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ratura dessa substância em 1o C. A energia Q necessária para alterar a temperatura de uma massa m de uma
Dois corpos estão em equilíbrio térmico um com o outro substância em ∆T é
se não trocarem energia enquanto em contacto térmico.
Q = mC∆T
A lei zero da termodinâmica diz que, se dois corpos
A e B estiverem separadamente em equilíbrio com um onde C é o calor específico da substância.
terceiro corpo C, então A e B estão em equilíbrio um com
A energia necessária para mudar a fase de uma substâno outro.
cia de massa m é
Q = ±mL
Temperatura é a propriedade que determina se um
corpo está em equilíbrio térmico com outros corpos. Dois onde L é o calor latente da substância e depende da naobjectos estão em equilíbrio térmico um com o outro se tureza da mudança de fase e das propriedades da subsse encontrarem à mesma temperatura.
tância. O sinal positivo é usado caso a energia entre no
sistema, o negativo é usado caso o deixe.
A unidade SI de temperatura absoluta é o kelvin, que é
definda como sendo a fracção 1/273.16 da temperatura O trabalho realizado num gás à medida que o seu vodo ponto triplo da água.
lume passa do valor inicial Vi para o volume final Vf é
Z Vf
Quando a temperatura de um corpo sofre uma alteração
W
=
−
P dV
∆T , o seu comprimento sofre uma alteração ∆L que é
TEMPERATURA
Vi
proporcional a ∆T e ao seu comprimento inicial Li :
onde P é a pressão, que pode variar durante o processo.
Para determinal W , o processo tem de ser completamente especificado – isto é, P e V têm de ser conhecionde a constante α é o coeficiente médio de expansão dos em todos os passos. Por outras palavras, o trabalho
linear. O coefiente médio de expansão de volume β realizado depende do caminho tomado entre os estados
para um sólido é aproximadamente igual a 3α.
iniciais e finais.
∆L = αLi ∆T
Para um gás ideal, a quantidade P V /nT é constante. A primeira lei da termodinâmica diz que, quando um
Um gás ideal é descrito pela equação de estado:
sistema sofre uma variavção de um estado para outro, a
variação da energia interna é dada por
P V = nRT = N kB T
∆U = Q + W
onde n é o número de moles do gás, V é o seu volume,
R é a constante universal dos gases (8.314 J/mol · K) onde Q é a energia transferida para o sistema através de
e T é a temperatura absoluta. Um gás real comporta- calor e W é o trabalho realizado no sistema. Apesar de
se aproximadamente como um gás ideal se tiver baixa que Q e W dependem ambos do caminho tomado entres
os estdos inicial e final, a quantidade ∆U é independente
densidade.
do caminho.
CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Num processo cíclico (um que parte e termina no
Energia interna é toda a energia do sistema associada mesmo estado), ∆U = 0 e, portanto, Q = −W . Isto
com as componentes microscópicas do mesmo. Energia é, a energia transferida para o sistema por meio de cainterna inclui energia cinética da translação, rotação e vi- lor é igual ao simétrico do trabalho realizado no sistema
bração aleatórias das moléculas, energia potencial das durante o processo.
moléculas e energia potencial entre as moléculas.
Num processo adiabático, não é transferida energia enCalor é a transferência de energia através da fronteiro tre o sistema e a sua vizinhança (Q = 0). Consequende um sistema como resultado duma diferença de tem- tente, a primeira lei dá-nos que ∆U = W . Isto é, a
peratura entre o sistema e a sua vizinhança. Usamos o energia inteira varia como consequência do trabalho reasímbolo Q para designar a quantidade de energia trans- lizado no sistema. Numa Expansão adiabática livre de
ferida por este processo.
um gás, Q = 0 e W = 0, pelo que ∆U = 0.
A caloria é a quantidade de energia necessária para au- Os processos isobáricos são aqueles que ocorrem a
mentar a temperatura de 1 g de água de 14.5o C para pressão constante. O trabalho realizado num gás num
15.5o C. O equivalente mecânico do calor é 1 cal = processo deste tipo é dado por W = −P (Vf − Vi ).
4.186 J.
Os processos isovolumétrico são aqueles que ocorrem
A capacidade térmica CT de uma substância é a quan- a volume constante. Nenhum trabalho é realizado em tais
tidade de energia necessária para aumentar a tempe- processos, pelo que ∆U = Q.
1
Os processos isotérmicos são aqueles que ocorrem A energia interna de N moléculas (ou n mol) de um gás
a temperatura constante. Para um gás ideal, P V = ideal monoatómico é
constante e o trabalho realizado é dado por
3
3
U = N kB T = nRT
2
2
Vi
W = nRT ln
Vf
A variação de energia interna para n mol de qualquer gás
A energia pode ser transferida por trabalho e por con- ideal que sofra uma variação de temperatura ∆T é
dução, convexão e radiação. Condução pode ser vista
como uma troca de energia cinética entre moléculas e
electrões que colidem. A taxa de transferência de energia por condução, com fluxo de calor unidimensional segundo x, é
dT
P = −kAx
dx
onde k é a condutividade térmica do material, Ax é a
área da secção e dT /dx é o gradiente de temperatura.
Esta equação pode ser usada em muitas situações nas
quais a taxa de transferência de energia através de energia é importante. Num estado de equilíbrio, o gradiente
de temperatura é o mesmo ao longo do bloco e é dado
por
dT Th − Tc
=
dx L
Q = ∆U = ncV ∆T
Q = ncP ∆T
onde cV e cP são o calor molar específico a volume e a
pressão constante, respectivamete.
O calor molar específico de um gás ideal monoatómico
a volume constante é cV = 23 R; o calor molar específico
a pressão constante é cP = 52 R. A razão dos calores
específicos é dada por γ = cP /cV = 53 .
Se um gás ideal sofrer uma expansão ou compressão
adiabática, a primeira lei da termodinâmica, junto com a
equação de estado, mostram que
P V γ = constante
Na convexão, uma substância quente transfere energia A lei de distribuição de Boltzmann descreve a distribuição de partículas pelos vários estados de energia acesde um local para outro.
síveis. O número relativo de partículas com energia entre
Todos os objectos emitem radiação sob a forma de on- E e E + dE é nV (E)dE, onde
das electromagnéticas à taxa
nV (E) = n0 e−E/kB T
P = σAeT 4
Pnet = σAe T 4 − T04
A distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann
Um objecto mais quente que a sua vizinhança erradia descreve a distribuição da variável aleatória a que corresmais energia do que absorve, enquanto um objecto mais ponde a velocidade das moléculas num gás. A função de
frio que a sua vizinhança absorve mais energia do que densidade de probabilidade é dada por:
erradia.
2
m
v 2 e−mv /2kB T
fv = 4π
2πk
T
B
TEORIA CINÉTICA DOS GASES
A pressão de N moléculas de um gás ideal contido num Para amostras muito grandes, temos para o valor eficaz,
a média e a velocidade mais provável:
volume V é
r
r
2N 1
p
P =
mv 2
3k
T
kB T
B
3V 2
vrms = v 2 =
= 1.73
m
m
r
r
8kB T
kB T
A energia cinética translacional por molécula de gás,
v=
= 1.60
1
2 , está relacionada com a temperatura T do gás de
mv
πm
m
2
r
r
acordo com a expressão
2kB T
kB T
vmp =
= 1.41
1
3
πm
m
mv 2 = kB T
2
2
Isto é, estes são os valores esperados para as estatíticas
onde kB é a constante de Boltzmann. Cada grau de liberdade translacional (x, y ou z) tem 21 kB T de energia
associada.
em questão.
MÁQUINAS TÉRMICAS, ENTROPIA E A SEGUNDA
LEI DA TERMODINÂMICA
O teorema da equipartição de energia afirma que a
energia de um sistema em equilíbrio térmico está uni- Uma máquina térmica é um dispositivo que retira energia
formemente distribuída por todos os graus de liberdade. sob a forma de calor e, através de um processo cíclico,
2
• A entropia do Universo aumenta em todos os processos reais.
expele uma fracção dessa energia pelo meio de trabalho. O trabalho total realizado por uma máquina térmica
durante um processo cíclico (∆U = 0) é
A variação da entropia dS de um sistema durante um
processo entre dois estados de equilíbrio infinitesimalonde |Qh | é a energia tirada da fonte quente e |Qc | é a mente separados é
energia expelida para a fonte fria.
dQr
A eficiência térmica e de uma máquina térmica é
dS =
T
|Qc |
Weng
=1−
e=
onde dQr é a transferência de energia sob a forma de ca|Qh |
|Qh |
lor para um processo reversível que liga os estados final
e inicial. A mudança de entropia de um sistema durante
O COP de uma bomba de calor e de um refrigerador são
um processo arbitrário entre um estado inicial e um esdados, respectivamente, por
tado final é
Z f
|Qh |
dQr
COPhp =
∆S
=
W
T
i
|Qc |
COPref =
W
O valor de ∆S para o sistema é o mesmo para todos os
Weng = |Qh | − |Qc |
caminhos que liguem os estados inicial e final. A variaA segunda lei da termodinâmica pode ser enunciada ção de entropia para um sistema que sofra um processo
das duas seguintes formas:
reversível e cíclico é nula e quando tal processo ocorre,
a entropia do Universo permanece constante.
• É impossível construir uma máquina térmica que,
operando ciclicamente, não produza outro efeito que De um ponto de vista microscópico, a entropia de uma
não receber energia sob a forma de calor duma fonte dado macroestado é definida como
e realizar um trabalho igual (Kelvin-Planck).
S ≡ kB lnW
• É impossível construir uma máquina cíclica cujo
único efeito seja transferir energia continuamente, onde kB é a constante de Boltzmann e W é o número de
sob a forma de calor, de um corpo para outro a uma microestados do sistema que correspondem ao macrotemperatura superior sem que receba energia sob a estado.
forma de trabalho (Clausius).
INTRODUÇÃO À FÍSICA QUÂNTICA
Num processo reversível, o sistema pode tornar às suas
condições iniciais através do mesmo caminho num dia- As características da radiação do corpo negro não
grama P V e cada ponto ao longo dessa caminho é um podem ser explicadas através de conveitos clássicos.
estado de equilíbrio. Um processo que não satisfaça este Planck introduziu o conceito de quantum e a constante
requisito é irreversível. O teorema de Carnot afirma de Planck quando assimiu que osciladores atómicos que
que nenhuma máquina térmica real pode operar (irrever- existindo apenas em estados de energia discretos eram
sivelmente) entre as temperaturas Tc e Th pode ser mais responsáveis por esta radiação. No modelo de Planck,
eficiente que uma máquina a operar reversivelmente num a radiação é emitida em pacotes quantizados quando
o oscilador faz uma transição entre estados discretos
ciclo de Carnot entre as mesmas duas temperaturas.
de energia. Einstein extendeu a hipótese de Planck às
Dado que para um ciclo de Carnot |Qh |/|Qc | = Th /Tc , ondas estacionárias da radiação electromagnética numa
a eficiência térmica de uma máquina térmica a operar cavidade usada no modelo da radiação do corpo negro.
neste ciclo é
Tc
O efeito fotoeléctrico é um processo em que os eleceC = 1 −
trões são ejectados de uma superfície metálica quando
Th
luz incide sobre essa superfície. No modelo de Einstein,
A segunda lei da termodinâmica afirma que, quando um a luz é vista como uma corrente de partículas, ou fotões,
processo real (irreversível) ocorre, o grau de desordem cada um com energia E = hf , onde f é a frequência e h
no sistema mais o da vizinhança aumenta. Quando um é a constante de Planck. A energia cinética máxima dos
processo ocorre num sistema isolado, o estado do sis- fotoelectrões ejectados é
tema torna-se mais desordenado. A medida da desordem num sistema é chamada entropia S. Desta forma,
Kmax = hf − φ
uma outra maneira de enunciar a segunda lei da termodinâmica é
onde φ é a função de trabalho do metal.
3
Os raios-x são dispersos em vários ângulos por electrões
num alvo. O efeito Compton é um desvio no comprimnento de onda observado nos raios-x dispersos. A física
clásica não prevê o comportamento correcto neste efeito.
Se o raio-x for tratado como um fotão, a conservação
de energia e momento linear aplica às colisões electrãofotão dá-nos o desvio:
MECÂNICA QUÂNTICA
Combinado um grande número de ondas, uma única região de interferência construtiva, denominada pacote de
onda, pode ser criada. O pacote de onda tem a característica da localização como uma partícula, mas tem propriedades de onda porque é feito de ondas. Para uma
onda individual no pacote, a velocidade de fase é
onde A é o valor máximo de ψ. A partícula tem um
comprimento de bem definido λ com valores tais que
L = nλ/2. Os estados permitidos de uma partícula numa
caixa tem valores de energia quantizados dados por
2 h
En =
n2 n = 1, 2, 3, ...
8mL2
Em mecânica quântica, uma partícula num sistema pode
ser representada pela função de onda ψ(x, y, z). A probabilidade por unidade de volume (ou densidade de probabilidade) de que uma partícula seja encontrada num
ponto é |ψ|2 = ψ ∗ ψ, onde ψ ∗ é o conjugado complexo de
ψ. Se a partícula estiver restricta a mover-se ao longo
h
do eixo x, a probabilidade de que esteja num intervalo dx
(1 − cos θ)
λ0 − λ0 =
me c
é |ψ|2 dx. Para mais, a soma destas probabilidades em
onde me é a massa do electrão. c é a velocidade da todos os valores de x tem de ser 1:
Z ∞
luz e θ é o ângulo de dispersão. Os comprimentos de
|ψ|2 dx = 1
onda relacionam-se com a energia cinética segundo a
−∞
expressão:
hc hc
Esta é chamada a condição de normalização.
− 0 =K
λ
λ
O valor esperado é dado por:
A luz tem uma natureza dual – tem características quer
Z ∞
Z ∞
de onda, quer de partícula. Alguns dados experimentais
E(x) ≡
x|ψ|2 dx =
ψ ∗ xψ dx
podem ser explicados somente, ou melhor pelo modelo
−∞
−∞
da partícula, outros somente, ou melhor, pelo modo da
onda.
Se uma partícula de mass m for restricta a mover-se
numa caixa unidimensional de comprimento L cujas paTodos os corpos de massa m e momento p = mv tem
redes são impenetráveis, requeremos que ψ seja nulo
proprieddes de onda, com um comprimento de onda
nas paredes e fora da caixa. As funções de onda para
de de Broglie dado por:
este sistema são dadas por
h
h
nπx λ= =
n = 1, 2, 3, ...
ψ(x) = A sin
p
mv
L
vphase =
ω
k
A função de onda para um sistema tem de satisfazer a
equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger
para uma partícula confinada a mover-se ao longo do
eixo dos x é
~2 d 2 ψ
−
+ U ψ = Eψ
2m dx2
onde E é a energia total do sistema e U é a energia potencial.
Para o pacote de onda como um todo, a velocidade
grupo é
dω
vg =
dk
Para um pacote de onda que representa uma partícula,
pode mostrar-se que a velocidade de grupo é igual à da
partícula.
O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que se
é feita uma medição da posição com incerteza ∆x e uma
medição simultânea de momento linear é feita com incerteza ∆px , o produto das duas incertezas está restricto
a
~
∆x∆px ≥
2
Outra forma do princípio da incerteza relaciona medições
de energia e tempo:
A abordagem da mecânica quântica é resolver esta última equação para ψ e E, dada a energia potencial U (x)
para o sistema. Ao fazê-lo, temos de colocar as seguintes restrições a ψ(x):
1. ψ(x) tem de ser contínua
2. limx→±∞ ψ(x) = 0
3.
~
∆E∆t ≥
2
4
dψ
dx
tem de ser contínua para todos os valores finitos
de U (x)