1. Para grafos não

Conectividade de grafos
Há alguma divergência entre os autores nas definições relativas a conectividade:
1. Para grafos não dirigidos é fácil: um grafo não dirigido éconexo sse para todo para de vértices u,v,
existir um caminho <u, ..., v>.
2. Para dígrafos:
1. Um grafo dirigido (dígrafo) é fortemente conexo, sse para todo para de vértices u,v, existir um
caminho <u, ..., v>.
2. A versão "não dirigida" de um dígrafo G=<V,E>, é o grafo não dirigido V´=<G, E´> obtido de G
se eliminarmos as direções dos arcos. Isto é, se
(arco dirigido), então
(aresta não-dirigida). Note que uma aresta {u,v} de E´ pode ser originada pela
existência em E de um arco (u,v) ou de um arco (v,u), ou de ambos.
3. Apenas para lembrar: Lembre que frequentemente representamos uma aresta de um grafo não
dirigido também por (u,v), ao invés de {u, v}. O contexto deixa claro de que estamos falando.
4. Um dígrafo é conexo sse sua versão não-dirigida for conexa (ver definição para grafos nãodirigidos).
5. Há uma outra variantes de definições de conectividade, em particular: um dígrafo é unilateralmente
conexo se para todo o par de vértices u,v, existe uma caminho de u para v ou de v para u (ou
ambos).
3. Questões:
1. Relações entre conectividade e ciclos. Responda cada uma das perguntas abaixo e justifique
(apresentando exemplo/contra-exemplo quando for o caso).
1.
2.
3.
4.
Um grafo não dirigido conexo tem que ter ciclos?
Um grafo não dirigido conexo pode ter ciclos?
Um grafo não dirigido que tem ciclos tem que ser conexo?
Se um grafo não dirigido tem n vértices (|V|=n)
1. qual o menor número de arestas necessário (talvez não suficiente) para que ele seja
conexo?
(Isto é, qual o valor m tal que é possível ter um grafo de n vértices conexo com m
arestas, mas com menos de m arestas é impossível ele ser conexo?)
2. Se o grafo tiver este número de arestas ele é necessáriamente conexo? Neste caso,
quantas arestas são necessárias para "garantir" que ele seja conexo?
5. Um dígrafo fortemente conexo tem que ter ciclos?
6. Um dígrafo que tem ciclos tem que ser fortemente conexo?
7. Um dígrafo conexo tem que ter ciclos?
8. Um dígrafo conexo pode ter ciclos?
9. Um dígrafo não conexo pode ter ciclos?
10.
4.
Árvores
1. Um grafo não dirigido conexo e acíclico é as vezes chamado de uma "free tree" ("árvore livre", CLR).
2. Uma árvore como nós a usamos normalmente ("rooted tree") é uma free tree com um, nodo particular
chamadoraiz. Ou seja, uma "rooted tree" é um grafo:
1.
2.
3.
4.
não dirigido
conexo
acíclico
com um nodo particular chamado raiz
3. A partir da definição de árvore com raiz, derivam as definições já vistas anteriormente de nodos, pai, filhos,
descendentes, ancestrais, nodos folha, nodos internos, irmãos, nodos árvore, etc.
1. profundidade de um nodo é sua distância até a raiz.
2. altura da árvore é a maior profundidade de um nodo
3. grau de um nodo é seu número de filhos (note que é diferente da terminologia usual em
grafos, e portante potencialmente confuso)
4. Se quisermos podemos imaginar a árvore com raiz como sendo um grafo dirigido em que os arcos
vão do pai para os filhos (neste caso o grau acima é o outdegree).
5. A palavra árvore sozinha tem seu significado deprendido do contexo.
4. Questões:
1. Quantas arestas tem uma árvore com n nodos?