Agenda

Faculdade de Engenharia Química (FEQ)
Departamento de Termofluidodinâmica (DTF)
Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III
Capítulo II – Equações Diferenciais para a Transferência
de Massa
Professora: Katia Tannous
Monitor: Rafael Firmani Perna
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
1
Agenda
1. Equações Diferenciais para a Transferência de Massa
2. Formas Especiais da Equação Diferencial para a T.M.
3. Condições Limites Comumente Encontradas
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
2
1.Equações Diferenciais para T.M.
Considerando o volume de controle (∆x∆y∆z) através do qual uma
mistura, incluindo o componente A, está escoando.
y
NA
NA
y + ∆y
x
NA
z
∆y
NA
NA
z + ∆z
∆x
z
NA
x + ∆x
∆z
Exemplo: Cubo dentro de uma
xícara de café, através do qual o
açúcar encontra-se difundindo.
x
y
Fig. 1: Volume de Controle Diferencial
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
3
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
A expressão do volume de controle para a conservação da massa fica :
rr
∂
ρ
.(
v
.
n
).
dA
+
∫∫
∂t
SC
Taxa líquida de massa
através do V.C.
∫∫∫ ρ.dA = 0
VC
Taxa de acúmulo de
massa dentro do V.C.
Considerando a conservação de uma dada espécie A, a relação acima deve
incluir um termo considerando a produção ou o desaparecimento de A
pela REAÇÃO QUÍMICA dentro do volume de controle.
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4
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Relação geral para o balanço de massa da espécie A para o novo
V.C. pode ser dado por:
Taxa líquida do
comp. A através
do V.C.
+
Taxa de acúmulo
de A dentro do
V.C.
-
Taxa de produção
química de A
dentro do V.C.
= 0
(1)
Discussão sobre seus significados:
A taxa líquida mássica através do V.C. pode ser avaliada considerando:
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
5
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
A massa de A transferida através da superfície de controle (área)
∆y∆z em relação a x é dada por:
ρ Av A, x ∆y∆z
ou em termos do vetor fluxo,
r
r
n A = ρ A v A , esta será :
n A , x ∆ y∆ z
2º sem. de 2011
x
Katia Tannous e Rafael F. Perna
x
6
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
A taxa líquida mássica do componente A será:
Direção x
n A, x ∆y∆z
Direção y
n A , y ∆x∆z
y + ∆y
− n A , y ∆x∆z
Direção z
n A ,z ∆x∆y
z + ∆z
− n A ,z ∆x∆y
2º sem. de 2011
x + ∆x
− n A, x ∆y∆z
x
y
z
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Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
A taxa de acúmulo de A no volume de controle é dado por:
∂ρ A
∆x∆y∆z
∂t
Se A é produzido dentro do volume de controle por uma reação
química para uma taxa rA, a taxa de produção de A é:
massa de A / (volume x tempo)
rA ∆x∆y∆z
Atenção !!!
Esse termo de produção é análogo ao termo de geração de energia, que
aparece na equação diferencial da transferência de calor (cap. 16)!!!!
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8
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Substituindo cada termo na equação (1), tem-se:
n A ,x ∆y∆z
x + ∆x
− n A ,x ∆y∆z x + n A , y ∆x∆z
y + ∆y − n A , y ∆x∆z y +
(2)
∂ρ
n A ,z ∆x∆y z + ∆z −n A ,z ∆x∆y z + A ∆x∆y∆z − rA ∆x∆y∆z = 0
∂t
∂t
Dividindo pelo volume ∆x∆y∆z e cancelando termos, tem-se:
n A, x
x + ∆x
− n A, x
∆x
2º sem. de 2011
x
+
n A, y
y + ∆y
− n A, y
∆y
y
+
n A, z
z + ∆z
− n A, z
z
∆z
+
∂ρ A
− rA = 0
∂t
(3)
Katia Tannous e Rafael F. Perna
9
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Levando a eq. (3) ao limite para ∆x, ∆y e ∆z tender a zero, tem-se:
∂
∂
∂
∂ρ
n A, x + n A, y + n A, z + A − rA = 0
∂x
∂y
∂z
∂t
(4)
Equação da continuidade para o componente A !!!
Desde que nA,x, nA,y e nA,z sejam componentes regulares do vetor fluxo
r
mássico, n A , a equação (4) pode ser escrita :
r
∂ρ
∇ ⋅ n A + A − rA = 0
∂t
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(5)
10
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Uma equação similar da continuidade pode ser desenvolvida para um
desejado componente B da mesma forma. As equações diferenciais são:
∂
∂
∂
∂ρ
nB , x + nB , y + nB , z + B − rB = 0
∂x
∂y
∂z
∂t
(6)
e
r ∂ρ B
∇ ⋅ nB +
− rB = 0
∂t
2º sem. de 2011
(7)
Taxa para o qual B será
produzido dentro do V.C.
pela reação química
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11
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Somando as equações (5) e (7), tem-se:
r r
∂( ρ A + ρ B )
∇ ⋅ ( n A + nB ) +
− ( rA + rB ) = 0
∂t
(8)
Para uma mistura de A e B, tem-se:
Fluxo mássico
r r
r
r
r
n A + n B = ρ A v A + ρ B v B = ρv
(8.1)
Densidade mássica total
ρ A + ρB = ρ
(8.2)
Taxa de reação
rA = −rB
(8.3)
( reação estequiométrica)
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Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Substituindo as equações (8.1), (8.2) e (8.3) na equação (8), tem-se:
Equação da continuidade
para misturas, sendo idêntica
a equação da continuidade
para fluido homogêneo
r ∂ρ
∇ ⋅ ρv +
=0
∂t
∂t
(9)
A equação (9) pode ser escrita em termos da derivada substantiva.
Rearranjando-a, tem-se :
r
Dρ
+ ρ∇ ⋅ v = 0
Dt
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Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Através dos arranjos matemáticos similares, a equação da continuidade
para a espécie A, em termos da derivada substantiva, pode ser obtida
da seguinte forma:
wA =
ρA
ρ
j A = − ρDAB
dwA
dz
r
DwA
ρ
+ ∇ ⋅ j A − rA = 0
Dt
(10)
n A = ρ Av A
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14
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Pode-se seguir o mesmo desenvolvimento em termos de unidades molares.
Se RA representa a taxa de produção molar de A e RB representa a taxa
da produção molar de B, ambas por unidade de volume, as equações
na unidade equivalente-molar são :
Componente A
Componente B
de (5)
r
∂c
∇ ⋅ N A + A − RA = 0
∂t
(11)
de (7)
r
∂c
∇ ⋅ N B + B − RB = 0
∂t
(12)
Mistura
2º sem. de 2011
r
r
∂
∇ ⋅ ( N A + N B ) + ( c A + cB ) − ( RA + RB ) = 0
∂t
(13)
Katia Tannous e Rafael F. Perna
15
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
→
Mistura binária
→
→
→
→
N A + N B = c A v A + cB vB = c V
sabendo que:
c A + cB = c
Portanto, quando a estequiometria da reação é:
considera-se que uma molécula de B é produzida
para cada mol de A consumido, sendo:
A
B
RA = -RB
Em geral, a equação da continuidade para a mistura em unidades
molares fica:
→
∇ ⋅ cV +
2º sem. de 2011
∂c
− ( R A + RB ) = 0
∂t
Katia Tannous e Rafael F. Perna
(14)
16
2.Formas Especiais para a Equação
Diferencial da T.M.
No uso das equações na avaliação dos perfis de concentração,
concentração deve-se
substituir os fluxos, mássico e molar (nA e NA), por expressões apropriadas e
desenvolvidas no Cap. 1. Tais expressões são:
→
→
→
→
N A = −cDAB ∇ y A + y A ( N A + N B )
(1.21)
→
ou equivalente:
→
→
N A = cDAB ∇ y A + c A V
→
→
→
→
n A = − ρDAB ∇ wA + wA (n A + nB )
E,
(1.22)
→
ou equivalente
→
→
n A = − ρDAB ∇ wA + ρ A v
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Katia Tannous e Rafael F. Perna
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Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Substituindo a eq. (1.21) na eq. (11), tem-se a equação (15):
→
∇⋅ N A+
∂c A
− RA = 0
∂t
(11)
→
→
→
→
− ∇⋅ cDAB ∇ y A + ∇⋅ c A V +
∂c A
− RA = 0
∂t
(15)
E Substituindo a eq. (1.22) na eq. (5), obtém-se a equação (16), onde:
r ∂ρ
∇ ⋅ n A + A − rA = 0
∂t
(5)
→
→
→
− ∇⋅ ρDAB ∇ wA + ∇ ⋅ ρ A v +
∂ρ A
− rA = 0
∂t
(16)
Eqs. (15) e (16) descrevem, também, os perfis de concentração dentro de um
sistema de difusão – aplicáveis com hipóteses restritas
2º sem. de 2011
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18
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
As formas importantes da equação da continuidade, com suas hipóteses,
incluem 4 considerações, relatadas à seguir :
(i) Se a densidade, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são constantes, a
equação (16) torna-se:
0 (escoamento viscoso e incompressível)
r2
r → → r
∂ρ
− D AB ∇ ρ A + ρ A∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ A + A − rA = 0
∂t
Dividindo cada termo pela massa molecular de A e rearranjando, tem-se:
r2
r r
∂c A
v ⋅∇ cA +
= D AB ∇ c A + R A
∂t
2º sem. de 2011
(17)
Katia Tannous e Rafael F. Perna
19
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
(ii) Se o termo de produção, RA = 0, e se a densidade e o coeficiente de
difusão são assumidos constantes, a equação (17) reduz-se a:
r2
r r
∂c A
v ⋅ ∇c A +
= D AB ∇ c A
∂t
(18)
derivada substantiva de CA
Analogia à equação da T.C.:
Reescrevendo o lado esquerdo
da equação (18), tem-se:
r2
Dc A
= DAB ∇ c A
Dt
(19)
DT
k r2
=
∇T
Dt ρC p
ou
r
DT
= α∇ 2T
Dt
(α - difusividade térmica)
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
20
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
(iii) Na situação na qual não há movimento do fluido, v = 0, não há o termo
de produção (RA = 0) e nenhuma variação na difusividade ou densidade.
A equação (18) reduz-se para:
Analogia à eq. da T.C. (cond. de calor):
r2
∂c A
= D AB ∇ c A
∂t
r2
∂T
= α∇ T
∂t
(20)
2ª Lei de Fick da Difusão
2º sem. de 2011
2ª Lei de Fourier
Katia Tannous e Rafael F. Perna
21
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
(iv) As equações (17), (18) e (20) podem ser simplificadas quando o
processo está em estado estacionário, ou seja, ∂c A ∂t = 0
Para uma densidade e coeficiente de difusão constantes, tem-se:
r
v ⋅ ∇ c A = D AB ∇ 2 c A + R A
→ →
(21)
Além disso, considerando sem produção química, ou seja, RA = 0:
r2
v ⋅ ∇ c A = D AB ∇ c A
→ →
Se v = 0, a equação reduz-se para:
2º sem. de 2011
r
∇ 2c A = 0
Katia Tannous e Rafael F. Perna
(22)
Equação de Laplace
(23)
em termos de
concentração molar
22
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Formas simplificadas da Equação da Difusão da Massa – Resumo
Equação de Conservação
da espécie A
Hipótese
ρ ou c = constante;
DAB = constante
ρ ou c = constante;
DAB = constante
RA = 0
ρ ou c = constante;
DAB = constante;
RA = 0
v =0 (s/ movimento)
ρ ou c = constante;
DAB = constante;
RA = 0
v =0 e dcA/dt=0
2º sem. de 2011
2
→ →
v ⋅ ∇ cA +
→
∂c A
= D AB ∇ c A + R A
∂t
2
→ →
→
∂c
v ⋅ ∇ c A + A = D AB ∇ c A
∂t
Usada para
Soluções líquidas diluídas com
pressão
e
temperatura
constantes; regime transiente
Gases de baixa densidade
com pressão e temperatura
constantes; regime transiente
r
∂c A
= D AB ∇ 2 c A
∂t
Sólidos; líquidos estacionários;
difusão equimolar de gases
contra-corrente; regime
transiente
r
∇ 2c A = 0
Qualquer um dos meios acima
quando o regime for
permanente
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23
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Cada uma das equações de (15) a (23) foram escritas na forma vetorial, que
são aplicadas à sistemas de coordenadas ortogonais.
Operador laplaciano deve ser escrito, ∇ 2,na forma apropriada ao sistema de
coordenada aplicável.
Veja a seguir as diferentes formas
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
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Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Coordenadas cilíndricas
z
Coordenadas esféricas
z
(x,y,z) ou
(r,θ,z)
(x,y,z) ou
(r,θ,φ)
θ
z
z
θ
x
r
y
x
x
y
x = r cosθ
y = r senθ
z=z
r = + x2 + y 2
θ = arctan y/x
φ
y
x = r senθ cos φ
y = r senθ senφ
z = r cos θ
z=z
2º sem. de 2011
r
y
x
r = + x2 + y 2 + z 2
θ = arctan  x 2 + y 2 /z 


z = arctan y/x
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Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Equação geral para a T.M. ou Equação da continuidade do componente A
Coordenadas retangulares
∂c A  ∂N A ,x ∂N A , y ∂N A ,z 
+
+
+
 = RA
∂t  ∂x
∂y
∂z 
(27)
Coordenadas cilíndricas
∂c A  1 ∂
1 ∂N A ,θ ∂N A ,z 
+
( rN A ,r ) +
= RA
+
∂t  r ∂r
r ∂θ
∂z 
(28)
Coordenadas esféricas
∂c A  1 ∂ 2
1
1 ∂N A ,φ
∂
( r N A ,r ) +
( N A ,θ senθ ) +
+ 2
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
∂t  r ∂r
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna

 = RA

(29)
26
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Equação da continuidade do componente A para ρ e D constantes
Coordenadas retangulares
 ∂ 2c A ∂ 2c A ∂ 2c A 
∂c A  ∂c A
∂c A
∂c A 
 = D AB  2 +
+ RA
+
+  vx
+ vy
+ vy
2
2 
∂t 
∂x
∂y
∂z 
x
y
z
∂
∂
∂


(24)
Coordenadas cilíndricas
 1 ∂  ∂c A  1 ∂ 2 c A ∂ 2c A 
∂c A  ∂c A vθ ∂c A
∂c A 
+  vr
+
+ vz
+ 2  + RA
 = DAB 
r
+ 2
2
∂t  ∂r
∂z 
r ∂θ
∂z 
 r ∂r  ∂r  r ∂θ
(25)
Coordenadas esféricas
∂c A
∂t
 1 ∂  ∂c 
 ∂c
∂c 
∂ 2c A 
1 ∂c A
1 ∂c A 
1
1
∂ 
 = DAB  2  r 2 A  + 2
+  vr A + vθ
+ vφ
 senθ A  + 2 2
 + RA
∂θ  r sen θ ∂φ 2 
rsenθ ∂φ 
r ∂θ
 ∂r
 r ∂r  ∂r  r senθ ∂θ 
(26)
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
27
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2ª Lei de Fick da Difusão
Coordenadas retangulares
 ∂ 2c A ∂ 2c A ∂ 2c A 
∂c A
+ 2 
= DAB  2 +
2
∂t
∂z 
∂
∂
x
y

(27)
Coordenadas cilíndricas
 ∂ 2 c A 1 ∂c A 1 ∂ 2 c A ∂ 2 c A 
∂c A
= DAB  2 +
+ 2
+ 2 
2
r
r
∂t
∂
∂
r
r
∂
θ
∂z 

(28)
Coordenadas esféricas
 1 ∂  2 ∂c A 
∂c 
∂ 2c A 
∂c A
1
1
∂ 
= D AB  2
 senθ A  + 2 2
+ 2
r

∂θ  r sen θ ∂φ 2 
∂r  r senθ ∂θ 
∂t
 r ∂r 
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
(29)
28
3. Condições Limites Comumente Encontradas
O processo de T.M. pode ser descrito resolvendo uma das equações
diferenciais, usando as condições limites ou iniciais apropriadas ou
ambas para determinação das constantes de integração.
Condições limites e iniciais usadas na T.M. são similares as da T.C..
A condição inicial em processos de T.M. diz respeito a concentração da
espécie, expressa em unidades de concentração mássica ou molar. A
espécie
concentração pode ser simplesmente uma constante,
constante
• p/ t = 0 → cA = cAo (unidade molar)
• p/ t = 0 → ρA = ρAo (unidade mássica)
ou mais complexa se a distribuição da concentração é função da variável
espaço no início da medida de tempo.
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
29
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
Por outro lado, pode-se citar algumas condições limites típicas, tais como:
I – A especificação da concentração sobre uma superfície
Pode ser expressa em termos da:
a) Concentração mássica ρA = ρAs
b) Concentração molar CA = CAs
c) Fração mássica wA = wAs
d) Fração molar xA = xAs (líquidos ou sólidos) ou yA = yAs (gases)
Para sistema gasoso a concentração pode ser dada em termos da pressão
parcial (Lei de Dalton) : pA = pAs = yAs P
Para difusão de fase líquida dentro de fase gasosa a condição limite é definida
para solução líquida ideal (Lei de Raoult) : pAs = xA PA, onde PA é a pressão de vapor.
vapor
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30
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
II – A especificação do fluxo sobre uma superfície
Por exemplo, JA = JAs ou NA = NAs. Os casos de interesse na engenharia são:
a) Fluxo de massa especificado
J As = − DAB
∂ρ A
∂z
(30)
z =0
b) Superfície impermeável. Por exemplo: barreira de vapor
J As = 0
2º sem. de 2011
∂ρ A
∂z
(31)
=0
z =0
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31
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
c) Fluxo de massa para fluido circundante
Se a equação da difusão de massa for escrita para um sólido através
do qual ocorre difusão, a massa pode ser perdida da superfície do corpo
para o fluido circundante de acordo com a relação:
N As = k c ( c As − c A∝ )
(**)
(32)
onde kc = coeficiente de transferência de massa convectivo
cAs = concentração mássica na superfície
cA∞ = concentração mássica na corrente do fluido
** Análoga a Lei de Newton do resfriamento
2º sem. de 2011
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32
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
III – A especificação da velocidade de reação química
A espécie A pode aparecer (ou desaparecer) numa superfície de
acordo com a reação química de primeira ordem:
N As = k1c As
onde k1 é a constante da taxa da reação de 1º ordem
Quando a espécie difundida desaparece no limite de uma reação
instantânea, a concentração dessa espécie é normalmente assumido
ser a zero.
2º sem. de 2011
Katia Tannous e Rafael F. Perna
33