A- Um dado movimento no plano tem a seguinte equação de

A- Um dado movimento no plano tem a seguinte equação de movimento:
r(t)=cos(t)⋅ux+sin(t)⋅uy
em unidades do Sistema Internacional.
a)
Determinar a velocidade da partícula no instante t=2π segundos.
b) Determinar a aceleração da partícula nesse instante.
c)
Mostrar que se trata de um movimento circular uniforme.
d) Determinar o módulo da velocidade instantânea desse movimento e a sua expressão vectorial
se o movimento estiver a realizar-se no sentido directo (anti-horário).
B - Mostre que num movimento unidimensional uniformemente acelerado se verifica a relação:
v + vi =
2∆x
t
sendo ∆x o espaço percorrido em t segundos e vi a velocidade inicial.
A - Uma partícula move-se ao longo da parábola
1 2
x , para x>0
2
de tal modo que a componente da sua velocidade segundo o eixo dos xx é constante, sendo vx=k, e logo,
x=k⋅t.
y=
a)
Determinar a componente da velocidade segundo o eixo dos yy, vy, como função de x.
b) Determinar as componentes de aceleração segundo os eixos, isto é, ax e ay.
c)
Representar num diagrama os vectores velocidade e aceleração no ponto , x = 2 .
B - Mostre que num movimento unidimensional uniformemente acelerado se verifica a relação:
v + vi =
2∆x
t
sendo ∆x o espaço percorrido em t segundos e vi a velocidade inicial.
A equação vectorial
r = 490 ⋅ t ⋅ u x + (490 ⋅ t − 4,9 ⋅ t 2 ) ⋅ u y
refere-se ao lançamento de um projéctil numa base ortonormal cuja origem coincide com o ponto de
lançamento, sendo o eixo dos xx o eixo horizontal. Desprezou-se a resistência do ar.
a)
Determinar o tempo que o projéctil demora a atingir o ponto mais alto da trajectória.
b) Determinar o alcance horizontal do projéctil.
c)
No instante t=10s, posterior ao lançamento, a que altura se encontra o projéctil?
d) No instante t=10s, posterior ao lançamento, qual a aceleração instantânea do projéctil?
Um canhão lança um projéctil com velocidade inicial vi. Esta velocidade é perpendicular à rampa
cujo ângulo de inclinação é φ.
Vi
A
B
φ
Prove que a distância d entre o ponto de lançamento, A, e o ponto de impacto na rampa, B, é
d=
quando se toma g=10,0 m/s2.
vi2 sin(φ )
5 cos 2 (φ )
Uma esfera de massa 10,0 g é abandonada na periferia A de uma semi-esfera de raio 10 cm (ver
figura). Considera-se que o atrito existente é desprezável.
a)
Represente com os vectores adequados as forças que actuam na esfera na posição P.
b) Prove que o módulo da força de reacção a que está submetida a esfera na posição P é:
 v2

FR = m + g cos φ 
r


φ
A
B
P
C
a)
A que altura (a partir do centro da Terra) se deve encontrar um satélite de forma a que este
seja geoestacionário?
b) Determine o atraso de transmissão inerente a uma ligação via satélite entre dois locais da
Terra que estejam na zona de serviço do satélite geoestacionário (despreze a distância entre
eles face à distância Terra-satélite).
c)
Partindo da órbita geoestacionária, à altura calculada em a), se o satélite se afastar da Terra
qual o efeito em termos de movimento relativo visto da superfície da Terra? O que teria de
fazer o utilizador de uma antena parabólica para continuar a captar o sinal? Seria possível
captá-lo sempre?
d) Se um satélite estiver numa órbita circular a 800 km de altitude (a partir da superfície da
Terra) qual a aceleração centrípeta associada à força gravítica sofrida.
e)
Qual velocidade angular, em graus por hora, do satélite referido em d)?
(Use os dados físicos de que necessitar: raio da Terra, velocidade da luz no vazio, etc)
Um objecto de 3,00 kg é deixado cair, partindo do estado de repouso, sobre um plano inclinado,
sem atrito, com θ=30º. Este sistema está em cima de uma mesa de altura H=1,5 m. O objecto é largado
sobre o plano inclinado de uma altura h=0,50m.
a)
Qual a aceleração do objecto durante o trajecto sobre o plano inclinado?
b) Qual a velocidade do objecto no instante em que sai da mesa?
c)
A que distância da mesa, R, cairá o objecto?
d) Desde o repouso até bater no chão, quanto tempo demorou o trajecto total do objecto?
e)
A massa do corpo afecta algum dos cálculos anteriores? Comente.
m
h
θ
H
R
Dois alvos circulares rodam em torno do mesmo eixo (eixo dos xx) com uma velocidade constante
de 60,0 rotações por segundo. Estão separados de uma distância de 1,0 m. Dispara-se uma pistola de
modo a perfurar os dois discos. Os raios que passam pelas perfurações diferem entre si dum ângulo de
30º (i.e. o projéctil atinge o 2º alvo quando este já rodou 30º). O raio de cada disco é 40,0 cm.
a)
Determine a velocidade e a aceleração de um ponto na periferia de cada disco.
b) Determine a velocidade do projéctil.
c)
A que distância teriam de estar os dois discos para que o ângulo entre os furos fosse π?
d) Suponha que o impacto no primeiro disco o faz deslocar no eixo em direcção ao segundo disco.
Parte e, por atrito no eixo de suporte, trava uniformemente até, 0,5 segundos depois, parar
exactamente a 5 cm do segundo disco. O seu movimento de rotação manteve-se intacto. Qual a
aceleração total de um ponto na periferia desse disco durante o trajecto desde o impacto do
projéctil até ao instante em que parou.?
1m
Considere os três objectos ligados tal como se vê na figura. Se os deslocamentos se fizerem sem
atrito e se o sistema estiver em equilíbrio, qual será, em termos de m, g e θ :
a)
a massa M; b) As tensões T1 e T2.
Se M for o dobro do valor obtido em a):
c)
qual a aceleração de cada um dos objectos; d) As tensões T1 e T2.
Se o coeficiente de atrito (estático) entre cada um dos objectos no plano e o plano for µa, e existir
equilíbrio:
e)
Qual o valor mínimo de M? f) Qual o valor máximo de M?
T2
T1
m
2m
M
θ
Um dinamómetro marca 100 N quando mede o peso de uma esfera durante o percurso ascendente
de um elevador. A esfera possui massa m=8000g.
a)
A velocidade do elevador está a aumentar, a decrescer ou é constante? Justifique.
b) Em que condições o dinamómetro marcaria 80 N?
c)
Qual a aceleração do elevador nas condições de a)?
d) Se o cabo se partisse, que valor seria lido no dinamómetro se o atrito for nulo?
e)
Durante a queda qual o movimento que uma bola lançada faz quando observada dentro da
cabina?
f)
Quando o travão de segurança entra em funcionamento o dinamómetro mede 350 N. Quando
pesaria numa balança (de torção de mola) uma pessoa com 80 kg de massa?
g) Durante a queda, a roldana vertical (com 20 cm de raio) que segurava o elevador continua a
rodar uniformemente com 2 rotações por segundo (ver figura). Qual a aceleração total de um
ponto na periferia da roldana, medida num referencial exterior à cabina? Desenhe um esquema
que ilustre a situação?
P
Fg