Mecanismos para Gerar Novos Estados do Campo Eletromag

Universidade Federal de Goiás
Instituto de Física
Mecanismos para Gerar Novos
Estados do Campo Eletromagnético através de Interações com
Meios Não Lineares
Guilherme Colherinhas de Oliveira
Dissertação apresentada ao Instituto
de Física da Universidade Federal de
Goiás para obtenção do título de
Mestre em Física.
Orientador: Profa. Dra. Célia Maria Alves Dantas
Instituto de Física
Goiânia — 2006
Agradecimentos
• À minha mãe que apesar dos inúmeros problemas dos últimos anos, esteve
comigo mesmo que só em pensamento mas o suficiente para renovar-me.
• Aos meus avós Romildo e Laura.
• Desde minha formação como Licenciado Pleno em Física pelo corpo de pro-
fessores da Universidade Católica de Goiás, venho adquirindo caráter científico
que me proporciona a finalização de mais esta etapa. Assim agradeço aos professores: Elias Leite, Norton, Francisco, Elias Calixtro, Renato Medeiros, Jales,
Antônio Newton e Clóves, que além da formação intelectual empregam no que
fazem uma filosofia que representa principalmente respeito com.o aluno, exemplo que tomei para minha carreira como professor.
• Agradeço a Professora Célia em especial por mostrar-me não somente caminho
da ciência mas também o do dever como ser humano. Agradeço pelas horas de
discussão, convivência e principalmente pela enorme confiança e respeito que
colocou em mim.
• Aos professores do Instituto de Física com os quais eu pude e tive o privilégio
de estudar, Orlando, Nicodemos, Basílio e Francisco, obrigado por lapidar as
inúmeras arestas que tinha e me alertar para as que eu terei por mim mesmo
ainda lapidar.
• Aos verdadeiros amigos que sempre estiveram comigo principalmente no último
ano, apoiando e sempre questionando-me sobre o que faço, despertando em
mim um espírito que sempre a simplicidade para explicar o que questionavam:
Deibson, Silvino Jr. e Neydiwan.
Conteúdo
Resumo
vi
Abstract
vii
1 Introdução
1
2 A Mecânica Quântica e a Eletrodinâmica Quântica de Cavidades
2.1 A Quantização do Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 O Estudo das Interações Átomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Átomos de Rydberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Cavidades Ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Os Modelos de Interações: Ressonante e Dispersivo . . . . . .
2.3 A Preparação dos Estados Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Campo Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Estados do Campo Eletromagnético
3.1 Estados de Número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Estados Coerentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Estados de Número Deslocado . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Estados Coerentes Comprimidos . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Estados de Número Deslocado Não Lineares . . . . . . . . .
3.6 Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares
3.6.1 Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares . . . .
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4 Estudos das Representações no Espaço de Fase
4.1 Funções de Probabilidade . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Distribuição de Número de Fótons . . .
4.1.2 Parâmetro QM de Mandel . . . . . . . .
4.1.3 Função Q (β) de Husimi . . . . . . . . .
4.1.4 Função W (β) de Wigner . . . . . . . . .
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5 Conclusão
86
Apêndices
89
Bibliografia
105
ii
Lista de Figuras
2.1 Representação do Campo Elétrico e Magnético em propagação, perpendiculares entre si e à direção de propagação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Quantizar o campo eletromagnético é o mesmo que quantizar o Oscilador
Harmônico. O nível de excitação do oscilador agora relaciona-se com o
número de fótons no modo do campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Representação contemporânea do experimento proposto por Kapitza e Dirac. 12
3.1 Representação pictórica do Estado de Número |ni. Cada
estado é re√
presentado
por
uma
coroa
circular
de
raio
interno
a
=
n
e
raio externo
√
b = n + 1, sendo o vácuo representado por um único circulo de raio unitário.
3.2 Representação
¡ pictórica¢do Estado Coerente no espaço de fase. Os Estados
Coerentes |αi = |α| eiφ representados pela circunferência cheia e o Estado
de Vácuo (|0i) pela circunferência pontilhada deslocado pela atuação do
b (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
operador D
3.3 Representação pictórica do Estado de Númeo Deslocado no espaço de fase.
As circunferências cheias correspondem aos Estados de Número Deslocado
(|α, ni) e as circunferências pontilhadas aos Estados de Número (|ni) deslob (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cado pela atuação do operador D
3.4 Representação pictórica de um estado coerente comprimido. . . . . . . . .
3.5 Representação pictórica do Estado de Número Deslocado Par ou Ímpar. . .
4.1 Distribuição de Número de Fótons P (m) para o Estado Coerente para o
parâmetro de deslocamento α = 4eiπ/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número com n = 2. .
4.3 Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado com
parâmetro de deslocamento α = 3e−iπ/4 e número de fótons a) n = 2; b)
n = 3 e c) n = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Representação pictórica da interferência (região rachurada) entre os Estados de Números e os Estados de Número Deslocado. . . . . . . . . . . . . .
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4.5 Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado
Par em comparação ao Estado de Número Deslocado, para parâmetro de
deslocamento α = 3 e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4. . . .
4.6 Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado
Ímpar em comparação ao Estado de Número Deslocado, para parâmetro
de deslocamento α = 3 e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4. .
4.7 Distribuição de Número de Fótons para o Estado Coerente α = 4eiπ/4 para:
a) κ = 0, 007 e b) κ = 0, 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado Não
Linear com parâmetro não linear κ = 0, 007 (linha tracejada) e κ = 0, 07
(linha traço-ponto) usando: (a) inicial número de fótons n = 2 e parâmetro
de deslocamento α = 2eiπ/4 ; (b) n = 2, α = 6eiπ/4 ; (c) n = 1, α = 3eιπ/4 e
(d) n = 5, α = 3eiπ/4 . Para comparação é mostrado a curva do Estado de
Número Deslocado (linha sólida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado
Par com: a) inicial número de fótons n = 1, parâmetro de deslocamento
α = 3 e parâmetro não linear κ = 0; b) n = 1, α = 3 e κ = 0, 007; c) n = 1,
α = 4 e κ = 0, 007 e d) n = 5, α = 3 e κ = 0, 007. . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado
Ímparr com: a) inical número de fótons n = 1, parâmetro de deslocamento
α = 3 e parâmetro não linear κ = 0; b) n = 1, α = 3 e κ = 0, 007; c) n = 1,
α = 4 e κ = 0, 007 e d) n = 5, α = 3 e κ = 0, 007. . . . . . . . . . . . . . .
4.11 parâmetro QM de Mandel para o Estado de Número Deslocado (linha cheia)
Par (linha pontilhada) e Ímpar (linha tracejada) em função de |α| para
número inicial de fótons n = 1 e: a) κ = 0; b) κ = 0, 007; c) κ = 0, 07 e d)
κ = 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Função Q (β) de Husimi com parâmetro de não linearidade κ = 0 para: a)
Estado Coerente α = 3eiπ/4 e b) Estado de Número Deslocado com número
de fótons n = 2, parâmetro de deslocamento α = 3eiπ/4 . A correspondente
curva de contorno é mostrada para comparação. . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Função Q (β) de Husimi para o Estado Coerente Não Linear com parâmetro
de não linearidade κ = 0, 007 usando: a) α = 3eiπ/4 e b) α = 6eiπ/4 . A
correspondente curva de contorno é mostrada para comparação. . . . . . .
4.14 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Não Linear
com parâmetro de não linearidade κ = 0, 007 usando: a) número de fótons
n = 2, parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 ; b) n = 5, α = 2eiπ/4 e c)
n = 2, α = 4eiπ/4 . A correspondente curva de contorno é mostrada para
comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.15 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Não Linear
com parâmetro de não linearidade κ = 0, 07 usando: a) número de fótons
n = 2, parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 ; b) n = 5, α = 2eiπ/4 e c)
n = 2, α = 4eiπ/4 . A correspondente curva de contorno é mostrada para
comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Ímpar para
número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4
e parâmetro de não linearidade κ = 0; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 008; c)
α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1 e d) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008; . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Par para
número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4
e parâmetro de não linearidade κ = 0; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 008; c)
α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1 e d) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008; . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Ímpar com
Função Não Linear Eq.(4.32), para número inicial de fótons n = 2 e: a)
parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro de não linearidade
κ = 0, 008; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1; c) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008 e d)
α = 3eiπ/4 e κ = 0, 08; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Par com
Função Não Linear Eq.(4.32), para número inicial de fótons n = 2 e: a)
parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro de não linearidade
κ = 0, 008; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1; c) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008 e d)
α = 3eiπ/4 e κ = 0, 08; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Função de Wigner W (β) para o Estado Coerente α = 3eiπ/2 , com sua
respectiva curva de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Função W (β) de Wigner para os Estados de Número a) n = 2 e b) n = 3.
Com suas respectivas curvas de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 Função W (β) de Wigner para os Estados de Número Deslocados, com
parâmetro inicial de deslocamento α = 3 e a) inicial número de fótons
n = 2 e b) n = 3. Com suas respectivas curvas de contorno. . . . . . . . . .
4.23 Função W (β) de Wigner para o Estado Coerente Não Linear α = 2 com
suas respectivas curvas de contorno, com parâmetros não lineares κ iguais
a: a) κ = 0; b) κ = 0, 7; c) κ = 0, 07 e d) κ = 0, 007. . . . . . . . . . . . . .
4.24 Diferença entre a Funções W (β) de Wigner do Estado Coeretne α = 2 e
suas não linearizações com parâmetros de não linearidade κ iguais a: a)
κ = 0, 007; b) κ = 0, 07 e c) κ = 0, 7. Para efeito de compração. . . . . . .
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Resumo
No contexto da Óptica Quântica, relacionada com a geração de novos estados do campo
eletromagnético, revisitamos o chamado Estado de Número Deslocado, com o intuito de
mostrar suas propriedades, assim como propor generalizações deste a partir de técnicas
que especificamos como sendo a Não Linearização deste estado. Verificamos os efeitos que
esta não linearização proporciona, investigando as propriedades estatísticas dos estados
resultantes. Entre as propriedades estatísticas investigadas, destacamos a distribuição de
número de fótons, a estatística de fótons, através do parâmetro QM de Mandel e as funções
de distribuição no espaço de fase, como a função Q (β) de Husimi e a função W (β) de
Wigner.
vi
Abstract
In the context of Quantum Optics, related to generation of new quantum states of
the eletromagnetic field, we revisited the called Displaced Number State, its statistical
properties and propose the generalization of them through of techniques which we called of
nonlinearization of Displaced Number State. We verify the effect of this nonlinearization
investiganting the statistical properties of the resulting states.
Among the statistical properties that we have investigated, we can cite the photon
number distribution, the statistics of photons which was studied through of the QM
Mandel’s parameter and the distribution on the phase space, such as the Q (β) Husimi’s
function and the W (β) Wigner’s function.
vii
Capítulo 1
Introdução
Desde as primeiras investigações, a luz têm fascinado o homem, despertando-o para
um mundo em que às vezes nem um olhar aprimorado poderia revelar as verdadeiras
propriedades ali existentes. Foi assim com Sir. Isaac Newton, o pioneiro das idéias sobre
a luz. Newton estudou a luz, inicialmente, com um simples olhar e posteriormente, com
maior profundidade, abordando-a como se fosse composta por partículas infinitesimais.
Não sabia, Newton, que o estudo da Óptica mudaria radicalmente, com o avanço da teoria
eletromagnética, para retornar à sua idéia original séculos depois, porém com um conceito
agora mais profundo da luz, descrito em termos da sua natureza dual, onde a luz pode
na verdade se comportar como partícula tanto quanto como onda [1].
O avanço da Óptica teve como principal marco o desfecho da teoria ondulatória da luz
que culmina em 1860 com as descobertas do escocês James Clerk Maxwell, inspirando-se
nos trabalhos de Michael Faraday e Willian Thonson [2], apresentando uma analogia entre
as linhas de força elétrica e magnética e as correntes em um fluído incompressível, usandoa posteriormente para interpretar várias observações realizadas por Faraday. Maxwell
estende ainda, sua abordagem para o Eletromagnetismo e apresenta um grupo de equações
1
que descreve as relações entre os campos elétricos e magnéticos e as cargas e correntes
responsáveis por esses campos. Observa ainda a ligação entre o Eletromagnetismo e a
Óptica quando surpreso nota que a velocidade de propagação dos campos, em questão,
em um meio proposto por ele, era igual a da luz. Em suas palavras a comparação: “...não
podemos evitar a conclusão de que a luz consiste na ondulação transversal do mesmo meio
que é a causa dos fenômenos elétrico e magnético.” [3].
A teoria de Maxwell, apesar de se perpetuar durante muito tempo é fantasticamente
implementada com o surgimento da Mecânica Quântica Ondulatória, proposta por E.
Schrödinger em 1926 [4] e principalmente pelo conceito de quantum. Neste processo os
fenômenos não estavam ligados ao campo eletromagnético especificamente, mas às ondas
de matéria. Entretanto, uma enorme contribuição foi dada por P. M. A. Dirac em 1927
[5] quando por analogia, associa a quantização do campo eletromagnético a quantização
de um Oscilador Harmônico, onde o número de fótons do modo do campo, associava-se
ao nível de excitação do oscilador.
No entanto os trabalhos de Dirac, juntamente com suas propostas para o estudo de
interações entre o campo de radiação e a matéria, e de outros autores, não foram capazes
de levar a comunidade científica a ver a necessidade de um formalismo quântico para a luz.
Tal fato só foi considerado, após o trabalho de H. J. Kimble, M. Dagenais e L. Mandel [6]
os quais necessitaram de uma teoria quântica da luz para descrever o efeito não-clássico
do anti-agrupamento de fótons, por eles observado.
A Óptica Quântica trata da interação da radiação com a matéria, onde ambos são
tratados quanticamente. Atualmente, trabalhos envolvendo teletransporte [7], criptografia
2
quântica [8] e sistemas para computação quântica [9], entre outros, utilizam como base os
princípios da Óptica Quântica.
Em geral, os estados do campo eletromagnético são gerados a partir de suas interações
com a matéria e com outros campos. Por exemplo, os Estados Coerentes são gerados a partir do estado de vácuo, pela interação deste com uma corrente clássica [10]. Superposições
de Estados Coerentes [11] e [12], são gerados a partir de interações não ressonantes com
átomos de dois níveis [13].
Nos últimos anos, uma grande variedade de novos estados do campo eletromagnético
têm sido propostos e suas propriedades estatísticas investigadas mostrando que estes estados são de grande interesse do ponto de vista de aplicações tecnológicas por apresentarem baixo ruído quântico e características puramente quânticas como estatística
sub-Poissoniana, entre outras.
Entre estes vários estados, podemos destacar os estados obtidos a partir de interações
com meios não lineares, como os Estados Coerentes Não Lineares [14] e os Estados Coerentes Pares e Ímpares Não Lineares [15]. No domínio da óptica quântica nosso interesse é
propor novos estados do campo eletromagnético, como os Estados de Número Deslocado
Não Lineares [16] e os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares [17]
obtidos a partir dos Estados de Número Deslocado [18], cujas propriedades estatísticas já
foram investigadas.
As propriedades estatísticas dos Estados de Número Deslocado mostram que estes são
de grande interesse. Nos últimos anos vários trabalhos tem se referido a estes estados,
especialmente por causa da possibilidade de produzir experimentalmente uma classe de
3
estados de superposição com características quânticas [20]. Além disso, generalizações
destes estados têm sido também proposta na literatura [21].
Entretanto, os autores propõem a geração dos Estados de Número Deslocado a partir
dos Estados de Número, os quais são difíceis de serem obtidos experimentalmente. Neste
trabalho, propomos um método alternativo para gerá-lo a partir dos Estados Coerentes
[22], que são facilmente obtidos em laboratório.
Uma vez viabilizada a geração dos Estados de Número Deslocado, propomos duas
generalizações destes estados: os Estados de Número Deslocado Não Lineares [16] e os
Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares [17] que são generalizações
também dos Estados Coerentes Não Lineares [14] e dos Estados Coerentes Pares e Ímpares
Não Lineares [15] respectivamente.
Investigamos as propriedades Estatísticas destes estados e entre elas podemos citar
a distribuição do número de fótons, a estatística de fótons através do parâmetro QM de
Mandel [23] e as funções de distribuição no espaço de fase, tal como a Função Q (β) de
Husimi [24] e a Função W (β) de Wigner [25].
Entre as várias característica que estes estados apresentam, podemos destacar a ocorrência de compressão no ruído quântico nas variáveis número-fase já observados na literatura mas com outros tipos de interação [26].
Nosso trabalho será apresentado da seguinte forma: No Capítulo 2 faremos uma breve
revisão do processo de interação átomo campo descrita pelo modelo de Jaynes-Cummings
em cavidades [27].
No Capítulo 3, falaremos brevemente de alguns estados do campo eletromagnético já
4
definidos na literatura e definimos dois novos estados quânticos, ambos generalizações dos
Estados de Número Deslocado, que são os Estados de Número Deslocado Não Lineares
[16] e os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares [17]. No Capítulo
4, investigaremos as propriedades estatísticas destes estados mostrando sua importância
e os efeitos puramente quânticos que eles apresentam. Finalmente no Capítulo 5 apresentaremos nossos comentários e conclusões.
5
Capítulo 2
A Mecânica Quântica e a
Eletrodinâmica Quântica de
Cavidades
No contexto da Mecânica Quântica, apresentamos o processo para interação entre a
radiação e a matéria, em cavidades onde se trata quanticamente tanto a matéria quanto a
radiação. É neste aspecto que traremos uma breve revisão conceitual, processual (tipos de
átomos utilizados e a manipulação atômica) e formal (a utilização da segunda quantização e os modelos de interações) necessária para o desenvolvimento do estudo de Mecânica
Quântica no âmbito da Eletrodinâmica Quântica de Cavidades, aspecto que é classificado como domínio da Óptica Quântica. Para falarmos de um processo onde o campo
eletromagnético é tratado quanticamente é conveniente antes falarmos da quantização do
campo eletromagnético.
2.1
A Quantização do Campo Eletromagnético
Classicamente o estudo da luz é bem tratado pelas quatro equações que levam o nome
6
do físico escocês James Clerk Maxwell [2], elas relacionam os vetores campo Elétrico
e campo Magnético, E e B, considerando-os como ondas com amplitude, e fases bem
definidas. Tais campos revelam-se perpendiculares entre si e à direção de propagação
como mostra a Fig.(2.1).
Figura 2.1: Representação do Campo Elétrico e Magnético em propagação, perpendiculares entre si e à direção de propagação.
Para este tratamento, Maxwell inspirou-se nos trabalhos experimentais de Faraday
e no modelo de “linhas de força”, introduzido por esse, na sua teoria de eletricidade e
magnetismo. O trabalho de Maxwell é extremamente importante. Vários resultados na
óptica, são extraídos das soluções de problemas utilizando as equações de Maxwell. Para
o vácuo elas são escritas como:
∇•E =
ρ
ε0
∇•B = 0
∇×E = −
(Generalização da Lei de Gauss)
(Ausência de Monopolos Magnéticos)
∂
B
∂t
(Generalização da Lei de Faraday e Lenz)
∇ × B = μ0 J + μ0 ε0
∂E
∂t
(Generalização da Lei de Àmpere)
7
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
combinando-as obtemos uma relação fundamental: as equações que descrevem o caráter
ondulatório, elétrico e magnético da luz, matematicamente escritas como:
1 ∂2E
,
c2 ∂t2
1 ∂2B
∇2 B = 2 2 .
c ∂t
∇2 Ē =
(2.5)
(2.6)
Em 1927, P. A. M. Dirac [5], propôs uma teoria quântica para a luz, associando um
único modo de vibração do campo eletromagnético à um oscilador harmônico quântico,
onde as energias são igualmente espaçadas e dada pela equação,
µ
¶
1
En = ~ω n +
,
2
(2.7)
sendo n o do número de fótons em cada modo do campo. Na Fig.(2.2) mostramos a
representação pictórica da idéia de Dirac, ao associar um modo do campo eletromagnético
(na esquerda) ao de um nível do oscilador harmônico quântico (na direita).
Figura 2.2: Quantizar o campo eletromagnético é o mesmo que quantizar o Oscilador
Harmônico. O nível de excitação do oscilador agora relaciona-se com o número de fótons
no modo do campo.
A teoria proposta por Dirac, no entanto, foi amplamente questionada na época, uma
vez que todos os fenômenos aos quais foi aplicada os resultados também poderiam ser
8
explicados através da teoria semi-clássica.
A grande pergunta era: Seria realmente
necessária uma teoria quântica para a Luz? A resposta até 1977, era que a teoria quântica
da luz não seria necessária para explicar efeitos relacionados com a interação da matéria
com o campo luminoso. Entretanto com a descoberta do efeito de anti-agrupamento de
fótons [6], que consiste em detectar um segundo fóton após um certo tempo em que um
primeiro foi detectado, deu à teoria quântica da luz a importância necessária.
A partir de então, as contribuições que esta teoria proporcionou e vem proporcionando
ao desenvolvimento da física são inúmeras e inaugura uma nova área do conhecimento: a
Óptica Quântica, que trata dos fenômenos luminosos com caráter quântico, em especial as
interações da radiação com a matéria, assim como a geração de novos estados do campo
luminoso, a partir da Engenharia de Estados Quânticos [28]. Sobre o estudo da interação
átomo-campo propomos uma revisão de seus fundamentos e principais processos.
2.2
O Estudo das Interações Átomo-Campo
Dentre os vários processos de interações átomo-campo, apresentamos o modelo mais
utilizado, proposto por E. T. Jaynes e F. W. Cummings em 1963 [27], conhecido na
literatura como modelo de Jaynes-Cummings.
2.2.1
Átomos de Rydberg
Na Óptica Quântica, a utilização de átomos “quase-clássicos” é muito usual. Estes
átomos são chamados de Átomos de Rydberg por possuírem o número quântico principal
(n) muito grande. Para fins experimentais n ≥ 30 é dito bastante satisfatório.
Tais átomos possuem características como por exemplo: podem ser até mais de mil
9
vezes maiores que um átomo no estado fundamental e sua vida média pode ser maior
que 1ms, o que corresponde a um ganho de tempo de vida muito grande em relação aos
átomos de baixa excitação.
Os átomos de Rydberg possuem, devido às suas grandes dimensões, um grande momento de dipolo elétrico o que leva-os diretamente a serem utilizados para estudos sobre
as in-terações atômicas com campos eletromagnéticos [29], estados não-clássicos do campo
eletromagnético [30] e sistemas para teleportação [31].
Devido à estrutura destes átomos, o elétron mais externo, "sente"o núcleo de carga Ze
com uma blindagem de (Z − 1) e, portanto, o potencial resultante efetivo é relativamente
semelhante a um potencial do tipo átomo de hidrogênio. Em relação à dimensão atômica
temos o raio atômico médio de um átomo do tipo hidrogenoide dado por:
hrn i = n2 a0 .
(2.8)
onde a0 corresponde ao raio de Bohr.
Um raio médio com esta magnitude proporciona um forte acoplamento átomo-campo
expresso em termos de seu momento de dipolo elétrico d, dado por:
d = n2 a0 e.
(2.9)
Os átomos de Rydberg são produzidos em feixes atômicos, ou células de vapor, onde
geralmente partem de estados fundamentais, ou metaestáveis, sendo posteriormente excitados por um ou mais fótons com o uso de lasers. Outras preparações convenientes para
o estudo das interações em cavidades, serão discutidas posteriormente.
Por fim, os átomos de Rydberg, após as interações com o campo de radiação eletromag10
nética, podem ser detectados normalmente através de ionização com campo elétrico de
magnitude de 5kV /cm para n ∼ 30. Os íons provenientes dessa ionização são observados
em detectores de íons ou em multiplicadores de elétrons, caso isto não ocorra aplica-se um
novo campo mais intenso que o anterior que seja capaz de ionizar o átomo e assim definir
em que estado ele se encontrava. É importante ressaltar que quanto maior for a dimensão
do átomo de Rydberg maior será seu momento de dipolo elétrico, como visto na Eq.(2.9),
e menor será o campo elétrico necessário para ionizar o átomo, portanto é conveniente
a utilização deste átomos mas com um intervalo para n estabelecido 20 ≤ n ≤ 80, para
praticidade experimental.
Como visto as propriedades dos átomos de Rydberg são vastas e todas podem ser
muito bem exploradas, tais átomos podem, então ser utilizados para a geração de estados
do campo eletromagnético no contexto da Eletrodinâmica Quântica de Cavidades, como
por exemplo.
2.2.2
Cavidades Ópticas
Um dos processos atuais de investigações envolvendo interações da radiação eletromagnética com a matéria é baseado em um princípio proposto em 1933 por P. L. Kapitza
e P. M. Dirac [32], em um experimento mental. O processo consiste em espalhar matéria
utilizando luz em uma cavidade e posteriormente descobrir as propriedades do campo
resultante, através da matéria espalhada.
Devido a não existência de uma tecnologia suficientemente avançada para o desenvolvimento deste experimento, a sua execução foi adiada para o ano de 1987 [33], época
posterior à construção do laser, necessário para o processo, no entanto vale ressaltar que
11
tais experimentos podem ser realizados também em regime de microondas. Tais cavidades ópticas, atualmente, possuem um alto fator de qualidade e são utilizadas para o
confinamento de campos estacionários. Uma representação contemporânea deste modelo
de interação, pode ser visto na Fig.(2.3), o modelo proposto inicialmente não se difere
muito do atual.
Figura 2.3: Representação contemporânea do experimento proposto por Kapitza e Dirac.
O fator de qualidade das cavidades (Q) corresponde a uma propriedade da montagem
da cavidade, é relacionados de modo que o tempo de vida do campo aprisionado na
cavidade seja maior possivel, este tempo de vida é obtido através da razão entre o fator de qualidade da cavidade e a freqüência do campo presente. Assim, exemplificamos
ressaltando as cavidades produzidas de Nióbio (Nb), que em certas temperaturas próximas do zero absoluto, possuem um fator de qualidade da ordem de 108 , para campos
aprisionados com freqüência de ordem 1010 Hz, portanto um tempo de vida (tv ) bastante
satisfatório pode ser obtido [33]:
τv =
Q
108
∼ 10 = 10−2 s.
ωc
10
(2.10)
Experimentalmente o campo e o átomo podem ser ajustados de modo que as interações
12
ocorram na ressonância ou fora dela (onde ∆ω = ωc − ω a deve ser ligeiramente pequeno,
com ω c a freqüência do campo e ωa a freqüência atômica). Para o primeiro caso, interações
ressonantes, o modelo que melhor a descreve é o modelo de Jaynes-Cummings que será
discutido em maiores detalhes. Para o segundo caso, interações dispersivas, podemos
levantar um exemplo onde há uma aplicação de um campo elétrico nas paredes da cavidade
resultando em um deslocamento dos níveis de energia do átomo, quando o átomo passa
pela cavidade, com esse deslocamento a freqüência de transição atômica se difere da
freqüência do campo dentro da cavidade ocasionando a interação fora da ressonância, isto
também pode ocorrer naturalmente sem a aplicação do campo elétrico externo, bastando
apenas que a frequência de transição atômica e a frequência do campo sejam diferentes.
Um trabalho sobre este tipo de interação pode ser visto em um dos trabalhos de M. Brune
e colaboradores, de 1992 [34]. A seguir discutimos os modelos de interações mencionados.
2.2.3
Os Modelos de Interações: Ressonante e Dispersivo
Os processos de interações átomo-campo, podem ser aplicados considerando que as
interações ocorram em ressonância ou fora dela, consideremos separadamente os dois
casos.
Modelo Ressonante
Para a Interação Ressonante, entre um único modo do campo e um único átomo de
dois níveis (podendo estes serem do tipo átomos de Rydberg), tratados quanticamente, o
modelo que melhor descreve esses processos é o modelo de Jaynes-Cummings, como fora
mencionado.
13
O operador Hamiltoniano que descreve o sistema quântico átomo-campo é dado por:
bA + H
bint
b =H
bC + H
H
(2.11)
bC = ~ωcb
a†b
a é o operador que representa a contribuição do campo (desprezando-se
onde H
a energia do ponto zero) sendo b
a† e b
a os operadores de criação e aniquilação de fótons
b A = 1 ~ω a σ
no campo, H
bz é a contribuição do átomo, com σ
bz = |ei he| − |gi hg| um dos
2
operadores de Pauli (com |ei e |gi representando os estados excitados e fundamentais
b int é a contribuição direta das interações entre os dois entes
respecitivamente) [35] e H
tratados no sistema. É obtido por meio de uma aproximação de dipolo elétrico dada por
b int = −db · E,
b
H
(2.12)
onde consideraremos o tratamento quântico. Assim o campo elétrico para um modo do
campo será expresso em função dos operadores de criação e aniquilação de fótons b
a† e b
a
com E0 =
³
~ω
2ε0 V
´1/2
¡
¢
b (t) = E0 b
E
a+b
a†
(2.13)
representando o campo elétrico efetivo por fóton. Portanto para a
obtenção da contribuição das interações no modelo de Jaynes-Cummings temos:
bint = −eb
b (t)
H
r·E
(2.14)
que pela relação de completeza entre os níveis atômicos |ei e |gi , pode ser escrito como
b int = −e
H
XX
i
= −eE0
j
X
i,j
b (t)
|ii hi| rb |ji hj| · E
¡
¢
Mij |ii hj| b
a+b
a†
14
(2.15)
sendo Mij = hi| rb |ji o elemento matricial representando a transição entre os níveis atômicos. Podemos ainda definir λij como sendo uma constante de acoplamento átomo-campo
dada por:
~λij = −Mij · eE0
(2.16)
e com esta definição podemos reescrever o Hamiltoniano da Eq.(2.15) como
b int = ~
H
X
i,j
¡
¢
λij |ii hj| b
a+b
a† .
(2.17)
Considerando um átomo com apenas dois níveis efetivos podemos representar ij = eg
ou ij = ge, associando aos estados excitados |ei e fundamental |gi e tratando a constante
de acoplamento átomo-campo como λ = λeg = λge , temos que o Hamiltoniano de interação
fica:
¡
¢
bint = ~λ (|gi he| + |ei hg|) b
H
a+b
a†
(2.18)
onde foi considerado que os elementos matriciais Mij = hi| rb |ji são nulos se i = j. Identificando os operadores atômicos σ
b+ = |ei hg| e σ
b− = |gi he| como os operadores de levan-
tamento e abaixamento de Pauli, que fisicamente representam a mesma analogia com os
níveis atômicos, temos:
¡
¢
b int = ~λ (b
H
σ+ + σ
b− ) b
a+b
a†
¡
¢
b int = ~λ σ
b+b
a+σ
b− b
a+σ
b+ b
a† + σ
b− b
a† .
H
(2.19)
Alguns dos termos presentes na Eq.(2.19) podem representar uma contribuição muito
a e σ
b+ b
a† que são chamados de termos antipequena na energia, tais termos são σ
b− b
ressonantes, ou termos contra-girantes e portanto podemos desprezá-los utilizando a
15
aproximação chamada de Aproximação de Onda Girante ou RWA (Rotating Wave Approximation). Uma interpretação pode ser atribuida aos termos contra-girantes, notando
que no momento de interação o termo σ
b−b
a contribui com a redução de 1 fóton na cavi-
dade (atuação de b
a) e simultaneamente há o abaixamento do nível atômico (atuação de
σ
b− ) tal fato se torna contrário ao que queremos pois se no campo houver a redução de 1
fóton este deverá ser absorvido pelo átomo para o levantamento do nível atômico, assim a
interpretação do termo σ
b+ b
a† tem igual analogia. Portanto o operador Hamiltoniano para
a interação átomo-campo pode ser expresso por:
¡
¢
b int = ~λ σ
H
b+ b
a+σ
b− b
a† ,
(2.20)
que completa o Hamiltoniano total da interação ressonante átomo-campo descrito pela
Eq.(2.11).
Com este modelo de interação utilizamos a Representação para Interação da Mecânica
Quântica [35], onde podemos escrever o Hamiltoniano efetivo como somente o expresso
pela Eq.(2.20) e verificarmos a evolução temporal de sistemas considerando, como exemplos, estados do tipo |Ψe (0)i = |e, ni ou |Ψg (0)i = |g, ni , representando estados
inicialmente com átomos no estado excitado e n número de fótons na cavidade ou estados
com átomos fundamentais e n números de fótons, tais sistemas foram escolhidos por serem
mais simples descrevendo átomo e campo separadamente. A evolução destes sistemas pode
ser descrita pela atuação do operador de evolução temporal, obtendo novos estados, note
que estes estados resultantes estão em uma superposição de estados, onde o estado do
16
campo presente na cavidade e o estado do átomo não podem mais serem separados:
it
e
|Ψe (t)i = e− ~ Hint |e, ni
´
³ √
´
³ √
= cos λt n + 1 |e, ni − isen λt n + 1 |g, n + 1i ,
it
(2.21)
e
|Ψg (t)i = e− ~ Hint |g, ni
¡ √ ¢
¡ √ ¢
= cos λt n |g, ni − isen λt n |e, n − 1i .
(2.22)
Estudos que tratam das interações ressonantes de k-fótons entre um único modo do
campo, um estado qualquer e um átomo de dois níveis, inicialmente em estado |ei , já são
tratados na literatura [36].
Modelo Não-Ressonante
Para o modelo de interações dispersivas (não-ressonantes) temos que o átomo proporciona apenas uma mudança na fase inicial do campo da cavidade mas sem troca de fótons,
os resultados destas interações são: estados que envolvem superposições, chamadas na literatura de Estados Coerentes Pares e Ímpares [11] e [12], cujas propriedades discutiremos
mais detalhadamente no Capítulo 3. Tais estados de superposições são chamados também
na literatura como Estados Tipo Gato de Schrödinger por representarem analogia com o
experimento mental proposto por E. Schrödinger.
Para determinarmos o Halmitoniano efetivo no processo de interação não-ressonante,
definiremos ωa e ω c como freqüência de transição atômica e freqüência do campo respectivamente. Assim partindo do Hamiltoniano que descreve o sistema átomo-campo
¡
¢
1
b = ~ωcb
H
a†b
a + ~ω a σ
bz + ~λ σ
b+b
a+σ
b−b
a† .
2
17
(2.23)
e com base nos operadores atômicos de Pauli, podemos escrever a Eq.(2.23) como:
¡
¢
1
b = ~ω cb
H
a†b
a + ~ωa (|ei he| − |gi hg|) + ~λ b
a |ei hg| + b
a† |gi he| .
2
(2.24)
Como as interações ocorrem fora da ressonância temos uma pequena diferença entre as
freqüências de transição atômica e a freqüência do campo, representada por δ = ω a − ωc .
Portanto realizando uma análise do Hamiltoniano, podemos determinar os seus autob dado pela Eq.(2.24), obtendo assim dois
estados, isto é, iremos diagonalizar o operador H
auto estados [37]:
|+i = cos (θ (n)) |e, n − 1i − sin (θ (n)) |g, ni
(2.25)
|−i = sin (θ (n)) |e, n − 1i + cos (θ (n)) |g, ni ,
(2.26)
como caso geral, onde
Ωn
q
¡ √ ¢2
=
δ2 + 2λ n ,
Ωn − δ
,
sin (θn ) = q
√ 2
2
(Ωn − δ) + (2λ n)
√
2λ n
cos (θn ) = q
.
√ 2
(Ωn − δ)2 + (2λ n)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Os auto-valores correspondentes a cada um destes estados, Eqs.(2.25) e (2.26), para o
Hamiltoniano proposto, Eq.(2.24), são dados por,
1
~
En+ = (n − 1) ~ω c + ~ω a − (Ωn − δ)
2
2
1
~
−
En = n~ω c − ~ωa + (Ωn − δ)
2
2
(2.30)
(2.31)
√
assumiremos que a diferença δ da freqüência seja muito maior que 2λ n, o que implica
18
√ 2
n)
(2λ
δ2
¿ 1, assim podemos reescrever as Eqs.(2.27), (2.28) e (2.29) da seguinte forma:
√ 2
(2λ n)
Ωn ' δ +
(2.32)
δ
sin (θn ) ' 0
(2.33)
cos (θn ) ' 1
(2.34)
tais aproximações também são aplicadas às equações de auto-valores, Eqs.(2.30) e (2.31),
e as equações de auto-vetores, (2.25) e (2.26) resultando em:
En+
En−
1
~λ2 n
' (n − 1) ~ω c + ~ω a −
2
δ
1
~λ2 n
' n~ω c − ~ωa +
2
δ
(2.35)
(2.36)
|+i ' |e, n − 1i
(2.37)
|−i ' |g, ni
(2.38)
podemos concluir, a partir das equações de auto-valores para cada par acima correspondente, o Hamiltoniano efetivo da interação ressonante será dado por
2
b ef = − ~λ b
a†b
aσ
bz = −~Λb
a†b
aσ
bz
H
δ
λ2
Λ =
.
δ
(2.39)
(2.40)
Exemplos da utilização e obtenção de estados em superposição obtidos a partir das
interações regidas pelo Hamiltoniano obtido, serão mencionados futuramente.
2.3
A Preparação dos Estados Atômicos
Retomando a preparação de estados atômicos, levantamos a importância do estado
inicial do átomo para o estudo das interações desse com o campo da cavidade. Estes
19
átomos, podem estar preparados no estado fundamental ou excitado, simbolizados por
|gi e |ei respectivamente, ou podem ser preparados como estados de superposições destes
mesmos estados, o que torna o problema mais amplo. Apresentamos portanto, a utilização
de campos clássicos para tal fim.
2.3.1
Campo Clássico
Como pode-se notar, as preparações do átomo e do campo são fundamentais para
os processos de interações, portanto nesta seção iremos levantar um importante recurso
para a preparação atômica. Este recurso consiste em proporcionar interações clássicas que
permitam as manipulações de seus níveis internos, tal processo é realizado utilizando-se
Campos Clássicos (Zonas de Ramsey para microondas) e é muito utilizado na literatura
em diversos tipos de arranjos.
O processo consiste em bombardear um átomo com campo que deve ser constantemente
amplificado, suprindo as perdas que ocorrem. Assim as propriedades deste sistema são
consideradas puramente clássicas não importando o quanto o sistema seja microscópico
ou numericamente infinitesimal. Dentro da Zona de Ramsey, o átomo sofre uma rotação
em termos de um certo ângulo desejado θ relacionado à intensidade do campo clássico
aplicado a cada modo, e à uma rotação de fase φ. Este processo é descrito pela atuação
do operador de rotação [38]:
µ ¶
µ ¶
¤
θ b
θ £ −iφ
b
U (θ, φ) = cos
e σ
b+ + eiφ σ
b−
I − i sin
2
2
(2.41)
onde Ib é a matriz densidade. A atuação do operador dado pela Eq.(2.41) em cada um
20
dos níveis atômicos apresentam os seguintes efeitos:
µ ¶
µ ¶
θ
θ −iφ
b (θ, φ) |gi = cos
U
|gi − i sin
e |ei
2
2
µ ¶
µ ¶
b (θ, φ) |ei = cos θ |ei − i sin θ eiφ |gi ,
U
2
2
(2.42)
(2.43)
que podem ser utilizados nos processos de geração de estado, conforme descreveremos no
Capítulo 3.
21
Capítulo 3
Estados do Campo Eletromagnético
Após o trabalho de H. J. Kimble, M. Dagenais e L. Mandel [6], que demonstrou
definitivamente a necessidade de uma teoria quântica para a luz, com o efeito de antiagrupamentos de fótons, uma infinidade de novos estados vem sendo propostos na literatura. Os estado do campo luminoso possuem em sua natureza quântica uma representação estatística que os definem e diferem entre si.
É neste caminho que faremos uma revisão de alguns fundamentais e importantes estados do campo eletromagnético e contribuiremos realizando estudos dos processos de
não linearização de alguns estados do campo eletromagnético, ressaltando casos particulares que são de extrema importância para a literatura, por servirem como bases para
posteriores estudos e comparações das propriedades estatísticas.
Para uma melhor compreensão do nosso trabalho, faremos uma breve revisão sobre
três estados do campo eletromagnético, o primeiro, chamado de Estados de Número,
refere-se a representação da solução do Oscilador Harmônico Quântico, ou seja são os
auto-estados de energia do Oscilador Harmônico. O segundo, classificado como Estado
Coerente, introduzido por Roy J. Glauber em 1963 [10].
22
O terceiro corresponde ao Estado de Número Deslocado [18]. Com esta breve revisão,
estaremos aptos a definir dois novos estados do campo eletromagnético, que chamaremos
de Estado de Número Deslocado Não Linear [16] e Estado de Número Deslocado Par e
Ímpar [17] através de técnicas de não linearização. As propriedades estatísticas destes
novos estados que estamos propondo serão vastamente investigados no Capítulo 4.
3.1
Estados de Número
A representação do campo luminoso pelo Estado de Número foi proposta primeiramente em 1982, por L. Mandel [39]. Este estado simbolizado por |ni , também conhecido
na literatura como estado de Fock, é de extrema importância para Mecânica Quântica
por ser ele auto-estado do operador de número, n
b=b
a†b
a, com auto valores dados por
n
b |ni = n |ni
(3.1)
onde n ∈ N. Ele também é conhecido como solução geral do Oscilador Harmônico Quântico, e portanto de fundamental importância para o domínio da Óptica Quântica, devido
a analogia de Dirac em comparar as soluções do oscilador com a quantização do campo
eletromagnético.
O Estado de Número |ni possui várias propriedades como por exemplo, constituem
um conjunto {|ni} completo no espaço de Hilbert (H), isto implica que
∞
X
n=0
|ni hn| = 1̂
(3.2)
e portanto, qualquer vetor de estado |Ψi pode ser expandido nesta base, da seguinte forma
|Ψi =
∞
X
n=0
|ni hn |Ψi
23
(3.3)
onde hn |Ψi = Cn correspondem aos coeficientes da expansão do estado |Ψi na base
de número, possuem ainda a propriedade de serem ortonormais, isto é, definem que o
resultado do produto escalar entre dois Estados de Número quaisquer é obtido por uma
delta de Krönecker,
hn| mi = δ nm .
(3.4)
¡ †¢
Uma importante relação entre a atuação dos operadores de criação b
a e aniquilação
(b
a) no Estado de Número é dada por [35]:
b
a† |ni =
b
a |ni =
√
n + 1 |n + 1i
√
n |n − 1i .
(3.5)
(3.6)
Para o Estado de Número temos que a sua propriedade estatística é dada como máxima
na quantidade de número de fótons, uma vez que na representação a incerteza no número
é nula, isto ocasiona a ele máxima flutuação na fase, ocasionando uma associação com
o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Sua representação no espaço de fase é dada por
√
√
uma coroa circular de raio externo n + 1 e interno n, sendo o vácuo representado por
um único círculo de raio unitário, como mostra a Fig.(3.1).
Experimentalmente os Estados de Número foram gerados apenas para números 1 ≤
n ≤ 3, e por um tempo muito curto, devido à perda de coerência e limitações das cavidades
conforme discutido anteriormente. Apesar disto os Estados de Número são a base para o
estudo de diversos estados como o Estado de Número Deslocado proposto por F. A. M.
Oliveira e colaboradores, em 1990 [18], o Estado de Número Deslocado Par e Ímpar [12]
dentre diversos outros já existentes na literatura, portanto um estudo mais profundo de
suas propriedades estatísticas será fundamental para futuras comparações.
24
Figura 3.1: Representação pictórica do Estado de Número
|ni. Cada estado
√ é re√
presentado por uma coroa circular de raio interno a = n e raio externo b = n + 1,
sendo o vácuo representado por um único circulo de raio unitário.
3.2
Estados Coerentes
Os Estados Coerentes simbolizados por |αi são definidos como auto-estados do operador de aniquilação, â, sendo que
â |αi = α |αi
(3.7)
onde os auto-valores α pertencem ao conjunto dos números complexos, uma vez que o
operador de aniquilação não é hermitiano. O estado proposto por Roy J. Glauber [10]
pode ser obtido, ainda, a partir da aplicação do operador Deslocamento de Glauber [10]
b (α) = exp(αb
D
a† − α∗b
a)
(3.8)
no estado de vácuo |0i. Transformações unitárias envolvendo o operador de Deslocamento
25
de Glauber e os operadores â e ↠, resultando em:
b (α) âD
b (α)† = â + α
D
b (α) ↠D
b (α)† = ↠+ α∗ .
D
(3.9)
(3.10)
Podem ainda ser representados na base de número |ni com a seguinte expansão
2
|α|
∞
X
e− 2 αn
√
|αi =
Cn |ni =
|ni
n!
n=0
n=0
∞
X
(3.11)
e ainda formam uma base de vetores {|αi} dita super completa, o que lhe confere uma
característica diferente para a relação de completeza
Z
|αi hα| d Re(α)d Im(α) = π.
(3.12)
Para os Estados Coerentes |αi e |βi a relação de ortonormalidade é:
¸
∙
¢
1¡ 2
2
∗
hβ| αi = exp − |α| + |β| − 2β α .
2
(3.13)
Os estados aqui discutidos são também chamados de estados quase clássicos por serem
obtidos por uma antena clássica, apresentam ainda a melhor configuração para a obtenção
do menor valor do Princípio da Incerteza de Heisenberg, isto é, possuem a menor incerteza
conjunta nas quadraturas, assim os Estados Coerentes representam o limite entre os estados clássicos da luz e os estados quânticos da luz, sua representação no espaço de fase
corresponde a uma circunferência deslocada de um parâmetro real |α| e de uma fase φ,
como mostra a Fig.(3.2).
Assim como para o Estado de Número iremos apresentar suas propriedades estatísticas
como base para a comparação entre os estados já existentes e o que estamos propondo.
26
Figura 3.2:¡ Representação
¢ pictórica do Estado Coerente no espaço de fase. Os Estados
iφ
Coerentes |αi = |α| e
representados pela circunferência cheia e o Estado de Vácuo
b (α) .
(|0i) pela circunferência pontilhada deslocado pela atuação do operador D
3.3
Estados de Número Deslocado
Os primeiros estudos sobre o Estado de Número Deslocado, representado por |α, ni,
foram propostos por F. A. M. Oliveira e colaboradores, em 1990 [18]. A proposta original
levantava o resultado da atuação do operador de deslocamento de Glauber, Eq.(3.8),
atuando no estado de número |ni
b (α) |ni
|α, ni = D
(3.14)
no entanto, os Estados de Número Deslocado não foram gerados ainda em laboratório.
Propostas para a geração dos Estados de Número Deslocado a partir dos Estados
Coerentes são apresentadas na literatura [22], tal proposta apresenta maior viabilidade
uma vez que os Estados Coerentes já são produzidos e estudados em laboratórios. Assim,
partindo deste fato pode-se obter através de uma transformação unitária, envolvendo os
operadores de deslocamento de Glauber e o operador de criação, os Estados de Número
27
Deslocado, da seguinte forma: se
¡ † ¢n
b
a
b (α) |ni = D
b (α) √
|α, ni = D
|0i
n!
(3.15)
b (α)† D
b (α) = 1̂, reescrevemos
sabendo que D
¡ † ¢n
1 b
b (α)† D
b (α) |0i
(α) b
a D
|α, ni = √ D
n!
e utilizando a relação mostrada no Apêndice B juntamente com a forma de obtenção, de
Glauber, para o Estado Coerente
temos que
¡ ¢
¡
¢
b (α) ↠n D
b (α)† = ↠+ α∗ n ,
D
¢
¡
b (α) |ni = √1 ↠+ α∗ n |αi .
|α, ni = D
n!
(3.16)
(3.17)
A representação pictórica dos Estados de Número Deslocado no espaço de fase pode
ser entendida como a representação do Estado Coerente, mas substituindo-se o vácuo
pelos estados de números, como mostramos na Fig.(3.3).
Uma importante relação que devemos ainda obter, antes de passar para o processo de
n
não linearização, são os coeficientes Cm
= hm |n, αi da expansão dos Estados de Número
Deslocado na Base de Número {|mi}. Tal expansão pode ser realizada fazendo uma
análise, via Eq.(3.17), para cada valor de n, partindo do estado de vácuo |α, 0i, isto é
n = 0, o que nos oferece o seguinte resultado
¢0
1 ¡ †
|α, 0i = √ b
a − α∗ |αi = |αi ,
0!
(3.18)
o que representa uma particularidade do estado de número deslocado. Como sabemos os
coeficientes para o Estado Coerente na base de número obtemos o primeiro para o Estado
28
Figura 3.3: Representação pictórica do Estado de Númeo Deslocado no espaço de fase. As
circunferências cheias correspondem aos Estados de Número Deslocado (|α, ni) e as circunferências pontilhadas aos Estados de Número (|ni) deslocado pela atuação do operador
b (α) .
D
n
0
= Cm
dado por
de Número Deslocado Cm
0
Cm
= hm |α, 0i =
r
0! − 1 |α|2 m
e 2 α .
m!
(3.19)
Repetindo o procedimento para n = 1, resulta
¢1
1 ¡ †
|α, 1i = √ b
a − α∗ |αi ,
1!
(3.20)
1
para os Estados de
novamente substituindo a Eq.(3.11) associamos o coeficiente Cm
Número Deslocado, dado por
1
=
Cm
r
i
1! − 1 |a|2 m−1 h m
e 2 α
− |α|2 .
m!
1!
(3.21)
Tomando o processo para n = 2, 3, ... nós podemos buscar uma possível identificação
29
n
de uma generalização para os Cm
com qualquer n. Vejamos que para n = 2 e n = 3,
"
#
r
4
2
1
2!
m
(m
−
1)
|α|
2
2
Cm
e− 2 |a| αm−2
− m |α| +
(3.22)
=
m!
2!
2
r
∙
3! − 1 |a|2 m−3 m (m − 1) (m − 2)
3
e 2 α
+
Cm =
m!
3!
#
m (m − 1) 2 m |α|4 |α|6
−
|α| +
−
.
(3.23)
2!
2!
3!
Tais coeficientes são facilmente obtidos, aplicando o processo já mencionado, mas
ressaltamos que a generalização que buscamos não parece óbvia. Assim para ilustrarmos
3
, Eq.(3.23), como exemplo. Para
o que buscamos, tomaremos inicialmente o coeficiente Cm
3
Cm
nós verificamos que o primeiro termo entre colchetes pode ser escrito como
¯
m (m − 1) (m − 2)
(−1)k |α|2k m! ¯¯
=
¯
3!
3!
(m − 3)! ¯
(3.24)
k=0
onde o termo |α|2k foi incluído por estarem presentes em todos os demais termos da
Eq.(3.23), o parâmetro 2k é utilizado pois uma expansão em ordem par está mais aparente,
e possibilita o uso de uma possível soma. É verificado ainda que a expressão em análise
possui termos de sinais contrários o que torna viável a introdução de (−1)k .
Os termos restantes da Eq.(3.23) podem passar pela mesma análise. Para o segundo
termo entre colchetes temos
m (m − 1) 2
−
|α| =
2!
¯
(−1)k |α|2k m! ¯¯
¯
2!
(m − 2)! ¯
=
k=1
¯
¯
m!
(−1) |α|
¯
¯
(3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
k
2k
(3.25)
k=1
note que 2! foi substituido por (3 − k)! e (m − 2)! por (m − 3 + k)! devido a conveniência
do parâmetro em questão, n = 3, evidente para o exemplo tomado. Um similar rearranjo
30
dos primeiros termos pode ser obtido, resultando em
¯
¯
(−1)k |α|2k
m!
m (m − 1) (m − 2)
¯
=
¯
3!
(3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
(3.26)
.
k=0
Seguindo o procedimento para os próximos termos, reescrevemos o terceiro como
¯
4
k
2k
m |α|
(−1) |α| m! ¯¯
=
¯
2!
2! (m − 1)! ¯
k=2
¯
k
2k
(−1) |α| m! ¯¯
=
¯
2! (m − 3 + k)! ¯
k=2
¯
k
2k
¯
(−1) |α| m!
¯
=
(3.27)
¯
2! (3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
k=2
o fator
1
2!
pode ser convenientemente trocado por
1
k!
na Eq.(3.27) e incluso nas Eqs.(3.25)
e (3.26) resultando no seguinte conjunto
m (m − 1) (m − 2)
=
3!
−
m (m − 1) 2
|α| =
2!
m |α|4
=
2!
¯
¯
(−1)k |α|2k
m!
¯
¯
k! (3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
¯k=0
k
2k
¯
m!
(−1) |α|
¯
¯
k! (3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
¯ k=1
k
2k
¯
(−1) |α| m!
¯
¯
k! (3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
(3.28)
(3.29)
(3.30)
k=2
finalmente, o quarto e último termo restante é facilmente reescrito como os anteriores mas
para um valor de k = 3,
¯
¯
(−1)k |α|3k m!
|α|6
¯
=
−
¯
3!
k! (3 − k)! (m − 3 + k)! ¯
(3.31)
.
k=3
Assim a Eq.(3.23) pode ser colocada em termos de uma soma em k usando as Eqs.(3.28)
a (3.31)
3
Cm
=
r
3! − 1 |a| m−3
e 2 α
m!
2
" n
X (−1)k |α|2k
k=0
31
m!
k! (3 − k)! (m − 3 + k)!
#
(3.32)
com isto uma generalização em termos do n-ésimo valor pode ser associada e o resultado
são os coeficientes dos Estados de Número Deslocado |α, ni para uma expansão na base
de número, aqui representada por |mi
n
Cm
=
r
n! − 1 |a|2 m−n
e 2 α
m!
"
n
X
k=0
#
(−1)k |α|2k m!
.
(n − k)! (m − n + k)!k!
(3.33)
Em geral a expressão representada pela soma, pode ser representada pelos polinômios
associados de Laguerre escritos como LPQ (S), assim resultando em:
⎧ q
¡ 2¢
m! − 12 |a|2
⎨
e
(αn−m ) Ln−m
|α|
,m≤n
m
n!
n
q
.
Cm =
¡
¢
2
n! − 12 |a|2
m−n ∗ m−n
⎩
e
(α
)
L
|α|
,
m
≥
n
n
m!
(3.34)
esses resultados obtidos desta maneira estão de acordo com os coeficientes obtidos no
trabalho de F. A. M. Oliveira em 1990 [18].
3.4
Estados Coerentes Comprimidos
Os estados coerentes comprimidos, também conhecidos como estados coerentes de dois
fotons [19], são definidos como o resultado da atuação sucessiva dos operadores compressão
e deslocamento no estado de vácuo
b (α) Sb (z) |0i ,
|α, zi ≡ D
(3.35)
b (α) é o operador deslocamento de Glauber dado pela Eq.(3.8), Sb (z) é o operador
onde D
compressão dado por [19]
¢
¡ 2
a − z ∗b
a†2 ,
Sb (z) = exp z ∗b
onde z = reiϕ é o parâmetro de compressão.
32
(3.36)
O operador de compressão Sb (z) é unitário,
Sb (z) Sb† (z) = Sb† (z) Sb (z) = b
1,
(3.37)
Sb† (z) b
aSb (z) = μb
a − νb
a† ,
(3.38)
e produz as seguintes transformações [19]
a† Sb (z) = μb
a,
Sb† (z) b
a† − ν ∗b
onde
(3.39)
μ = cosh (r)
(3.40)
ν = eiϕ sinh (r) .
(3.41)
A Fig.(3.4) mostra a representação pictórica de um estado coerente comprimido, uma
elipse indicando que enquanto numa determinada grandeza houve uma compressão ou
uma diminuição da incerteza a um nível inferior ao ruído do estado coerente, representado
pelo círculo, noutra houve um aumento da incerteza, conservando assim o princípio de
incerteza de Heisenberg.
3.5
Estados de Número Deslocado Não Lineares
Uma vez definido o Estado de Número Deslocado, iremos aplicar a este estado os
efeitos da não linearidade seguindo o modelo proposto no trabalho de V. I. Man’ko para
o Estado Coerente Não Linear [14], tal estado a ser estudado será chamado de Estado de
Número Deslocado Não Linear [16].
33
Figura 3.4: Representação pictórica de um estado coerente comprimido.
Os Estados Coerentes Não Lineares |f, αi , são definidos como sendo auto-estados do
operador f (n̂) â, com auto-valor α,
f (n̂) â |f, αi = α |f, αi .
(3.42)
sendo o operador f (n̂) uma função qualquer dependente do operador de número n̂, tendo
como no caso limite (f (n̂) = 1) os estados lineares. Os estados não lineares atraem a
atenção por apresentarem efeitos quânticos que o seu precursor não apresenta, como por
exemplo compresão.
É de fundamental importância a maneira de obtenção dos coeficientes da expansão na
(NL)
base de número {|mi} , para os estados não lineares, denotados aqui por um índice Cm
.
Eles dependem diretamente dos coeficientes dos respectivos estados lineares como se pode
verificar no trabalho de V. I. Man’ko e colaboradores [14], e podem portanto ser escritos
34
como
(NL)
Cm
=N
Cm
f (m)!
(3.43)
onde N é uma normalização imposta pela condição de que a distribuição de número de
fótons seja igual a 1 e f (m)! = f (0) f (1) f (2) ...f (m), assim
∞
∞
X
X
¯ (NL) ¯2
|Cm |2
¯Cm ¯ = |N |2
=1
|f (m)!|2
m=0
m−0
o que portanto, implica em
N =
Ã
∞
X
P (m)
|f (m)!|2
m=0
(3.44)
!− 12
(3.45)
onde P (m) é a distribuição estatística de número fótons para o correspondente estado
linear.
Com a imposição de que estas condições descritas pelas Eqs.(3.43) e (3.45) sejam
válidas para um estado qualquer, iremos aplicar tal instrumento nos Estados de Número
Deslocado substituindo o coeficiente linear que o representa, Eq.(3.34), nas Eq.(3.43)
e (3.45) obtendo assim os coeficientes dos Estados de Número Deslocado Não Lineares
n(NL)
Cm
[16]
n(NL)
Cm
=
⎧
q
¡ 2¢
1
m! − 12 |a|2
n−m
n−m
⎪
N
e
(α
)
L
|α|
⎪
1
m
⎨
f (m)!
n!
q
⎪
¡ 2¢
⎪
n! − 12 |a|2
⎩ N2 1
e
(αm−n )∗ Lm−n
|α|
n
f (m)!
m!
;m ≤ n
(3.46)
;m ≥ n
onde n corresponde ao número que se deseja deslocar, e
∞
X
¢¯
¡ 2 ¢¯2
2 ¡
e−|a| α2(n−m) ¯Ln−m
|α| ¯
m
#− 12
m!
;m ≤ n
|f (m)!|2 n!
m=0
#− 12
" ∞
X
¯
¡
¢
¡
¢¯
2
m!
∗
2
=
; m ≥ n.
e−|a| α2(m−n) ¯Lm−n
|α|2 ¯
n
2
|f (m)!| n!
m=0
N1 =
N2
"
35
(3.47)
(3.48)
Este novo estado do campo eletromagnético tem como casos particulares os Estados de
Número Deslocado (para f (n̂) = 1), e os Estados Coerentes Lineares (para número inicial
de fótons n = 0 e f (n̂) = 1). Suas propriedades estatísticas serão estudas no Capítulo 04.
3.6
Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares
Não Lineares
Seguindo o procedimento para a não linearização dos estados do campo eletromagnético, iremos realizar uma extensão aplicando-o neste momento aos Estados de Número
Deslocado Par e Ímpar, que é por sua vez um dos estados correspondentes aos estados de
superposição ou seja, estados tipo Gato de Schrödinger.
3.6.1
Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares
Os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares são definidos assim como os Estados
Coerentes Pares e Ímpares, isto é, são estados de superposição de dois estados preliminares com uma diferença de fase de π entre eles. Uma proposta para a geração destes
estados em cavidades é similar à proposta para geração dos Estados Coerentes Pares e
Ímpares e pode ser efetuada da seguinte maneira. A notação que descreve o estado que
iremos discutir é dada por |α, n, +i ou |α, n, −i respectivamente associados aos Estados
de Número Deslocado Pares e Ímpares, descritos como [12]
|α, n, ±i = N± (|α, ni ± |−α, ni)
(3.49)
onde N é a constante de normalização obtida através da condição essencial de que
36
hα.n, ± |α, n, ±i = 1, resultante em
n
o− 12
£ ¡
£ ¡
2 ¢¤
2 ¢¤
−2|α|2
N± = 2 ± e
Ln (−2α) + Ln (2α)
(3.50)
onde Ln (x) são os Polinômios de Laguerre.
Uma representação dos Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares pode ser vista
na Fig.(3.5) e assim como anteriormente, temos como caso particular destes estados os
Estados Coerentes Pares e Ímpares se n = 0. Isso irá novamente refletir nas mesmas
condições paras os casos particulares onde a função não linear utilizada for dada por
f (n̂) = 1.
Para continuarmos o processo de não linearização dos estados do campo eletromagnéticos devemos obter os coeficientes Cm = hm |Ψi dos estados que aplicaremos o processo.
Para os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares tais coeficientes são obtidos via
n
= hm |α, n, ±i = N± [hm |α, ni ± hm |−α, ni]
Cm
(3.51)
que são de fácil obtenção se identificarmos hm |α, ni e hm |−α, ni como sendo os coeficientes do Estado de Número Deslocado Eq.(3.34) com parâmetro de deslocamento
{α, −α} ∈ R, assim representados por [17]
⎧
q
¡ 2¢ ¡
¢
m! − 1 |a|2
n−m
⎪
) Ln−m
|α| 1 ± (−1)n−m
⎪
m
⎨ N± n! e 2 (α
n
Cm
=
q
⎪
⎪
⎩ N± n! e− 12 |a|2 (αm−n )∗ Lm−n ¡|α|2 ¢ ¡1 ± (−1)m−n ¢
m!
n
;m ≤ n
(3.52)
; m ≥ n.
A Eq.(3.52) nos dá os coeficientes dos Estados de Número Deslocado Par e Ímpar,
definidos na Eq.(3.49). As propriedades estatísticas deste estado tipo gato de Schrödinger
foram investigadas em [12]. Uma proposta para a geração deste tipo de estado pode ser
encontrada no Apêndice A.
37
Figura 3.5: Representação pictórica do Estado de Número Deslocado Par ou Ímpar.
Conhecido estes coeficientes podemos obter os Estados de Número Deslocado Pares e
Ímpares Não Lineares [17] simbolizado por |f, α, n, ±i com os seguintes coeficientes para
sua expansão na base de número, com base nas Eqs.(3.43) e (3.45)
⎧
q
¡ 2¢ ¡
¢
m! − 1 |a|2
1
n−m
⎪
⎪
) Ln−m
|α| 1 ± (−1)n−m
m
⎨ Na f (m)! n! e 2 (α
n(NL)
Cm
=
q
⎪
¡
¢¡
¢
⎪
n! − 12 |a|2
⎩ Nb 1
e
(αm−n )∗ Lm−n |α|2 1 ± (−1)m−n
f (m)!
m!
n
;m≤n
(3.53)
; m ≥ n.
onde Na = N1 N± e Nb = N2 N± , com
N1
N2
!#− 12
¡ 2(n−m) ¢
m!
−|a|2
e
N± |f (m)!|
α
×
2
=
¯ n−m ¡ n!2 ¢¯2 ¡
¢2
× ¯Lm
|α| ¯ 1 ± (−1)n−m
m=0
!#− 12
" ∞ Ã
¡ 2(m−n) ¢∗
n!
−|a|2
X
e
×
N± |f (m)!|
α
2
=
¯ m−n ¡ m!2 ¢¯2 ¡
¢2
× ¯Ln
|α| ¯ 1 ± (−1)m−n
"
∞
X
Ã
m=0
;m ≤ n
(3.54)
;m ≥ n
(3.55)
as respectivas renormalizações para que a distribuição de número de fótons seja normalizada.
No próximo Capítulo, discutiremos as propriedades estatísticas destes dois novos estados da luz que estamos propondo, o Estado de Número Deslocado Não Linear e os
38
Estados de Número Deslocado Par e Ímpar Não Lineares, mostrando que estes estados
apresentam importantes efeitos puramente quânticos.
39
Capítulo 4
Estudos das Representações no
Espaço de Fase
Neste momento nosso trabalho é apresentar um estudo das funções de distribuição
no espaço de fase, fixando nossa atenção em algumas características especiais que estão
presentes nestas distribuições de quase-probabilidade. Mostraremos como a transição
da representação clássica para a representação quântica pode ser feita através de uma
fundamental função chamada de função de densidade de probabilidade ρ e posteriormente
por meio da função característica C (ξ).
4.1
Funções de Probabilidade
O conceito de espaço de fase tem sua origem no formalismo Hamiltoniano da mecânica
clássica, na qual um dado sistema dinâmico depende de um número de coordenadas independentes e dos respectivos momentos conjugados. No formalismo Hamiltoniano, o sistema dinâmico de n graus de liberdade é completamente especificado quando se conhece
suas n coordenadas generalizadas, q1 , q2 ...qn , e seus n momentos generalizados, p1 , p2 ...pn .
40
O conceito de espaço de fase é introduzido para este sistema, através do espaço Cartesiano
de 2n variáveis [40].
No formalismo Hamiltoniano da mecânica clássica, uma partícula em um dado instante
corresponde a um ponto no espaço de fase. Com o passar do tempo, a partícula traça
uma trajetória no espaço de fase. Se existe um grau de liberdade, então um espaço de
fase de duas dimensões consistindo de x e p pode determinar completamente a dinâmica
do sistema. Para uma partícula livre, com um dado momento p, sua trajetória é uma
linha paralela ao eixo x com um valor fixo de p. Para o oscilador unidimensional, a
Hamiltoniana é a energia total e a trajetória é uma elipse no espaço de fase de x e p.
Se existem N partículas, existirão N pontos e N trajetórias. No entanto se N é grande
o problema pode ser tratado estatisticamente. Assim, é possível representar todos os
pontos (estados microscópicos) os quais são compatíveis com as condições macroscópicas
de um sistema, como por exemplo a energia, a temperatura ou o número de partículas.
A contagem de estados microscópicos deste sistema pode ser realizada no espaço de fase
usando a função densidade de probabilidade.
ρ ≡ ρ (q1 , q2 , ..., qn , p1 , p2 , ..., pn ) .
(4.1)
Por simplicidade, consideraremos um sistema no espaço de fase bi-dimensional e também
consideraremos a posição x = x (t) e o momento p = p (t) como variáveis contínuas no
limite em que N → ∞. A função densidade que descreve este sistema será dada por
ρ = ρ (x, p) e portanto ρ (x, p) dxdp nos dará o número de estados microscópicos dentro
da célula dxdp.
A distribuição de probabilidade clássica no espaço de fase ρ (x, p), é não negativa em
41
todo espaço de fase [41], portanto ρ (x, p) ≥ 0 e normalizada apresentando o seguinte
critério
Z∞ Z∞
ρ (x, p) dxdp = 1,
(4.2)
−∞ −∞
As propriedades estatísticas, como valores esperados de observáveis físicos, tais como
posição hxi e momento hpi são completamente determinados pela densidade de probabilidade. Por exemplo, dado uma função hA (x, p)i, sua média pode ser calculada como:
hA (x, p)i =
Z∞ Z∞
A (x, p) ρ (x, p) dxdp
(4.3)
−∞ −∞
sendo possível obter as distribuições marginais para cada variável.
Como mencionamos, todas as considerações e propriedades relativas à distribuição de
probabilidade ρ (x, p), foram feitas para o espaço de fase clássico. Podemos no entanto,
levantar algumas questões como: existiria uma representação no espaço de fase para
sistemas físicos na Mecânica Quântica? É possível trabalhar com densidades de probabilidade no espaço de fase para sistemas quânticos, assim como no espaço de fase clássico?
Como é o comportamento de uma distribuição de probabilidade no espaço de fase quântico? Respostas a estas questões foram dadas inicialmente em 1932 por E. P. Wigner
[25]. Posteriormente, muitos outros trabalhos onde este mesmo assunto foram publicados no sentido de tornarem a representação no espaço de fase da mecânica quântica uma
linguagem científica para a moderna óptica quântica.
É conhecido que a mecânica quântica tem diferentes representações. A representação
de Schrödinger é muito útil em física atômica e física nuclear. A representação de Heisenberg é a linguagem básica para a formulação da teoria de campos quânticos. Neste
42
sentido cabe uma outra pergunta: será preciso uma nova formulação para a mecânica
quântica? Vai depender do fato de existir ou não lacunas na física onde as representações
de Schrödinger e de Heisenberg não sejam completamente efetivas.
A Óptica Quântica, em particular, é uma área onde uma nova representação, diferentes
das de Schrödinger e Heisenberg pode vir a ser muito útil. Ela trabalha com os operadores
de criação e de aniquilação de fótons e com superposição linear de estados de multifotons.
É possível construir a matemática do oscilador harmônico na representação de Schrödinger
para descrever os estados dos fótons. Entretanto, a matemática se torna complicada
quando tentamos descrever algumas classes de estados, como por exemplo, os Estados
Coerentes Comprimidos, devido ao fato de que algumas propriedades quânticas especiais
estão presentes nestes estados [42].
As dificuldades de se ter uma versão da mecânica quântica no espaço de fase, similar
à da mecânica clássica, vem da seguinte relação entre os operadores associados a posição
e seu momento conjugado, que devem satisfazer a relação de comutação de Heisenberg,
Born e Jordan
[p̂, q̂] =
~ˆ
I
i
(4.4)
que carrega consigo a relação de incerteza de Heisenberg, significando que para qualquer
vetor de estado o produto entre os desvios quadráticos médios é sempre maior que ~/2
(≤ ∆p∆q). Os estados em que essa ultima desigualdade vale como igualdade são chamados
na literatura de estados de mínima incerteza. Assim cabe-nos uma questão: como associar
esta intrínseca indeterminação ao total determinismo do espaço de fase clássico?
Essa resposta fica clara quando admitimos que existe uma classe de funções que
43
guardam uma certa semelhança com as distribuições de probabilidade no espaço de fase,
as chamadas “funções de distribuição de quase-probabilidade”, e que são de grande uso
para descrever sistemas quânticos [43]. Elas são úteis não somente como ferramentas de
cálculos, mas também para descrever as conexões entre as mecânicas clássica e quântica.
Uma função que pode nos levar a esta transição é a própria distribuição de probabilidade clássica ρ (x, p) que toma a forma da função que buscamos a qual se chama função
característica, a partir de uma transformação para o plano complexo associado às coordenadas β = x + ip. Assim a função característica fica definida como sendo a transformada
de Fourier, no plano complexo da distribuição de probabilidade ρ (β, β ∗ ) dada por
C (ξ) =
=
Z∞
ρ (β, β ∗ ) eξβ
∗
−ξ ∗ β 2
−∞
­ ξβ ∗ −ξ∗ β ®
e
dβ
(4.5)
com d2 β = d (Im β) d (Re β).
Mas na mecânica quântica a função característica deve ser tomada como sendo [35]
i
h
ξ↠−ξ ∗ â
C (ξ) = T r ρ̂e
(4.6)
onde ρ̂ não é mais uma função e sim o operador densidade que é descrito pela matriz
densidade ρ̂ = |Ψi hΨ|, e ξ ∈ C sendo portanto definido como ξ = ξ x + iξ y , contudo
esta analogia não é completa devido à não comutação entre os operadores de criação e
aniquilação.
No entanto, uma maneira mais didática de se escrever a função caracterísitca quântica
é dada por [44], onde a introdução de um parâmetro s tal que {s ∈ Z/ − 1 ≤ s ≤ 1} será
44
de bom agrado para o estudo da aplicação da função C (ξ), que depende da ordenação
dos operadores de criação e aniquilação, ficando expressa por
¸
∙
2
ξ↠−ξ ∗ â+s |ξ|2
.
C (ξ, s) = T r ρ̂e
(4.7)
O ordenamento a qual nos referimos a respeito dos operadores de criação e aniquilação
é dito normal ordenado se ↠’s estiverem à esquerda dos â’s, é dito antinormal ordenado
se houver o contrário, e simetricamente ordenado se houver uma média de todas as permutações dos fatores, como por exemplo
© † † ª 1¡ † †
¢
â â â =
â â â + ↠â↠+ â↠↠.
3
(4.8)
O tipo de ordenação está associado ao parâmetro s, que estará associado a uma quasidistribuição, assim montamos o seguinte quadro
Ordenamento
parâmetro s
Função associada
Normal
0
W (β)
Antinormal
−1
Q (β)
Simétrico
1
P
onde W (β) corresponde a Função de Wigner [25], Q (β) corresponde a função de Husimi
[24] e P a função de Glauber-Sudarshan [45], sendo que as funções características associadas a cada uma destas funções são relacionadas por
2
e|ξ| C (ξ, −1) = e
|ξ|2
2
C (ξ, 0) = C (ξ, 1) .
(4.9)
Para a obtenção das funções W (β) , Q (β) e P tomamos a transformada de Fourier
novamente, mas agora da função característica C (β, s) s-parametrizada, como faremos
mais adiante. No entanto, cabe uma ressalva, qualquer sistema físico têm mais que uma
45
representação no espaço de fase. Para qualquer ordenamento de ↠e â na função característica, têm-se uma função característica diferente, resultando em uma distribuição no
espaço de fase diferente descrevendo um mesmo sistema.
Neste trabalho nos restringiremos as Funções Q (β) de Husimi, a Função W (β) de
Wigner e falaremos mais adiante de outras duas estatísticas referentes às distribuições de
número de fótons e ao parâmetro de compressão nas quadraturas. Estas quatro diferentes
estatísticas descreverão nossos estados lineares e não lineares.
4.1.1
Distribuição de Número de Fótons
A distribuição de número de fótons P (m) corresponde a uma função estatística que
determina qual a probabilidade de se encontrar m fótons no sistema proposto. Esta função
é obtida por meio de
P (m) = |hm |Ψi|2
(4.10)
com |Ψi o estado sobre qual queremos observar o efeito.
Como podemos verificar, o produto escalar hm |Ψi corresponde aos coeficientes da
expansão do estado |Ψi na base de número {|mi}. Assim como vários coeficientes já foram
calculados no Capítulo anterior, podemos escrever a função de distribuição de número
de fótons para cada um dos estados estudados. Como base do estudo e comparação,
iniciaremos com o cálculo da função P (m) para os seguintes estados: Coerentes, de
Número, de Número Deslocado e de Número Deslocado Pares e Ímpares. Posteriormente
faremos uma análise da influência da não linearidade para estes mesmos estados.
46
Estados Coerentes
Utilizando as Eq.(4.10) e (3.11) podemos obter:
P (m)|αi = |hm |αi|2
¯∞
¯2
¯X e− |α|2 2 αn
¯
¯
¯
√
= ¯
hm |ni¯
¯ n=0
¯
n!
(4.11)
pela ortonormalidade entre os Estados de Números, o produto escalar hm |ni = δ m,n será
igual a 1 se e somente se m = n. Assim obtemos
|αi
P (m)
¢
¡
exp − |α|2 |α|2m
.
=
m!
(4.12)
O gráfico que representa esta função pode ser associado a uma gaussiana que possui
pico em |α|2 , como pode ser verificado na Fig.(4.1), onde α = 4 exp (iπ/4) .
Podemos notar que a quantidade de fótons presente dentro do nosso sistema está em
maior probabilidade de 16 fótons, mas existem probabilidades de encontrarmos 4 ≤ m ≤
30 fótons.
Estados de Número
Diferente dos Estados Coerentes, os Estados de Número possuem uma distribuição de
número de fótons bem definida, isto causa conseqüências importantes para este estado,
pois podemos afirmar que os Estados de Número possuem total incerteza na fase e total
certeza na quantidade de número de fótons existente. Assim um gráfico que representa
perfeitamente a distribuição de número de fótons para um Estado de Número n = 2 seria
47
Figura 4.1: Distribuição de Número de Fótons P (m) para o Estado Coerente para o
parâmetro de deslocamento α = 4eiπ/4 .
dado pela equação abaixo
P (m)|ni = |hm |ni|2
= |δ m,n |2
= 1
(4.13)
e qualquer que seja o estado |ni escolhido, teremos certeza total no número. A Fig.(4.2)
ilustra este problema.
Estados de Número Deslocado
Para os Estados de Número Deslocado temos que a função que descreve a distribuição
48
Figura 4.2: Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número com n = 2.
de número de fótons é dada por
P (m)|α,ni = |hm |α, ni|2
n 2
= |Cm
|
⎧
³
´£
¡ 2 ¢¤2
⎨ m! e−|a|2 |α|2(n−m) Ln−m
,m≤n
|α|
n!
³
´∗ £ m ¡
=
.
¢¤
2
2
⎩ n! e−|a| |α|2(m−n)
,m≥n
Lm−n
|α|2
n
m!
(4.14)
tal função possui uma característica bem interessante, que é a existência de picos na
distribuição de número de fótons, como podemos observar na Fig.(4.3). Isso ocorre devido
à interferência que o Estados de Número Deslocado possui com os Estados de Número no
espaço de fase.
Uma figura que representa muito bem a interferência entre os estados no espaço de
49
fase pode ser atribuída pictoricamente à Fig. (4.4).
Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares
Assim como os Estados de Número Deslocado, os estados chamados Pares e Ímpares
também possuem oscilações na distribuição de número de fótons, sendo que nestes estados
há uma maior intensificação dos picos desta distribuição, isso proporciona aos estados os
nomes Pares e Ímpares, pois possuem respectivamente os valores ímpares e pares nulos
na distribuição.
A equação que determina esta distribuição pode ser dada analogamente às anteriores
e é escrita como:
P (m)|α,n,±i = |hm |α, n, ±i|2
⎧
³
´
2 m! −|a|2
2(n−m) £ n−m ¡
2 ¢¤2 ¡
n−m ¢2
⎪
(N
|α|
L
)
e
;m ≤ n
|α|
1
±
(−1)
⎪
±
m
n!
⎪
⎪
⎨
(4.15)
P (m)|α,n,±i =
⎪
⎪
³
´
⎪
£
¡
¢¤ ¡
¢
⎪
⎩ (N± )2 n! e−|a|2 |α|2(m−n) Lm−n |α|2 2 1 ± (−1)m−n 2 ; m ≥ n.
n
m!
¡ 2¢
com N± dado pela Eq.(3.50) e Ln−m
|α| os polinômios associados de Laguerre. Note
m
que para cada um dos sinais utilizados teremos uma distribuição diferente, assim para
o estado |α, n, +i, (|α, n, −i), quando 1 + (−1)n−m = 0, (1 − (−1)n−m = 0), devemos
ter n − m ímpar (par) obtendo os valores ímpares (pares) na distribuição iguais a zero,
restando somente os pares (ímpares).
Na Fig.(4.5) podemos ver como se comporta o fenômeno de intensificação das oscilações
para a distribuição de número de fóton para os Estados de Número Deslocado Pares e
50
Figura 4.3: Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado com
parâmetro de deslocamento α = 3e−iπ/4 e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4.
51
Figura 4.4: Representação pictórica da interferência (região rachurada) entre os Estados
de Números e os Estados de Número Deslocado.
na Fig (4.6) temos o mesmo estudo para os Estados de Número Deslocado Ímpares, para
parâmetro de deslocamento α = 3 e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4.
Efeitos não Lineares
Como vimos cada estado possui uma característica própria ao se tratar da distribuição
de número de fótons. No entanto os efeitos da não linearização para a distribuição de
número de fótons quando utilizamos a função não linear [15]
f (n̂) =
1
1 − κn̂
(4.16)
onde n̂ = ↠â e κ é o parâmetro não linear, é praticamente o mesmo, para todos os estados
aqui estudados.
Tal semelhança não pode ser considerada ruim pois o que ocorre é a diminuição dos
picos da distribuição e definição de uma maior probabilidade no número de fótons, ou
52
Figura 4.5: Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado Par
em comparação ao Estado de Número Deslocado, para parâmetro de deslocamento α = 3
e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4.
53
Figura 4.6: Distribuição de Número de Fóton para o Estado de Número Deslocado Ímpar
em comparação ao Estado de Número Deslocado, para parâmetro de deslocamento α = 3
e número de fótons a) n = 2; b) n = 3 e c) n = 4.
54
seja, há uma redistribuição de população no sistema e isto levá-nos a crer que o processo
de não linearização pode gerar número.
Logicamente isso depende principalmente do nosso parâmetro κ, onde notamos que a
distriuinçao tende para certos valores de número de fótons de maneira que o pico central
da distribuição fica mais definido para um certo m. Alguns efeitos da não linearização
envolvendo a Eq.(4.16) para os Estados Coerentes e Coerentes Pares e Ímpares podem
ser vistos nos trabalhos de S. Mansine [15]. Abaixo levantamos as funções de Distribuição
de Número de Fótons para os estados não lineares com um estudo dos correspondentes
gráficos.
Para obter os Estados Coerentes Não Lineares usamos o formalismo dos Estados de
Número Deslocado Não Lineares com inicial número de fótons n = 0 obtendo assim os
resultados de S. Mansine [15], como podemos notar na Fig.(4.7), há uma grande intensificação da probabilidade máxima de se encontrar fótons no sistema e que o número médio
máximo passa a ser menor. Comparando as Figs.(4.1) e (4.7) verificamos que houve um
ganho de aproximadamente 0, 08 na probabilidade de se encontrar os mesmos 15 fótons
no sistema, isto torna relevante nosso comentário anterior onde podemos concluir que tais
fótons foram reagrupados em torno de um novo valor (próximo a κ−1 para a figura 4.7b).
55
Figura 4.7: Distribuição de Número de Fótons para o Estado Coerente α = 4eiπ/4 para:
a) κ = 0, 007 e b) κ = 0, 07
Para os Estados de Número Deslocado Não Lineares temos a seguinte função de distribuição de número de fótons:
P (m)|f,α,ni = |hm |f, α, ni|2
¯ n(NL) ¯2
¯
P (m)|f,α,ni = ¯Cm
⎧
h
i2
⎨ (N1 )2 1
f (m)!
h
i2
P (m)|f,α,ni =
2
⎩ (N )
1
2
f (m)!
£
¡ 2 ¢¤2
|α|2(n−m) Ln−m
|α|
m
£
¡
2(m−n)
2 ¢¤2
n! −|a|2
m−n
e
|α|
L
|α|
n
m!
m! −|a|2
e
n!
;m ≤ n
(4.17)
;m ≥ n
onde N1 e N2 são dados respectivamente pelas Eqs.(3.47) e (3.48). Na Fig.(4.8) a análise
gráfica da Eq.(4.17) para os parâmetros de deslocamento α, número inicial de fótons n
e não linearidade κ, variados. Note que o sistema se mostra muito sensível às variações
56
de n e α. Na Fig.(4.8b). podemos notar claramente que para κ = 0, 07 temos uma alta
definição do número de fótons (> 0, 18) .
Para os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares temos a seguinte distribuição
de número de fóton:
P (m)|f,α,n,±i = |hm |f, α, n, ±i|2
⎧
³
´2
³
´
2
2(n−m)
m! −|a|2
1
⎪
⎪
(N
|α|
×
)
e
1
⎪
f (m)!
n!
⎪
⎪
£
¡
¢¤
¡
¢
2
2
⎨
× Ln−m
;m ≤ n
|α|2
1 ± (−1)n−m
m
³
´2
³
´
P (m)|f,α,n,±i =
2
2
2(m−n)
⎪
n!
1
−|a|
⎪
|α|
×
(N2 ) f (m)! m! e
⎪
⎪
⎪
⎩ £ m−n ¡ 2 ¢¤2 ¡
m−n ¢2
× Ln
; m ≥ n.
|α|
1 ± (−1)
(4.18)
onde N1 e N2 são dados respectivamente pelas Eq.(3.54) e (3.55). Os efeitos da não linearidade agem da mesma forma que nos demais estados, reduzindo os picos da distribuição
principalmente. Novamente o sistema se comporta de forma diferente dependendo da
escolha dos parâmetros iniciais, como podemos notar nas Fig.(4.9) e Fig.(4.10) para as
distribuições dos Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares respectivamente.
57
Figura 4.8: Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado
Não Linear com parâmetro não linear κ = 0, 007 (linha tracejada) e κ = 0, 07 (linha
traço-ponto) usando: (a) inicial número de fótons n = 2 e parâmetro de deslocamento
α = 2eiπ/4 ; (b) n = 2, α = 6eiπ/4 ; (c) n = 1, α = 3eιπ/4 e (d) n = 5, α = 3eiπ/4 . Para
comparação é mostrado a curva do Estado de Número Deslocado (linha sólida).
58
Figura 4.9: Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado Par
com: a) inicial número de fótons n = 1, parâmetro de deslocamento α = 3 e parâmetro
não linear κ = 0; b) n = 1, α = 3 e κ = 0, 007; c) n = 1, α = 4 e κ = 0, 007 e d) n = 5,
α = 3 e κ = 0, 007.
59
Figura 4.10: Distribuição de Número de Fótons para o Estado de Número Deslocado
Ímparr com: a) inical número de fótons n = 1, parâmetro de deslocamento α = 3 e
parâmetro não linear κ = 0; b) n = 1, α = 3 e κ = 0, 007; c) n = 1, α = 4 e κ = 0, 007 e
d) n = 5, α = 3 e κ = 0, 007.
60
4.1.2
Parâmetro QM de Mandel
O parâmetro QM de Mandel é também conhecido na literatura como estatística de
fótons de um estado e é definido como sendo [23]
QM ≡
(∆m̂)2 − hm̂i
hm̂i
(4.19)
q
onde ∆m̂ ≡ hm̂2 i − hm̂i2 é a variância ou erro na medida do número de fótons e
hm̂i =
­ 2®
=
m̂
∞
X
m=0
∞
X
mP (m)
(4.20)
m2 P (m) .
(4.21)
m=0
Tal cálculo pode ser realizado numericamente através de programas matemáticos e as
conclusões que devemos tomar são para os seguintes casos: QM > 0 o campo é dito
Super-Poissoniano, QM < 0 o campo é dito Sub-Poissoniano e para QM = 0 o campo é
dito Poissoniano.
Para os Estados de Número o parâmetro QM de Mandel possui sempre o menor valor
possível, QM = −1 (sendo assim Sub-Poissoniano) pelo fato de que para estes estados que
possuem o número de fótons completamente bem definidos a incerteza ∆m̂ é zero.
Para os Estados Coerentes o Parâmetro QM de Mandel apresenta um valor constante
QM = 0 (sendo assim Poissoniano). Para este estado temos que (∆m̂)2 = hm̂i. Portanto
admitimos que os Estado de Números são os mais quânticos dos estados, e os Estados
Coerentes são dentre os quânticos o mais clássico, por estar no limiar desta estatística.
Assim devemos levantar um estudo gráfico para os Estados de Número Deslocado,
Estados de Número Deslocado Não Lineares, Estados de Número Deslocados Pares e Ím61
pares e Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares, verificando os efeitos
da não linearidade que a função descrita pela Eq.(4.16), proporciona para os estados.
Com esse intuito temos na Fig.(4.11) a representação do parâmetro QM de Mandel
em função do parâmetro de deslocamento |α| e número inicial de fótons n = 1, para
diversos valores do coeficiente de não linearidade κ. Podemos verificar que na Fig.(4.11a)
os estados possuem, em geral, sua distribuição super-Poissoniana para valores baixos de
|α| e κ = 0 (estados lineares), mas podemos verificar que os efeitos da não linearidade
intensificam esta estatística para valores de |α| > 3.
62
Figura 4.11: parâmetro QM de Mandel para o Estado de Número Deslocado (linha cheia)
Par (linha pontilhada) e Ímpar (linha tracejada) em função de |α| para número inicial de
fótons n = 1 e: a) κ = 0; b) κ = 0, 007; c) κ = 0, 07 e d) κ = 0, 2.
63
4.1.3
Função Q (β) de Husimi
A Função Q (β) de Husimi que é a distribuição de quase-probabilidade associada ao
ordenamento anti-normal dos operadores de criação e aniquilação (s = −1) pode ser
obtida através da substituição do correspondente parâmetro s na Eq.(4.7), tomando em
seguida a Transformada de Fourie no plano complexo, resultando em
1
Q (β) = 2
π
Z∞
C (ξ, −1) exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) d2 ξ
(4.22)
−∞
Como a função característica anti-normal ordenada C(ξ, −1) é dada por
h
i
∗
†
C(ξ, −1) = T r b
ρe−ξ ea eξea ,
(4.23)
sendo o operador densidade ρ̂ = |Ψi hΨ| (para estados puros) pode-se reescrever a função
característica como
¯ E
D ¯ ∗
†¯
¯
C(ξ, −1) = Ψ ¯e−ξ ea eξea ¯ Ψ .
(4.24)
Utilizando a relação de completeza dos Estados Coerentes, dada pela Eq.(3.12), podemos
organizar os termos de tal forma que possamos reescrever
1
C(ξ, −1) =
π
Z∞
−∞
∗
†
­ ¯ ∗ ¯ ® D ¯¯ † ¯¯ E
d2 α Ψ ¯e−ξ ea ¯ α α ¯eξea ¯ Ψ .
∗ −ξ ∗ α
Como o termo e−ξ ea |αi hα| eξea é igual a eξα
|αi hα|, implica o seguinte resultado:
Z
1
d2 α exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hΨ| αi hα| Ψi ,
C(ξ, −1) =
π
Z
1
=
d2 α exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hα |ρ̂| αi .
π
64
(4.25)
(4.26)
(4.27)
Assim retornando à Eq.(4.22) escrevemos
1
Q (β) =
π2
=
1
π3
1
=
π2
Z∞
C (ξ, −1) exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) d2 ξ
−∞
Z∞ Z∞
−∞ −∞
Z∞
d2 ξd2 α exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hα |ρ̂| αi
1
d ξ exp (βξ − β ξ)
π
2
∗
∗
−∞
A integral
1
π
Z∞
Z∞
d2 α exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hα |ρ̂| αi .
(4.28)
−∞
d2 α exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hα |ρ̂| αi = hξ |ρ̂| ξi
(4.29)
−∞
corresponde à uma transformada de Fourier no plano complexo, e permite-nos reescrever
Q (β) como
|βi
Z
1
Q (β) =
d2 ξ exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) hξ |ρ̂| ξi
π2
1
1
=
hβ |ρ̂| βi = |hβ |Ψi|2
π¯
π
¯2
∞
¯
¯
X
£
¤
£
¤
1¯
|βi ∗
|Ψi ¯
=
C
Cm ¯
¯
¯
π ¯m=0 m
(4.30)
onde Cm corresponde aos coeficientes da expansão de um Estado Coerente |βi na base
|Ψi
de número {|mi} e Cm os coeficientes do estado a ser estudado. A Eq.(4.30) nos permite
trabalhar com a Função Q (β) de Husimi com maior facilidade, portanto podemos agora
desenvolver um estudo gráfico desta função para os estados aqui propostos.
Tomando os coeficientes dos Estados de Número Deslocado Não Lineares, Eq.(3.46),
podemos desenvolver um estudo completo, pois temos como caso particular o próprio
Estado de Número Deslocado onde tomaremos κ = 0, até os Estados Coerentes Lineares
65
(Não Lineares) onde tomaremos n = 0 e κ = 0 (κ 6= 0). A equação que utilizaremos para
plotagem e estudo é dada por:
⎧
¯ ∞
¯2
¯P
¯
⎪
2
−2n −(|α|2 +|β|2 )
m m−n ¡
2 ¢¯
∗
1
⎪
¯
e
ׯ
(β α) Ln
|α| ¯ ,
⎨ |N1 | n! |α|
f (m)! m!
m=0
¯ ∞
¯
Q(β) =
¯ P m!
¡
¢
¡ 2 ¢¯2
⎪
2
−1
2
2
2n
⎪
−(|α| +|β| ) ¯
∗ m n−m
⎩ π1 |N2 | n! |α|
e
(βα ) Lm
|α| ¯¯ ,
f (m)!
¯
m=0
m≥n
m ≤ n.
(4.31)
onde N1 e N2 são representados pelas Eqs.(3.47) e (3.48).
Na Fig.(4.12) mostramos as Funções Q (β) de Husimi para os estados base de nosso
estudo, os Estados Coerentes e o Estados de Número. Tais gráficos servem de comparação
para a verificação dos efeitos não lineares que a função não linear descrita pela Eq.(4.16)
proporciona nos estados.
Primeiramente para os Estados Coerentes, podemos verificar, Fig.(4.13), que mesmo
para um parâmetro não linear κ muito pequeno temos efeitos de compressão que ainda
podem ser intensificados dependendo do Estado Coerente em análise, demonstrando que
o sistema é extremamente sensível, como visto também para a distribuição de número
de fótons. O tipo de compressão que ocorre é chamada de compressão de número-fase e
também pode ser notada nos trabalhos de M. J. Collet [26].
Para os Estados de Número Deslocado o efeito não linear também proporciona compressão de número-fase e o sistema se comporta bastante sensível ao número inicial de
fótons e ao parâmetro de deslocamento como era de se esperar, pois ocorre o mesmo com
os Estados Coerentes, veja Fig.(4.14).
No entanto para os Estados de Número Deslocado uma característica bastante interessante ocorre, para valores pouco maiores do parâmetro de não linearidade κ podemos
66
Figura 4.12: Função Q (β) de Husimi com parâmetro de não linearidade κ = 0 para: a)
Estado Coerente α = 3eiπ/4 e b) Estado de Número Deslocado com número de fótons
n = 2, parâmetro de deslocamento α = 3eiπ/4 . A correspondente curva de contorno é
mostrada para comparação.
67
Figura 4.13: Função Q (β) de Husimi para o Estado Coerente Não Linear com parâmetro
de não linearidade κ = 0, 007 usando: a) α = 3eiπ/4 e b) α = 6eiπ/4 . A correspondente
curva de contorno é mostrada para comparação.
68
Figura 4.14: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Não Linear com
parâmetro de não linearidade κ = 0, 007 usando: a) número de fótons n = 2, parâmetro
de deslocamento α = 2eiπ/4 ; b) n = 5, α = 2eiπ/4 e c) n = 2, α = 4eiπ/4 . A correspondente
curva de contorno é mostrada para comparação.
69
verificar que ocorre uma tendência de separação entre os picos da distribuição, isto seria
essencial e de grande relevância por podermos associar este tipo de característica a estados
tipo Gato de Schrödinger [11] e [12], veja Fig.(4.15).
Como os resultados obtidos para os Estados de Número Deslocado Não Lineares apresentam além da verificação de um tipo de compresão, há a hipótese de separação de
picos de distribuição o que representam estados tipo Gato de Schrödinger, tal processo
para os Estados de Número Deslocado Não Linear torna-se impossivel para os parâmetros analizados mas a verificação gráfica da Funções Q (β) de Husimi para os Estados de
Número Deslocado Pares e Ímpares apresentau efeitos não lineares interessantes para a
superposição dos estados..
Percebemos, analisando as Figs.(4.16) e (4.17), que os Estados de Número Deslocado
Pares e Ímpares se comportam de forma análoga ao seu precursor, apresentando compressão de número e fase. Apresenta também uma sensibilidade muito grande com a
variação de um de seus parâmetros iniciais como devemos observar para as Figs.(4.16d)
e (4.17d). Verificamos também que o os efeitos da não linearidade ocorrem da mesma
forma entre eles, uma vez que o centro da distribuição sofre primeiramente uma queda
brusca de seu pico.
É de grande importância destacar que, nas Figs.(4.16) e (4.17) que possuem representações de estados com grande interfe-rência, isto é, quando κ = 0 temos dois estados
lineares que estão representados em um único bloco de probabilidade, com grande interferência, com os efeitos não lineares conseguimos separá-los e obter estados de superposição
com grande separação entre si.
70
Figura 4.15: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Não Linear com
parâmetro de não linearidade κ = 0, 07 usando: a) número de fótons n = 2, parâmetro de
deslocamento α = 2eiπ/4 ; b) n = 5, α = 2eiπ/4 e c) n = 2, α = 4eiπ/4 . A correspondente
curva de contorno é mostrada para comparação.
71
Figura 4.16: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Ímpar para
número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro de
não linearidade κ = 0; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 008; c) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1 e d) α = 3eiπ/4
e κ = 0, 008;
72
Figura 4.17: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Par para
número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro
de não linearidade κ = 0; b) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 008; c) α = 2eiπ/4 e κ = 0, 1 e d)
α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008;
73
No entanto, é notável realizar para estas superposições pares e ímpares, um estudo
verificando as mudanças que ocorrem se mudarmos a função não linear. A seguir apresentamos novas análises dos Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares Não Lineares,
levando em consideração uma nova função não linear dada por:
f (n̂) =
1
1 + κn̂
(4.32)
Para a função não linear dada pela Eq.(4.32) os efeitos da não linearidade podem ser
discutidos se analisarmos as Fig.(4.16) com Fig.(4.18) e Fig.(4.17) com Fig.(4.19) podemos
notar que o sistema se comporta ao contrário, não há uma dininuição da interferência
e a separação dos picos da distribuição, mas sim há uma tendência em unir os picos da
distribuição. Tal resultado leva estados tipo Gato de Schrodinger (superposição) à estados
simples.
4.1.4
Função W (β) de Wigner
A Função W (β) de Wigner foi proposta em um artigo sobre a correlação quântica
para o equilíbrio termodinâmico no qual se introduziu uma distribuição de probabilidade
que relaciona simultaneamente as variáveis de posição q e momento p do espaço de fase,
para a representação de um sistema no espaço de fase.
Atualmente a Função W (β) de Wigner é utilizada em experimentos de óptica quântica.
Tal função é definida como sendo a transformada de Fourier da função característica para
s = 0 (ordenamento normal), na Eq.(4.7) resultando em:
1
W (β) = 2
π
Z∞
C (ξ, 0) exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) d2 ξ
−∞
74
(4.33)
Figura 4.18: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Ímpar com
Função Não Linear Eq.(4.32), para número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de
deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro de não linearidade κ = 0, 008; b) α = 2eiπ/4 e
κ = 0, 1; c) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008 e d) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 08;
75
Figura 4.19: Função Q (β) de Husimi para o Estado de Número Deslocado Par com
Função Não Linear Eq.(4.32), para número inicial de fótons n = 2 e: a) parâmetro de
deslocamento α = 2eiπ/4 e parâmetro de não linearidade κ = 0, 008; b) α = 2eiπ/4 e
κ = 0, 1; c) α = 3eiπ/4 e κ = 0, 008 e d) α =763eiπ/4 e κ = 0, 08;
Um estudo desta função para os estados quânticos do campo será realizado, verificase uma de suas principais propriedades, o fato dela também representar as distribuições
marginais, isto é
Wx (β x ) =
Z∞
W (β) dβ y
(4.34)
Z∞
W (β) dβ x
(4.35)
−∞
e
¡ ¢
Wy β y =
−∞
Vale ainda ressaltar que há uma condição de normalização para a função W (β) de
Wigner, onde
Z∞ Z∞
W (β) d2 β = 1
(4.36)
−∞ −∞
Estados Coerentes
Os Estados Coerentes como já foram definidos, possuem o operador densidade como
[46]:
ρ̂ = |αi hα|
= D̂ (α) |0i h0| D̂† (α)
(4.37)
com isso podemos escrever a função característica como
C (ξ, 0) = h0| D̂† (α) exp (βξ ∗ − β ∗ ξ) D̂ (α) |0i
!
Ã
2
|ξ|
= exp ξα∗ − ξ ∗ α −
2
(4.38)
que ao ser utilizada na Eq.(4.33) resulta em
W (β) =
¡
¢
2
exp −2 |β − α|2
π
77
(4.39)
onde β = β x + iβ y e α é o parâmetro de entrada complexo do Estado Coerente a ser
analisado.
A Fig.(4.20) representa a Função W (β) de Wigner para o Estado Coerente α = 3eiπ/2 ,
a qual apresenta-se como uma distribuição gaussiana.
Figura 4.20: Função de Wigner W (β) para o Estado Coerente α = 3eiπ/2 , com sua
respectiva curva de contorno.
Estados de Número
Para os Estados de Números a Função W (β) de Wigner possui uma peculiaridade
78
interessante, ela apresenta valores negativos na distribuição, a qual verificaremos mais
adiante.
O operador densidade para os Estados de Número são dados por
ρ̂ = |ni hn|
(4.40)
e a partir dele podemos escrever a função característica quântica para esse estado como
sendo
C (ξ, 0) = T r [ρ̂ exp (βξ ∗ − β ∗ ξ)]
= hexp (βξ ∗ − β ∗ ξ)i .
(4.41)
Tal média pode ser facilmente calculada utilizando-se a relação de Baker-CampbellHausdorff [46]
eÂ+Ô = e .eÔ .e− 2 [Â,Ô]
1
(4.42)
além de saber que [46]
∗
e−ξ â |ni =
∞
X
(−ξ ∗ )m
m=0
m!
s
n!
|n − mi
(n − m)!
(4.43)
¡ ¢
e que a soma resultante, esta ligada aos polinômios de Laguerre, Ln |ξ|2 [46]
¢m µ
¶
∞ ¡
¡ 2¢ X
− |ξ|2
n
Ln |ξ| =
m
m!
m=0
(4.44)
resultando por fim em uma expressão compacta que poderá ser utilizada para obtenção
da Função W (β) de Wigner, através da Eq.(4.33), resultando:
W (β) =
¡
¢
2
2
(−1)n e−2|β| Ln 4 |ξ|2 .
π
79
(4.45)
Na Fig.(4.21) apresentamos a Função W (β) de Wigner para os Estados de Número
n = 2 e n = 3 a qual podemos notar os valores negativos na distribuição. Tal função não
pode ser interpretada como sendo uma verdadeira distribuição de probabilidade. Nota-se
ainda que a escolha do número inicial de fótons determina também a direção do pico da
distribuição.
Figura 4.21: Função W (β) de Wigner para os Estados de Número a) n = 2 e b) n = 3.
Com suas respectivas curvas de contorno.
Estados de Número Deslocado
O operador densidade para os Estados de Número Deslocado é dado pela equação
ρ̂ = |α, ni hα, n| = D̂ (α) |ni hn| D̂† (α)
80
(4.46)
procedendo, a partir do operador densidade escrevemos a função característica quântica
resultando em:
h
i
C (ξ, 0) = T r ρ̂D̂ (ξ)
= hn| D̂† (α) D̂ (ξ) D̂ (α) |ni
(4.47)
e utilizando as propriedades do operador de Deslocamento de Glauber [10] e a relação de
Baker-Campbell-Hausdorff [46] obtemos
¡
¢
C (ξ, 0) = exp (ξα∗ − ξ ∗ α) hn| exp ξ↠− ξ ∗ â |ni .
(4.48)
¢
¡
Podemos notar que o termo hn| exp ξ↠− ξ ∗ â |ni corresponde à função característica
quântica para o estado de número, o que resulta na seguinte equação para a função
característica:
Ã
|ξ|2
C (ξ, 0) = exp (ξα − ξ α) exp −
2
∗
∗
!
¡ ¢
Ln |ξ|2 .
(4.49)
Utilizando-se o resultado da Eq.(4.49) na Eq.(4.33) e utilizando-se a função geradora
dos polinômios de Laguerre para resolver a integral, obtemos a seguinte expressão para a
função W (β) de Wigner para os Estados de Número Deslocado,
W (β) =
¢ ¡
¢
¡
2
(−1)n exp −2 |β − α|2 Ln 4 |β − α|2 .
π
(4.50)
Na Fig.(4.22), apresentamos dois exemplos da função W (β) de Wigner para os Estados
de Número Deslocado, com parâmetro de deslocamento real α = 3 e a) inicial número de
fótons n = 2 e b) n = 3. Note que o pico da distribuição se modifica dependendo do
parâmetro n utilizado.
81
Figura 4.22: Função W (β) de Wigner para os Estados de Número Deslocados, com
parâmetro inicial de deslocamento α = 3 e a) inicial número de fótons n = 2 e b) n = 3.
Com suas respectivas curvas de contorno.
Efeitos da Não Linearidade
O cálculo das funções analítcas que descrevem o sistema no espaço de faze é extremamente dificil. O problema está no fato de que a função densidade possui agora termos não
lineares em κ, isso faz com que as relações de transformações unitárias entre os operadores
de Deslocamento de Glauber, D̂ (α), e o operador D̂ (ξ) que está incluso na expressão do
função característica.
Para o resultado destas funções, passamos a tomar transformações unitárias na função
não linear, o que resulta portanto, uma complicação numérica tão grande quanto maior
82
for a complicação na própria função. De fato isso acarreta expressões muito grandes
e para fins de simplificação serão omitidos. No entanto devemos ressaltar o quanto é
importante o resultado das distribuições de quasi-probabilidae obtido para os estados não
lineares propostos, uma vez que para os Estados Coerentes Não Lineares, por exemplo,
tais resultados não foram comentados pelos seus idealizadores [14] e [15].
Para tal estudo tomamos o limite de que os termos dependentes de κn com n ≥ 3, que
surgem na obtenção da Função W (β) de Wigner, tendem a valores nulos, uma vez que
o parâmetro de não linearidade κ ¿ 1, isso implica em uma certa facilitação do processo
de obtenção de uma expresão analítica para o problema.
Para os Estados Coerentes o efeito da não linearização, utilizando a função descrita
pela Eq.(4.16), tem como resultado uma mínima diferença em comparação a Função W (β)
de Wigner original. Tal diferença não pode ser notada nitidamente somente pelas curvas
de níveis, como mostra a Fig.(4.23), assim plotamos também as diferenças entre a curva
linear e a curva não linear como descrito pela Fig.(4.24).
Notamos que houve uma pequena modificação da função original, tornando-a mais
comprimida, isto comprova que os efeitos não lineares tendem a deformar a função inicial
levando-a a uma função que possui compressão no número-fase, como foi visto na Função
Q (β) de Husimi. No entanto esta compressão se mostra mais suave.
83
Figura 4.23: Função W (β) de Wigner para o Estado Coerente Não Linear α = 2 com
suas respectivas curvas de contorno, com parâmetros não lineares κ iguais a: a) κ = 0; b)
κ = 0, 7; c) κ = 0, 07 e d) κ = 0, 007.
84
Figura 4.24: Diferença entre a Funções W (β) de Wigner do Estado Coeretne α = 2 e
suas não linearizações com parâmetros de não linearidade κ iguais a: a) κ = 0, 007; b)
κ = 0, 07 e c) κ = 0, 7. Para efeito de compração.
85
Capítulo 5
Conclusão
Neste trabalho aplicamos um método já conhecido na literatura, para a não linearização dos estados do campo luminoso. Vimos que tal processo pode ser aplicado para
qualquer estado do campo, desde que se conheça sua expansão na base de número {|ni}.
Estudamos o comportamento desta não linearização, em especial para a função não
linear descrita pela Eq.(4.16), para os Estados de Número Deslocado e sua generalização,
os Estados de Número Deslocado Pares e Ímpares. Verificamos em nosso estudo que o
processo de não linearização desenvolve uma característica bastante interessante na distribuição de número de fótons, reduzindo os picos de probabilidade e assim intensificando
a probabilidade em um pico único, chamamos isso de transferência de população. Estes
resultados levantam a hipótese de que os Estados de Número Deslocado Não Linear e
suas superposições pares e ímpares tendem a um Estado de Número qualquer através de
uma não linearização. Tal Estado de Número, a ser gerado, tem relação com o parâmetro
κ, para certos dados iniciais. Portanto o sistema sofre uma transferência na população
reagrupando-se em valores próximos à κ−1 .
Estudamos a estatística de fótons e novamente verificamos o mesmo resultado. Vimos
86
que os Estados de Número Deslocado Não Lineares e suas superposições pares e ímpares
tendem ao comportamento dos Estado de Número de acordo com o parâmetro de não
linearidade. Estudamos também o comportamento não linear no espaço de fase através
da Função Q (β) de Husimi, onde obtemos em compressão diferente das compressões que
são apresentadas para os Estados Comprimidos, sendo portanto chamada de compressão
do tipo número e fase. Verificamos também que o sistema se comporta de forma mais
sensível ao parâmetro de não linearidade κ de acordo com os casos limites do parâmetro
de deslocamento α e do número inicial de fótons n.
Verificamos também na Função Q (β) de Husimi a interessante capacidade de queda
nos picos de interferência entre estados de superposição, para determinada função não
linear. Tal processo que é aplicado diretamente no centro da distribuição levanta-nos
questões sobre o efeito que esta não linearidade proporcionaria em estados já comprimidos
como os Estados Coerentes Comprimidos, tal fato leva-nos a considerar tal hipótese para
futuras perspectivas.
Verificamos também a Função W (β) de Wigner em especial para os Estados Coerentes Lineares e Não lineares, obtendo igual resultado. No entanto não fomos capazes
de verificar tal propriedade para os Estados de Número Deslocado Não Lineares e suas
superposições, devido à grande complicação e extensão numérica que a função toma. No
entanto fomos capazes efetuar todos os necessários cálculos, aqui não demonstrados. Tais
resultados, depois de sanadas as dificuldades computacionais, serão em breve publicados.
É portanto notável que dentro deste trabalho inúmeras outras análises podem ser
realizadas, como por exemplo o comportamento do Estado de Número Deslocado Não
87
Lineares para funções não lineares verificações da não linearidade para estados não levantados aqui, como os Estados Coerente de Dois Fótons, Estados Comprimidos e etc, e até
mesmo o estudo de outras propriedades como fóton contagem. Principalmente um estudo
mais profundo da Função W (β) de Wigner.
No entanto os resultados aqui obtidos não tiram o brilho deste assunto, mas sim
impulsionam a busca de resultados que possam ser publicados e apreciados. Assim temos
a perspectiva de termos aberto o leque de possibilidades para futuros trabalhos a serem
desenvolvidos.
88
Apêndices
Apêndice A
Geração dos Estados Tipo Gato de Schrödinger
Neste apêndice vamos discutir sobre a geração dos estados de superposição definidos
pela Eq.(3.49), conhecidos também como Estados Gato de Schrödinger [4], construídos
dentro de uma cavidade através de uma interação dispersiva entre átomo e campo. Focaremos nossa atenção na geração dos Estados de Número Deslocado Pares, lembrando
que para os Estados Ímpares segue-se do mesmo raciocínio. A geração dos Estados de
Número Deslocado Pares é obtida através do envio de um simples átomo de dois níveis
através de uma cavidade que contenha inicialmente os Estados de Número Deslocado,
cuja transição de freqüência não é ressonante com a freqüência do átomo. Os Estados de
Número Deslocado Pares são a generalização dos Estados Coerente Pares [11], com isso
podemos obtê-los por um processo similar.
O Hamiltoniano de interação para a produção do estado em questão é dado por [13]
b = 1 ~ω0 σ
H
bz + ~ωb
a†b
a + ~λmb
b σz ,
2
(A1)
bz é o Hamiltoniano do átomo, ~ωb
a†b
a é o Hamiltoniano do campo e ~λmb
b σz é
onde 12 ~ω 0 σ
89
a parte para a interação não ressonante entre o átomo e o campo, de quem a ação efetiva
conduz o estado inicial |Ψ (0)iAC , para o estado final |Ψ (t)iAC dado por
¡
¢
e
|ei he| |Ψ (0)iAC
|Ψ (t)iAC = |gi hg| + eiφm
(A2)
onde φ = λt, t sendo o tempo de permanência do átomo na cavidade; m̂ = ↠â é o
operador de número, |ei (|gi) representações do estado excitado (fundamental) do átomo.
Como já foi mencionado no Capítulo 02, o controle dos níveis do átomo (|ei e |gi) é
descrito pela entrada do átomo na (primeira) Zona de Ramsey R1 no qual é submetido a
um pulso de π/2, levando o estado inicial do átomo para
1
|ei → √ (|ei + |gi) ,
2
(A3)
depois desta preparação o átomo entra em uma cavidade C no qual há um campo previamente preparado com os Estados de Número Deslocado |α, ni.
Então todo o sistema, átomo e campo, interagem dispersivamente e evolui inteiro com
o tempo de acordo com a Eq.(A2). Desde então o estado inicial do sistema átomo-campo
na cavidade é dado por |Ψ (0)iAC =
√1
2
(|ei + |gi) (|α, ni), e o estado final para o sistema
após a passagem do átomo fica descrito por
¡
¢ 1
e
|ei he| √ (|ei + |gi) (|α, ni)
|Ψ (t)iAC = |gi hg| + eiφm
2
¢
1 ¡
e
= √ |gi |α, ni + eiφm
|ei |α, ni .
2
(A4)
Após deixar a cavidade o átomo passa por uma nova (segunda) Zona de Ramsey
R2 , onde é submetido novamente a um pulso de π/2, que proporciona aos seus estados
90
novamente as seguintes mudanças
1
|gi → √ (|gi + |ei)
2
1
|ei → √ (|gi + |ei) .
2
(A5)
(A6)
Mudando os estados atômicos depois da passagem do átomo pela cavidade, implica
uma mudança no estado de campo, uma vez que os estados estão emaranhados. Neste
caso, nós temos para o estado final do sistema átomo-campo a seguinte equação,
|Ψ (t)iAC
∙
¸
1
1
1
imφ
e
= √ √ (|gi + |ei) |α, ni + e √ (|gi + |ei) |α, ni
2
2
2
¤
1£
e
e
|gi + |ei + eimφ
|gi + eimφ
|ei |α, ni .
=
2
(A7)
A subseqüente detecção dos níveis atômicos nos detectores D e (ou D g ), permite a
obtenção de um estado projetado na cavidade, tal estado será descrito como
e
|Ψ (t)iC = |α, ni + eiφm
|α, ni .
(A8)
Como é sabido, o Estado de Número Deslocado pode ser escrito em termos de uma
expansão na base de número {|mi}, os coeficientes desta expansão já foram determinados anteriormente e são dados pela Eq.(3.34). Usando tal expansão podemos calcular
e
eimφ
|α, ni que será dado por
iφm
e
e
|α, ni =
∞
X
m=0
inφ
=e
r
n! − 1 |α|2 m−n (m−n)
e
e 2 αi Ln
(|α|)2 eiφm
|mi
m!
|α0 , ni ,
(A9)
onde α0 = αeiφ . Finalmente, se escolhermos φ = λt = π, nos obtemos um estado final
na cavidade que representa os Estados de Número Deslocado Pares, como definido pela
91
Eq.(3.49), com coeficiente
+
Cm
≡ N + (hm |α, ni + (−1)m hm |α, ni)
"r
#
n! − 1 α2 m−n (m−n) ¡ 2 ¢
+
e 2 α
Ln
=N
α
[1 + (−1)m ] .
m!
(A10)
É fácil perceber que a forma da Eq.(A10) nos leva a um valor diferente se zero se m
for par, resultado diretamente dependente de (−1)m , este fato leva os coeficientes ímpares
dos Estados de Número Deslocado Pares a zero. Quando fazemos n = 0 na Eq.(A10),
obtemos um caso particular muito relevante, corresponde aos Estados Coerentes Pares,
aqui generalizado por uma técnica similar a de [13], mas podendo ser mostrado por outra
método envolvendo um competitivo processo de dois fótons [47].
92
Apêndice B
Obtenção da Transformação Unitária - Eq.(3.16)
A equação
¡ † ¢n
b (α) b
b (α)†
An = D
a D
(B1)
pode ser escrita da seguinte forma:
¡ † ¢ ¡ † ¢n−1
b (α) b
b (α)† .
An = D
a b
a
D
(B2)
Usando a propriedade unitária do operador deslocamento de Glauber podemos escrever
ainda
¡ † ¢n−1
¡ †¢
b (α)† D
b (α) b
b (α)† ,
b (α) b
An = D
a
D
a D
(B3)
usando a Eq.(3.10) temos
¡ †
¢
¡ † ¢n−1
b (α) b
b (α)† .
a − α∗ D
a
An = b
D
(B4)
Repetindo o procedimento resultamos em
An =
=
=
¡ † ¢ ¡ † ¢n−2
¡ †
¢
b (α) b
b (α)
a b
D
b
a − α∗ D
a
¡ †¢
¡ † ¢n−2
¡ †
¢
b (α) b
b (α)† D
b (α) b
b (α)†
a D
a
D
b
a − α∗ D
¡ † ¢n−2
¡ †
¢2
b (α) b
b (α)† .
a
D
b
a − α∗ D
(B5)
Se o processo for realizado n vezes obteremos a Eq.(3.16)
¡ † ¢n
¡ †
¢n
b (α) b
b (α)† = b
An = D
a D
a − α∗ .
93
(B6)
Apêndice C
Quantização do Campo Eletromagnético
Sabe-se que um número bastante limitado de potenciais admitem uma solução analítica
exata da equação de Schrödinger, o potencial do Oscilador Harmônico Simples (OHS) é
um deles. Além disso, o OHS serve para descrever vários modelos físicos que envolvam
oscilações no processo. De fato, um único módulo de vibração do campo eletromagnético
pode ser representado por um OHS de massa unitária, assim como as vibrações de átomos
e moléculas diatômicas e etc. A quantização do campo eletromagnético foi feita por Dirac,
associando um único modo do campo eletromagnético a um oscilador harmônico onde o
número de fótons é associado ao nível de excitação do oscilador.
Portanto, ao determinarmos as autofunções do OHS estaremos determinando as autofunções do campo eletromagnético. Ou seja, quantizar o campo eletromagnético, significa
quantizar o OHS, e isto é feito, segundo a Física Quântica, resolvendo-se a equação de
Schrödinger para o potencial do OHS, que é dado por
1
V (x) = kx2 .
2
(C1)
A Equação de Schrödinger (ES) independente do tempo é escrita como
b
Hψ(x)
= Eψ(x),
(C2)
e o Hamiltoniano do OHS é expresso em termos da energia cinética e potencial
2
b =K
b + Vb = pb + 1 kb
H
x2 ,
2m 2
94
(C3)
onde pb e x
b na mecânica quântica são operadores, grandezas que não comutam e não podem
ser determinadas com total precisão simultaneamente. A relação de comutação especifica,
no caso é:
[x̂, p̂] ≡ x̂p̂ − p̂x̂ = i~,
(C4)
e o operador momento pode ser ainda representado pela equação:
pb = −i~
∂
.
∂x
(C5)
Substituindo na Eq.(C2), as Eqs.(C3) e (C5) obtemos:
−
~2 d2 ψ(x) 1 2
+ kx ψ (x) = Eψ (x) ,
2m dx2
2
(C6)
como a constante k está relacionada pela freqüência do oscilador pela relação
1
ν=
2π
r
k
⇒ k = (2πν)2 m,
m
(C7)
então podemos reescrever a ES como
−
~2 d2 ψ
+ 2π 2 ν 2 mx2 ψ = Eψ,
2m dx2
(C8)
, e agrupando os membros obtemos:
multiplicando todos os termos por −2m
~2
"
¶2 #
µ
2
dψ
2mE
2mπν
+
−
x2 ψ = 0.
2
2
dx
~
~
Introduzindo por conveniência os termos β =
2mE
~2
eα=
2mπν
,
~
(C9)
podemos reescrever a
equação acima como:
¢
d2 ψ ¡
2 2
+
β
−
α
x
ψ = 0.
dx2
95
(C10)
reescrevendo a equação anterior em termos de uma nova variável u adimensional definida
como
u=
√
αx.
(C11)
Temos agora ψ = ψ(u(x)) e suas derivadas parciais:
du dψ √ dψ
dψ
=
= α ,
dx
dx du µ ¶du
d2 ψ
du d dψ
d2 ψ
=
.
=
α
dx2
dx du dx
du2
(C12)
(C13)
Substituindo tais derivadas na Eq.(C10):
α
¢
d2 ψ (u) ¡
2 2
+
β
−
α
u
ψ (u) = 0
du2
(C14)
e dividindo os termos por α obtemos:
d2 ψ (u)
+
du2
µ
¶
β
2
− u ψ (u) = 0.
α
(C15)
O uso da técnica de série de potências é freqüentemente empregada na resolução de
equações diferenciais como a Eq.(C15), no entanto a aplicação direta de tal procedimento
nos levará a uma solução com mais de duas constantes arbitrárias.
No entanto as autofunções, só terão significado físico se obedecer a algumas propriedades tais como, uma função de onda e suas derivadas, deverão ser: finitas, unívocas
e contínuas. Já que a equação diferencial em questão não possui uma solução simples,
portanto iremos resolvê-la por partes, à começar pela procura de uma solução unívoca,
contínua e finita para |u| → ∞, em tal situação a grandeza
β
α
pode ser desprezada quando
comparada a u2 , e então a Eq.(C15) assume o formato:
d2 ψ (u)
− u2 ψ (u) = 0.
du2
96
(C16)
Que possui solução geral do tipo
2 /2
ψ (u) = Ae−u
2 /2
+ Beu
,
(C17)
onde A e B são constantes arbitrárias que podem perfeitamente serem determinadas pelas
condições de contorno do problema em questão.
Entretanto, o segundo membro da solução geral da Eq.(C17) não tende a ser finita
quando |u| → ∞,tornando-se necessário fazer B = 0 para que esta função de onda tenha
alguma lógica física para valores muito grandes de |u|e para estes casos temos
2 /2
ψ (u) = Ae−u
.
(C18)
A solução acima garante significado físico nas situações em que u assume valores altos,
porém para quaisquer valores de u devemos ter uma solução da Eq.(C16) do tipo:
2 /2
ψ (u) = Ae−u
H (u) ,
(C19)
esta seria então uma solução mais completa, contanto que H (u) equilibre o rápido de2 /2
caimento de Ae−u
tornando a função de onda ψ (u) bastante comportada em qualquer
valor de u.
Fazendo a segunda derivada da Eq.(C19), temos:
∙
¸
dψ
−u2 /2
−u2 /2 dH(u)
H(u) + e
= A −ue
,
du
du
∙
¸
d2 ψ
d2 H(u)
−u2 /2
2
−u2 /2 dH(u)
−H(u) + u H(u) − 2ue
,
+
= Aue
du2
du
du2
(C20)
assim:
dH(u)
d2 H(u)
+ (β/α − 1) H(u) = 0.
−
2u
du2
du
97
(C21)
Uma equação deste estilo pode ser resolvida através da técnica de série de potências,
que consiste em admitir que a solução pode ser representada por uma série de potências
na variável independente, ou seja:
ψ(u) =
∞
X
ak uk = a0 + a1 u + a2 u2 + a3 u3 + ...,
(C22)
k=0
com derivadas
∞
X
dψ(u)
kak uk−1 = 1a1 + 2a2 u + 3a3 u2 + ...,
=
du
k=0
∞
X
d2 ψ(u)
=
(k − 1)kak uk−2 = 1 × 2a2 + 2 × 3a3 u + 3 × 4a4 u2 + ....
du2
k=0
(C23)
(C24)
Substituindo as derivadas na Eq.(C21):
¡
¢
1 × 2a2 + 2 × 3a3 u + 3 × 4a4 u2 + 4 × 5a5 u3 + .... −
¢
¡
− 2 × 1a1 u + 2 × 2a2 u2 + 2 × 3a3 u3 + ... +
+(
¡
¢
β
− 1) a0 + a1 u + a2 u2 + a3 u3 + ... = 0.
α
(C25)
(C26)
A equação acima deve ter validade para todos os valores de u e esta condição só será
satisfeita se os coeficientes de cada potência de u se anularem individualmente, de forma
que a validade da equação não dependa do valor da variável u e assim agrupando os
coeficientes que possuem a mesma potência de u, e igualando-os a zero teremos:
u0 : 1 × 2a2 + (β/α − 1) a0 = 0
u1 : 2 × 3a3 + (β/α − 1 − 2.1) a1 = 0
u2 : 3 × 4a4 + (β/α − 1 − 2.2) a2 = 0
u3 : 4 × 5a5 + (β/α − 1 − 2.3) a3 = 0
uk : (k + 1)(k + 2)ak+2 + (β/α − 1 − 2k) ak = 0
98
(C27)
onde obtemos:
ak+2
¢
− 1 − 2k
=−
ak ,
(k + 1) (k + 2)
¡β
α
(C28)
que é relação de recorrência entre as constantes da expanção.
Essa fórmula de recorrência permite que os coeficientes com índice par possam ser
determinados sucessivamente em termos de a0 e os coeficientes com índice ímpar possam
ser determinados em termos de a1 , o que já era esperado, pois a Eq.(C21) é de segunda
ordem, e sua solução geral deve conter duas constantes arbitrárias. Com o auxílio da
fórmulas de recorrência expressa pela Eq.(C28), H(u) pode ser editada na seguinte forma:
µ
¶
a2 2 a4 a2 4 a6 a4 a2 6
H(u) = a0 1 + u +
u +
u + ....
a0
a2 a0
a4 a2 a0
µ
¶
a3 3 a5 a3 5
+a1 u + u +
u + .... .
a1
a3 a1
Para valores arbitrários de
β
α
(C29)
, ambas as séries contam com um número infinito de
termos e isto não nos levará à soluções aceitáveis para a função de onda ψ(u). Sendo
β
α
uma quantidade finita, tentaremos determinar a razão de seus coeficientes para grandes
valores de k. Isto nos leva a seguinte razão
¢
¡β
−
1
−
2k
ak+2
2
∼
=− α
= .
ak
(k + 1) (k + 2)
k
Vamos comparar a razão
ak+2
,
ak
(C30)
dada na igualdade (A28), com uma expansão da série
2
conhecida eu , expressa por
2
eu = 1 + u2 +
1 4 1 6
1
1
¢ uk+2 + ....,
u + u + ... + ¡ k ¢ uk + ¡ k
2!
3!
+
1
!
!
2
2
(C31)
assim para grandes valores de k, a razão entre dois coeficientes genéricos, sucessivos, desta
99
série é
1
( k2 +1)!
¡k¢
¡k¢
!
!
2
¢ = ¡k 2 ¢ ¡k¢ ≈
= ¡k
+1 !
+1 2 !
2
2
2
1
≈ .
k
+1
(C32)
( k2 )!
Como as razões obtidas na Eqs.(C30) e (C32) são idênticas, concluímos portanto que
1
k
2
para grandes valores de k, os termos da série par, expressa pela Eq.(C29), somente diferem
2
dos ter mos correspondente da série conhecida eu , por uma constante multiplicativa A1 , e
eles diferem da série ímpar somente por uma outra constante A2 multiplicada por u. Então
a série H(u) toma a forma
2
2
H(u) = a0 A1 eu + a1 A2 ueu .
(C33)
Com esse resultado, a função ψ(u) expressa pela Eq.(C19), pode ser escrita como
³
´
2
2
ψ(u) = B a0 A1 eu /2 + a1 A2 ueu /2 .
(C34)
Mas esta função diverge quando |u| → ∞, não tendo assim nenhuma importância
física. Porém podemos conseguir autofunções fisicamente coerentes para determinados
valores de
β
.
α
Para anularmos as constantes arbitrárias, a0 ou a1 , devemos, através da
Eq.(C30) fazer:
β
= 2n + 1,
α
(C35)
onde:
n = 1, 3, 5
caso a0 = 0,
(C36)
n = 0, 2, 4
caso a1 = 0,
(C37)
então a Eq.(C21) assume a forma
Hn00 − 2uHn0 + 2nHn = 0.
100
(C38)
A solução da equação acima é chamada de equação diferencial de Hermite, e suas
soluções são conhecidas na literatura com o nome de Polinômios de Hermite Hn (u), dados
por:
n/2
X
(−1)k n!
Hn (u) =
(2u)n−2k ,
k!
(n
−
2k)!
k=0
(C39)
cuja fórmula de recorrência, função geradora e ortogonalidade serão descritas à seguir.
a) Fórmula de recorrência:
H0 (u) = 1
H1 (u) = 2u
H2 (u) = 4u2 − 2
H3 (u) = 8u3 − 12u
Hn+1 (u) = 2uHn (u) − 2nHn−1 (u)
(C40)
b) Função geradora:
2
e2tu−t =
∞
X
Hn (u)tn
n=0
c) Ortogonalidade:
Z
2
n!
e−u Hn (u)Hm (u)du = 0 (m 6= n),
Z
√
2
e−u (Hn (u))2 du = 2n n! π.
(C41)
(C42)
(C43)
Finalmente obtemos a função de onda do OH para qualquer valor de u como sendo
2 /2
ψ (u) = Ae−u
Hn (u) , faltando apenas normalizá-la, com o intuito de encontrarmos o
valor da constante A.
101
Tal condição exige que:
Z
∞
ψ∗n (u)ψn (u)du
2
=A
−∞
Z
∞
2
e−u (Hn (u))2 du = 1.
(C44)
−∞
Utilizando a ortogonalidade dos polinômios de Hermite, Eq.(C43) temos
√
A2 2n n! π = 1,
(C45)
levando-nos a
A=
1
√ 1.
(2n n! π) 2
(C46)
Portanto, a função de onda do oscilador harmônico simples (normalizada) no espaço
das posições é dada por
ψn (u) =
1
− 12 u2
Hn (u),
1 e
√
(2n n! π) 2
(C47)
onde cada n corresponde a um estado específico: n = 0 (estado de vácuo), n = 1 (estado de
um fóton), etc. Já dissemos que o campo eletromagnético foi quantizado fazendo a devida
associação com o Oscilador Harmônico Simples e que o nível de excitação do oscilador
é associado com o número de fótons na cavidade. A função de onda que encontramos,
Eq.(C47) representa a função de onda do estado de número de fotons |ni do campo
eletromagnético. Tanto o vetor estado |ni como a função de onda ψ n (x) representam o
estado de número de fótons, apenas em espaços diferentes (espaço de número de fótons n
e espaço de coordenadas x respectivamente).
Vejamos outra característica de extrema importância que surge no momento em que
¡
¢
fazemos αβ = 2n + 1 . Para que a função de onda representasse alguma característica
física. Tal imposição acaba levando a quantidade
102
β
α
a não poder mais assumir quaisquer
valores, só podendo agora somente assumir determinados valores conforme estabelecido
na equação (C35). Como conseqüência disso teremos:
2E ~
2E
=
= 2n + 1,
~2 2πν
2πν~
(C48)
sabendo que ω = 2πν:
µ
¶
1
E = n+
~ω
2
ou substituindo ~ =
(C49)
n = 0, 1, 2, 3, ...,
h
:
2π
2E
= 2n + 1,
hν
µ
¶
1
n+
hν
En =
2
(C50)
(C51)
n = 0, 1, 2, 3, ....
Além de fornecer auto valores totalmente corretos, a Mecânica Quântica fornece as
auto funções para o Oscilador Harmônico Simples, e conseqüentemente para o estado
de número de fótons. Algumas autofunções ψn (u) equivalentes a alguns dos primeiros
autovalores En estão listados abaixo:
Número Quântico
Auto Funções
0
ψ0 = A0 e
1
ψ1 = A1 ue−
2
3
4
Energia
2
− u2
E0 = 12 hν
u2
2
E1 = 32 hν
2
− u2
ψ2 = A2 (1 − 2u)e
ψ3 = A3 (3u − 2u3 )e−
E2 = 52 hν
u2
2
ψ4 = A4 (3 − 12u + 4u4 )e−
E3 = 72 hν
u2
2
E4 = 92 hν
Relacionando com o estado de número de fótons do campo eletromagnético temos
então quantidades discretas de energia, pois a Eq.(C51) nos indica os possíveis valores
da energia do OHS. Podemos concluir que o espectro do Oscilador Harmônico Simples é
103
discreto, e sua menor energia é igual a 12 hν, quando n = 0, conhecido como energia de
ponto zero do oscilador harmônico.
104
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