Aula 27 Estudo do Ponto Pt. 1

Aula 27 - Erivaldo
Geometria
Analítica
Geometria Analítica
Plano Cartesiano:
y
B.Q.P.
B.Q.I.
I( x , x )
P( x , –x )
X( x , 0 )
y=x
(função identidade)
Y( 0 , y )
x
y=–x
Geometria Analítica
Simetria no Plano Cartesiano:
Simétrico de A em
relação ao eixo y
y
B( -3 ,2 )
2
A(3,2)
3
-3
-2
x
C(3 , -2)
Simétrico de A em
relação ao eixo x
Geometria Analítica
Simetria no Plano Cartesiano:
y
3
Simétrico de A em
relação as B.Q.I
B( 2 , 3)
A(3,2)
2
2
y=x
(função identidade)
B.Q.I.
3
x
Geometria Analítica
Simetria no Plano Cartesiano:
Simétrico de A em
relação as B.Q.P
B.Q.P.
B(-2 , 3)
A(-3,2)
-3
y
3
2
x
-2
y=–x
Geometria Analítica
Problema 01:
Assinale V ou F, nas seguintes afirmativas:
a) ( V ) O ponto B(3,5) é simétrico de A(5,3) em relação as Bissetrizes
dos quadrantes ímpares.
b) ( V) O ponto B(-2,4) é simétrico de A(-4,2) em relação as Bissetrizes
dos quadrantes pares.
c) ( V ) O ponto B(-5,7) é simétrico de A(5,7) em relação ao eixo das
ordenadas.
d) ( V ) O ponto B(-1,3) é simétrico de A(-1,-3) em relação ao eixo das
abscissas.
Geometria Analítica
Exemplo: Dados os pontos A(2,1) e B(5,3), encontre os pontos C, D e E:
y
E
9
2
D
7
2
2
0
E(14,9)
B
3
1
D(11,7)
C
5
2
C(8,5)
A
5
2
3
8
3
11
3
14
3
x
Geometria Analítica
Problema 02:
Encontre as coordenadas do ponto P que se obtém ao
prolongar-se o segmento de extremidades A(2, 3) e B(5, 8),
no sentido de A para B, tal que AP = 3.AB .
+5
+5
A(2,3)
B(5,8)
+3
+3
+5
( 8 ,13)
P(11,18)
+3
Geometria Analítica
Ponto Médio:
Coordenadas do ponto médio: M(xM , yM)
y
B
yB
M
yM
yA
xM =
yM =
xM =
xM
yA + yB
2
Exemplo: A(2 , 3 ) B(6 , 7 )
A
xA
+
2
xB
x
2 +6
2
yM =
xM = 4
3 +7
yM = 5
M(4 , 5)
2
Geometria Analítica
Distância entre dois pontos:
y
(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
B
yB
dAB
yA
Pitágoras:
yB – yA
A
xB – xA
xA
Exemplo:
A( 7 , 5 )
Exemplo:
P( 5 , –2 )
–
–
–
B( 3 , 2 )
xB
x
d2 = (4)2 + (3)2
d= 5
–
Q(–3 , 4 )
d2 = (8)2 + (6)2
d = 10
Geometria Analítica
Problema 03:
Dados os pontos A(1,1) , B(5,4) e C(3,6), pede-se:
a) A classificação do triângulo ABC, quanto aos seus lados.
b) A classificação do triângulo ABC, quanto aos seus ângulos.
c) O comprimento da mediana relativa ao lado BC.
Geometria Analítica
Problema 03:
a) Classificação do triângulo
ABC, quanto aos seus lados.
Dados: A(1,1) , B(5,4) e C(3,6).
C(3,6)
dAC = 29
A(1,1)
dBC = 8
dAB = 5
B(5,4)
Escaleno
Geometria Analítica
Problema 03:
a) Classificação do triângulo
ABC, quanto aos seus ângulos.
Dados: A(1,1) , B(5,4) e C(3,6).
C(3,6)
“Pitágoras”
dAC = 29
A(1,1)
dBC = 8
dAB = 5
B(5,4)
( 29 ) <= ( 8 ) + (5)
2
2
29
<
33
acutângulo
2
Geometria Analítica
Problema 03:
Dados: A(1,1) , B(5,4) e C(3,6).
c) comprimento da mediana
relativa ao lado BC.
A(1,1)
1 4 ) + ( − 1 5)
d2AM = ( − 2
dAM
d2AM = 9 +16
B(5,4)
xM =
M( 4 , 5 )
5 +3
2
yM =
C(3,6)
4 +6
2
dAM = 5 u.c.
2
Geometria Analítica
Problema 04:
Encontre o ponto das bissetrizes dos quadrantes ímpares que
equidista dos pontos A(1, -3) e B(-1, 2).
(dPA)2 = (dPB )2
P(x , x)
dPA
A(1,-3)
dPB
( x - 1 )2 + ( x + 3)2 = ( x +1 )2 + ( x - 2 )2
B(-1 ,2) x2–2x+1 + x2+6x+9 = x2+2x+1 + x2–4x+4
4x + 9 = 4 – 2x
 5 5
P − , − 
 6 6
5
x=−
6
Geometria Analítica
Baricentro: O baricentro de um triângulo é o ponto de
encontro das medianas desse triângulo.
y
yC
M1
M2 G
yB
yA
Coordenadas do Baricentro: G(xG , yG)
C
A
xA
xM =
B
yM =
M3
xC
xB
x
xA + xB + xC
3
yA + yB + yC
3
Geometria Analítica
Problema 05:
Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo
de vértices nos pontos A(0, 1) , B(1, 4) e C(2, 1).
Coordenadas do Baricentro: G(xG , yG)
C
G
A
B
xG =
0+ 1 +2
3
yG =
1 + 4 +1
yG = 2
xG = 1
G( 1 , 2 )
3
Geometria Analítica
Problema 06:
Encontre o ponto das bissetrizes dos quadrantes ímpares que
equidista dos pontos A(2, -3) e B(-3, 2).
(dPA)2 = (dPB )2
P(x , x)
dPA
A(2,-3)
dPB
( x - 2)2 + ( x + 3 )2 = ( x + 3 )2 + ( x - 2 )2
B(-3 ,2) x2–4x+4 + x2+6x+9 = x2+6x+9 + x2–4x+4
Todos os ponto das B.Q.I.
equidistam de A e B.
0.x = 0
Geometria Analítica
Problema 07:
Encontre a relação entre a abscissa e a ordenada dos pontos
pertencentes a mediatriz do segmento AB , sendo A(2, 1) e B(4, 4).
P(x,y)
dPA
A(2,1)
dPB
M
(dPA)2 = (dPB )2
( x - 2 )2 + ( y - 1 )2 = ( x - 4 )2 + ( y - 4 )2
B(4 ,4) x2–4x+4 + y2–2y+1 = x2–8x+16 + y2–8y+16
–4x –2y + 5 = –8x –8y + 32
equação da mediatriz
4x + 6y – 27 = 0
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FIM