Medidas Estatísticas

09/12/2014
Universidade Estadual de Goiás
Câmpus de Ciências Sócio-Econômicas e Humanas de Anápolis
AEA – Leitura e tratamento de dados
estatísticos apoiado pela tecnologia da
informação
Prof. Elisabete Tomomi Kowata
[email protected]
09/12/2014.
1
Medidas Estatísticas
AGENDA
• Parâmetros
• Principais medidas estatísticas
• Medidas de posição
• 1 Medidas de tendência central
• 1.1 Média
• 1.2 Mediana
• 1.3 Moda
• 2 Separatrizes
• Principais separatrizes
• 2.1 Mediana
• 2.2 Quartis
• 2.3 Decis
• 2.4 Centis
• 3 Medidas de dispersão
• 3.1 Desvio
• 3.2 Variância
• 3.3 Desvio Padrão
2
1
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Parâmetros
Quando se tem um experimento estatístico em
que os resultados são numéricos, se torna
necessário encontrar valores pelos quais
representem estes dados de forma que a partir
deles tirem conclusões acerca deste conjunto de
informações. Estes valores são denominados
Parâmetros.
3
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Posição
Dado o rol x1, x2, ... xn, medidas de posição visam
encontrar números (parâmetros) pelos quais
ocupam colocações pré-definidas dentro deste
rol.
4
2
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Medidas de Tendência Central:
São valores que ocupam colocações
aproximadamente no centro deste rol, sendo que
as principais são:
• Média
• Mediana
• Moda
5
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Definição 1
Notação
x1, x2, ... xn é o rol em estudo.
6
3
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Exemplo 1. Na resolução de uma prova de matemática aplicada
a 8 alunos, o tempo que cada um gastou para respondê-la foi: 50,
64, 68, 78, 80, 86, 90 e 100 (em minutos). Ache o tempo médio
de resolução desta prova.
7
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Exemplo 1. Na resolução de uma prova de matemática aplicada a 8 alunos, o tempo
que cada um gastou para respondê-la foi: 50, 64, 68, 78, 80, 86, 90 e 100 (em minutos).
Ache o tempo médio de resolução desta prova.
8
4
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Exemplo 2. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada
aluno em idade pré-escolar, cujos valores observados foram:
14 – 14 – 14 – 15 – 15 – 16 – 16 – 16 – 16 – 16 – 17 – 17 – 18 –
18 – 18 e 18
Encontre o peso médio da turma.
9
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Exemplo 2. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada aluno em idade préescolar, cujos valores observados foram:
14 – 14 – 14 – 15 – 15 – 16 – 16 – 16 – 16 – 16 – 17 – 17 – 18 – 18 – 18 e 18
Encontre o peso médio da turma.
10
5
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 1 Média:
Exemplo 2. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada aluno em idade préescolar, cujos valores observados foram:
14 – 14 – 14 – 15 – 15 – 16 – 16 – 16 – 16 – 16 – 17 – 17 – 18 – 18 – 18 e 18
Encontre o peso médio da turma.
Outra forma de encontrar a média:
11
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Média com Dados em Frequência:
Fórmula 1
f1, f2, ... fr são as frequências de x1, x2, ... , xr .
12
6
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Média com Dados em Frequência
Para facilitar os cálculos pode-se utilizar uma tabela auxiliar denominada
Tabela de Operações tal qual:
Peso (Kg)
xi
34 | ------ 42
fi
fi.xi
(34+42)/2 = 38
4
152
42 | ------ 50
(42+50)/2= 46
11
506
50 | ------ 58
(50+58)/2= 54
24
1296
58 | ------ 66
(58+66)/2= 62
13
806
66 | ------ 74
(66+74)/2= 70
1
70
74 | ------ 82
(74+82)/2= 78
4
312
TOTAL
-
57
3142
13
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 2 Mediana:
Definição 2
Mediana do rol x1, x2, ... xn é o número Md que o divide em duas partes cada qual com a
mesma quantia de elementos.
14
7
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 2 Mediana:
• Exemplo 1:
a) 4, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 11 e 14
4
4
Md = 8
(para números de elementos igual a ímpar)
15
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 2 Mediana:
• Exemplo 2:
b) 6, 6, 7, 8, 8, 11, 15, 17, 18, 19, 19 e 21
6
6
Md = 13
(para números de elementos igual a par)
16
8
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 2 Mediana:
• Exemplo 3:
c) 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5 e 8
4
4
Md = 4
(para números de elementos igual a ímpar)
17
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Cálculo da Mediana em uma Distribuição de
Frequência
a) Pontual – A mediana é o valor de x onde na
distribuição de frequência se encontra o
elemento metade.
18
9
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Cálculo da Mediana em uma Distribuição de
Frequência
a) Por intervalo – Utiliza-se a fórmula:
19
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência
Distribuição simples e a acumulada – Exemplo:
a) Do número de Revistas
Tabela 1 – GOIÁS – Número de revistas lidas pelos alunos da
Escola X – Ano A.
Número de Revistas
Número de Alunos
Fac
0
22
22
1
20
42
2
10
52
3
3
55
4
1
56
5
3
59
8
1
60
TOTAL
60
A ordem do elemento metade
é:
Observando a frequência
acumulada percebe-se que ele
está na 2ª classe.
A mediana é: md = 1 revista
Resposta: 1 revista.
Fonte: Dados fictícios.
20
10
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência
a) Por intervalo
LEGENDA
Classe
mediana
l
é o limite inferior da classe mediana
Fa
é a frequência acumulada da classe anterior à classe
mediana
f
é a frequência simples da classe mediana
h
é a amplitude da classe mediana
É a classe que
contem o
elemento da
Distribuição
de Frequência
Acumulada
21
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência
Por intervalo – Exemplo:
a) Do peso dos alunos
A ordem do elemento metade
é:
Tabela 1 – GOIÁS – Peso dos alunos da Escola X – Ano A.
Peso (Kg)
Número de Alunos
Fac
34 | ----- 42
4
4
42 | ----- 50
11
15
50 | ----- 58
24
39
58 | ----- 66
13
52
66 | ----- 74
1
53
74 | ----- 82
4
57
TOTAL
57
57
Fonte: Dados fictícios.
Resposta: 54,5 Kg.
e ele está na 3ª classe, ou seja
classe mediana é: 50 |----58
l = 50
Fa = 15
f = 24
h = 58 – 50 = 8
Md = 50 + 4,5 = 54,5
Interpretação: “50% dos alunos da 8ª série tem peso inferior a 54,5 Kg.”
22
11
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
Definição 3
Moda é o número que aparece com maior frequência em um rol.
23
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
• Exemplos:
a) 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 e 8
A moda é Mo = 5.
24
12
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
• Exemplos:
b) 11, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16,
16, 16, 16 e 18
Possui duas modas: Mo1 = 13 e Mo2 = 16.
25
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
• Exemplos:
c) 2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7 e 7
Possui 4 modas que são:
Mo1 = 2 Mo2 = 4 Mo3 = 6
Mo4 = 7.
26
13
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
• Exemplos:
d) 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9 e 9
Não possui moda.
27
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• 3 Moda:
• Quanto ao número de modas, um rol se classifica em:
a) Amodal – não possui moda;
b) Unimodal – Possui exatamente uma moda;
c) Plurimodal – Possui mais de uma moda.
A moda só é considerada medida de tendência central no caso
unimodal, nos demais casos é apenas uma medida estatística
de análise.
28
14
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Cálculo da moda em uma Distribuição de
Frequência
a) Por ponto – A moda é o valor de x que possui
maior frequência.
29
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Cálculo da moda em uma Distribuição de
Frequência
a) Por intervalo – O cálculo da moda é feito pela
fórmula CZUBER:
30
15
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência
a) Por intervalo:
LEGENDA
Classe Modal
l
é o limite inferior da classe modal
∆1
é a diferença entre a frequência da classe modal e a da
anterior
∆2
é a diferença entre a frequência da classe modal e a da
posterior
h
é a amplitude da classe modal
É a classe que
ocorre com
maior
frequência.
31
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência
Distribuição simples e a acumulada – Exemplo:
a) Encontrar a moda da distribuição:
Do número de Revistas
Tabela 1 – GOIÁS – Número de revistas lidas pelos alunos da
Escola X – Ano A.
Número de Revistas
Número de Alunos
0
22
1
20
2
10
3
3
4
1
5
3
8
1
TOTAL
60
Observando a tabela tem-se que onde ocorreu
maior frequência foi na primeira classe.
Assim:
A moda é: mo = 0 revista
Resposta: 0 revista.
Fonte: Dados fictícios.
32
16
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência
Por intervalo – Exemplo:
a) Do peso dos alunos
Tabela 1 – GOIÁS – Peso dos alunos da Escola X – Ano A.
Peso (Kg)
Número de Alunos
34 | ----- 42
4
42 | ----- 50
11
50 | ----- 58
24
58 | ----- 66
13
66 | ----- 74
1
74 | ----- 82
4
TOTAL
Fonte: Dados fictícios.
57
Resposta: 54,3 Kg.
Olhando na tabela tem-se que
onde ocorreu maior frequência
foi na terceira classe.
Assim:
Classe Modal: 50 |----58
l = 50
∆1 = 24 – 11 = 13
∆2 = 24 – 13 = 11
h = 58 – 50 = 8
Mo = 50 + 4,3 = 54,3
Interpretação: “O peso mais comum entre os estudantes da 8ª série é 54,3 Kg.”
33
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Separatrizes:
Separatrizes são números pelos quais procuram dividir o rol em
partes que possuem alguma característica em comum.
Principais separatrizes:
1) Mediana
2) Quartis
3) Decis
4) Centis
34
17
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Mediana:
É considerada também uma separatriz, pois
divide o rol em 2 partes cada qual com 50% dos
elementos.
35
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Quartis:
Quartis são os números que dividem um rol em 4 partes cada uma com
25% dos elementos; ao todo existem 3 quartis.
Notação:
1º quartil: Q1
25%
2º quartil: Q2
25%
Q1
3º quartil: Q3
25%
Q2
25%
Q3
Note que:
Abaixo de Q1 tem-se 25% dos elementos.
Abaixo de Q2 tem-se 25% dos elementos.
Abaixo de Q3 tem-se 25% dos elementos.
36
18
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Decis:
Decis são os números que dividem um rol em 10 partes cada uma com
10% dos elementos; ao todo existem 9 decis.
Notação:
10%
D1; D2; D3; D4; D5; D6; D7; D8; D9
10%
D1
10%
D2
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
37
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Centis:
Centis são os números que dividem um rol em 100 partes cada uma
com 1% dos elementos; ao todo existem 99 centis.
Notação:
Pi
i = 1, 2, 3, 4, ...., 99
38
19
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Cálculo de uma Separatriz
Distribuição de Frequência
em
uma
39
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
a)
Cálculo de uma separatriz em uma distribuição de frequência:
LEGENDA
Classe Separatriz
l
é o limite inferior da classe separatriz
Fa
é a frequência acumulada da classe anterior à classe separatriz
f
é a frequência simples da classe mediana
h
é a amplitude da classe separatriz
pos
é a posição da separatriz e é dada abaixo
Mediana
pos =
n
2
Quartil i
pos =
i.n
4
Decil i
pos =
i.n
10
É a classe que contem
o elemento
identificado pela
Posição na
Distribuição de
Frequência
Acumulada
Centil i
pos =
i.n
100
40
20
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Quartil i
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo do Quartil em uma Distribuição de Frequência
Por intervalo – Exemplo:
a) Do peso dos alunos
Número de Alunos
i.n
4
Calcular o 1º Quartil:
Tabela 1 – GOIÁS – Peso dos alunos da Escola X – Ano A.
Peso (Kg)
pos =
pos =
Fa
34 | ----- 42
4
4
42 | ----- 50
11
15
50 | ----- 58
24
39
58 | ----- 66
13
52
66 | ----- 74
1
53
74 | ----- 82
4
57
TOTAL
57
57
1.57
= 14,25
4
Classe Q1: 42 |--------- 50
l = 42
Fa = 4
f = 11
h = 50 – 42 = 8
Q = 42 +
1
Fonte: Dados fictícios.
14,25 - 4
.8 = 49,45
11
Interpretação: “25% dos alunos da 8ª série pesam menos que 49,45 quilogramas.”
41
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
Cálculo do Quartil em uma Distribuição de Frequência
Calcular:
Por intervalo – Exemplo:
a) Do peso dos alunos
a) 3º Decil
b) 78º Centil
Tabela 1 – GOIÁS – Peso dos alunos da Escola X – Ano A.
Peso (Kg)
Número de Alunos
Fa
34 | ----- 42
4
4
42 | ----- 50
11
15
50 | ----- 58
24
39
58 | ----- 66
13
52
66 | ----- 74
1
53
74 | ----- 82
4
57
TOTAL
57
57
Classe ___________________
l = ______
Fa = _____
f = ______
h = ________________
Fonte: Dados fictícios.
Interpretação: ?
42
21
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão:
As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de
concentração, bem como a variação, que os dados obtidos possuem
em torno da média.
1) Desvio
2) Variância
3) Desvio Padrão
43
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio
Seja o rol: x1, x2, ..., xn denomina-se desvio de xi em relação à média
ao número di dado por:
d
i
=x−x
i
44
22
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio
Exemplo:
Ao examinar a estatura dos membros de uma família, os valores
(em cm) encontrados foram: 172, 168, 181, 173 e 164.
858
x
=
= 171,6
1) Calcular a média da amostra:
5
2) Calcular os desvios:
d1 = 172 – 171,6 = 0,4
d4 = 173 – 171,6 = 1,4
d2 = 168 – 171,6 = -3,6
d5 = 164 – 171,6 = -7,6
d3 = 181 – 171,6 = 9,4
45
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio
x=
858
= 171,6
5
Exemplo:
1) Calcular os desvios:
d1 = 172 – 171,6 = 0,4
d4 = 173 – 171,6 = 1,4
d2 = 168 – 171,6 = -3,6
d5 = 164 – 171,6 = -7,6
d3 = 181 – 171,6 = 9,4
Nota:
∑ di = 0,4 – 3,6 + 9,4 + 1,4 – 7,6 = 0
46
23
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio
Propriedade dos Comentário
desvios
∑d =0
i
Devido a soma dos desvios ser Zero, para
utilizá-los na análise de variação de dados, se
torna necessário antes de tudo transformálos em positivo.
47
Distribuição de Frequência
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Variância
Exemplo:
1) Calcular os desvios:
d1 = 172 – 171,6 = 0,4
d4 = 173 – 171,6 = 1,4
d2 = 168 – 171,6 = -3,6
d5 = 164 – 171,6 = -7,6
d3 = 181 – 171,6 = 9,4
A variância é a soma dos desvios elevado ao quadrado, dividido por
número de amostras.
(0,4) + (-3,6) + (9,4) + (1,4) + (-7,6)
= 32,24
5
2
s =
2
2
2
2
2
48
24
09/12/2014
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio padrão
Definição:
Denomina-se Desvio Padrão de um rol à raiz quadrada de sua
variância.
49
Medidas Estatísticas
Principais Medidas Estatísticas
• Medidas de Dispersão: Desvio padrão
Exemplo:
(0,4) + (-3,6) + (9,4) + (1,4) + (-7,6)
s =
= 32,24
5
2
2
2
2
2
2
s = 32,24
S = 5,68
50
25
09/12/2014
Referências
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. São Paulo: Lapponi
Treinamento e Editora, 2000.
MONTEIRO FILHO, Gercino. Estatística prática para pedagogia e ciências da
educação. 1. ed., Goiânia: Gráfica e Editora Vieira Ltda, 2002.
51
Dúvidas?
[email protected]
52
26