Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo
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1 Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Teresa Mendes de Almeida [email protected] DEEC Área Científica de Electrónica © T.M.Almeida ACElectrónica IST-DEECMarço de 2008 2 Matéria Sinais e medidas no domínio do tempo sinais AC e DC - notação valor médio e valor eficaz Tipos de circuitos eléctricos lineares Resistivo e Dinâmico Condensador características associação em série e em paralelo Bobine características associação em série e em paralelo transformador Exemplos de aplicação © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica Resposta no tempo de circuitos RC e RL análise de transitórios em circuitos de 1ª ordem solução da equação diferencial de 1ª ordem método de cálculo do transitório circuitos RC circuitos RL propriedades da solução geral da equação diferencial função escalão aplicação em circuitos Exemplos de aplicação TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 3 Notação para Sinais no Domínio do Tempo DC – componente constante (não varia com o tempo) vIN ( t ) = VIN + vin ( t ) DC AC – componente variável no tempo grandeza – maiúscula índice – maiúscula grandeza – minúscula índice – minúscula DC AC grandeza – minúscula índice – maiúscula DC AC VA = 10 V vb (t ) = 2sin ( 2π 500t ) V DC+AC vC (t ) = 2 + 1,5sin ( 2π 800t ) V VC = 2 V vc (t ) = 1,5sin ( 2π 800t ) V t t © T.M.Almeida iOUT ( t ) = I OUT + iout ( t ) DC+AC – componentes fixa e variável no tempo AC t IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 4 Medidas no Domínio do Tempo Valor Médio e Valor Eficaz X Medio A T 2T t t0 +T ∫ x ( t ) dt X ef = X rms t0 x ( t ) = A cos (ωt + θ 0 ) 1 ω = 2π f f = T 1 = T t0 +T ∫ x 2 ( t ) dt t0 X med = 0 X ef = Medição experimental com Voltímetro 1 = T A ≈ 0, 707 A 2 modo DC – valor médio modo AC – valor eficaz Visualização das formas de onda no osciloscópio © T.M.Almeida modo AC – apenas se visualiza componente variável (AC) do sinal modo DC – visualiza-se componente DC e AC do sinal utilizar habitualmente modo DC IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 5 Tipos de Circuitos Eléctricos Circuito Resistivo Linear constituído por elementos resistivos componentes resistivos resistência, fonte de tensão, fonte de corrente relação v(t)-i(t) descrita por equação algébrica linear descrito por conjunto de equações algébricas lineares todos os circuitos que foram considerados e estudados em TCFE até agora são do tipo resistivo linear vR ( t ) = R × iR ( t ) Circuito Dinâmico Linear contém elementos que podem armazenar energia absorvem energia do circuito, armazenam-na temporariamente, mais tarde podem devolver essa energia ao circuito componentes dinâmicos condensador e bobine relação v(t)-i(t) descrita por equação diferencial descrito por um conjunto de equações diferenciais lineares geralmente também contém componentes resistivos condensador © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica iC ( t ) = C TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 6 Condensador Constituição 2 placas de material condutor (armaduras) separadas por material isolante – o dieléctrico dvC ( t ) dt p. ex.: ar, silício, papel impregnado, cerâmico, mica, ... Capacidade (C) depende de parâmetros definidos no processo de fabrico geometria e dieléctrico utilizado medida experimentalmente para um condensador plano pode calcular-se teoricamente A – área de cada armadura d – distância entre armaduras ε – constante dieléctrica (permitividade) do dieléctrico ( ε = εr ε0 A d vazio: ε0=8,85E-12 F/m ar(puro, seco): εr ∼1 ) é a medida da quantidade de carga (Q) armazenada em cada armadura para uma dada diferença de potencial (V) entre as armaduras [C ] [Coulomb] Q C= ⇔ Q = CV [F ] = [ Farad ] = V [V ] [Volt ] C=1F é uma capacidade muito elevada (1F = 1C / 1V) qe = −1, 602 × 10−19 C capacidades são geralmente de valor baixo © T.M.Almeida C =ε expressas em microfarad (µF), nanofarad (nF), picofarad (pF) IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 7 Condensador impor uma diferença de potencial v(t) entre as armaduras por intermédio de uma fonte de energia eléctrica carga armazenada no condensador é q(t) q (t ) = C × v (t ) a carga é directamente proporcional à tensão + surge campo eléctrico no dieléctrico entre as armaduras energia eléctrica armazenada nessa região do espaço V devido à existência do campo eléctrico condensador armazena energia eléctrica quando está a ser carregado energia eléctrica é transferida da fonte para o condensador ++++++++ +Q E --------Q Descarregar um condensador ee- Carregar um condensador condensador liberta para o circuito a energia eléctrica que estava armazenada Condensador – componente com capacidade de armazenar energia eléctrica © T.M.Almeida ideal – manteria indefinidamente essa energia real – tem perdas – vai muito lentamente perdendo a energia armazenada IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 8 Condensador Relação entre vC(t) e iC(t) corrente eléctrica dq ( t ) dt carga armazenada no condensador q ( t ) = C × v ( t ) a corrente é directamente proporcional dv ( t ) à taxa de variação da tensão iC ( t ) = C C dt DC tensão constante ⇒ corrente nula em DC condensador comporta-se como um circuito aberto i (t ) = condensador bloqueia componente contínua vC(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) obter-se-ía corrente infinita! energia eléctrica armazenada (associada ao campo eléctrico existente) não pode ser descontínua! vC(t) − + num instante tx qualquer vC ( t x ) = vC ( t x ) = vC ( t x ) tx © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 9 Condensador Condição inicial iC ( t ) = C t0 t vC ( t ) = t dvC ( t ) dt t 1 1 1 1 iC ( x ) dx = ∫ iC ( x ) dx + ∫ iC ( x ) dx = vC ( t0 ) + ∫ iC ( x ) dx ∫ C −∞ C −∞ C t0 C t0 ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a tensão(carga) no condensador Energia armazenada no condensador pC ( t ) = vC ( t ) × iC ( t ) t t dv ( x ) 1 1 wC ( t ) = ∫ pC ( x ) dx = ∫ vC ( x ) × C C dx = Cv 2C ( t ) − Cv 2C ( −∞ ) −∞ vC ( −∞ ) = 0 © T.M.Almeida 2 dx −∞ 1 wC ( t ) = Cv 2C ( t ) 2 → 2 [ J ] [ Joule] em cada instante, a energia no condensador apenas depende da tensão aos seus terminais nesse instante IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 10 Exemplo de aplicação Determinar iC(t) e wC(6ms) de um condensador com C=5µF a partir do gráfico da tensão 0 4 ×103 t vC ( t ) = 3 96 − 12 ×10 t 0 iC ( t ) = C 0 20 mA iC ( t ) = −60 mA 0 © T.M.Almeida , , , , 0≤t 0 ≤ t ≤ 6ms 6ms ≤ t ≤ 8ms 8ms ≤ t dvC ( t ) dt , , , , IST-DEEC-ACElectrónica 0<t 0 < t < 6ms 6ms < t < 8ms 8ms < t 1 1 2 wC ( 6ms ) = Cv 2C ( 6ms ) = 5 × 10−6 ( 24 ) 2 2 wC ( 6ms ) = 1, 44 mJ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 11 Associação de Condensadores Condensadores em série v ( t ) = v1 ( t ) + v2 ( t ) + vN ( t ) KVL t 1 vk ( t ) = ∫ i ( x ) dx k = 1, 2,… , N Ck −∞ t 1 1 1 + + v (t ) = + ∫ i ( x ) dx C N −∞ C1 C2 2 condensadores em série 1 1 1 1 = + + + CS C1 C2 CN 1 1 1 = + CS C1 C2 CS = C1C2 C1 + C2 CS < C1 , C2 Condensadores em paralelo i ( t ) = i1 ( t ) + i2 ( t ) + iN ( t ) KCL dv ( t ) dv ( t ) dv ( t ) + C2 + + CN dt dt dt dv ( t ) i ( t ) = ( C1 + C2 + + CN ) dt i ( t ) = C1 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica CP = C1 + C2 + + CN TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 12 Exemplos de aplicação Determinar a corrente/tensão no condensador CT=? C=24µF C=25µF C=2µF C=10µF CT=? C=100µF q(0)=0C C=50µF q(0)=0C CT=1µF C=? C=50µF © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 13 Bobine Constituição fio condutor enrolado em forma de espiral núcleo de material Condutor onde passa corrente - cria um campo magnético não magnético – ar magnético – ferro, ferrite (concentram linhas de fluxo) campo magnético e corrente estão relacionados de forma linear L – coeficiente de auto-indução (indutância) é a constante de proporcionalidade φ= λ = Nφ [H] [Henry] λ = LiL λ – fluxo de ligação magnética φ – fluxo magnético N – n. espiras da bobine L iL N variação na corrente que atravessa a bobine induz aos seus terminais uma tensão dλ vL = dt © T.M.Almeida L é a constante de proporcionalidade IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 14 Bobine Relação entre vL(t) e iL(t) a tensão é directamente proporcional à taxa de variação da corrente vL = dλ dt λ = LiL diL ( t ) dt DC corrente constante ⇒ tensão nula em DC bobine comporta-se como um curto-circuito vL ( t ) = L bobine deixa passar componente contínua iL(t) não pode variar instantaneamente (ter descontinuidades) obter-se-ía tensão infinita! energia armazenada (associada ao campo magnético existente) não pode ser descontínua! iL(t) num instante tx qualquer iL ( t x− ) = iL ( t x+ ) = iL ( t x ) tx © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 15 Bobine Condição inicial t t iL ( t ) = vL ( t ) = L t diL ( t ) dt t 1 1 0 1 1 v x dx vL ( x ) dx + ∫ vL ( x ) dx = iL ( t0 ) + ∫ vL ( x ) dx L( ) ∫ ∫ L −∞ L −∞ L t0 L t0 ao analisar o funcionamento do circuito é preciso conhecer (ou assumir) uma condição inicial para a corrente na bobine Energia armazenada na bobine pL ( t ) = vL ( t ) × iL ( t ) t wL ( t ) = ∫ t pL ( x ) dx = −∞ −∞ iL ( −∞ ) = 0 © T.M.Almeida ∫L → diL ( x ) 1 1 × iL ( x ) dx = Li 2 L ( t ) − Li 2 L ( −∞ ) 2 2 dx wL ( t ) = 1 2 Li L ( t ) 2 [ J ] [ Joule] em cada instante, a energia na bobine apenas depende da corrente aos seus terminais nesse instante IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 16 Exemplo de aplicação Determinar vL(t), wL(2ms) e wL(4ms) de uma bobine com L=10mH a partir do gráfico da corrente 0 10t iL ( t ) = −3 40 × 10 − 10t 0 vL ( t ) = L 0 100 vL ( t ) = −100 0 © T.M.Almeida , , , , , , , , t≤0 0 ≤ t ≤ 2ms 2ms ≤ t ≤ 4ms 4ms ≤ t [ A] diL ( t ) dt t<0 0 < t < 2ms 2ms < t < 4ms 4ms < t IST-DEEC-ACElectrónica [ mV ] 2 1 10 × 10−3 )( 20 ×10−3 ) = 2 µ J ( 2 wL ( 4ms ) = 0 J wL ( 2ms ) = TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 17 Exemplo de aplicação Calcular energia total armazenada no circuito circuito só tem fontes DC admitindo que foram ligadas há muito tempo – todas grandezas constantes condensadores → circuito aberto bobines → curto-circuito DC analisar circuito resistivo resultante (KCL nó A, KVL malha exterior) I L1 = −1, 2 A I L1 + 3 = I L 2 −9 + 6 I L1 + ( 3 + 6 ) I L 2 = 0 I L 2 = 1,8 A WC1 = 2, 62 mJ WC 2 = 2,92 mJ VC 2 = 6 I L 2 = 10,8 V VC1 = −6 I L1 + 9 = 16, 2 V WT = WC1 + WC 2 + WL1 + WL 2 = 13, 46 mJ © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica WL1 = 1, 44 mJ WL 2 = 6, 48 mJ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 18 Associação de Bobines Bobines em série v ( t ) = v1 ( t ) + v2 ( t ) + vN ( t ) KVL v ( t ) = L1 di ( t ) dt + L2 di ( t ) dt + + LN di ( t ) dt LS = L1 + L2 + + LN di ( t ) v ( t ) = ( L1 + L2 + + LN ) dt Bobines em paralelo KCL i ( t ) = i1 ( t ) + i2 ( t ) + iN ( t ) ik ( t ) = 1 Lk t ∫ v ( x ) dx k = 1, 2,… , N −∞ t 1 1 1 i (t ) = + + + ∫ v ( x ) dx LN −∞ L1 L2 © T.M.Almeida 2 bobines em paralelo IST-DEEC-ACElectrónica 1 1 1 = + LP L1 L2 1 1 1 1 = + + + LP L1 L2 LN LP = L1 L2 L1 + L2 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo LP < L1 , L2 Março de 2008 19 Exemplos de aplicação Determinar a tensão/corrente na bobine L=10mH L=4mH L=50mH L=24mH L=2H LAB=? L=4mH v(t)=0V , t<0 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica L=24mH v(t)=0V , t<0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo LT=2mH L=? Março de 2008 20 Exemplos de aplicação Se energia total armazenada no circuito é 80mJ, quanto vale L? Calcular C sabendo que energia armazenada no condensador é igual à energia armazenada na bobine Calcular a potência dissipada na R=3Ω e a energia armazenada no condensador © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 21 Transformador Constituição 2 bobines adjacentes primário e secundário existe ligação magnética – φ não existe ligação eléctrica isolamento eléctrico Transformador ideal resistência dos fios é desprezada fluxo φ no núcleo liga todas as espiras das 2 bobines dφ dt dφ v2 ( t ) = N 2 dt v1 ( t ) = N1 v1 N1 = v2 N 2 ∫ Hdl = N i + N i 11 © T.M.Almeida 2 2 i1 N =− 2 i2 N1 =0 IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 22 Transformador Níveis de Tensão, Corrente e Resistência são alteradas N v1 = 1 v2 N2 N i1 = − 2 i2 N1 2 N R1 = 1 R2 N2 Nível de Potência não se altera N1i1 + N 2i2 = 0 v1i1 + v1 N1 v2 2 N1 v2 v1 N2 = R1 = = N2 i1 N 2 −i2 i2 − N1 N2 i2 = 0 v1i1 + v2i2 = 0 N1 p1 = − p2 Análise de circuitos com transformadores ideais © T.M.Almeida reflectir grandezas do primário/secundário no secundário/primário usando as relações do quociente do número de espiras necessário ter atenção à marcação polaridade das tensões sentido das correntes sentido acoplamento magnético IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 23 Análise de Transitórios em Circuitos Circuitos de 1ª ordem iC ( t ) = C contêm apenas um elemento armazenador de energia circuitos RC circuitos RL descritos por equação diferencial de 1ª ordem dvC ( t ) dt E D Análise do circuito © T.M.Almeida comportamento do circuito quando existem alterações no circuito interruptor abre/fecha fonte ligada/desligada ou com valor alterado num instante de tempo tensões e correntes vão-se alterar transitoriamente análise do circuito permite determinar qual a forma dos transitórios ao fim de algum tempo tensões e correntes ficam com valores constantes regime estacionário IST-DEEC-ACElectrónica D DE TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 24 Solução da eq. diferencial de 1ª ordem Solução da eq. diferencial de 1ª ordem genérica xp(t) – solução particular (forçada) é uma solução da eq. diferencial genérica depende da função f(t) xc(t) – solução complementar (natural) é uma solução da eq. homogénea só depende da topologia do circuito solução total da eq. diferencial de partida dx ( t ) + ax ( t ) = f ( t ) dt dx ( t ) + ax ( t ) = 0 dt x ( t ) = x p ( t ) + xc ( t ) Para uma função constante f(t)=A dx p ( t ) dt dxc ( t ) + a xc ( t ) = 0 → xc ( t ) = K 2 e − at dt © T.M.Almeida x ( t ) = K1 + K 2 e −t /τ A + a x p ( t ) = A → x p ( t ) = K1 = a IST-DEEC-ACElectrónica 1 τ= a TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo x ( +∞ ) = K1 x ( 0 ) = K1 + K 2 Março de 2008 25 Análise de Transitório em circuito RC Como varia a tensão no condensador? Antes do interruptor fechar em t=0– regime estacionário – grandezas constantes fonte já estava ligada há muito tempo condensador estava descarregado Logo após o interruptor fechar t=0+ tensão no condensador não pode variar instantaneamente vC ( 0+ ) = vC ( 0− ) = vC ( 0 ) = 0 Deixando passar muito tempo t=+∞ vC ( +∞ ) = VS regime estacionário – grandezas constantes condensador comporta-se como circuito aberto vC ( 0− ) = 0 Durante o transitório VS − vC ( t ) dv ( t ) =C C R dt KCL © T.M.Almeida a=1/ τ IST-DEEC-ACElectrónica → dvC ( t ) 1 + vC ( t ) = VS dt RC TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Análise de Transitório em circuito RC (cont.) A Março de 2008 26 Assumir a solução da eq. diferencial vC ( t ) = K1 + K 2 e− t /τ Determinar as constantes (K1, K2, τ) a partir do circuito ⇒ K1 + K 2 = 0 vC ( 0 ) = 0 ∧ vC ( 0 ) = K1 + K 2 vC ( +∞ ) = VS ∧ vC ( +∞ ) = K1 ⇒ K1 = VS τ = RC A solução é: vC ( t ) = VS − VS e ex e-x − -e-x t RC t − RC = VS 1 − e t ≥ 0 1-e-x 1 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 27 Método de cálculo de Transitório em RC Assumir que a solução para a tensão no condensador é vC ( t ) = K1 + K 2 e τ t0 – instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha) t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar vC(+∞) vC ( +∞ ) = K1 Calcular constante K2 t −t0 Calcular constante K1 − t=t0– regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar vC(t0–) vC t0− = vC t0+ = vC ( t0 ) continuidade na tensão no condensador vC ( t0 ) = K1 + K 2 calcular K2 ( ) ( ) Calcular constante de tempo τ © T.M.Almeida calcular RTh – resistência equivalente de Thévenin vista pelo condensador calcular τ τ = RThC IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 28 Exemplo de aplicação Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito tempo e muda para 2 em t=0 relacionar i(t) com vC(t) i (t ) = vC ( t ) R2 − t −t0 vC ( t ) = K1 + K 2 e τ determinar t0 = 0 calcular K1 vC ( +∞ ) = 0 = K1 t=+∞ regime estacionário calcular K2 t=0 regime estacionário 3k 12 = 4 V 3k + 6k vC ( 0 + ) = vC ( 0 − ) = 4 V = K1 + K 2 + vC(+∞) - vC ( 0 − ) = © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica K2 = 4 V TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 29 Exemplo de aplicação (continuação) Calcular i(t) admitindo que interruptor está em 1 há muito tempo e muda para 2 em t=0 calcular τ interruptor em 2 RTh vista pelo condensador RTh = R1 // R2 = 2 k Ω τ = RThC = 0, 2 s obter vC(t) 4 vC ( t ) = − t 4e 0,2 [V ] , t≥0 obter i(t) 4 3 i (t ) = t 4 e− 0,2 3 © T.M.Almeida RTh , t≤0 IST-DEEC-ACElectrónica , t ≤0 [ mA] , t ≥0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 30 Método de cálculo de Transitório em RL Assumir que a solução para a corrente na bobine é iL ( t ) = K1 + K 2 e τ t0 – instante em que ocorre alteração no circuito (interruptor abre/fecha) t=+∞ regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar iL(+∞) iL ( +∞ ) = K1 Calcular constante K2 t −t0 Calcular constante K1 − t=t0– regime estacionário (grandezas constantes) fazer análise do circuito e determinar iL(t0–) continuidade na corrente na bobine calcular K2 iL ( t0− ) = iL ( t0+ ) = iL ( t0 ) iL ( t0 ) = K1 + K 2 Calcular constante de tempo τ © T.M.Almeida calcular RTh – resistência equivalente de Thévenin vista pela bobine L τ= calcular τ RTh IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 31 Propriedades da solução x(t)=K1+K2e-(t-t0)/τ Constante de tempo τ K1 indica rapidez da variação da curva τ menor – mais rápida τ maior – mais lenta t0 K1 −1 Ao fim de 5 constantes de tempo ∆t = 5 τ variação de 99,3% 63,2% t0+τ t0 (1 − e ) ×100% = 99,3% ≈ 100% © T.M.Almeida t0+5τ τ considera-se que foi atingido valor final IST-DEEC-ACElectrónica 100% K1+ K2 −5 τ2 > τ1 ∆t = τ variação de 63,2% (1 − e ) ×100% = 63, 2% τ2 K1+ K2 Ao fim de uma constante de tempo τ1 5τ TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 32 Função escalão Função escalão (unitário) permite a descrição matemática de mudança brusca 0 , t < 0 u (t ) = 1 , t > 0 0 , t < t 0 u ( t − t0 ) = 1 , t > t0 Ligar fonte de tensão em t=0 Ligar Fonte de corrente em t=t0 © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica + v(t) i(t) + v(t) i(t) t0 TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 33 Função escalão Descrição matemática de impulso 0<t<T 0 , t < 0 v (t ) = A , 0 < t < T 0 , T < t Subtraindo 2 escalões de altura A v ( t ) = Au ( t ) − Au ( t − T ) Descrição matemática de impulso t0<t<t0+T t0 – instante de início do impulso T – largura do impulso { v ( t ) = 9 u ( t ) − u ( t − 0,3) [V ] } v ( t ) = A u ( t − t0 ) − u ( t − ( t 0 + T ) ) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Exemplos de aplicação Calcular vo(t) Calcular i1(t) Calcular i(t) © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008 34 Março de 2008 35 Exemplos de aplicação Calcular vo(t) 1- calcular vo(t) para 0<t<0,3s como se não ocorresse a 2ª transição em v(t) 2- calcular vo(t) para t>0,3s como se não ocorresse a 1ª transição mas sabendo que vo(t=0,3s) é o ponto de partida Calcular vo(t) 0 − 3/ 2 t vo ( t ) = 4 1 − e ( ) − 3/ 2 t −1 3,11e ( )( ) ( © T.M.Almeida IST-DEEC-ACElectrónica ) , t≤0 , 0 ≤ t ≤ 1s , 1s ≤ t TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Números complexos PRÓXIMA AULA Vai ser necessário fazer cálculos com números complexos Relembrar cálculo com números complexos © T.M.Almeida [V ] Março de 2008 36 representação no plano complexo forma cartesiana e forma polar equação de Euler soma e subtracção multiplicação e divisão complexo conjugado ... IST-DEEC-ACElectrónica TCFE Análise de Circuitos Dinâmicos no Domínio do Tempo Março de 2008
