Estudo dos Capacitores

Teo. 9 - Capacitância
S.J.Troise
9.1
Introdução
Uma das importantes aplicações da Eletrostática é a possibilidade de construir
dispositivos que permitem o armazenamento de cargas elétricas. Esses dispositivos são
chamados capacitores cuja medida é chamada capacitância.
Para entender os capacitores consideremos dois condutores isolados, separados
por um meio isolante, inicialmente descarregados o que implica que não existe ddp entre
eles. Suponhamos agora que entre esses dois condutores seja aplicada uma diferença de
potencial V a qual provocará o aparecimento de uma corrente elétrica entre os dois
condutores que persistirá até que a diferença de potencial entre os condutores seja
igual à aplicada. Lembrando que corrente elétrica é deslocamento de elétrons, cada um
dois condutores passa a apresentar cargas iguais em medida porém de sinais contrários.
Figura 9-1
Por definição chama-se capacitância ou capacidade do sistema à relação entre a
carga que se deposita no sistema e a ddp aplicada, ou seja
C =
Q
V
Equação 9-1
Coulomb
C
=
= Farad = F . Na prática usam-se submúltiplos desta
Volt
V
cuja unidade é
unidade, conforme tabela:
mF
miliFarad
1 / 103 Farad
µF
microFarad
1 / 106 Farad
nF
nanoFarad
1 / 10 9 Farad
µµF = pF
1 / 1012 Farad
micromicroFarad
ou
picoFarad
Os capacitores são representados pelo símbolo
9.1.1
Exercícios
9.1.1.1 ( ) Aplica-se uma diferença de potencial de 10V sobre um capacitor de capacidade
armazenada.
22pF .
Calcule a carga por ele
Resp:
9.1.1.2 ( ) Qual a diferença de potencial que deve ser aplicada sobre um capacitor de
de
100µF para que ele adquira uma carga
20µC ?
Resp:
9.1.1.3 ( ) Aplicando-se uma diferença de potencial de 35V sobre um capacitor observa-se que a carga sobre ele armazenada é
de 135µC . Calcule a capacitância do capacitor.
Resp:
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9.2
Capacitores planos paralelos
Apliquemos a definição acima em um caso particular que consiste de dois
condutores planos de área S separados de um material isolante de permissividade ε 0 de
espessura
d , tal que esta espessura seja pequena comparada com a área das placas.
Figura 2
Aplicada uma diferença de potencial V , cada uma das placas adquirirá uma carga
de cargas serão dadas por
Q , tal que as densidades superficiais
σ+ =
Q+
S
e
Q−
S
σ− =
Equação 9-2
sendo σ + = σ − = σ e, sendo as placas grandes, podemos considerar o vetor campo elétrico
gerado por cada uma das placas normal a elas e dado por
Existirão no interior das placas
E+ =
E =
σ
(vide capítulo 7).
2.ε0
dois campos elétricos gerados pelas duas placas
σ+
σ−
e E− =
, de mesma intensidade e mesmo sentido de tal forma que o campo
2.ε0
2.ε0
resultante será
E = E+ + E− =
σ
ε0
Observando agora que o vetor campo elétrico esta na direção do eixo x auxiliar,
podemos escrever
E = −
V =
B
∫
σ
dV
=
que integrando:
ε0
dx
dV = VB − VA =
A
B
∫
A
σ
σ
σ
dx =
⋅ d
⋅ (x B − x A ) =
ε0
ε0
ε0
Figura 3
Q
S .d = Q.d ou ainda,
Lembrando a definição da densidade superficial de cargas podemos escrever V =
.S.ε0
ε0
lembrando a definição de capacitância dada pela Equação 9-3 teremos:
C =
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ε ⋅S
Q
= 0
V
d
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Equação 9-4
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que é a expressão que permite calcular a capacitância de um sistema constituído
de duas placas planas e paralelas. Observemos que essa capacitância aumenta com a área
das placas e diminui com o aumento da separação entre elas bem como depende do material
isolante que as separa através da sua permissividade.
Observando a Equação 9.2-3 verifica-se que a capacitância do capacitor depende
da permissividade do meio. Lembrando o que foi dito no força de interação entre corpos
eletrizados capítulo 3, esta permissividade varia de meio para meio e é dada por
ε = ε r ⋅ ε 0 . Assim, se o meio dielétrico não for o vácuo, a capacitância é dada por
C =
9.2.1
ε ⋅ ε0 ⋅ S
Q
= r
V
d
Exercícios
9.2.1.1 ( ) Calcule a capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas de área
10cm2
separadas de uma distância de
1 mm supondo que o dielétrico seja: a) o vácuo, b) o ar, c) água, d) borracha, e) glicerina.
Resp:
9.2.1.2 ( ) Deseja-se construir um capacitor de capacidade
Calcule a área das placas a serem utilizadas.
2mF
utilizando-se papel de espessura
2mm
como meio dielétrico
Resp:
9.2.1.3 ( ) Um capacitor, chamado cilíndrico. é constituído de dois condutores cilíndricos concêntricos, o maior oco de raio a e o
menor, interno, de raio b. Calcule a capacitância do mesmo.
Resp:
9.3
Associação de capacitores
Em muitas aplicações práticas os capacitores são associados, tanto em série como
em paralelo. Em ambas as situações temos interesse em conhecer a chamada capacitância
equivalente, isto é, a capacidade de um capacitor que sozinho produz o mesmo efeito. O
princípio básico que nos permite estudar estas associações, e portanto determinar a
capacitância equivalente, é o princípio da conservação da carga, isto é, estando um
sistema isolado a carga elétrica existente no mesmo se conserva. Lembremos que carga
elétrica corresponde ao número de elétrons - eles não podem aparecer ou desaparecer.
9.3.1
Associação em paralelo
Consideremos os dois capacitores de capacitâncias C1 e C 2 , inicialmente isolados
e descarregados. Suponhamos então que eles sejam associados em paralelo e que sobre
essa associação seja aplicada uma diferença de potencial V .
Figura 9-4
Nestas condições, cada um dos capacitores adquirirá cargas elétricas resultantes
da potencial V aplicado sobre eles. Portanto a carga adquirida por cada um deles pode
ser calculada a partir da definição de capacitância, ou seja:.
Q1 = C1 ⋅ V e Q 2 = C 2 ⋅ V
Equação 9-5
Isto significa que, como resultado da associação uma carga total:
Q = Q1 + Q 2
Equação 9-6
é armazenada pelo sistema. Procuremos a capacitância equivalente, isto é, aquela que
sob a mesma diferença de potencial armazena esta carga.
No capacitor equivalente deveremos ter:
Q = C eq ⋅ V
Equação 9-7
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Figura 9-5
Substituindo as relações dadas pela Equação 9-3-1 na Equação 9-3-3 podemos
escrever:
Q = C1 ⋅ V + C2 ⋅ V
Q = (C1 + C2 ) ⋅ V
ou
Equação 9-8
Comparando com a Equação 9-3-5 concluímos que:
Ceq = C1 + C2
Equação 9-9
Ou seja, quando capacitores são associados em paralelo, a capacitância
equivalente da associação é a soma das capacitâncias associadas. Este resultado foi
obtido com apenas dois capacitores associados. Entretanto podemos generalizar: quando n
capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma dos n
capacitores associados.
9.3.2
Associação em série
Consideremos os dois capacitores de capacitâncias C1
e C2 Suponhamos então
que eles sejam conectados em série e, que seja aplicada uma diferença de potencial V
sobre a associação.
Figura 9-6
Quando a diferença de potencial é conectada acontece um movimento de cargas
elétricas carregando o sistema ou seja, os dois capacitores passam a apresentar carga
elétrica.
Sejam
as
cargas
adquiridas
pelos
dois
capacitores
Q1
e
Q2
respectivamente. Mostremos que essas duas cargas são iguais. Para isto observe a figura
lado que ilustra a situação. A região da associação marcada por (a) inicialmente não
apresentava cargas. Agora passou a apresentar a carga total Q1 + Q 2 . Como a carga
elétrica se conserva, deveremos ter
Q1 +Q 2 = 0 ou Q1 = −Q 2
Equação 9-10
o que demonstra que os dois capacitores adquirem cargas iguais.
Chamemos esta carga comum aos dois capacitores de
diferença de potencial sobre cada capacitor será:
V1 =
Q
C1
e
V2 =
Q . Nestas condições, a
Q
C2
Equação 9-11
Observando que os capacitores estão em série e que, portanto os potenciais se
somam podemos escrever:
V = V1 + V2
ou
V =
Q
Q
+
C1
C2
ou
⎛ 1
1 ⎞
⎟
+
V = Q ⋅ ⎜⎜
C2 ⎟⎠
⎝ C1
Equação 9-12
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Procuremos agora a capacitância equivalente. Lembremos que é a capacitância de
um capacitor que sozinho é capaz de armazenar a mesma carga sob a mesma diferença de
potencial. A carga armazenada pela associação é Q quando a diferença de potencial é
V e portanto, a partir da definição podemos escrever:
Q
V =
Ceq
Equação 9-13
Comparando as equações Equação 9-7 e Equação 9-8 podemos concluir:
1
1
1
=
+
Ceq
C1
C2
Equação 9-14
ou seja, numa associação em série o inverso da capacitância equivalente é igual à soma
dos inversos das capacitâncias associadas. Este resultado pode ser generalizado para n
capacitores associados em série.
9.3.3
Exercícios
9.3.3.1 ( ) Dois capacitores iguais, de capacitâncias
equivalente em cada caso.
4,7pF são associados em série e em paralelo. Determine a capacitância
Resp:
9.3.3.2 ( ) Determine a capacitância resultante em cada uma das situações abaixo.
Resp:
9.3.3.3 ( ) Considere dois capacitores de capacitâncias
potenciais
V1 = 3V
e
V2 = 2V
C1 = 2µF
e
C2 = 3µF
conectados inicialmente aos
respectivamente, Suponha que esses dois capacitores sejam conectados em
paralelo, com as polaridades coincidentes. Determine as cargas resultantes da cada capacitor bem como a tensão final.
Resp:
Q1 = 4,8µF , Q 2 = 7,2µF e V = 2,4 V
9.3.3.4 ( ) Resolva o exercício 9.3.3.1 supondo polaridades não coincidentes
Resp:
Q1 = 0 , Q2 = 0
e
V = 0
9.3.3.5 ( ) Suponha que no exercício 9.3.3.3 que a conexão seja feita de tal forma que a placa positiva de um seja conectada à
placa positiva do outro. Calcule a carga e o potencial de cada capacitor após a conexão.
Resp:
9.3.3.6 ( ) Considere os três capacitores da figura abaixo previamente carregados e conectados como mostrado. Observando
atentamente a polaridade de cada capacitor, determine a ddp final da associação.
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Resp:
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a ) 0,76 V b) 0,29 V c ) 3,4 V
d ) 6,75V e) 2,46 V f ) 3,93V
9.4
9.4.1
Carga e descarga de capacitores
Processo Carga do Capacitor:
Estudemos agora o processo de carga de um capacitor. Na definição dissemos que
quando um capacitor é conectado a uma fonte de tensão
V0 ele adquire uma carga Q0 tal
que Q0 = C ⋅ V0 . Observe a figura abaixo: ela ilustra o processo de carga no qual o
capacitor é conectado diretamente sobre a fonte pelo fechamento da chave ch.
Figura 9-7
Quando isto acontece aparece uma corrente através dos fios condutores, chamada
corrente de carga, a qual cessa quando a diferença de potencial sobre o capacitor se
iguala àquela da fonte. Como os fios condutores não apresentam resistência essa
corrente de carga é grande e a carga Q0 aparece sobre o capacitor quase que
instantaneamente.
Suponhamos agora que o processo de carga ocorra através de um resistor conforme
figura ao abaixo.
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Figura 9-8
Quando é fechada a chave ch aparece a corrente de carga, porém como existe
resistência, essa corrente é limitada e o processo de carga é mais lento pois o
potencial sobre o capacitor aumenta gradativamente e portanto a diferença de potencial[
sobre o resistor diminuí, fazendo com que a corrente fique cada vez menor. Chamemos de
I( t ) a corrente no circuito.
Determinemos como varia a carga sobre o capacitor em função do tempo, ou seja
determinemos Q( t ) , supondo que a chave ch é fechada no instante t = 0 no qual o
capacitor está descarregado. Para isso lembremos que, passado o tempo, o capacitor
atingirá uma carga Q0 , tal quer
Q0 = C ⋅ V0 , ou ainda, tal que
V0 =
Q0
C
Equação 9-15
Apliquemos a lei das malhas na Figura 9-4-2:
V0 = VR + VC
Equação 9-16
onde
VR = R ⋅ I( t ) é a queda de potencial no resistor, VC =
Q( t )
é a queda de potencial
C
no capacitor. Substituindo na Equação 9-16
V0 = R ⋅ I( t ) +
Q( t )
C
Equação 9-17
Lembrando agora que I( t ) =
Q
dQ( t )
e que V0 = 0 a Equação 9-17 fica:
dt
C
Q0
dQ(t) Q(t)
= R ⋅
+
dt
C
C
Equação 9-18
Que é uma equação na qual não se conhece Q( t ) que pode ser determinada por
integração, bastando para isto que se separe as variáveis. Assim procedendo:
Q 0 − Q( t ) dQ( t )
=
R ⋅C
dt
ou
dQ( t )
1
=
⋅ dt
Q 0 − Q( t ) R ⋅ C
Fazendo agora a mudança de variáveis Q0 − Q(t) = z (a) teremos que
e substituindo
dz = −dQ(t)
− dz
1
=
⋅ dt
z
R ⋅C
que pode ser integrada entre os instantes t = 0 no qual o capacitor está descarregado,
Q(0) = 0 , e um instante qualquer t tem que o capacitor apresenta carga Q( t )
− ln z
t
=
0
− ln (Q0 − Q(t))
t
0
t
1
⋅ t
R ⋅ C
0
=
Lembrando a definição de
z:
1
1
⋅ t ou − [ln (Q0 − Q(t)) − ln (Q0 − Q(0))] =
⋅ t ou
R ⋅C
R ⋅ C
ainda
ln
Q0 − Q(t)
1
= −
⋅t
Q0
R ⋅C
e passando para a exponencial correspondente:
1
−
⋅t
Q0 − Q(t)
= e R ⋅C
Q0
e finalmente:
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1
⎛
−
⋅ t ⎞⎟
⎜
R
⋅
C
Q(t) = Q0 ⎜1 − e
⎟⎟
⎜
⎝
⎠
Figura 9-9
que é a expressão que fornece a carga sobre o capacitor em função do tempo.
Figura 9-10
O gráfico acima mostra o comportamento da carga durante o processo de carga,
crescente tendendo ao valor final Q 0 . A partir deste resultado podemos obter a
variação do potencial sobre o capacitor, bastando lembrar a definição de capacitância.
Obtermos:
1
⎛
−
⋅ t ⎞⎟
⎜
R
⋅
C
V(t) = V0 ⎜1 − e
⎟⎟
⎜
⎝
⎠
Equação 9-19
Que apresenta o mesmo comportamento mostrado na figura acima.
A partir da expressão da carga podemos obter o comportamento da corrente no
processo de carga. Para isto lembremos que
I =
obteremos:
dQ(t)
. Derivando então a Equação 9-17
dt
1
−
⋅t
1
I( t ) =
⋅ e R ⋅C
R ⋅C
Equação 9-20
Figura 9-11
Na figura ao acima é mostrado o comportamento da corrente em função do tempo.
Observe que quando
t = 0 temos I(0) =
1
= I0 que é a corrente que acontece no
R ⋅ C
momento do fechamento da chave e que, com o passar do tempo a corrente diminui
exponencialmente tendendo a zero. Isto se justifica pelo que foi dito acima: na medida
em que o capacitor carrega, o potencial sobre ele aumenta, diminuindo a diferença de
potencial sobre o resistor o quer causa redução na corrente.
9.4.2
Descarga do Capacitor carregado:
Estudemos agora processo inverso, ou seja, o processo de descarga do capacitor.
Para isto consideremos um capacitor que tenha sido carregado por um potencial
V0 ,
adquirindo uma carga Q 0 . Este capacitor pode ser descarregado diretamente, colocando
seus conectores em curso circuito. Quando isto ocorre, aparece uma corrente de alta
intensidade que o descarrega quase que instantaneamente.
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Figura 9-12
Consideremos uma outra situação na qual o capacitor seja descarregado através de
um resistor R através do fechamento da chave ch no instante t = 0 conforme mostrado na
figura ao lado. Aplicando nesse circuito a lei das malhas:
VR + VC = 0 ou R ⋅ I( t ) +
Q( t )
=0
C
dQ( t )
dQ(t) Q(t)
teremos R
+
= 0 que pode ser integrada desde o
dt
dt
C
instante inicial t = 0 no qual a carga do capacitor é Q 0 até um instante qualquer t no
qual a carga é Q( t ) . Separando as variáveis e integrando:
Sendo
I( t ) =
dQ(t)
1
= −
⋅ dt
Q(t)
R ⋅ C
ou
ln Q(t) − ln Q(0) = −
quociente:
ln
t
∫
ou
0
dQ(t)
1
= −
⋅
Q(t)
R ⋅ C
1
⋅ t.
R ⋅ C
Q(t)
1
= −
⋅ t
Q0
R ⋅ C
A
t
∫
dt
ou
ln Q( t )
0
0
aplicando
a
t
propriedade
do
=−
t
1
t
RC 0
logaritmo
do
Aplicando agora a definição de logaritmo:
1
⋅t
R
Q( t ) = Q 0 ⋅ e ⋅C
−
Equação 9-21
Que dá o comportamento da carga do capacitor durante o processo de descarga
através de um resistor. Este resultado mostra que a carga diminui exponencialmente com
o tempo.
Podemos agora aplicar a definição de capacitância e obter o comportamento do
potencial sobre o capacitor, obteremos:
1
⋅t
R
V(t) = V0 ⋅ e ⋅ C
−
Figura 9-13
Nesta equação V0 é o potencial inicial do capacitor. A figura acima mostra o
comportamento do potencial durante o processo de descarga.
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