Interação Eletromagnética

Interação Eletromagnética
Ricardo Affonso do Rego
♣ Interação eletromagnética → Relatividade.
♠ Materiais dielétricos e magnéticos.
♦ Interação eletromagnética quântica.
♥ Livro de eletromagnetismo.
Boa parte do conteúdo desta apresentação foi extraído
do livro abaixo relacionado, a ser publicado nesta ano
de 2010. No final da apresentação consta os capítulos
deste livro.
Eletromagnetismo Básico
Ricardo Affonso do Rego
LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda.
Interação
Eletromagnética.
Questão: O que é a interação eletromagnética ?
☻carga elétrica
As interações fundamentais da natureza.
♣ Gravitacional
♠ Eletromagnética
♥ Nuclear forte
♦ Nuclear fraca
Próton:
Nêutron:
Elétron:
Três quarks. u u d.
Três quarks. u d d.
Partícula elementar.
Os quarks apresentam as quatro interações fundamentais da natureza.
Interações entre os quarks?
Massa: Interação gravitacional.
Quarks: Interação nuclear forte. Explica a união dos três quarks do próton.
−
Quark d em u.Interação nuclear fraca. Decaimento do nêutron: n → p + e + ν e .
Carga elétrica: Interação eletromagnética. Quarks apresentam cargas elétricas.
Força entre duas cargas elétricas. Dois referenciais inerciais.
Rapaz parado: Força coulombiana. F , F eF .
x
y
z
Rapaz em movimento: Força coulombiana modificada Fx , Fy eFz .
Fx = Fx
Fy = Fy 1 − V 2 / c 2
Fz = Fz 1 − V 2 / c 2
Razão do fator
Transformadas de Lorentz
x − Vt
x=
1− V / c
2
2
y=y
z=z
t =
L1
L2
L3
t − Vx / c
2
1− V / c
2
2
L4
1 − V 2 / c2
?
Transformadas de Galileu
x = x − Vt
y=y
z=z
t =t
Necessidade destas transformações ?
Einstein – 1905 – Teoria da Relatividade
1- Princípio da relatividade:
Todas as leis da natureza são as mesmas ( invariantes ) para todos os observadores
em movimento translacional relativo uniforme.
2- Princípio de invariança da velocidade da luz:
A velocidade da luz no vácuo é a mesma e igual a c em todos os sistemas inerciais
de referência.
Estes dois princípios são satisfeitos pelas transformações de Lorentz apresentadas.
Estas transformações foram descobertas por Lorentz em 1904. Torna inalterada a
forma das equações de Maxwell. Apesar das transformações de Lorentz proporcionar
uma base para o desenvolvimento da relatividade especial, as consequências transcedentes da relatividade não foram descobertas por Lorentz que neste tempo ainda acreditava na hipótise do éter.
Vamos mostrar que Fy = Fy 1 − V 2 / c 2 é decorrente das transformações de Lorentz.
Prova da transformação de força entre dois ref. inerciais: Fy = Fy 1 − V 2 / c 2
Relação entre velocidades e momentos de dois referenciais inerciais.
Rapaz de boné. u y =
Δy
mo
,m =
Δt
1− u
(*), p
2
/c
y
y
= mu y , Fy =
Δp y
Δt
2
Rapaz de cabelo esvoaçante.
uy =
Δy
Δt
= L2 =
Δy
Δt
= L4 =
p y = mu y = ( )(**) =
Δy
Δt
1 − V 2 / c2 = u y 1 − V 2 / c2
m
1− V / c
2
2
uy
1−V / c =
2
2
mu y = p y
m=
1−ν / c
2
1−ν / c
2
2
=( )=
2
mo
1−V / c
2
2
1− u
m
= (*) =
2
y
/c
p y = p y ( ◊)
v 2 = V 2 + u y 2 (***)
Vê referencial se afastando com −V e corpo com vel. u y .
Massa:
mo
u y = u y 1 − V 2 / c 2 (**)
1− V / c
2
2
( )
2
= (***) = 1 − V 2 / c 2 − u 2y / c 2 = (**) = 1 − V 2 / c 2 − (u 2 y / c 2 )(1 − V 2 / c 2 ) =
= (1 − V 2 / c 2 )(1 − u 2 y / c 2 )( )
Fy =
Δp y
Δt
= ( ◊) =
Δp y
Δt
= L4 =
Δp y
Δt
1 − V / c = Fy
2
2
1− V / c
2
2
Fy = Fy 1 − V 2 / c 2
Força medida por dois referenciais inerciais
•
Referencial parado : Força medida pelo rapaz de boné ?
FqQ
qQ
=y
, Fx = Fz = 0
2
4πε o r
.Rapaz vê as cargas paradas: Força coulombiana.
Referencial em movimento : Força medida pelo rapaz cabelo esvoaçante ?
2
2
ˆ + yF
ˆ + zF
ˆ
ˆ = ? = yF
1
/
F = xF
−
V
c
= ? = yˆ
x
y
z
y
qQ
2
2
1
−
V /c
4πε o r 2
Força coulombiana modificada.
2
2
2
2
qQ
qQ
qQ
(
V
/
c
)
1
−
V
/
c
2
2
Fy =
1
−
=
−
V /c
4πε o r 2
1 − V 2 / c 2 4πε o r 2 1 − V 2 / c 2 4πε o r 2 1 − V 2 / c 2
Identificando a natureza das forças
Referencial em movimento
qQ
FE =
= qE
4πε o r 2 1− V 2 / c2
qQV 2
FB =
= qVB
2
2
2
2
4πε o r c 1− V / c
Força coulombiana com
correção relativística.
Força magnética com
correção relativística
Característica da força magnética
1- FB surge de movimento de carga elétrica.
2- FB atua em q e Q. As duas cargas estão em movimento.
3- FB / FE = v2/c2 .
Qual a origem da força magnética FB ?
Movimento de carga. Carga Q com velocidade V produz campo magnético B
que atua na carga q com velocidade V = V
. Resulta a força magnética F :
q
FB = qVq × B
B
Força atuando na carga q em movimento
Expressão de B , criado por Q em movimento na carga q ?
QVQ × rˆ
B=
4πε o r 2c2 1− V 2 / c2
ˆ × yˆ = − zV
ˆ
VQ × rˆ = − xV
(#)
= (#) =
ˆ
− zQV
4πε o r 2 c 2 1 − V 2 / c 2
ˆ
= − zB
ˆ VB
ˆ ) = − yq
FB = qVq × B = q(− xˆV ) × (− zB
Conclusão: Toda carga elétrica em movimento cria campo magnético!
A teoria da relatividade nos diz que a origem cinemática da força magnética é resultante
da modificação da força coulombiana devido à mudança de sistema de referência.
Força no eletromagnetismo
Situação: Cargas q e Q observada em dois referenciais inerciais.
Questão: Força em q ?
Rapaz parado. Observa E . Não observa campo magnético.
Mede: F = qE
Rapaz em movimento. Observa E , B. Campo elétrico e magnético.
Mede: F = q ( E + V × B ) . Força de Lorentz.
Campo E (ref. parado) é visto (transformado) em campos E , B (ref.movimento).
Ey =
Ey
1 − V 2 / c2
Conclusões sobre campo elétrico e magnético:
1- Campos dependentes de sistema de referência.
2- Campos criados por carga elétrica.
3- Campos elétrico E e magnético B constituem a interação eletromagnética.
A teoria da relatividade restrita fornece as regras de transformação de como o
campo eletromagnético se transforma em sistemas inerciais de referência.
As relações matemáticas entre o campo eletromagnético do sistema parado e
movimento é conhecida por transformações de Lorentz.
Qual a necessidade das transformações de Lorentz ?
Decorrente da exigência do 10 princípio da teoria da relatividade especial:
Para que as leis do eletromagnetismo sejam as mesmas ( apresentam a
mesma forma ) em referenciais inerciais são necessárias as transformações de
Lorentz. Implica que:
Sistema Parado
Sistema Movimento
F = q ( E + Vq × B )
F = q ( E + Vq × B )
Conclusão: Força de Lorentz é invariante pelas transformações de Lorentz.
Equações de Maxwell
Sistema Parado
Sistema Movimento
∇i E = ρ / ε o
∇i E = ρ / ε o
∇i B = 0
∇i B = 0
∇× E = −
∂B
∂t
∇ × B = μo J +
∇× E = −
∂E
c 2 ∂t
∂B
∂t
∇ × B = μo J +
∂E
c 2 ∂t
As equs. de Maxwell são invariantes pelas transformações de Lorentz.
Que sistema de referência obtemos valor c ?
1
1
Note que c =
e c=
as constantes de permeabilidade e
μo ε o
μo ε o
permissividade são constantes universais. Logo μo = μo e ε o = ε o ⇒
Consequência da invariança da velocidade da luz ?
Sistema Movimento
Sistema Parado
c=
dx
dt
c=
c=c
dx
dt
Visto que o espaço deve contrair, o tempo deve mudar proporcionalmente à
medida que a velocidade se aproxima da velocidade da luz.
Análise alternativa: Que propriedades de transformaçoes os campos elétrico e
magnético devem ter para que ( na mudança de referencial do parado para o em
movimento ) nos referenciais inerciais a velocidade da luz seja a mesma ?
Ex = Ex E y = γ ( E y − VBz )
Bx = Bx By = γ ( By + V2 Ez )
c
1
Ez = γ ( Ez + VBy ) γ =
V
1 − V 2 / c2
Bz = γ ( Bz − 2 By )
c
Como consequência: forças de Lorentz e equações de Maxwell invariantes!
Qual a resposta da matéria sob ação de
Ee B
?
Dielétrico
Efeito do dielétrico num capacitor?
Adiciona água entre as placas de um capacitor carregado.
Medida: Vo > V
Eod > E d → Eo > E. Dielétrico: Eo / E = K → E = Eo / K (1)
Conclusão: Dielétrico reduz campo elétrico. Razão ? Dipolo elétrico. O que é ?
momento
de
Dielétrico: composto por moléculas não-polares e polares.
Molécula não-polar na ausência de campo elétrico orientador.
p=o
E = 0,
O que aconteça com ela, na presença de campo elétrico orientador
Molécula polar
E = 0,
p≠o
p = qd
Razão da redução do campo elétrico.
1 dipolo
E = Eo + Ed
⎧ q ≅ 10
=⎨
⎩ d ≅ 10
p=o
dipolo
p
E?
E≠0
−19
−10
C
m
p≠o
Como verificar a redução do campo elétrico pelo dielétrico?
Capacitor:
1- Vácuo.
ˆ =
∫∫ E indA
Lei de Gauss:
S
∫∫
S = 2 A+ A
QS
εo
ˆ = E A=?= E A=
E indA
n
o
l
σA
=?=
εo
εo
QS
⇒
Eo =
σ
εo
2- Com Dielétrico: Muitos dipolos elétricos pi.
ˆ = EA = ? =
∫∫ E indA
S
QS
εo
=?=
(σ − σ P ) A
εo
⇒
E=
σ −σP
εo
Compare equ. (2) com equ. (3): Redução do campo elétrico
pela presença de cargaσ p do dielétrico.
σ → c arg a.livre
σ P → c arg a.de. polarização
(3)
(2)
Como relacionar momento de dipolo elétrico
Dielétrico:
σ P ⇒ E < Eo
σ −σ
E=
εo
Redução do campo elétrico.
σP =
σ P Ad
Ad
σ
⇒
P
Equ. (3):
p com polarização P ?
= εo E +
c arg a .livre
⎧
Polarização
p
⎪ Nq d ∑ i ↓
P = i =1
⎪
= P...(5)
=⎨ V
V
⎪
N
⎪
qP d = np = P
V
⎩
n : densidade.de.dipolos.elétri cos
N
(4)e(5) → D = ε o E + P (6)
D = ε o E + P (7)
D.vetor.Deslocamento
Como calcular o vetor polarização P
N = nΔV
P = lim
ΔV →0
∑
i =1
ΔV
Vetor.Polarização
pi
?
p = qduˆ p
σP
c arg a .de. polarização
. (4)
Cálculo de P é complicado!
Dielétricos lineares:
P = (6) = D − ε o E = σ − ε o E = (2) = ε o Eo − ε o E = (1) = ε o KE − ε o E = ε o ( K − 1) E = ε o χ e E
P = ε o χ e E ( Dielétrico.isotrópico )
P representa a resposta do dielétrico da ação de campo elétrico Eo:
Campo elétrico Eo : causa. Polarização P: efeito da matéria.
1- Polarização P proporcional a E, campo elétrico resultante: E =
2- χ e = K − 1 Susceptibilidade elétrica.
3- D = ε o KE, proporcional a E.
4- Gases e líquidos são, em geral, dielétricos isotrópicos.
Constante dielétrica K: Kar seco =1,00025, Kdiamante= 5,7 Kágua= 80,1
Curiosidades: Quando um dielétrico (isolante) se torna condutor ?
Ruptura dielétrica.
Ar:
E > 3x106 V/m.
O´leo: E > 1,5x107 V/m.
Raios.
Eo + Ed
Materiais magnéticos
Fontes do campo magnético.
Quais são as fontes do campo magnético ?
1- Corrente aplicada. Corrente em fio condutor produz campo magnético.
B = Bc = ? = μo H
↓
↓
Corrente aplicada
Campo H
2- Matéria: Interação entre os elétrons da matéria produz campo magnético.
B = Bm = ? = μo M
↓
Matéria
↓
Magnetização
3- Corrente aplicada + matéria.
B = Bc + Bm = μo H + μo M
Obs.:
B3 ≠ B1 + B2
Razão? M = M( H ).
O que produz a magnetização
M
?
H altera M.
Os dipolos magnéticos induzem a magnetização M .
O que é um dipolo magnético? correntes microscópicas.
com momento de dipolo magnético m
Um elétron em órbita produz momento de dipolo magnético
mi = iAnˆ
eV
eVr
e
e
meVr =
L
π r2 =
=
2π r
2
2me
2me
e
e
eV
L = r × meV = meVr
i= =
=
T 2π r 2π r
−eL
p
mL =
V
2me ( L... fonte..de..M )
e
J = L+S
mi = mL + mS = ? = − g
J
−eS
me
mS =
me ( S ... fonte..de..M )
iA =
Como definir
M
ligando com
mi
dos elétrons ?
Magnetização
Matéria magnética apresenta milhões de elétrons com
N = nΔV
M = lim
ΔV →0
∑
i =1
M
mi num volume ΔV.
mi
N = n ΔV
∑
ΔV
i =1
Vetor.Magnetização
Matéria homogênea: Nm
mi = ? = Nm ⇒ M =
lim
ΔV → 0
ΔV
= nm
Modelo microscópico: Cilindro de volume ΔV=A constituído de N correntes microscópicas.
Cada elétron (-e) induz corrente i: i =
M = ? = nm = ? =
N
iA, temos :
ΔQ
Δt
=
−e V
2π r
A
Bm
= μo M
=
? = μo
Ni
Expressão.de.solenóide
Conclusão: Magnetismo da matéria tem sua origem nas correntes microscópicas.
Comportamento da matéria na presença de campo magnético: M = M ( H)
Qual é a resposta do material magnético na presença de campo magnético aplicado Bc?
B = μ o H + μo M
BC
Diamagnetismo:
B
<1
BC
χ m ( prata ) = −2, 60 × 10
Paramagnetismo:
M = χ m H ( Material.linear )
Efeito
Causa
B
>1
BC
χ m ( alumínio ) = 2, 50 × 10
Ferromagnetismo:
−5
Bm
−5
B
BC
1
χ m (liga : ferro + níquel ) = 24999
Material não-linear: M = F(H)
Materiais magnéticos
Materiais lineares
Diamagnéticos
e
Paramagnéticos
μ
B = μo H + μo χ m H = μo (1 + χ m ) H = μ H
M
Materiais não-lineares : Ferromagnetismo
Km
Como produzir um ímã ?
Histerese
Obs.: H = 0
M = 0. Diamagnetismo e Paramagnetismo.
⇒
H=0
M ≠ 0. Ferromagnetismo.
⇒
Materiais dielétricos:
E < Eo x Materiais magnéticos é possível B > Bo
Eletromagnetismo: Breve análise de duas abordagens.
Teoria clássica x quântica
Existem fenômenos envolvendo cargas elétricas inexplicável pelo eletromagnetismo de
Maxwell?
Criação de um par de cargas.
Um onda eletromagnética cria um par de cargas ao interagir com o campo coulombiano de
um núcleo.
γ + A → A* + e − + e +
Como é possível explicar o desaparecimento de um campo eletromagnético, raio γ , ao
interagir com um núcleo A, e no seu lugar criar um elétron e um posítron ( antimatéria do elétron ) ? Energia resultando em matéria ?
Eletromagnetismo Clássico: Não explica!
Eletromagnetismo Quântico: Explica!!!
Antimatéria:
Previsão teórica de Dirac: 1928.
Verificação experimental: Anderson e Blackett 1932.
O que é antimatéria ?
Partícula gêmea da matéria, com carga elétrica oposta.
Como explicar o fenômeno ?
Einstein ( 1905): A matéria é uma concentração de energia E = m c2.
Teoria clássica do eletromagnetismo: Elétron: partícula pontual, com momento,
energia,...satisfaz as equs.da mecânica de Newton e campo eletromagnético
contínuo, E , B que satisfazem as equações de Maxwell.
1- Eletromagnetismo Clássico: Maxwell.
Força de Lorentz
F = q( E + V × B)
Equações de Maxwell.
Qual é a fonte de E ?
I−
QS
ˆ =
∫∫S E indA
εo
..........
Lei.de.Gauss .......... ∇i E = ρ / ε o
Existe cargas magnéticas ( monopolos ) ?
II −
ˆ = 0 ..........
∫∫ BindA
S
Lei.de.Gauss
do.magnetismo
.......... ∇ i B
=0
Ausência de monopolos magnéticos.
Como se pode induzir campo elétrico
III −
∫
E idl = −
C ( A)
E
na ausência de cargas elétricas ?
d
∂B
ˆ
..
..
∇
×
=
−
..
..
i
B
ndA
Lei
de
Faraday
E
∂t
dt A∫∫
(C )
Cilindro condutor se move
Campo magnético
com velocidade V, com
variável no tempo, numa
campo magnético B constante.
área espacial A fixa.
Área variável no tempo A=A(t)
Como se pode induzir campo magnético
IV −
∫
C ( A)
Bidl = μo
∫∫
B
?
ˆ + μo ε o
J indA
A( C )
d
dt
∫∫
ˆ .. ∇ × B = μ J + μ ε
E indA
o
o
∂E
o
A( C )
ΦE
IC
Lei..de.. Ampére − Maxwell
Carregamento de capacitor:
Corrente é fonte de campo magnético B
Variação de fluxo elétrico no tempo
é fonte de campo magnético B.
Questão: Como é possível variar fluxo elétrico sem variação no tempo do campo elétrico?
∂t
2- Eletromagnetismo quântico: Dirac, Feynman ...
♣ O que é?
Combinação de eletromagnetismo com mecânica quântica: Eletrodinâmica
quântica ( QED, quantum electrodynamics ).
♣ Necessidade de mecânica quântica ?
1- Radiação de corpo negro: Planck.
Matéria: energia é quantizada. X Newton: energia contínua.
2- Efeito fotoelétrico: Einstein.
Luz: energia é quantizada: fótons. X Maxwell: energia contínua.
3- Elétron é uma onda: De Broglie.
Verificação experimental: difração de elétrons.
♣ Equação desta onda ?
a- Equ. de Schrödinger.
b- Equ. de Dirac: Mecânica Quântica + Relatividade restrita.
Aplicação da mecânica quântica a campos resulta: teoria quântica de campos .
Eletrodinâmica quântica: Descreve a interação entre cargas elétricas através de
troca de fótons.
♣ O que é um fóton ?
Um quantum de energia de radiação. Ef = h f .
Eletromagnetismo:
Clássico: Os campos elétrico e magnético são contínuos.
Satisfazem as equações de Maxwell. Elétron satisfaz equação de Newton.
Quântico: Campos satisfazem as equações da QED. O elétron satisfaz
a equação de Dirac.
Eletrodinâmica Quântica ( Eletromagnetismo quântico ).
Incluem as concepções de mecânica quântica: Funcão de onda, conceito de probabilidade,
princípio de incerteza de Heisenberg,...
∂Ψ (r , t )
∂t
2
Hamiltoniana de Dirac: H D = cα i( −i ∇ − qA) + β mc + qV
2
⎛ ψ 1 (r , t ) ⎞
q †
∂
V
2
∇ V− 2 2 =− Ψ Ψ
⎜ψ (r , t ) ⎟
εo
c ∂t
⎜ 2
⎟
(
,
)
r
t
Ψ
=
2
∂ A
Espinor ⎜ψ 3 (r , t ) ⎟
2
†
∇ A − 2 2 = − μo qΨ αˆΨ
⎜
⎟
(
r
,
t
)
ψ
c ∂t
⎝ 4
⎠
Equações da QED:
H D Ψ (r , t ) = i
∂A
E = −∇V −
∂t
B = ∇× A
QED: 1- Interação eletromagnética é realizada pela troca de fótons.
2- Aplicação da mecânica quântica a campos.
2
2 4
2 2
3- Incorpora relações relativística de energia: E = m c + p c
4- Equações invariantes por transformações de Lorentz. Assegura que o mesmo fenômeno é descrito em d
diferentes referenciais inerciais.
Previsão da QED:
mS =
− g S eS
2 me
. É esperado spin ½ e gS=2. Observado: gS=2x1,001159652193
Teoria de pertubação na QED. Termos α, α2 e α3 ( 72 termos em α3 ).
gS=2x1,001159652.
694-698
J.M.Dudley and A.M. Kwar , American Journal of Physics, Vol. 64 ( June 1996)
Capítulos do livro a ser publicado em 2010.
Eletromagnetismo Básico- Ricardo Affonso do Rego- LTC editora
♠
Eletromagnetismo Básico- Ricardo Affonso do Rego- LTC editora
♠