SME0141 Álgebra Linear e Equações Diferenciais - ICMC

SME0141 Álgebra Linear e
Equações Diferenciais
Aula 9
Maria Luísa Bambozzi de Oliveira
marialuisa @ icmc . usp . br
Sala: 3-145
Página: http://www.icmc.usp.br/∼marialuisa
1 de setembro de 2011
Aula passada
Equação Exata/Não-Exata:
Para a equação diferencial
P(t, y) + Q(t, y)y0 = 0,
se
∂
∂
∂y
P(t, y) 6=
Q(t, y),
∂t
então a equação diferencial não é exata. Como
resolver?
Encontrar fator integrante μ(t, y) (que pode depender
só de t ou só de y) tal que
μ(t, y)P(t, y) + μ(t, y)Q(t, y)y0 = 0
seja exata.
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Problemas
Exemplo: Um objeto em queda de massa m é solto da
posição de repouso em um meio que oferece
resistência proporcional à velocidade do objeto.
Determinar a velocidade no instante t.
Solução:
O que queremos no final? Velocidade no instante t: v(t).
Que informações o problema fornece?
objeto com massa m em queda: soma das forças
dv(t)
atuando no objeto é igual a m dt ;
força peso: mg;
solto da posição de repouso: v(0) = 0;
resistência proporcional à velocidade do objeto:
força −kv(t);
m
dv
dt
= mg − kv
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Problemas (cont.)
Exemplo: Um objeto em queda de massa m é solto da
posição de repouso em um meio que oferece
resistência proporcional à velocidade do objeto.
Determinar a velocidade no instante t.
¨
mv0 = mg − kv
v(0) = 0
k
mv0 = mg − kv ⇔ mv0 + kv = mg ⇔ v0 + v = g
m
k 0
k
k
k
Fator integrante: e m t , pois e m t = e m t .
m
k
d
k
k
k
k
k
e m t v0 + e m t v = ge m t ⇒
e m t v = ge m t
m
dt
mg
mg k
k
⇒ v(t) =
+ Ce− m t ∴ v(t) =
1 − e− m t
k
k
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Problemas (cont.)
Interpretações:
É
taxa (de variação), razão, coeficiente angular da
reta tangente: derivada;
É
(diretamente) proporcional a: k · (?)
(Ex.: “taxa de variação proporcional à velocidade”:
v0 = kv);
k
inversamente proporcional a:
(?)
(Ex.: “taxa de variação inversamente proporcional
à velocidade”: v0 = kv );
É
É
proporcional ao restante: k · (total − (?));
É
···
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Problemas (cont.)
Exemplo: A taxa de variação da pressão atmosférica P
em relação à altura h é diretamente proporcional à
pressão. Supondo que a pressão a 2000 metros seja
metade de seu valor P0 ao nível do mar, achar a
fórmula para qualquer altura.
Solução:

0
P (h) = kP(h)
P(0) = P0

P(2000) = P20
(nível do mar: h = 0m)
h
⇒ P(h) = P0 2− 2000
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Problemas (cont.)
Exemplo: Um paciente X infectado com uma doença
contagiosa deu entrada em um hospital com 99
pacientes internados não-infectados. Sabendo que a
taxa de contaminação é diretamente proporcional à
quantidade de pacientes infectados e também à
quantidade de pacientes não-infectados, determine a
quantidade de pacientes infectados um tempo t após a
entrada do paciente X no hospital.
Solução:
Se q(t) é o número de pacientes infectados, e sendo o
número total de pacientes igual a 100, então
¨
100
q0 (t) = k q(t) (100 − q(t))
, t≥0
⇒ q(t) =
q(0) = 1
1 + 99e−100kt
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Revisão
Capítulo 1 – Noções Preliminares:
É Espaço Euclidiano n-dimensional
É
É
É
É
É
É
É
n-uplas/vetores;
Propriedades de vetores (A1-4), (M1-4);
Combinação linear;
Produto interno;
Espaço Euclidiano;
Ortogonalidade/ortonormalidade.
Matrizes
É
É
É
É
Matriz, ordem, elemento, linha, coluna, diagonal;
Tipos de matrizes (quadrada, nula, coluna, linha,
diagonal,identidade, triangular superior/inferior,
simétrica, anti-simétrica);
Operações em matrizes: transposta, soma, produto,
inversa;
Propriedades.
Maria Luísa
SME0141 Aula 9
Revisão (cont.)
É
Sistemas Lineares
É
É
É
É
É
Estrutura, definições;
Homogêneo/não-homogêneo, tipos de sistemas;
Solução: Método de Eliminação de Gauss /
Gauss-Jordan;
Inversa de matriz.
Determinante
É
É
Menor, cofator, determinante;
Propriedades.
Capítulo 2 – Equações de Primeira Ordem
É
Definições: EDO, EDP, ordem, solução, PVI;
É
Equações separáveis;
É
Equações lineares;
É
Equação de Bernoulli;
É
Equações exatas/não-exatas.
Maria Luísa
SME0141 Aula 9