UTFPR – CURITIBA – PROF. TACLA
SOLUÇÃO PARA EXERCÍCIOS DE LÓGICA
LIVRO (SILVA, FINGER E MELO, 2006)
EX. 1.20. PG. 27
a) A B ≡ (A B) (¬A ¬B)
1.
(A B) (B A) ≡ (A B) (¬A ¬B)
reescrita da bicondicional (lado esquerdo)
2.
(A B) (B A) ≡ (A B) (¬¬A ¬B)
reescrita da implicação (lado direito)
3.
(A B) (B A) ≡ (A B) (A ¬B)
eliminação da dupla-negação (lado direito)
4.
(A B) (B A) ≡ (A B) (¬B A)
comutativa na disjunção (lado direito)
5.
(A B) (B A) ≡ (A B) (B A)
reescrita da implicação (lado direito)
Logo, são equivalentes, pois chegamos a fórmulas iguais no lado esquerdo e direito da equivalência.
x) p (q r) ≡ (p q) (p r)
distributiva da implicação – este exercício não está no livro
Vamos desenvolver somente o lado direito da equivalência
1.
¬(p q) (p r) ≡
reescrita da implicação (da mais geral)
2.
¬(¬p q) (¬p r) ≡
reescrita das duas implicações internas
3.
(p ¬q) (¬p r) ≡
de Morgan
4.
¬p (p ¬q) r ≡
comutativa na disjunção
5.
(¬p p) ( ¬p ¬q) r ≡
distributiva
6.
1 ( ¬p ¬q) r ≡
complementar
7.
(¬p ¬q) r ≡
identidade
8.
¬p ( ¬q r) ≡
associativa
9.
p (q r)
reescrita da implicação;
Chega-se a uma fórmula igual à do lado esquerdo, portanto são equivalentes.
EX. 1.23. PG. 28
Considere a teoria Γ= {p1, p2, p3, p4, p5}
p1 CRI ADU JOV IDO
p2 TRA EST APO
p3 JOV TRA EST
p4 ¬(CRI APO)
p5 ¬(CRI TRA)
Verifique quais fórmulas são consequências lógicas da teoria GAMA; v(p) denota o valor-verdade da
proposição p
a) APO ¬ JOV ADU IDO
⊨ APO ¬ JOV ADU IDO
Γ, APO ¬ JOV ⊨ ADU IDO
Γ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
escrita do argumento a ser aprovado com base na teoria Γ
reescrita do argumento com base no teorema da dedução
APO ¬ JOV
APO
¬JOV
¬CRI ¬APO
¬CRI 0
¬CRI
0 ADU 0 IDO ≡
pelo teorema da dedução em (a) assumimos v(APO ¬JOV) = 1
por simplificação em (1) tem-se v(APO) = 1 e v(¬APO) = 0
por simplificação em (1) tem-se v( ¬JOV) = 1 v(JOV) = 0
por De Morgan em p4
substituindo ¬APO por 0 já que de (2) concluiu-se isto
identidade em 4 ¬CRI 0 v( ¬CRI)=1 v(CRI)=0
substituindo-se os valores verdade de CRI e JOV em p1
ADU IDO
obtém-se a fórmula a ser provada por identidade
Está provado que APO ¬ JOV ADU IDO é consequência lógica da teoria Γ
