
desenvolvimento da 2ª parcelatória de um número qualquer possui múltiplos entre suas parcelas,
então as primeiras destas parcelas são divisores deste número.
Enfim, com as 2ª Parcelatórias é possível identificar várias propriedades matemática dos objetos
abstratos denominados "Números", tais como:
 Divisores
 Primaridade
 Potencialidade
Abaixo seguem as técnicas para determinação destas propriedades.
Divisores de um Número
Primeiramente é preciso definir que 'estender a 2ª parcelatória de um número' consiste
em criar duas colunas de números, sendo a primeira iniciada com a unidade e finalizada
com a metade do número, em ordem crescente; e a segunda iniciada pelo número menos
um e finalizada por volta da metade do número, em ordem decrescente, de forma que a
soma das parcelas sempre tenha como resultado o número original.
Então, para determinação dos divisores de um número, basta estender sua parcelatória
de segunda ordem e verificar quando a primeira é um múltiplo da segunda. Caso ocorra,
é porque a primeira parcela é um dos seus múltiplos.
Seguem como exemplo algumas parcelatórias de segunda ordem interessantes:
Parcelatórias de Segunda Ordem do número 10: Neste desenvolvimento,
verifica-se que os divisores de 10 são 1, 2 e 5, pois 1 é divisor de 9, 2 é divisor
de 8 e 5 é divisor dele próprio. Acrescenta-se a esses divisores o próprio
número 10 que também é divisor dele próprio. Assim, 1, 2, 5 e 10 são todos os
divisores de 10.
Parcelatórias de Segunda Ordem do número 13: Já neste desenvolvimento não
se observa nenhuma multiplicidade entre as parcelas, exceto 1+12. Pode-se
dizer então que os únicos divisores de 13 são 1 e 13, ou que 13 é um Número
Primo.
Parcelatórias de Segunda Ordem do número 20: Verifica-se neste caso que os
números 1, 2, 4, 5 e 10 são os divisores de 20, além dele próprio.
Este método é muito mais simples que o método tradicional, que consiste em ir
verificando se o número é divisível por outros números menores, além do que
não é necessário fazer divisões por Números Primos.
Primaridade de um Número
A Primaridade de qualquer número também pode ser obtida pelo método de
identificação dos seus divisores, pois Números Primos são aqueles que não tem nenhum
divisor.
Este método é similar ao Teste de Primaridade sugerido pelos matemáticos indianos M.
Agarwal, N. Kayal and N. Saxena, cujo algoritmo é atualmente denominado Teste de
Primaridade AKS.
Diferente da determinação dos divisores de um número, não é necessário verificar todas
as parcelatória de segunda ordem para saber se um número é primo ou não. O processo
pode ser extremamente facilitado tendo conhecimento de números primos menores.
Potencialidades de um Número
A Potencialidade de um número também pode ser obtida pela parcelatória de segunda
ordem. Para tanto basta estender a 2ª parcelatória de um número (n) e verificar quando
qualquer potência da primeira parcela (p1x) é igual à unidade adicionada à divisão da
segunda (p2) por ela (p1). Caso ocorra, é porque o número (n) é a (x+1)-ésima potência
da primeira parcela (p1).
Matematicamente temos:
1 + (p2 / p1) = p1x
e
p1 + p2 = n.
Ou seja,
p2 = n - p1.
Substituindo p2 na primeira equação, temos que
1 + ((n - p1) / p1) = p1x
ou
(p1 + n - p1) / p1 = p1x,
que se reduz a
n / p1 = p1x.
Assim,
n = p1(x+1).
Segue como exemplo as 2ª Parcelatórias do número 81:
P(81,2)
1+80
2+79
3+78 (81 é um biquadrado pois 1+(78/3)=33, x=3+1=4 e 34=81)
4+77
5+76
6+75
7+74
8+73
9+72 (81 é também um quadrado pois 1+(72/9)=91, x=1+1=2 e 92=81)
10+71
11+70
12+69
13+68
14+67
15+66
16+65
17+64
18+63
19+62
20+61
21+60
22+59
23+58
24+57
25+56
26+55
27+54
28+53
29+52
30+51
31+50
32+49
33+48
34+47
35+46
36+45
37+44
38+43
39+42
40+41
Estas entre diversas outras propriedades podem ser obtidas diretamente das 2ª parcelatórias de
qualquer número. Em outras palavras, as 2ª parcelatórias formam o esqueleto de qualquer
número, não importando sua magnitude.
A importância disto afeta diretamente o resultado final de alguns Cálculos Diferenciais e
principalmente Integrais quando as parcelatorias resultam em diferentes tipos de integrações.
AQUI segue anexo uma planilha em excel que pode ser usada para identificar as propriedades
de 'números-objetos' entre 1 e 2024. Evidentemente que o mesmo algoritmo pode ser usado para
qualquer número, porém esbarra-se nas limitações de hardware. Seria interessante poder testar
estes teoremas em super-computadores. Se alguém com acesso a super-computadores tiver
condições e interesse em testá-lo, por favor entre em contato.