Correntes Acústicas e o Tubo de Kundt

Correntes Acústicas
e o Tubo de Kundt
Cássio Sigaud
IF-UFRJ
Mecânica de Fluidos
r r
u ( x, t )
r
ρ( x , t )
r
p( x , t )
r r
u ( x , t ) = velocidade do fluido no ponto x no instante t
r
ρ( x , t ) = densidade do fluido
r
p( x , t ) = pressão do fluido
Mecânica de Fluidos
• Segunda lei de Newton:
(massa/volume) × aceleração = força/volume
r
∂
u
r
r

ρ
+ (u ⋅ ∇) u = −∇p
 ∂t

p( x ) dy dz
p( x + dx ) dy dz
equação de Euler
dp
Fx = − dx dy dz
dx
• Conservação da matéria:
∂ρ
r
= −∇ ⋅ (ρ u )
∂t
equação da continuidade
Mecânica de Fluidos
• Equação de estado:
p = p(ρ, s )
s=entropia / massa
movimento isentrópico → s = constante
p = p(ρ)
• Efeito da viscosidade:
r
∂u r
r
r
r
ρ  + (u ⋅ ∇) u  = −∇p + η∇ 2 u + ( ζ + η / 3)∇(∇ ⋅ u )

 ∂t
equação de Navier-Stokes
Ondas Sonoras
r
u =0
fluido em equilíbrio:
ρ = ρ0
p = p0
r
u ≠0
pequena perturbação do equilíbrio:
ρ = ρ0 + ρe
p = p0 + p e
r
u , ρ e , pe pequenos
Ondas Sonoras
Substituindo u, p e ρ nas equações de Euler e da continuidade,
e desprezando termos quadráticos nas quantidades pequenas,
obtém-se (em 1 dimensão):
∂pe
∂u
 ∂p  ∂ρe
ρ0
=−
= − 
∂t
∂x
 ∂ρ  s ∂x
∂ ρe
∂u
= −ρ 0
∂t
∂x
∂ 2u 1 ∂ 2u
 ∂p 
onde
− 2 2 =0
c=  
2
∂x
c ∂t
 ∂ρ  s
equação de onda
velocidade do som
Ondas Sonoras
Ondas harmônicas:
u = u0 cos[ω(t m x / c)]
pe = ± ρ 0 c u
ρ e = pe / c 2
Correntes Acústicas
(acoustic streaming)
• Correções de 2ª ordem (quadráticas) em u, pe, e ρe:
- equação não-linear complicada
- efeitos da viscosidade (eq. de Navier-Stokes)
- absorção do som a altas freqências
J.W.S. Rayleigh, The Theory of Sound
Correntes Acústicas
• Exemplo de correção de 2ª ordem:
u = u0 cos[ω(t − x / c )]
u0
= u0 cos[ω(t − x0 / c )] + ( x − x0 )ω sen[ω(t − x0 / c )] + K
c
x − x0 =
u0
sen[ω(t − x0 / c )]
ω
u02
u = u0 cos[ω(t − x0 / c )] + sen 2 [ω(t − x0 / c )]
c
u02
Valor médio da velocidade: corrente acústica < u > =
2c
Correntes Acústicas
1
Intensidade sonora: I = < pe u > = ρ 0 c u02
2
<u>=
I
ρ0c 2
Outros efeitos podem aumentar muito essa velocidade.
Correntes Acústicas
W. Dridi, V. Botton, X. Escriva, H. BenHadid & D. Henry
Correntes Acústicas
Corrente acústica em volta de um cilindro.
Correntes Acústicas
Velocidade média:
Nó
Anti-nó
Nó
placa vibrante
Anti-nó
Nó
Anti-nó
Nó
tubo de Kundt
Anti-nó
O Tubo de Kundt
(August Kundt, 1886)
O Tubo de Kundt
Placas de Chladni
(Ernst Chladni, 1787)
Placas de Chladni
Areia depositada nas linhas nodais.
Placas de Chladni
Poeira grossa: depositada nas linhas nodais.
Poeira fina: carregada para os anti-nós pela corrente acústica.