a) A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (¬A → ¬B) - DAINF

UTFPR – CURITIBA – PROF. TACLA
SOLUÇÃO PARA EXERCÍCIOS DE LÓGICA
LIVRO (SILVA, FINGER E MELO, 2006)
EX. 1.20. PG. 27
a) A  B ≡ (A  B)  (¬A  ¬B)
1.
(A  B)  (B  A) ≡ (A  B)  (¬A  ¬B)
reescrita da bicondicional (lado esquerdo)
2.
(A  B)  (B  A) ≡ (A  B)  (¬¬A  ¬B)
reescrita da implicação (lado direito)
3.
(A  B)  (B  A) ≡ (A  B)  (A  ¬B)
eliminação da dupla-negação (lado direito)
4.
(A  B)  (B  A) ≡ (A  B)  (¬B  A)
comutativa na disjunção (lado direito)
5.
(A  B)  (B  A) ≡ (A  B)  (B  A)
reescrita da implicação (lado direito)
Logo, são equivalentes, pois chegamos a fórmulas iguais no lado esquerdo e direito da equivalência.
x) p (q r) ≡ (p q) (p r)
distributiva da implicação – este exercício não está no livro
Vamos desenvolver somente o lado direito da equivalência
1.
¬(p  q)  (p  r) ≡
reescrita da implicação (da mais geral)
2.
¬(¬p  q)  (¬p  r) ≡
reescrita das duas implicações internas
3.
(p  ¬q)  (¬p  r) ≡
de Morgan
4.
¬p  (p  ¬q)  r ≡
comutativa na disjunção
5.
(¬p  p)  ( ¬p  ¬q)  r ≡
distributiva
6.
1  ( ¬p  ¬q)  r ≡
complementar
7.
(¬p  ¬q)  r ≡
identidade
8.
¬p  ( ¬q  r) ≡
associativa
9.
p  (q  r)
reescrita da implicação;
Chega-se a uma fórmula igual à do lado esquerdo, portanto são equivalentes.
EX. 1.23. PG. 28
Considere a teoria Γ= {p1, p2, p3, p4, p5}
p1 CRI  ADU  JOV  IDO
p2 TRA  EST  APO
p3 JOV  TRA  EST
p4 ¬(CRI  APO)
p5 ¬(CRI  TRA)
Verifique quais fórmulas são consequências lógicas da teoria GAMA; v(p) denota o valor-verdade da
proposição p
a) APO  ¬ JOV  ADU  IDO
⊨ APO  ¬ JOV  ADU  IDO
Γ, APO  ¬ JOV ⊨ ADU  IDO
Γ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
escrita do argumento a ser aprovado com base na teoria Γ
reescrita do argumento com base no teorema da dedução
APO  ¬ JOV
APO
¬JOV
¬CRI  ¬APO
¬CRI  0
¬CRI
0  ADU  0  IDO ≡
pelo teorema da dedução em (a) assumimos v(APO  ¬JOV) = 1
por simplificação em (1) tem-se v(APO) = 1 e v(¬APO) = 0
por simplificação em (1) tem-se v( ¬JOV) = 1 v(JOV) = 0
por De Morgan em p4
substituindo ¬APO por 0 já que de (2) concluiu-se isto
identidade em 4 ¬CRI  0 v( ¬CRI)=1 v(CRI)=0
substituindo-se os valores verdade de CRI e JOV em p1
ADU  IDO
obtém-se a fórmula a ser provada por identidade
Está provado que APO  ¬ JOV  ADU  IDO é consequência lógica da teoria Γ