usando o software dynatlas para explorar a cartografia como

USANDO O SOFTWARE DYNATLAS PARA EXPLORAR
A CARTOGRAFIA COMO UM TEMA INTERDISCIPLINAR
NO ENSINO DA MATEMÁTICA E DA GEOGRAFIA
Humberto José Bortolossi, Rogério Vaz de Almeida Junior
Neste trabalho apresentamos DynAtlas, um software gratuito e multiplataforma orientado para o
estudo da geometria do globo terrestre e das várias projeções cartográficas. Suas características
dinâmicas permitem que o professor de matemática ou o professor de geografia explorem temas
comuns às duas disciplinas: coordenadas geográficas (latitude e longitude), curvas especiais sobre
a esfera (paralelos, meridianos, geodésicas, loxodrômicas) e deformações de área, ângulo ou
comprimento em mapas cartográficos.
INTRODUÇÃO
Estudar os vários aspectos da geometria da esfera e das projeções cartográficas se põe como
um item importante no aprendizado escolar. Entre as habilidades que devem ser desenvolvidas
estão (1) a capacidade de entender e usar o sistema de coordenadas geográficas, (2) o entendimento
das curvas especiais sobre a esfera (paralelos, meridianos e curvas loxodrômicas como lugares
geométricos, arcos de grandes círculos como geodésicas) e (3) a percepção das deformações de
área, ângulo ou comprimento inerentes a cada projeção cartográfica. Para estudar estes temas,
vários pré-requisitos matemáticos são necessários: geometria euclidiana, geometria analítica,
cálculo e geometria diferencial1.
Neste artigo apresentamos uma contrapartida visual e computacional para este processo de
ensino e aprendizagem: o software DynAtlas (Bortolossi & de Almeida Jr, 2007). Após descrever
os recursos do programa, indicaremos algumas atividades que podem ser desenvolvidas nos vários
níveis de escolaridade.
1
Veja as referências (Benítez & Thome, 2002), (Feeman, 2002) e (Richardus & Adler, 1974).
RECURSOS DO PROGRAMA
DynAtlas é um applet JAVA que pode ser executado através de um navegador em qualquer
sistema operacional2. O programa, disponível em português e em inglês, tem três áreas principais
(Figura 1), que apresentaremos a seguir.
Figura 1: Interface Gráfica do Applet DynAtlas (exibindo a projeção de Bonne).
A primeira área (canto superior esquerdo da Figura 1) exibe um modelo virtual do globo
terrestre, que pode ser girado, ampliado ou reduzido. Neste globo, o usuário pode visualizar
2
O programa pode ser executado localmente. Contudo, os recursos de consulta à Wikipédia exigem uma conexão com a
internet.
paralelos, meridianos, linhas costeiras, divisões políticas e a localização das capitais dos diversos
países. O usuário também pode marcar interativamente a posição de um “anel flutuante” sobre sua
superfície (as coordenadas geográficas do centro deste anel são registradas na aba “Posição” do
painel de controle). Recursos avançados incluem o desenho de curvas geodésicas e curvas
loxodrômicas (Figura 2).
Figura 2: Geodésica e curva loxodrômica ligando Brasília e Pequim. O mapa foi construído
com a projeção de Mercator.
A segunda área (canto superior direito da Figura 1) exibe um mapa construído com uma das
70 projeções cartográficas disponíveis no programa. Todos os elementos tridimensionais do globo
são projetados no mapa (incluindo o “anel flutuante” cuja posição e tamanho podem ser mudados
interativamente). O usuário também pode transladar, ampliar ou reduzir o mapa.
A terceira área é o painel de controle com as abas “Visualização”, “Posição”, “Lugar”,
“Projeções” e “Anéis”:
•
Na aba “Visualização” o usuário pode controlar quais elementos geográficos serão exibidos no
globo (e no mapa). A Figura 1 exibe o conteúdo desta aba.
•
Na aba “Posição”, aparecem registradas as coordenadas geográficas (latitude e longitude) do
centro do “anel flutuante”. Nela, o usuário também pode calcular distâncias (medidas sobre a
superfície do globo) e exibir as curvas geodésica e loxodrômica ligando duas posições
(capitais).
•
Na aba “Lugar”, o usuário pode escolher entre uma das 196 capitais: o applet exibirá
automaticamente a bandeira da capital e indicará no globo (e no mapa) a sua localização. Existe
também um botão que dá acesso a um link para a Enciclopédia Livre Wikipédia contendo todos
os dados geográficos, econômicos, sociais e culturais do país em questão.
•
Na aba “Projeções” o usuário pode escolher a projeção cartográfica usada para a confecção do
mapa. Existe também uma opção que permite exibir a indicatriz de Tissot. Para cada projeção, o
applet apresenta um pequeno resumo com suas características principais.
•
Na aba “Anel”, o usuário poderá configurar o “anel flutuante”: seu tamanho e o número de raios
geodésicos.
ALGUMAS SUGESTÕES DE ATIVIDADES
Ensino Fundamental
Nas séries iniciais, as atividades podem ser desenvolvidas sob a orientação conjunta dos professores
de matemática e geografia.
•
Qual é o formato da Terra? Ao longo da história, vários modelos foram sugeridos: um plano,
uma esfera, um elipsóide e, mais atualmente, o geóide. Contudo, a esfera se apresenta como um
modelo simples e eficaz em muitas aplicações. O professor pode apresentar um globo terrestre
(concreto) e pedir para que os alunos o manipulem, identificando países, cidades, ilhas, divisões
políticas, etc. A mesma atividade pode ser realizada no laboratório de informática, agora com o
software DynAtlas. Perguntas que podem ser feitas aos alunos: Quais são as vantagens e
desvantagens entre o modelo concreto e o modelo virtual? Por que a linha costeira da Antártica
não segue o contorno branco feito de gelo? As divisões políticas podem mudar com o tempo?
Exemplos? Neste momento, é oportuno expor como Eratóstenes, usando geometria básica,
calculou a circunferência da Terra (Feeman, 2002).
•
Para apresentar o sistema de coordenadas geográficas, DynAtlas tem um recurso especial que
permite visualizar, de forma interativa, os ângulos que definem a latitude e longitude de um
ponto sobre o globo terrestre (Figura 3). Com este recurso, o aluno pode facilmente verificar
que os paralelos e meridianos são, respectivamente, os lugares geométricos de latitude e
longitude constantes. Perguntas que podem ser feitas aos alunos: Existe alguma localidade do
Brasil que tenha longitude 90o O? Qual é a latitude sobre os pontos do Equador? E do Pólo
Norte? E do Pólo Sul? Qual é a longitude do Pólo Norte? O Trópico de Capricórnio cruza o
Brasil? E o Trópico de Câncer? E o Círculo Polar Antártico? Você poderia citar alguns países
por onde o Meridiano de Greenwich passa?
•
A menor distância entre dois pontos medida sobre a superfície do globo é representada por um
arco de grande círculo. Por conta desta propriedade, viagens aéreas são planejadas usando-se
grandes círculos. Um grande círculo é aquele obtido pela interseção do globo com um plano
passando pelo centro do globo. DynAtlas tem o recurso de desenhar o arco de grande círculo e
calcular a distância aproximada entre duas capitais (a curva em azul claro na Figura 2 é o arco
de grande círculo ligando Brasília a Pequim). O aluno também perceberá que arcos de grandes
círculos não são necessariamente projetados em segmentos de retas no mapa.
Figura 3: Visualização dos ângulos que definem a latitude e longitude de um ponto.
Ensino Médio
A cartografia também é fonte de problemas matemáticos interessantes para o ensino médio.
•
Dadas as coordenadas geográficas (latitude e longitude), como calcular as coordenadas
cartesianas em R3 deste ponto?
Figura 4: Coordenadas cartesianas em função das coordenadas geográficas.
•
Dadas as coordenadas geográficas de duas localidades sobre a esfera, como calcular a distância
(medida sobre a esfera) entre estas duas localidades?
•
Como calcular uma expressão algébrica para a projeção estereográfica (Figura 5) do globo
terrestre?
Figura 5: A projeção estereográfica.
Ensino Superior
As ferramentas do cálculo e da geometria diferencial são indispensáveis para um estudo mais
detalhado da geometria do globo terrestre e das projeções cartográficas.
•
Com o cálculo a uma variável, é possível demonstrar que, de fato, as geodésicas na esfera são
arcos de grandes círculos (Feeman, 2002).
•
Loxodrômicas são curvas que fazem um ângulo constante com os meridianos. Elas são uteis em
navegações marítimas, pois correspondem a caminhos onde o compasso aponta sempre para
uma mesma direção. Usando cálculo a uma variável, é possível deduzir uma fórmula para a
projeção de Mercator, que é definida de forma a ter a seguinte propriedade marcante:
loxodrômicas sobre o globo terrestre são sempre projetadas em segmentos de reta no mapa.
•
A não existência de mapas livres de deformações é um corolário do Teorema Egrégio de Gauss
(Benítez.& Thome, 2002).
•
Deformações de comprimento, área e ângulo podem ser quantificadas através das formas
fundamentais em geometria diferencial (Richardus & Adler, 1974).
Através da indicatriz de Tissot e da projeção de um “anel flutuante”, o software DynAtlas oferece
uma contrapartida visual para o estudo das deformações inerentes a cada projeção cartográfica. A
indicatriz de Tissot foi proposta pelo matemático francês Marcel Tissot em 1859. Basicamente, a
técnica consiste em desenhar um certo número de círculos pequenos sobre o globo terrestre e
projetá-los no mapa. Se os círculos forem “infinitesimais”, Tissot mostrou que suas projeções são
elipses, cujos formatos evidenciam os efeitos da distorção (Figura 6).
Figura 6: A indicatriz de Tissot para a projeção Azimutal Equivalente de Lambert.
A idéia de projetar um “anel flutuante”, proposta por (Brainerd & Pang, 1998), é uma extensão da
indicatriz de Tissot: o usuário pode interativamente escolher a posição e o tamanho do círculo. O
uso de raios geodésicos no anel favorece a análise de distorções de ângulos.
Figura 7: “Anel flutuante” com centro no Rio de Janeiro e raio geodésico de 4000 km.
O mapa foi construído com a projeção estereográfica.
Referências
Benítez, J. & Thome, N. (2002). Applications of Differential Geometry to Cartography. Int. J. Math.
Educ. Sci. Technol., 35, 29-38.
Bortolossi, H. J. & de Almeida Jr., R. V. (2007). DynAtlas: Projeções Cartográficas e A Geometria
do Globo Terrestre. http://www.uff.br/mapprojections/mp_br.html.
Brainerd, J. & Pang, A. (1998). Floating Ring: A New Tool for Visualizing Distortion in Map
Projections. In F.-E. Wolter & N. M. Patrikalakis (Eds.), Proceedings Computer Graphics
International ‘98, IEEE Computer Society, 466-480. Hannover, Germany.
Feeman, T. G. (2002). Portraits of the Earth: A Mathematician Looks at Maps. Mathematical World,
Volume 18, AMS.
Richardus, P. & Adler, R. K. (1974). Map Projections for Geodesists, Cartographers and
Geographers. New York: Elsevier.
Wikipédia (2007). A Enciclopédia Livre da Internet. http://pt.wikipedia.org.