escola politécnica da universidade de são paulo

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
PME 2371 – Modelagem de Sistemas Mecânicos
Relatório parcial: Modelagem de uma transmissão
continuamente variável de polias expansivas
Flávio Domingos de Azevedo Quadros
6484190
Rodrigo Hideo Nishimura
7207006
Yuri Coelho van Berghem
7207826
Felipe Soares de Barros Barreto
7208925
São Paulo, 5 de novembro de 2012
Índice
1
Objetivos ............................................................................................ 1
2
Introdução sobre o sistema real ......................................................... 2
3
Modelo físico ...................................................................................... 4
4
Hipóteses simplificadoras .................................................................. 6
5
Modelo matemático............................................................................ 7
5.1
Polia motora ................................................................................ 7
5.1.1 Força da mola de compressão................................................. 8
5.1.2 Força (inercial) centrífuga em um braço .................................. 8
5.2
Polia Movida .............................................................................. 10
5.2.1 Força de compressão da mola............................................... 10
5.2.2 Torque de torção da mola ...................................................... 10
5.2.3 Força do camo no prato interno ............................................. 11
5.3
Correia....................................................................................... 11
5.4
Aceleração do veículo ............................................................... 13
6
Continuação do trabalho .................................................................. 14
7
Bibliografia ....................................................................................... 15
1 Objetivos
O objetivo deste trabalho é o estudo da modelagem de uma transmissão
continuamente variável (em inglês, CVT) de polias expansivas.
Mais especificamente, será analisada uma transmissão de correia de
borracha da marca Gaged Engineering, modelo GX-9 (Figura 1). Feita para
veículos de arrancada da categoria Junior Dragster, o caso estudado será de
seu uso como parte da transmissão de um veículo do tipo Baja SAE.
Figura 1 - Modelo GX-9 da Gaged Engineering
A variação de relação de transmissão deste dispositivo ocorre com a
aproximação e afastamento dos pratos que compôem as polias, o que é
controlado automaticamente por mecanismos sensíveis à rotação do motor, ao
torque no eixo de saída e à abertura das polias.
Este trabalho visa relacionar a relação de transmissão com as variáveis
mencionadas, para estimar o seu comportamento na aceleração do veículo.
Será desenvolvido um modelo linear simplificado, que permitirá uma análise
limitada do sistema em condições específicas, usando as ferramentas teóricas
vistas em sala de aula. Além disso, será feito um modelo numérico explicito
que permite simular o sistema com mais exatidão para uma faixa maior de
condições.
1
2 Introdução sobre o sistema real
A transmissão continuamente variável (CVT) foi idealizada por Leonardo
da Vinci a mais de 500 anos e está sendo utilizada em alguns carros há cerca
de 20 anos. O câmbio CVT pode substituir a caixa de transmissão
convencional, baseada em engrenagens e um número fixo de marchas.
Atualmente, com o aumento da eletrônica agregada à área automotiva,
esse tipo de transmissão utiliza vários microprocessadores e controladores, de
forma a tornar seu funcionamento mais eficiente. Neste presente trabalho, o
sistema mecânico em questão não dispõe de controles eletrônicos, e por este
motivo deve ser modelado e simulado para seu uso no Baja. O modelamento e
simulação têm o objetivo de buscar os parâmetros ótimos para seu
funcionamento específico no Baja, com o objetivo de melhor o desempenho em
aceleração do veículo.
A transmissão continuamente variável é constituída de duas polias, uma
motriz e uma movida, e uma correia em V (Figura 1). O funcionamento é
baseado na mudança de relação pela aproximação e afastamento entre os
pratos de cada polia, alterando o raio efetivo de transmissão.
O diagrama da Figura 2 demonstra uma curva característica de
velocidade do motor por velocidade do veículo para um snowmobile que usa
transmissão semelhante. As características de operação são as mesmas do
caso estudado.
Figura 2 - Curva característica de uma CVT (AAEN, 2007)
A região A representa uma rotação do motor baixa, que não é suficiente
para vencer a pré-tensão da mola na polia motora; não há contato com a
correia e a transmissão está desacoplada. No ponto B há o início do
engajamento, à medida que a força do mecanismo centrífugo vence a força da
mola e os pratos da polia motora encostam na correia. Há uma transição em C
conforme a correia é pressionada e a parte movida acelera até entrar em
equilíbrio com a velocidade do motor (funcionamento como embreagem). Em D
o veículo continua acelerando e a transmissão opera na sua relação máxima
(Figura 3). Quando a força na polia motora vence a pré-tensão na polia movida,
inicia-se a mudança de relação, essa transição é a parte E do gráfico. F é a
região de mudança, onde, idealmente, a rotação do motor é constante na
rotação de potência máxima (dados os objetivos do carro na competição). G é
a região de over-drive, onde a transmissão opera na sua marcha mais alta
(redução mínima, Figura 3).
A boa calibragem dos parâmetros da CVT visa obter curva com
determinadas características: um ponto de engajamento B alto suficiente para
boa arrancada sem que haja escorregamento excessivo das rodas (um
engajamento muito alto também é indesejável pelo ponto de vista de conforto e
durabilidade da correia); um ponto E ligeiramente acima da rotação de máxima
potência (dado que há perda de rotação em seguida pela reação da polia
movida); uma região F o mais constante e próxima possível da rotação de
máxima potência; uma eficiência de transmissão alta, que varia conforme
alguns parâmetros de ajuste de velocidade (notavelmente, a eficiência diminui
com forças de pressão excessivas na polia movida).
Figura 3 - Relações de transmissão máxima (esq.) e mínima (dir.) (AAEN, 2007)
3 Modelo físico
Por ser um sistema de parâmetros que variam dinamicamente durante a
operação e ser baseado em mecanismos de fricção, que não são lineares, é
necessário fazer diversas simplificações e restrições ao modelo para
representar o sistema real com as ferramentas teóricas vistas em sala de aula.
As hipóteses simplificadoras serão descritas em maior detalhe na próxima
seção do relatório.
O modelo visa representar a dinâmica da mudança de relação de
transmissão com a velocidade, ignorando a variação de eficiência de
transmissão e os efeitos transitórios em que há escorregamento excessivo da
correia com os pratos. Assim, ele visa representar a parte F da Figura 2.
Dadas as exigências da disciplina, o sistema foi modelado com 3
variáveis: a abertura de cada polia e a rotação da polia movida. As aberturas
das polias estão relacionadas a inércias de abertura e são relacionadas por um
mola-amortecedor que tenta manter o comprimento da correia constante, como
no sistema real. A velocidade da polia movida está associada à inercia do
veículo (considerando que não há escorregamento dos pneus) e interage com
as outras variáveis uma vez que elas determinam a relação de transmissão.
O diagrama da Figura 4 representa o modelo físico básico descrito.
Figura 4 - Modelo físico geral da CVT para o modelo linear
Tem-se como entrada o torque resistivo
, relativo à resistência ao
movimento que o veículo encontra. A saída é a velocidade do veículo,
proporcional à velocidade angular da polia movida,
.
No diagrama da Figura 4, o símbolo de mola (com letra k) é usado para
relações lineares entre as variáveis, com setas indicando quando a força
aplica-se apenas a um dos lados. As duas “molas” incidindo sobre a inércia do
carro representam o torque motor que chega à polia movida, que varia
conforme a relação de transmissão (e, portanto, com as aberturas das polias).
As “molas” entre a referência e as aberturas representam o efeito das molas de
compressão e torção nas polias.
Os símbolos de amortecedor viscoso (com letra b) representam forças
proporcionais à derivada das variáveis. A mola e amortecedor indo do bloco da
velocidade movida aos blocos de abertura das polias representa o mecanismo
centrífugo na motora e o camo sensível a torque na movida, respectivamente.
Como mencionado, o mola-amortecedor entre as aberturas representa a
correia.
4 Hipóteses simplificadoras
Para que seja possível elaborar um modelo menos complexo e sem
prejuízo significativo na precisão da resposta obtida, algumas hipóteses
simplificadoras devem ser adotadas.
Dessa maneira, foram consideradas as seguintes hipóteses:
•
Escorregamento da correia desconsiderado;
•
Molas de compressão e torção lineares;
•
Corpos rígidos (sem deformação de eixos ou pratos);
•
Roda do veículo não escorrega;
•
Eficiência constante;
•
Torque e rotação do motor constante (região de mudança de marcha).
Além dessas, outras simplificações geométricas foram adotadas no
modelo matemático e serão introduzidas conforme o desenvolvimento do
modelo for apresentado a seguir.
5 Modelo matemático
Os mecanismos básicos de funcionamento da CVT foram primeiramente
modelados de forma separadamente e depois integrados no modelo geral visto
na seção anterior. Conforme mencionado, pode-se pensar em quatro
mecanismos principais nas polias: mola da motora, centrífuga da motora, mola
da movida, camo da movida. Além disso, foi modelada a relação entre uma
polia e outra, isto é, a correia.
5.1 Polia motora
O diagrama da Figura mostra as principais variáveis consideradas no
equacionamento da polia motora.
Figura 5 - Vista em corte da polia motora
5.1.1 Força da mola de compressão
A mola, vista na Figura 6, foi considerada como linear.
Figura 6 - Polia motora com a mola de compressão em destaque
Pela Lei de Hooke, a força axial será:
Onde
é a constante de rigidez da mola e
é o deslocamento
associado à força de pré tensão na montagem da mola.
5.1.2 Força (inercial) centrífuga em um braço
Figura 7 - Mecanismo centrífugo e seu modelo
A força centrífuga varia conforme a posição:
Onde a massa pontual
é estimada como o total das pequenas massas
naquele braço somadas com metade da massa do próprio braço (observar que
isto é uma aproximação):
O raio
é função de
e da curva da rampinha, aqui simplificada por uma
reta de inclinação :
Onde
é a distância da base do braço ao eixo da polia e
é o
comprimento efetivo do braço.
Considerando uma rampinha de inclinação constante
em função de
, pode-se definir
, do comprimento do braço, da inclinação
e do valor de
:
̇
√
(
)
(
)
Esta relação foi aproximada como linear. Sendo a série de Taylor:
∑
Para obter uma aproximação linear, utiliza-se a soma até
:
̇
Dada que a função original é bem próxima de uma reta, foi feita a
aproximação a partir do ponto
ao invés de um
intermediário, o que
resulta em equações mais simples:
̇
A relação entre
e
foi linearizada da mesma forma:
Com essa relação, pode-se escrever a força axial em função de
(
)
e
(
:
)
5.2 Polia Movida
O diagrama da Figura mostra o movimento de abertura e fechamento da
polia movida. A abertura
mesma forma que
é positiva com os pratos se aproximando (da
) e a rotação angular
em relação ao camo aumenta
com a abertura.
Figura 8 – Força e torque de abertura da polia movida devido à mola
5.2.1 Força de compressão da mola
Modelando a mola como linear, pela Lei de Hooke:
Onde
é a constante de rigidez da mola e
é o deslocamento
associado à força de pré tensão na montagem da mola
5.2.2 Torque de torção da mola
O torque que a mola causa entre o conjunto camo-eixo-prato externo e o
prato interno é avaliado como:
Onde
é a constante de rigidez à torção da mola,
entre o camo e o prato interno e
é o ângulo associado ao torque de pré
tensão na montagem da mola.
Pode-se escrever
é variação angular
em função da abertura da polia:
(
)
Onde
é o ângulo do rasgo no camo, considerado constante ao longo do
curso dos roletes. A força axial devido a esse momento será função do raio de
contato do camo
e do ângulo :
5.2.3 Força do camo no prato interno
A polia movida é dividida em duas partes: prato interno com roletes, e
prato externo com eixo e camo. O torque transmitido de uma a outra, devido à
inclinação do contato no camo, resulta em uma força de abertura da polia
(força um prato contra o outro). O ângulo do rasgo do camo e a posição dos
roletes que transmitem o torque podem ser vistos na Figura 8.
Dessa forma, a força axial devido a esse mecanismo será:
A relação de transmissão será considerada como uma função de
e
,
conforme discutido adiante, na seção sobre a correia.
5.3 Correia
O ângulo de abraçamento da polia movida é dado por:
(
Onde
é a distância entre eixos,
e
)
são os raios efetivos da correia
nas polias motora e movida. O comprimento da correia será:
(
)
Os raios efetivos podem ser escritos em função de
entre os pratos das polias e a vertical,
Onde
Logo:
e
e
, e do ângulo
(igual para as duas polias):
são os raios mínimos (equivalentes a
).
(
)
Pode-se escrever o comprimento da correia em função de
(
e
:
)
(
)
(
)
(
(
(
))
)
(
)
A relação de transmissão é definida como:
Essas relações são difíceis de se linearizar analiticamente. Por isso, a
relação linear entre
e
foi obtida numericamente pelo método dos mínimos
quadrados. A Figura 9 mostra essa aproximação, que resultou em um erro
máximo de 0,5 mm.
Figura 9 - Linearização da relação entre x_1 e x_2
A relação de transmissão em função de
e
foi obtida da mesma
forma, a partir dos valores calculados com as fórmulas não lineares vistas
acima. A Figura 10 mostra que, neste caso, o erro de aproximação é maior.
Figura 10 - Relação de transmissão em função da abertura das polias
5.4 Aceleração do veículo
A aceleração do veículo é modelada pela equação de movimento:
̈
Onde
é a inércia enxergada na polia movida e é associada não só à
rotação dos componentes do trem de forças, mas também à massa estática de
todo o carro e seu piloto,
Onde
:
é o raio de rolagem dinâmico dos pneus,
transmissão da caixa de redução por engrenagens,
dos componentes no eixo da polia movida,
componentes no eixo final.
é a relação de
é a inércia rotativa
é a inércia rotativa dos
6 Continuação do trabalho
Como próximos passos, planeja-se escrever as equações do modelo
linear a partir do modelo físico e matemático descrito neste relatório.
Implementando o modelo linear e um modelo não linear no Scilab, será
possível simular a dinâmica do sistema e analisar os resultados.
7 Bibliografia
[1] AAEN, O. Clutch Tuning Handbook. Aaens performance. 2007
[2] ALBUQUERUQE, A. Caracterização da Resposta Dinâmica de uma
CVT por Polias Expansivas. 2003. Dissertação (mestrado) – Faculdade
de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 2003.
[3] CHEN, T.F.; LEE, D.W.; SUNG, C.K. An Experimental Study on
Transmission Efficiency of a Rubber V-Belt CVT. Mechanism and
Machine Theory. 1996.
[4] RODRIGUES, M. Modelagem Teórica, Simulação e Testes de uma
Transmissão Continuamente Variável para Veículo Baja SAE. 2011.
Trabalho de conclusão de curso – Escola Politécnica, Universidade de
São Paulo, São Paulo, 2011.