Propagação do Calor

Termodinâmica
Propagação do Calor
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Introdução
Quando um sistema se encontra isolado, podemos especificar seu estado a partir das grandezas
físicas que o caracterizam, por exemplo, a energia. Nesse contexto, não faz sentido caracterizar um
sistema físico atribuindo o valor do “seu calor”.
O comentário acima chama a atenção para o fato de que o calor é uma forma de energia associada
à interação de um sistema físico com outro. Essencialmente, o calor é energia em trânsito. Um sistema
recebe uma quantidade de calor, enquanto o outro, em interação com o primeiro, cede calor.
Qualquer sistema pode ser pensado como sendo composto por um conjunto de seus subsistemas,
ou partes. Assim, podemos falar da energia dos subsistemas e de trocas de calor entre eles. Trata-se
do processo durante o qual, ao aquecermos uma parte de um sistema, a interação entre essas partes
(ou subsistemas) leva a trocas de calor. Esse processo é chamado transferência de calor, uma vez
que o resultado dessas trocas é um compartilhamento da energia do sistema, de forma que, no final
do processo, o sistema como um todo atingirá uma nova situação de equilíbrio. Tal situação será
caracterizada pelo fato de todo o sistema atingir a mesma temperatura.
A condição de equilíbrio para subsistemas em interação leva à definição de temperatura do
sistema como um todo. De acordo com essa definição, depois de atingido o equilíbrio, os dois
sistemas estarão na mesma temperatura. Portanto, se aquecermos uma parte de um corpo,
decorrido um intervalo de tempo, denominado tempo de relaxação, o corpo todo estará na
mesma temperatura.
Sistemas fora do equilíbrio
Ao tratarmos de transferência de calor, estamos abordando um fenômeno que ocorre quando o
sistema está fora do equilíbrio. Não se enquadra, portanto, nas situações estudadas na Termodinâmica. Ainda assim, ele é de especial interesse no estudo de fenômenos de transporte, de maneira
geral, e no estudo da aproximação do estado de equilíbrio.
Sistemas fora do equilíbrio são de grande interesse, na medida em que essa parece ser a condição
mais comum no Universo, como um todo, assim como é o caso das suas partes.
Por exemplo, as estrelas têm temperaturas no seu interior de dezenas de milhões de graus
Kelvin, enquanto na superfície sua temperatura é de alguns milhares de graus. Uma estrela é um
1
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sistema fora do equilíbrio e que se mantém assim por milhões e milhões de anos. Por meio de
diversos mecanismos, o calor é transferido do seu centro para a superfície, onde ocorre a irradiação
do calor, uma perda de energia para um sistema ainda maior, que é o próprio Universo.
O fato é que existem sistemas que convivem com situações fora do equilíbrio. O calor flui continuamente de uma parte para outra, mas nem sempre o sistema termaliza.
Transferência de calor
Transferência de calor é o processo mediante o qual o calor é transferido de uma parte para
outra do mesmo sistema, ou para outros sistemas. Isso ocorre sempre que um objeto, ou parte
dele, tem uma temperatura diferente dos demais ou do meio que o rodeia. A transferência de calor
ocorre sempre no sentido do mais quente para o mais frio.
Quando um objeto não está todo na mesma temperatura, podemos falar em uma distribuição
da temperatura, caracterizada pela função do ponto:
T = T(x, y, z)
( 1 )
Denominamos superfície isotérmica a região do espaço tal que os pontos nela situados tenham
a mesma temperatura, T0. Ela corresponde aos pontos do espaço, satisfazendo à condição:
T0 = T(x, y, z)
( 2 )
No caso de aquecimento de uma placa a partir do centro, as isotermas são circunferências
concêntricas.
Uma distribuição não uniforme de temperatura implica na existência de gradientes de
temperatura, de modo que o calor fluirá ao longo das direções para as quais a variação é máxima.
A maneira formal de especificar tais gradientes é por meio do conceito de derivadas, conjugado
com o uso de vetores.
Figura 1
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3
Por exemplo, se a variação da temperatura ocorrer ao longo da coordenada x, o calor fluirá ao
longo desse eixo. A taxa de variação será dada pela derivada da função T(x) com respeito a x. Nesse
caso simples, podemos escrever
gradiente =
dT ( x )
dx
( 3 )
No caso tridimensional, em que temos três possíveis taxas de variação puntuais, definimos o
gradiente de temperatura como o vetor

∂T  ∂T  ∂T 
gradiente = ∇T =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
( 4 )
Figura 2
Fluxo de calor
Quando existirem gradientes de temperatura, o calor fluirá ao longo das linhas perpendiculares
às isotermas. Este fluir, por outro lado, é caracterizado por um fluxo de calor.
Existem três aspectos a serem considerados quando abordamos o transporte do calor.
Em primeiro lugar, esse transporte se faz através de uma superfície. Em segundo lugar, ele flui a
uma determinada taxa, ou seja, é importante saber nesse contexto quanto calor passa por uma
determinada superfície por unidade de tempo. Finalmente, deve-se considerar que esse fluxo de
calor tem uma direção.
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Pensando na necessidade de especificarmos o fluxo de calor levando em conta os três
aspectos acima, introduzimos uma grandeza física, de caráter vetorial, denominada fluxo de calor,

representada pela letra FQ . É ela que fornece tanto a direção em que o calor flui (a direção desse
vetor) quanto a quantidade de calor por unidade de tempo (dQ/dt) que flui através de uma superfície
é dada pela soma, ou integral:
dQ
=
FQ idS
∫∫
dt
A
( 5 )
Mecanismos de transporte de calor
Existem quatro formas principais de transferência de calor: a condução, a radiação, a convecção
e a transferência de massa.
A despeito da distinção que usualmente fazemos sobre tais mecanismos, é importante observar
que, no nível mais fundamental possível, o nível subatômico, o calor se propaga por meio das
interações eletromagnéticas. No caso da radiação, isto é evidente; no entanto, nos demais casos,
isso é um pouco mais sutil.
Quando um objeto tem uma das suas partes mais quente do que outras, os átomos estão em
níveis mais excitados do que aqueles mais frios no seu entorno. Como consequência, a parte mais
aquecida tende a emitir mais do que a parte mais fria, que, por sua vez, tende a absorver a radiação
emitida, elevando assim sua energia, ou seja, sua temperatura.
Em todos os casos, trata-se da emissão de fótons com muita intensidade pelas partes mais
quentes e de sua absorção pelas partes mais frias. Isso ocorre até que, eventualmente, se atinja o
equilíbrio. Sob esse aspecto, podemos dizer que o calor é energia eletromagnética em trânsito, pois
trata-se de energia transferida entre as partes por meio da troca de fótons.
De certa forma, todos os mecanismos envolvem, de uma forma ou outra, considerações sobre
as interações eletromagnéticas.
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Convecção
É o tipo de transporte de calor em que o meio, aqui admitido como sendo um fluido, se coloca em
movimento. A convecção requer, portanto, a utilização de conceitos derivados da Hidrodinâmica
para seu estudo.
Os ventos provenientes do polo sul ocasionam quedas de temperatura nas regiões temperadas.
Estamos aqui falando de grandes massas de ar em constante movimento alterando a temperatura
do planeta.
Ao se movimentar, os átomos do fluido têm condições de fornecer calor diretamente aos átomos
mais longínquos, sem qualquer tipo de intermediação.
Convection is usually the dominant form of heat transfer in liquids and gases. Although often
discussed as a third method of heat transfer, convection actually describes the combined effects of
conduction and fluid flow.
Para a convecção, aplica-se o princípio geral, conhecido como lei de Newton do resfriamento,
que estabelece que a taxa com que um corpo perde calor é proporcional à diferença de temperatura do
corpo e aquela do meio no seu entorno.
A convecção pode ser forçada, isto é, muitas vezes forçamos o fluido, seja misturando-o, bombeando-o ou por meio de ventiladores. Temos assim a produção artificial de correntes de convecção.
A convecção do calor pode levar com frequência a um movimento circular do líquido. Um
bom exemplo é o comportamento do ar ou da água. A água aquecida é menos densa e tende a
subir, enquanto a mais fria na superfície tende a descer. Como resultado, forma-se um padrão de
circulação cujo efeito é a água girar em círculos.
Figura 3
Figura 4
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6
Transporte de Massa
É um mecanismo análogo ao anterior, mas relativo ao movimento de partes sólidas. Para exemplificarmos esse mecanismo, basta recorrer aos Icebergs ou a uma pedra de gelo em um líquido.
Condução
Trata-se do processo segundo o qual o calor se propaga sem que haja movimento do meio
físico como um todo. Os átomos mais quentes (aqueles de maior energia) emitem mais fótons
energéticos do que são capazes de absorver. Já os vizinhos mais próximos absorvem mais do que
emitem. Esse processo prossegue até que todos estejam nas mesmas condições energéticas.
É como se cada átomo aquecesse o átomo vizinho que, por sua vez, aquece o seguinte, atingindo
assim todos os pontos do meio. Os átomos intermediam o processo de termalização do meio material.
De forma simplificada, descrevemos esse mecanismo como aumento da agitação térmica de
cada átomo, influenciando seu vizinho e assim por diante. O aumento da vibração de um átomo
influencia o mais próximo. Na realidade, essa é uma imagem clássica. No nível mais fundamental,
podemos descrever o processo como o da Figura 000.
É o mecanismo mais eficiente de transporte em um sólido, uma vez que suas partes são mais rígidas.
A equação fundamental descrevendo a condução do calor é a lei de Fourier:


FQ = − κ∇T
( 6 )
Em que κ é a condutividade térmica do material, definida de forma simplificada no capitulo
(000). O sinal negativo assegura que o fluxo de calor se dará da região mais quente para a mais fria.
A condução nos gases pode ser entendida à luz da Teoria Cinética. Em particular, o coeficiente
de condutividade térmica pode ser entendido a partir das colisões entre as moléculas. Sendo n a
densidade molecular (número de moléculas por unidade de volume), considerando a velocidade
média das moléculas, designada por v , e o livre caminho médio λ das moléculas (distância percorrida
entre duas colisões sucessivas), então a condutividade térmica é dada por:
1
κ = nv λcV
3
( 7 )
Figura 5
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Em que cV é o calor específico a volume constante do gás.
No caso dos líquidos, o efeito das colisões desempenha um papel importante. A cada colisão,
moléculas mais energéticas transferem energia para aquelas dotadas de menor energia. Portanto,
o efeito colisional é dominante nos fluidos.
No caso dos sólidos, no entanto, os átomos estão em posições relativamente fixas. Nos sólidos
não-metálicos, eles estão ligados uns aos outros por meio de arranjos que guardam uma semelhança com molas interligadas como, por exemplo, aquelas de alguns colchões. Tais arranjos são
denominados redes. Não ocorrem colisões entre átomos ou moléculas nesse caso. Na porção mais
quente, os átomos oscilarão, ou vibrarão, em torno da posição de equilíbrio com uma intensidade
maior (caracterizada não só por deslocamentos maiores, como também por velocidades maiores)
do que na porção mais fria do material. Dizemos que a rede do material sólido vibra com maior
intensidade na sua parte mais quente. Assim, vibração da rede como um todo é o principal mecanismo de transferência de calor nesses materiais.
Nos sólidos metálicos, a situação é um pouco diferente: podemos falar de uma rede cristalina,
em que os elétrons não estão presos aos átomos de uma forma muito rígida, formando uma
nuvem eletrônica onde os elétrons podem se mover quase livremente. Nesse sentido, nos metais
os elétrons podem se mover e transferir calor. Consequentemente, nesse caso, devemos levar em
conta dois mecanismos de transferência do calor: a vibração da rede e colisões de elétrons.
Figura 6
7
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8
Condutividade Térmica
Ao aquecermos a extremidade de uma placa, perceberemos que, depois de um intervalo de
tempo, toda ela estará aquecida. Esse é apenas um exemplo corriqueiro de propagação do calor.
Ou seja, conquanto apenas uma parte esteja aquecida, todo o resto tende a se aquecer junto.
Condução do calor é uma propriedade térmica dos materiais.
Existem vários mecanismos de transferência de calor. A condução térmica é uma forma de
propagação do calor mediante a transferência da agitação térmica de um átomo ou molécula
para outros, baseada na transferência da agitação térmica para os vizinhos mais próximos. Nesse
processo de transferência de energia, não existe uma movimentação do material como um todo,
uma vez que essa transferência de energia de movimento ocorre como resultado das inevitáveis
colisões entre os constituintes do material. A cada colisão, o móvel de maior velocidade transfere
parte dessa velocidade (ou seja, da sua energia) para o vizinho mais próximo.
Para que ocorra transferência do calor de uma parte do material para outra, é preciso haver
diferenças de temperatura no meio material, ou seja, gradientes da temperatura. Seja ΔT/Δx tal
gradiente, que estabelece a variação de temperatura por unidade de distância. Admitimos que as
partes do material nas quais a temperatura tenha variado de uma quantidade ΔT se estendam
por uma região de espessura Δx. Ao quociente entre essas grandezas denominamos gradiente
da temperatura.
Outro conceito relevante em relação à transferência de calor diz respeito ao fluxo de calor. Para
introduzi-lo, consideremos uma quantidade de calor, ΔQ, transferida de uma parte a outra do
material. Admitindo-se que essa transferência tenha se dado na interface entre essas duas partes,
cuja área seja A, e num intervalo de tempo Δt, pode-se definir o calor trocado por unidade de tempo
pela relação:
∆Q
∆t
( 8 )
O fluxo de calor é definido como a quantidade acima, dividida pela área da interface entre as
duas partes subjacentes. Temos assim que o fluxo de calor F dá a quantidade de calor transferido
por unidade de tempo e por unidade de área:
F=
1 ∆Q
A ∆t
( 9 )
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A condutividade térmica κ é uma propriedade do material relativa à sua capacidade de conduzir
o calor. Ela é definida a partir da relação entre o fluxo de calor e o gradiente de temperatura:
F =κ
∆T
∆x
( 10 )
Definimos a resistividade térmica como o inverso da condutividade térmica.
Figura 7
A condutividade térmica é uma grandeza relevante quando analisamos o processo de perda de
calor através das paredes de um recipiente. Como tal recipiente pode ser uma casa, tal propriedade
dos materiais desempenham um papel importante nas questões envolvendo conservação de
energia. Uma consulta a tabelas da condutividade dos materiais será essencial na definição dos
materiais das paredes e forros. Quanto menor a condutividade, tanto menor serão as trocas de
calor com o meio externo.
Os gases, por poderem transferir calor apenas por processos de colisões entre as moléculas,
tendem a ter uma condutividade térmica pequena quando comparada aos sólidos. Metais, por
outro lado, são excelentes condutores de calor.
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Tabela 1: Thermal Conductivity of Common Materials (at 25° C)
Material
Conductivity (Watts/meter-°C)
Acrylic
0.200
Air
0.024
Aluminum
250.000
Copper
401.000
Carbon Steel
54.000
Concrete
1.050
Glass
1.050
Gold
310.000
Nickel
91.000
Paper
0.050
PTFE (Teflon)
0.250
PVC
0.190
Silver
429.000
Steel
46.000
Water
0.580
Wood
0.130
Radiação
Os objetos emitem e absorvem radiação eletromagnética. Podemos classificá-los de acordo com
propriedades denominadas poderes emissivo e de absorção. O poder emissivo (ou poder emissor)
é definido como a taxa com que um corpo emite radiação por unidade de tempo. O poder de
absorção se refere à fração da energia radiante com que ele absorve a radiação. Um corpo negro
é aquele que absorve toda a radiação incidente; já a radiação emitida por esse corpo é conhecida
como radiação de corpo negro.
Pode-se pensar em um corpo aquecido a uma temperatura T, adotando-se uma imagem clássica,
como um corpo no qual os átomos estão em agitação térmica. Como o movimento não é uniforme
todo o tempo, os átomos ou seus constituintes sofrerão acelerações como resultado das colisões.
Objetos dotados de carga elétrica, como os elétrons que compõem um material, emitem radiação
eletromagnética quando acelerados.
Figura 8: A red-hot iron rod from which heat
transfer to the surrounding environment will be
primarily through radiation.
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Assim, um corpo aquecido a uma temperatura T emite radiação eletromagnética cujo comportamento é bastante similar ao de um corpo negro. O entendimento pleno desse fenômeno deu
origem à Teoria Quântica.
Qualquer corpo mantido a uma dada temperatura perde calor por meio da radiação eletromagnética emitida por ele. Esse é o processo mais comum de resfriamento dos objetos, pois ao emitir
radiação eletromagnética para o espaço, um corpo se resfria. Esse mecanismo é conhecido como
radiação. Já que as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo, o calor é transferido de um
corpo para o outro sem a necessidade de existir um contato físico entre eles.
Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo, assim, energia é transportada pelo espaço.
É exatamente esse mecanismo que permite o transporte do calor emanado do Sol para o
nosso mundo.
Um corpo aquecido emite radiação em todas as frequências. No entanto, quando se analisa o
comportamento da intensidade da radiação, nota-se que ela varia consideravelmente com a frequência.
Apresentamos a seguir (Figura 000) o gráfico da intensidade como função da frequência da
radiação emitida por um corpo negro.
Figura 9
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Aspectos da Radiação Emitida
Há muito se sabe que a radiação emitida por um corpo depende fortemente da sua frequência,
de modo que nunca ocorre de a intensidade da radiação ser a mesma para todas as frequências.
A teoria de Planck prevê acertadamente que a intensidade da radiação emitida por um corpo negro
é dada por:
I (ν) =
2ν 2
c2
hν
e
hν
kT
( 11 )
−1
Em que as constantes k e h são, respectivamente, as constantes de Boltzmann e de Planck, cujos
valores serão adotados como dados por:
k = 1, 3810−23 J / 0 K
h = 6, 610−34 J .S
( 12 )
Um máximo da intensidade da radiação ocorre para uma frequência designada por vm, que
maximiza a distribuição espectral:
dI ( ν )
=0
d ν ν =ν
( 13 )
m
De (000), segue que o valor dessa frequência satisfaz a identidade
hν m
e kT =
hν m / kT
3 − hν m / kT
( 14 )
Cuja solução pode ser encontrada numericamente. O resultado é aquele deduzido por Wien e
conhecido como lei do deslocamento de Wien,
k
ν m = 2, 821  ⋅ T
h
( 15 )
Ou seja, a frequência associada ao máximo de energia emitida cresce linearmente com a
temperatura.
Termodinâmica » Propagação do Calor
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A Intensidade total da radiação emitida é função apenas da temperatura, uma vez que, de acordo
com (000), ela é dada pela soma da densidade espectral de todos os valores das frequências. De fato,
utilizando a fórmula de Planck (000), depois de uma mudança simples de variável, obtemos que
∞
I (T ) ≡ ∫ I (ν)d ν =
0
3
∞ x dx
2
4
(
kT
)
∫0 e x − 1
c 2 h3
( 16 )
Esta é a forma prevista por Stefan-Boltzmann. Enquanto que a intensidade da radiação, de
acordo com (000), é dada por
I (T ) =
σc 4
T
4π
( 17 )
No contexto da Teoria de Planck, a constante σ é dada por:
σ=
8π5 k 4
5c3 h3
( 18 )
O valor de σ, para os valores conhecidos de k, h e c, é dado por
σ = 7, 6210−22
joule 1
cm3 (0 k ) 4
( 19 )
Conclui-se que a teoria de Planck explica o comportamento da radiação do corpo negro de uma
forma completa.
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Condução x Convecção x Radiação
Sabe-se que radiação é um fenômeno que ocorre sempre, mas é importante entender que diferentes
processos podem ocorrer na transferência do calor. Assim, muitas vezes devemos considerar mais de
um mecanismo; no caso dos metais, em princípio, todos eles. Na maioria dos casos, no entanto, um
desses mecanismos desempenha um papel mais importante do que os demais.
Figura 10
Consideremos a condução e a convecção de um fluido. Consideremos uma situação bem simples
do cotidiano, por exemplo, ao aquecermos a água em uma panela. Em casos como esse, em que
o calor é produzido (ou seja, introduzido) na parte mais baixa do recipiente, ele atingirá todas as
partes, em particular sua superfície. Certamente haverá transferência de calor, por radiação, para
a atmosfera. Deixando de lado a radiação, percebemos que os dois mecanismos, o de convecção
e o de difusão, parecem competir entre si. De fato, se a condução de calor for muito grande, o
movimento do fluido no sentido descendente, devido à convecção, será aquecido tão rapidamente
por condução que esse movimento cessa como resultado do empuxo (partes do fluido ficam
menos densas). O fluido que se move na ascendente será continuamente resfriado tão rápido que
o empuxo se tornará mais reduzido. Condução alta leva, nesse caso, à baixa convecção.
Se, por outro lado, a condução de calor for fraca, então se formará um grande gradiente de
temperatura e a convecção será o mecanismo dominante nessas circunstâncias.
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Bons estudos!
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques e Valdir Bindilatti.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Mônica Gama.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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