halliday-rol-torque-momento-angular

Halliday & Resnick
Fundamentos de Física
Mecânica
Volume 1
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Capítulo 11
Rolagem, Torque e Momento
Angular
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11-1 Rolagem como uma Combinação de
Translação e Rotação
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Objetivos do Aprendizado
11.01 Saber que uma rotação
pode ser considerada uma
combinação de translação
pura e rotação pura.
11.02 Conhecer a relação
entre a velocidade do centro
de massa e a velocidade
angular de um objeto que
está rolando.
Figura 11-2
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11-1 Rolagem como uma Combinação de
Translação e Rotação
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

Vamos considerar apenas objetos que rolam sem escorregar
O centro de massa do objeto se move em uma linha reta
paralela à superfície

O objeto gira em torno do centro de massa enquanto se move

O movimento de rotação é definido por
Eq. (11-1)
Eq. (11-2)
Figura 11-3
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11-1 Rolagem como uma Combinação de
Translação e Rotação
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Figura 11-4

A figura mostra o modo como as velocidades de translação e
rotação se combinam em diferentes pontos da roda
Respostas: (a) igual (b) menor
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11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
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11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
Objetivos do Aprendizado
11.03 Calcular a energia cinética
de um objeto rolante como a
soma da energia cinética de
translação do centro de massa
com a energia cinética de
rotação em torno do centro de
massa.
11.04 Conhecer a relação entre
o trabalho realizado sobre um
objeto rolante e a energia
cinética do objeto.
11.05 Usar a lei de
conservação da energia
mecânica para relacionar a
energia inicial de um objeto
rolante à energia em um
instante posterior.
11.06 Desenhar o diagrama de
corpo livre de um objeto
rolante que está se movendo
em uma superfície horizontal
ou em um plano inclinado sob
a ação de uma ou mais
forças.
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11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem
11.07 Conhecer a relação
entre a aceleração do
centro de massa e a
aceleração angular de um
objeto rolante.
11.08 No caso de um
objeto rolante que está
subindo ou descendo um
plano inclinado, conhecer a
relação entre a aceleração
do objeto, o momento de
inércia do objeto e o ângulo
do plano inclinado.
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11-2 As Forças e a Energia Cinética da Rolagem

Combinando as energias cinéticas de translação e rotação,
obtemos:
Eq. (11-5)


Se a roda acelera, a velocidade angular aumenta
A força de atrito estático
impede que a roda escorregue
• Nesse caso,
Eq. (11-6)
Figura 11-7
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11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem

No caso em que um objeto rola para baixo sem
escorregar em um plano inclinado,
1. A força gravitacional aponta verticalmente para baixo
2. A força normal é perpendicular ao plano inclinado
3. A força de atrito é paralela ao plano inclinado e aponta para cima
Figura 11-8
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11-2 As Forças e a Energia Cinética de Rolagem

A aceleração do objeto é dada por
Eq. (11-10)


Note que é o atrito que faz o objeto rolar
Na ausência de atrito, o objeto desceria o plano inclinado sem rolar, apenas
escorregando
Resposta: A altura máxima atingida pelo disco B é menor que h. No caso do disco A,
toda a energia cinética é convertida em energia potencial. No caso do disco B, como
ele continua a girar quando chega à altura máxima, apenas a energia cinética de
translação é transformada em energia potencial e, portanto, a altura atingida é
menor.
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11-3 O Ioiô
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11-3 O Ioiô
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Objetivos do Aprendizado
11.09 Desenhar um diagrama
de corpo livre de um ioiô em
movimento.
11.10 Saber que ioiô é um
objeto que rola para cima e
para baixo em uma rampa
com uma inclinação de 90°.
11.11 Conhecer a relação
entre a aceleração e o
momento de inércia de um
ioiô.
11.12 Calcular a tração da
corda que sustenta um ioiô
em movimento.
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11-3 O Ioiô


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Quando o ioiô desce, ele perde
uma energia potencial mgh, que é
transformada em energia cinética
de rotação e translação
Para calcular a aceleração linear
de um ioiô, basta considerar que o
ioiô:
1. Sobe ou desce uma “rampa” com um
ângulo de 90°
2. Gira em torno de um eixo
3. É freado pela tração T da corda
Figura 11-9
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11-3 O Ioiô

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De acordo com a Eq. 11-10, temos:
Eq. (11-13)
Exemplo Calcule a aceleração com as seguintes
características:
o
o
M = 150 g, R0 = 3 mm, ICM = Mr2/2 = 3105 kg · m2
Temos: aCM = 9,8 m/s2/[1 + 3105/(0,15  0,0032)]
= 0,4 m/s2
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11-4 Revisão do Torque
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11-4 Revisão do Torque
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Objetivos do Aprendizado
11.13 Saber que o torque é
uma grandeza vetorial.
11.14 Saber que o ponto em
relação ao qual o torque é
calculado deve ser
especificado.
11.15 Determinar o torque
produzido por uma força
sobre uma partícula
calculando o produto vetorial
do vetor posição da partícula
pelo vetor que representa a
força.
11.16 Usar a regra da mão
direita para determinar a
orientação de um torque.
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11-4 Revisão do Torque




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Anteriormente, o torque foi definido apenas para um corpo em
rotação em torno de um eixo fixo
Agora vamos definir o torque de uma partícula em relação a um
ponto fixo
A trajetória da partícula não precisa ser uma circunferência; o
torque agora é um vetor
A orientação do torque é determinada pela regra da mão direita
Figura 11-10
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11-4 Revisão do Torque

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A equação geral do torque é
Eq. (11-14)

e o módulo do torque é
Eq. (11-15)

Usando a componente perpendicular da força ou o
braço de alavanca de F, também podemos escrever
Eq. (11-16)
Eq. (11-17)
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11-4 Revisão do Torque
Respostas: (a) +z ou -z (b) +y (c) +x
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11-4 Revisão do Torque
Exemplo Cálculo do torque total
Figura 11-11
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11-5 Momento Angular
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11-5 Momento Angular
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Objetivos do Aprendizado
11.17 Saber que o momento
angular é uma grandeza
vetorial.
11.18 Saber que deve ser
especificado o ponto fixo em
relação ao qual o momento
angular é calculado.
11.19 Determinar o momento
angular de uma partícula
calculando o produto vetorial
do vetor posição da partícula
pelo vetor que representa o
momento.
11.20 Usar a regra da mão
direita para determinar a
orientação de um momento
angular.
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11-5 Momento Angular


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O momento angular é o
equivalente angular do
momento linear
Temos:
Eq. (11-18)


Note que a partícula não
precisa girar em torno do
ponto O para ter um momento
angular em relação a O
A unidade de momento
angular é o kg·m2/s ou J·s
Figura 11-12
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11-5 Momento Angular


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Para determinar a orientação do momento angular,
use a regra da mão direita
Para determinar o módulo do momento angular, use a
equação do módulo do produto vetorial:
Eq. (11-19)

que também pode ser escrito nas formas
Eq. (11-20)
Eq. (11-21)
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11-5 Momento Angular


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O momento angular tem significado apenas em relação a um
ponto dado
O momento angular é perpendicular ao plano formado pelos
vetores posição e momento
Resposta: (a) 1 e 3 empatadas, 2 e 4 empatadas, 5 (b) 2 e 3 (supondo que o
sentido anti-horário é positivo)
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
Objetivo do Aprendizado
11.21 Usar a segunda lei de Newton para rotações para
relacionar o torque que age sobre uma partícula à variação do
momento angular da partícula.
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações

Podemos escrever a segunda lei de Newton na forma
Eq. (11-23)


O torque e o momento angular devem ser definidos
em relação ao mesmo ponto (quase sempre a
origem)
Note a semelhança com a forma linear:
Eq. (11-22)
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11-6 A Segunda Lei de Newton para Rotações
Resposta: (a) F3, F1, F2 e F4 empatados (b) F3 (supondo que o sentido antihorário é positivo)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Objetivos do Aprendizado
11.22 Usar a segunda lei de
Newton para rotações para
relacionar o torque que age
sobre um sistema de
partículas à variação do
momento angular do
sistema.
11.23 Conhecer a relação
entre o momento angular de
um corpo rígido em relação a
um eixo fixo, o momento de
inércia do corpo e a
velocidade angular do corpo
em torno do eixo.
11.24 Calcular o momento
angular resultante de um
sistema de dois corpos
rígidos que giram em torno
do mesmo eixo.
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido

Para determinar o momento angular resultante de um sistema
de partículas, basta somar os momentos angulares das
partículas do sistema:
Eq. (11-26)

A taxa de variação do momento angular resultante é dada por
Eq. (11-28)

O torque resultante é definido por essa variação:
Eq. (11-29)
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido



Note que o torque e o momento angular devem ser
medidos em relação ao mesmo ponto
Se o centro de massa está acelerando, o ponto de
referência deve ser o centro de massa
Podemos calcular o momento angular de um corpo
sólido usando um somatório:
Eq. (11-30)

O último somatório é o momento de inércia I do corpo
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido

Assim, temos:
Eq. (11-31)
Figura 11-15
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11-7 Momento Angular de um Corpo Rígido
Respostas: (a) Todos empatados, já que o torque é o mesmo nos três casos
(b) esfera, disco, anel
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11-8 Conservação do Momento Angular
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11-8 Conservação do Momento Angular
Objetivo do Aprendizado
11.25 Se nenhuma força resultante age sobre um sistema ao
longo de um eixo, aplicar a esse eixo a lei de conservação do
momento angular para relacionar o momento angular inicial do
sistema ao momento angular em um instante posterior.
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11-8 Conservação do Momento Angular

Como temos uma nova versão da segunda lei de
Newton, também temos uma nova lei de
conservação:
Eq. (11-32)

De acordo com a lei de conservação do momento
angular, em um sistema isolado,
(momento angular inicial) = (momento angular final)
Eq. (11-33)
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11-8 Conservação do Momento Angular
 Como essas são equações vetoriais, equivalem a três
equações escalares
 Isso significa que podemos separar as componentes e
escrever:
 Se a distribuição de massa muda sem que haja um torque
externo, temos:
Eq. (11-34)
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11-8 Conservação do Momento Angular
Exemplo Conservação do momento angular

Um aluno girando sentado em um banco: a velocidade de
rotação aumenta quando o aluno fecha os braços e aumenta
quando o aluno abre os braços

Salto de trampolim: a velocidade de rotação do mergulhador
aumenta na posição carpada e diminui na posição esticada

Salto em distância: o momento angular causado pelo torque
no início do salto pode ser transferido para o movimento dos
braços, evitando assim que o corpo da atleta gire no ar.
Figura 11-18
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11-8 Conservação do Momento Angular
Respostas: (a) diminui
(b) permanece o mesmo (c) aumenta
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11-9 Precessão de um Giroscópio
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11-9 Precessão de um Giroscópio
Objetivos do Aprendizado
11.26 Saber que a ação da
força gravitacional sobre um
giroscópio em rotação faz
com que o vetor momento
angular (e o próprio
giroscópio) gire em torno do
eixo vertical, um movimento
conhecido como precessão.
11.27 Calcular a taxa de
precessão de um giroscópio.
11.28 Saber que a taxa de
precessão de um giroscópio
não depende da massa do
giroscópio.
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11-9 Precessão de um Giroscópio



Um giroscópio parado, como o da
Fig. 11-22 (a), não se sustenta
Um giroscópio em movimento, como
o da Fig. 11-22 (b), gira em torno de
um eixo vertical
Esse movimento é chamado de
precessão
Figura 11-22
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11-9 Precessão de um Giroscópio

O módulo do momento angular de um giroscópio em
movimento é constante e dado por
Eq. (11-43)

O torque da força gravitacional produz uma variação
incremental
em um intervalo de tempo dt:
Eq. (11-44)

Como o módulo do momento angular é constante,
dado pela Eq. 11-43, o torque pode mudar apenas a
orientação de . De acordo com a Eq. 11-44, a única
maneira de a orientação de mudar sem que o
módulo de mude é o eixo do giroscópio girar em
torno do eixo do suporte
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11-9 Precessão de um Giroscópio

A taxa de precessão é dada por
Eq. (11-46)



A Eq. 11-46 é válida apenas se o giroscópio estiver
girando rapidamente
A taxa de precessão não depende da massa (porque I
é proporcional a M), mas depende de g
A Eq. 11-46 é válida, mesmo que o eixo do giroscópio
não esteja na horizontal (é o caso de um pião, por
exemplo)
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11
Resumo
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Resumo
Corpos Rolantes
O Torque como um Vetor
Eq. (11-2)
Eq. (11-5)

Orientação dada pela regra
da mão direita
Eq. (11-14)
Eq. (11-6)
Momento Angular de uma
Partícula
Eq. (11-18)
A Segunda Lei de Newton
para Rotações
Eq. (11-23)
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Resumo
Momento Angular de um
Sistema de Partículas
Momento Angular de um
Corpo Rígido
Eq. (11-31)
Eq. (11-26)
Eq. (11-29)
Conservação do Momento
Angular
Eq. (11-32)
Eq. (11-33)
Precessão de um
Giroscópio
Eq. (11-46)