DISCIPLINA DE LGEBRA LINEAR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE
CAMPUS AVANÇADO DE NATAL
CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR: MARCELO SILVA
1. Introdução
No ensino fundamental você estudou métodos que permitem resolver o seguinte
problema: A soma das idades de duas pessoas é igual a 60 anos. Sabendo-se que a
idade da mais velha é igual ao triplo da idade da mais nova, calcule as idades dessas
pessoas.
Solução
Chame de x a idade da pessoa mais velha e de y a idade da pessoa mais nova. Pelos
dados do problema devemos escrever duas equações, a saber:
x + y = 60
x = 3y
O conjunto de equações acima é o que chamamos de sistema de equações lineares e
duas variáveis x e y.
Neste caso, estamos interessados em determinar os valores de x e y que satisfazem
simultaneamente as duas equações do sistema dado. Isso significa resolvê-lo. Para
isso, lembre-se que existem três métodos:
Método da adição;
Método da substituição;
Método da comparação.
Nesse problema, em particular, é melhor usar o método da substituição, pois o valor
de x na segunda equação do sistema já está pronto para ser substituído na primeira
equação. Assim, substituindo x = 3y na primeira equação x + y = 60, obteremos:
3y + y = 60 => 4y = 60 => y = 15 e x = 3·15. Logo, a pessoa mais velha tem 45 anos
e a mais nova tem 15 anos.
Diz-se que o par ordenado (45,15) é uma solução do sistema apresentado. Note que
(45,15) é um elemento do plano ¡ 2 .
2. Equação Linear
2.1 Definição: É toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b. Onde,
a1, ..., an são os coeficientes; x1, ..., xn são as variáveis; b é o termo independente.
2.2 Exemplos
Exemplo 1:
Exemplo 2:
Exemplo 3:
x + 3y = 7
x – 2y – 3z + w = 7
4x – 2y = 1
Observações:
1) Quando b = 0, a equação linear é dita homogênea.
2) Cada termo da equação tem uma única variável cujo expoente é sempre 1. Ou
seja, não há termos da forma xy, x², etc. Não há, também, variáveis como
argumentos de funções trigonométricas, por exemplo.
3) A solução de uma equação linear com n variáveis é uma seqüência de n números
reais ou ênupla (s1, s2,..., sn).
4) Uma solução evidente de uma equação linear homogênea é a solução trivial (0,
0,..., 0).
2.3 Conjunto-Solução
É obtido atribuindo-se um valor arbitrário (parâmetro) a uma das variáveis e
explicitando-se a outra em função da primeira.
3. Sistema Linear
3.1 Definição: É um conjunto de m equações lineares com n variáveis, ou seja, é um
conjunto finito de equações lineares. Apresenta-se do seguinte modo:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
3.2 Exemplos
Exemplo 1:
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Exemplo 2 :
2x + y = 5
6x + 3y = 15
Observação: se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, o
sistema linear será dito homogêneo.
3.3 Classificação de um sistema linear de acordo com o número de soluções
Um sistema que não possui solução é chamado incompatível; se existir pelo menos
uma solução do sistema, dizemos que ele é compatível. Quando o sistema possui
uma única solução ele é dito compatível determinado; se existir mais de uma solução
(infinitas, na verdade) ele é dito compatível indeterminado.
3.4 Matriz Aumentada de um sistema linear
É a matriz formada pelos coeficientes e pelos termos independentes das equações
lineares do sistema.
O método básico de resolver um sistema linear é substituir o sistema dado por
um novo sistema que tem o mesmo conjunto-solução (sistema equivalente), mas
que é mais simples de resolver. Esse novo sistema é obtido numa sucessão de passos
aplicando as chamadas operações elementares visando eliminar sistematicamente as
variáveis.
3.5 Operações Elementares
São operações aplicadas para transformar o sistema linear dado em um sistema linear
mais simples de resolver que é equivalente ao primeiro. Elas podem ser aplicadas nas
equações do sistema ou, da mesma forma, nas linhas da matriz aumentada do
sistema. São elas:
1) Multiplicar uma linha inteira por uma constante não-nula.
2) Trocar duas linhas entre si.
3) Somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha.
3.5.1 Exemplo
x-y+z=1
2x - y + z = 4
x - 2y + 2z = 0
* multiplicamos por -2 a primeira equação e somamos o resultado com a segunda
equação;
** multiplicamos por -1 a primeira equação e somamos o resultado com a terceira
equação;
x-y+z=1
y-z=2
- y + z = -1
*** somamos a segunda equação com a terceira.
x-y+z=1
y-z=2
0=1
Como este último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema dado
inicialmente.
3.6 Sistema Escalonado
É o sistema equivalente obtido após um número finito de operações elementares
realizadas nas equações do sistema inicial ou nas linhas da matriz aumentada do
sistema inicial.
3.6.1 Exemplos
Exemplo 1: Vide exemplo 3
Exemplo 2:
2x - y – z – 3t = 0
z-t=1
2t = 2
A importância dos sistemas escalonados reside na proposição abaixo.
3.7 Proposição: Todo sistema linear é equivalente a um sistema escalonado.
Isso nos diz que basta que saibamos lidar com os sistemas escalonados e saibamos
reduzir um sistema qualquer a um escalonado.
Com as operações elementares podemos realizar dois tipos de eliminação de
variáveis de um sistema: a eliminação gaussiana e a eliminação de Gauss-Jordan.
3.8 Eliminação de Gauss-Jordan
Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada reduzida por
linhas. Para ser desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades:
1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da
linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô.
2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas
linhas inferiores da matriz.
3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da
linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.
4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas.
3.9 Eliminação Gaussiana
Consiste em reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada. Para ser
desta forma, uma matriz deve satisfazer as seguintes propriedades:
1) Se uma linha não consistir só de zeros, então o primeiro número não-nulo da
linha é um 1. Chamamos este número 1 de pivô.
2) Se existir linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas
linhas inferiores da matriz.
3) Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o pivô da
linha inferior ocorre mais à direita que o pivô da linha superior.
4) Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas entradas abaixo desse pivô.
3.10 Exemplos
Resolva o 1º pelo método de Gauss e o 2º pelo método de Gauss-Jordan.
Exemplo 1:
x + y + 2z = 8
-x – 2y + 3z = 1
3x – 7y + 4z = 10
Exemplo 2:
-2y + 3z = 1
3x + 6y - 3z = -2
6x + 6y + 3z = 5
3.11 Discussão e Resolução de um Sistema Linear
Discutir um sistema linear significa efetuar um estudo visando a classificá-lo de
acordo com o seu conjunto-solução. Resolver significa determinar o conjuntosolução.
Suponha que após escalonar um sistema e retirar as equações do tipo 0 = 0(linhas
nulas da matriz do sistema), restem p equações com n variáveis.
1) Se a última das equações restantes é 0x1 + ... + 0xn = bi (bi ≠ 0) então o
sistema é incompatível;
Caso contrário sobra duas alternativas:
2) Se p = n o sistema é compatível determinado;
3) Se p < n, então o sistema compatível indeterminado.
NOTA: As observações acima se aplicam quando o sistema é resolvido por
escalonamento e fazem a análise das equações do sistema obtido após o
escalonamento (sistema escalonado). Entretanto, se o método de resolução aplicado
for a Regra de Crammer, as observações são equivalentes às descritas acima só que
se baseiam na análise do determinante da matriz do sistema, conforme descrito
abaixo.
Regra de Cramer
A regra de Crammer só se aplica aos sistemas quadrados, isto é, sistemas que têm o
mesmo número de equações e variáveis.
Tais sistemas têm uma única solução dada por:
Em que i
{1, 2, 3,..., n}, D = detA é o determinante da matriz dos coeficientes
associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz dos
coeficientes, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
1) Possível e determinado se D = detA 0; caso em que a solução é única.
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
2) Possível e indeterminado, se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn = 0.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0.
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
3) Impossível, se D=0 e
Dxi 0, 1
i n; caso em que o sistema não tem
solução.
Exemplo:
Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
3.12 Exemplos
Discuta e resolva os sistemas abaixo utilizando um dos métodos estudados (Gauss,
Gauss-Jordan ou Crammer).
-2y + 3z = 1
Exemplo 1:
3x + 6y - 3z = -2
6x + 6y + 3z = 5
Exemplo 2:
2x - 3y - z = 4
x + 2y + z = 3
3x – y - 2z = 1
3.13 Exercícios
1. Três feirantes uniram-se e venderam uma dúzia de bananas por p1 reais, uma
dúzia de laranjas por p2 reais e uma dúzia de maçãs por p3 reais. Calcule p1, p2 e
p3, sabendo que a receita total = soma das receitas(= preço x quantidade vendida
em dúzias, de cada produto) em reais do primeiro feirante é dada por 10 p1 + 30
p2 + 20 p3 = 150, a do segundo é 20 p1 + 50 p2 + 30 p3 = 240, e a do terceiro
feirante é 30 p1 + 20 p2 + 40 p3 = 230.
2. Resolvam os exemplos das secções 3.10 e 3.12.
3. Mostre que o sistema
x + 3y + 2z = 7 não tem solução.
2x + y - z = 5
-x + 2y + 3z = 4