Template Guia de EstudosNro1_Cinematica - Projeto TICS

Cinemática da partícula
Tecnologias de Informação e Comunicação na Educação
Professora Karen Luz Burgoa Rosso
Tutor Antônio Marcelo Martins Maciel
Lavras/MG
2011
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Ficha catalográfica preparada pela Divisão de Processos
Técnicos da Biblioteca Central da UFLA
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Índice
Unidade 1 .......................................................................................................... 5
1.1.
A descrição física do problema ............................................................. 6
1.2. Partícula ..................................................................................................... 7
1.3. Cinemática da partícula ............................................................................ 7
1.4. Equações gerais da cinemática ............................................................. 11
1.4.1. Os vetores posição, velocidade e aceleração .................................... 11
1.5. Equações da cinemática em casos particulares .................................. 15
1.5.1. Equações da cinemática para aceleração constante nas três dimensões.
......................................................................................................................... 15
1.5.2. Equações da cinemática no caso de aceleração constante numa
dimensão e velocidade constante na outra dimensão. ............................... 16
1.6. Combinação de movimentos para uma partícula ................................. 17
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Unidade 1
OBJETIVO: Nesta primeira unidade priorizaremos a descrição física e
matemática do movimento de uma partícula.
Analisaremos os conceitos
físicos, tais como, partícula, posição, velocidade, trajetória de uma
partícula. Finalmente para a descrição matemática do movimento da
partícula usaremos o conceito de sistemas de referência e aplicaremos o
cálculo diferencial, derivadas, integrais, e a análise vetorial em uma, duas,
e três dimensões.
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1.1. A descrição física do problema
O problema a ser resolvido consiste em obter as equações que
descrevem o movimento de um objeto, isto é, a sua posição,
velocidade e aceleração a qualquer instante de tempo. Isto será feito a
partir do conhecimento da sua aceleração e da sua posição ou
velocidade num instante de tempo anterior ou posterior.
Exemplo: Consideremos um caminhão verde numa estrada reta. As
14h, instante de tempo inicial, o caminhão passa pelo ponto S 1 e ele
esta com uma velocidade de 60km/h, em direção ao ponto S2.
Gostaríamos de saber qual é a velocidade que ele terá num instante
posterior, por exemplo, às 14h15min, dado que sua aceleração é nula
nesse intervalo de tempo de 15min, ou gostaríamos de saber se o
caminhão passou ou não pelo ponto S2, passados esses 15min.
Para resolver este problema precisamos obter as equações da
cinemática do caminhão, dada as condições iniciais ao tempo de
14h e conhecendo que o movimento não possui aceleração. Mas
ainda existe uma questão a ser respondida, de que parte do
caminhão se está falando? Quando o caminhão passa por S 1 é a
parte da frente ou a parte traseira? Para responder a esta
pergunta precisamos do um conceito muito importante, que na
física é chamado de partícula.
Na mecânica as equações da cinemática são descritas para as
partículas, então precisamos definir o que é uma partícula.
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1.2. Partícula
Na física uma partícula é um objeto pontual ao qual podemos
associar varias propriedades físicas, como por exemplo, posição,
velocidade, massa, etc. Se os objetos podem ser ou não
considerados como partículas depende do fenômeno físico que
esta sendo estudado.
Exemplos:
Estudar o movimento da queda livre de uma pedra, de 3cm de
diâmetro, dentro de um elevador, de 2,5 m de altura. Neste caso
se considerarmos que o elevador é uma partícula então não
poderá resolver o problema do movimento da pedra. Já
considerando a pedra, e o chão do elevador como partículas em
movimento. Então poderemos usar as equações da cinemática
para resolver este problema.
Estudar a posição de um trem, de 10m de cumprimento, que
percorre uma ponte, de 3m de comprimento, a uma velocidade de
1m/s. Neste caso se considerarmos que o trem é uma partícula
nós teremos um problema ao afirmar que o trem percorreu a
ponte de 3m em um tempo de 3s, pois o trem mede 10m e em 3s
o trem ainda esta na ponte. Se consideramos que o trem percorre
uma ponte de 300km de comprimento, então poderemos
considerá-lo como partícula.
1.3. Cinemática da partícula
Cinemática é uma área da física que estuda o movimento dos
corpos, que podem ser modelados como partículas. Na
cinemática não levamos em conta como os corpos foram
colocados em movimento, isto será feito na unidade dois, de
dinâmica.
As equações da cinemática dependem primeiramente do espaço
dimensional no qual acontece o movimento dos corpos. Um corpo
pode-se movimentar em uma, dois ou três dimensões.
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Exemplos
Movimentos numa dimensão:
Um carro, fusca amarelo, que se movimenta a velocidade
constante numa estrada reta, do ponto S1 a S2, tem um
movimento unidimensional horizontal.
A queda livre de uma pedra que foi lançada do terraço de um
prédio tem um movimento unidimensional vertical, veja a figura do
ponto C ao ponto E.
Movimentos em duas dimensões:
Um carro de corrida numa pista circular descreve um movimento
bidimensional na forma de um circulo.
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Uma bola sendo lançado por um jogador de basquete descreve
um movimento bidimensional na forma de uma parábola.
Movimentos em três dimensões:
Uma sequência de carrinhos no trilho de uma montanha russa,
com curvas fechadas, altas subidas e descidas além de várias
ondulações em seu percurso, descreve um movimento em três
dimensões.
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O movimento do corpo, que acontece em alguma dimensão,
traceja um caminho durante seu movimento. Na física este
caminho é chamado de trajetória da partícula. No caso da pedra e
do fusca amarelo, fisicamente dizemos que a partícula descreveu
uma trajetória retilínea. No caso da bola de basquete ela
descreveu uma trajetória parabólica. O carro de corrida descreveu
uma trajetória circular.
Fisicamente falando o fusca amarelo é igual à pedra, pois os dois
são partículas. A trajetória do fusca amarelo e da pedra caindo do
prédio é a mesma, retilínea. Entretanto, o tempo gasto no
percurso pode ser completamente diferente. No caso do fusca
amarelo o tempo gasto em percorrer uma distancia de 24m
dependerá somente do valor da sua velocidade, por exemplo, se
a velocidade é de 24m/s, o tempo gasto será de 1s. No caso da
pedra, devido à aceleração da gravidade, a velocidade aumentará
em 9,81m/s a cada segundo que passa, então para determinar o
tempo gasto para percorrer a distância de 24m precisaremos da
velocidade da pedra há um tempo inicial e também deveremos
levar em conta a sua aceleração.
Por esta razão na cinemática não somente precisamos levar em
conta se o movimento foi em uma, duas ou três dimensões
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também será necessário saber se o movimento é ou não
acelerado.
As equações da cinemática também dependem da aceleração no
movimento dos corpos. Uma partícula pode-se movimentar em
uma dimensão e não ter aceleração, como no caso do fusca
amarelo
a
velocidade
constante.
Uma
partícula
pode-se
movimentar a aceleração constante, como no caso da pedra
lançada do prédio. Também teremos o caso em que o vetor
aceleração varia no tempo, como no caso do movimento circular
do carro de corrida.
1.4. Equações gerais da cinemática
Matematicamente a descrição do movimento das partículas que
deslocam-se em uma, dois ou três dimensões é feita através de
vetores que descrevem posição, velocidade ou aceleração das
partículas. A forma das equações da cinemática dependerá do
tipo de aceleração que o movimento da partícula experimenta.
Antes de estudar o seguinte material, por favor, veja o vídeo
vetores e suas propriedades.
1.4.1. Os vetores posição, velocidade e aceleração
O movimento de uma partícula é completamente determinado se
a posição da partícula é conhecida em todos os tempos.
A posição da partícula é uma grandeza vetorial que indica a
posição física da partícula a cada instante de tempo, a partir de
uma origem, previamente determinada.
Matematicamente isto é expresso como:
r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k (1)
Onde em negrito são representadas as grandezas vetoriais e sem
negrito as grandezas escalares. O vetor r(t) é o vetor posição da
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partícula em três dimensões, os vetores unitários i, j e k indicam a
direção nos três eixos do nosso sistema de coordenadas. Os
escalares x(t), y(t) e z(t) representam as distâncias às quais a
partícula se encontra nas direções i, j e k correspondentemente.
As unidades em SI estão contidas nas grandezas escalares x(t),
y(t) e z(t).
O corpo que esta sendo estudado é representada através do
ponto azul, isto é a partícula para a qual queremos escrever as
equações da cinemática. A curva azul é a trajetória que a
partícula descreve. Os vetores verdes descrevem a posição da
partícula em dois instantes diferentes. O vetor rosa representa o
vetor deslocamento da partícula, de um instante de tempo t0 a um
instante de tempo posterior t1. O ponto A representa o instante
inicial em que a nossa partícula será estudada por nós.
Atenção: O ponto A não representa que a partícula esteja sem
movimento.
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A posição da partícula num ponto B pode ser determinada
sabendo o instante de tempo, t1, e através da equação.
r(t1) = x(t1) i + y(t1) j + z(t1) k
Para descobrir a velocidade da partícula em qualquer ponto B,
sabendo que a posição dela a quaisquer instante de tempo é r(t),
usamos a definição do vetor velocidade. A velocidade instantânea
é definida como a variação instantânea do espaço em função do
tempo.
Matematicamente isto é expresso como:
V(t) = d r(t) / dt (2)
Onde V(t) representa a velocidade instantânea da partícula, a
fração d /dt representa à função derivada, e r(t) a posição da
partícula no instante t. Então a velocidade da partícula no ponto B
é V(t1).
Igualmente para descobrir a aceleração instantânea da partícula
no ponto B é usada a sua definição. A aceleração instantânea de
uma partícula é a variação instantânea da velocidade no tempo.
Pela equação (2) conhecemos V(t) em quaisquer instantes de
tempo então por definição sabemos que a aceleração é:
a(t) = d V(t) / dt (3)
Onde a(t) representa a grandeza vetorial aceleração da partícula
no tempo t, a fração d /dt representa à função derivada, e V(t) é o
vetor velocidade da partícula no instante t. Então a aceleração da
partícula no ponto B é a(t1).
Exemplo:
Uma partícula num instante inicial t0=0[s] passa pelo ponto A, no
instante de tempo t1=5[s] passa pelo ponto B, e ao tempo final de
t2 =10[s] ela passa pelo ponto C. A posição da partícula, em
função do tempo, é descrita e descrita através da equação:
r(t) = 5[m/s]*t i + 8[m/s]*t2 j + (1[m/s]-4[m/s]*t) k
Determine a posição, velocidade e aceleração da partícula nos
pontos A, B, e C.
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A posição da partícula,
no ponto A é r(t0) = 1[m]k,
no ponto B é r(t1) = 25[m]i + 200[m]j-19[m]k,
e no ponto é C r(t2) = 50[m]i + 800[m]j-39[m]k.
A velocidade instantânea da partícula é:
V(t) = 5[m/s] i + 16[m/s]*t j - 4[m/s] k
Conseguintemente a velocidade da partícula,
no ponto A é v(t0) = 5[m/s]i -4[m/s]k,
no ponto B é v(t1) = 5[m/s]i + 80[m/s]j-4[m/s]k,
e no ponto C é v(t2) = 5[m/s]i + 160[m/s]j-4[m/s]k.
A velocidade instantânea da partícula é:
a(t) = 16[m/s2] j
Conseguintemente a aceleração da partícula no ponto A, B e C é
constante e igual a a(t0) = 16[m/ s2]j.
Quando conhecida a posição da partícula a quaisquer instante de
tempo é possível determinar a velocidade e aceleração
instantânea da partícula. Na maioria dos casos não é conhecida a
posição da partícula e sim a aceleração a qual esta submetida.
Nesse caso podemos determinar a velocidade da partícula
através da função inversa da derivada, que é conhecida como a
integral. Então para achar a velocidade da partícula em função da
aceleração temos a seguinte equação:
(4)
Onde V(t) é a velocidade a quaisquer tempo t, V(t0) é a velocidade
num instante de tempo anterior a t, e a(t´) é a aceleração
instantânea da partícula.
Para determinar a posição a cada instante de tempo deve-se
integrar a velocidade da partícula, isto é:
(5)
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Onde r(t) é a posição a quaisquer tempo t, r(t0) é a posição da
partícula num instante de tempo anterior a t, e v(t´) é a aceleração
instantânea da partícula.
1.5. Equações da cinemática em casos particulares
A partir das equações gerais da cinemática, veja Eqs. (1), (2) e (3)
ou (4) e (5) é possível determinar todas as características do
movimento das partículas. Nesta seção aplicaremos as equações
(4) e (5) para determinar a velocidade e posição instantânea de
uma partícula com aceleração constante.
1.5.1. Equações da cinemática para aceleração
constante nas três dimensões.
Com aceleração constante no tempo e a partir da equação (4)
temos que:
V(t) –V(t0) = a*(t-t0) ou
V(t) = V(t0) + a*(t-t0)
(6)
Para determinar a posição da partícula precisamos resolver a
integral da equação (5) com a velocidade determinada na
equação (6). Matematicamente obtemos:
r(t) = r(t0) + v*(t-t0) + ½*a*(t-t0)2 (7)
As equações (6) e (7) são as conhecidas equações da cinemática
para o caso de aceleração constante.
No caso em que a aceleração é nula, isto é, uma partícula a
velocidade constante. A posição instantânea da partícula é:
r(t) = r(t0) + v*(t-t0) (8)
As equações (6) e (7) descrevem completamente o movimento da
partícula a aceleração constante, ou seja, uma partícula em
movimento retilíneo uniformemente variado MRUV. Observe que
ditas equações precisam das grandezas físicas, velocidade e
posição, conhecidas num ponto inicial, isto é, é necessário
conhecer r(t0) e v(t0) para resolver o problema completamente. A
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equação (8) é conhecida como a equação que descreve o
movimento retilíneo uniformemente MRU.
Observe que as equações para MRU e MRUV que foram
apresentadas estão escritas de forma vetorial, isto significa, que
em o vetor aceleração constante, velocidade e posição estão em
três dimensões. Pode resultar mais facilmente conhecido escrever
as equações (6), (7) e (8) numa dimensão.
1.5.2. Equações da cinemática no caso de aceleração
constante numa dimensão e velocidade constante na
outra dimensão.
Uma partícula que descreve um movimento combinado, de MRU
na horizontal e um movimento MRUV na vertical, é conhecida
como o movimento parabólico. Um exemplo muito comum de
partículas que descrevem este tipo de movimento pode ser
encontrado nas bolas de futebol, veja a seguinte figura.
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As equações que descrevem este movimento parabólico são:
As equações do movimento da partícula na horizontal e do
movimento na vertical elas se juntam através do tempo e do vetor
velocidade, que é a soma vetorial da velocidade na direção
vertical mais o vetor velocidade na direção horizontal.
1.6. Combinação de movimentos para uma partícula
Como foi visto no exemplo do jogador de futebol a combinação
dos movimentos foi dada através da soma vetorial das
componentes
da
velocidade.
Quando
uma
partícula
esta
submetida a dois, ou mais velocidades, a velocidade resultante
por ela adquirida será a soma vetorial das velocidades. Vejamos o
seguinte
Exemplo:
Seja um barco que tem uma velocidade na direção leste, Vb, que
se encontra num rio cuja corrente está na direção sul com uma
velocidade Vr. O barco terá um movimento na direção sudeste,
pois a velocidade será:
V = Vb+ Vr
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Onde o vetor velocidade resultante V está desenhado na cor
laranja na figura embaixo.
Este fato de somar as velocidades para encontrar a velocidade
com a qual a partícula desenhara a trajetória do seu movimento é
aplicado também para as grandezas vetoriais da aceleração e da
posição. Na seguinte unidade, sobre dinâmica, será visto que este
conceito de soma também é aplicado aos vetores das forças às
quais as partículas são submetidas.
1.7 Bibliografia
Raymond A. Serway e John W. Jewett, Jr. Princípios de
Física, Volume 1, tradução ao português da Terceira edição
Americana, 2004.
Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos de Física, Volume
1, Oitava Edição, 2007.
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