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F602 Eletromagnetismo II
Turma C
2o. Semestre - 2010
Márcio José Menon
Capítulo II LEIS DE CONSERVAÇÃO
• ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
Introdução: Leis de Conservação Locais
Conservação da Carga Elétrica - Revisão
Conservação da Energia
Conservação do Momento
Resumo
1. Introdução: Leis de Conservação Locais
2. Conservação da Carga Elétrica - Revisão
2.1 Forma Integral
2.2 Forma Diferencial
3. Conservação da Energia
3.1 Energia Eletromagnética
3.1.1 Taxa Temporal de Trabalho Realizado pela Força Eletromagnética sobre Cargas
a) Expressão em Termos do Campo Elétrico e Densidade Volumétrica de Corrente
b) Expressão em Termos dos Campos Elétrico e Magnético: Teorema de Poynting
b.1) Dedução Formal
b.2) Interpretações Físicas - Vetor de Poynting
• Energia Eletromagnética Armazenada
• Energia Eletromagnética Transportada - Fluxo do Vetor de Poynting
3.1.2 Resumo e Conclusões
3.2 Lei da Conservação da Energia - Eletromagnética e Mecânica
3.2.1 Expressão Geral
3.2.2 Forma Diferencial
3.2.3 Analogias entre as Leis de Conservação da Carga e da Energia
3.3 Exemplos e Aplicações
4. Conservação do Momento
4.1 Força Eletromagnética sobre Densidades de Cargas e Correntes
4.1.1 Expressão em Termos dos Campos e Densidades
4.1.2 Expressão em Termos dos Campos Elétrico e Magnético: Tensor de Maxwell
a) Dedução Formal
b) Interpretações Físicas do Tensor de Maxwell: Pressões e Cisalhamentos
c) Exemplos e Aplicações do Tensor de Maxwell
4.2 Momento Linear Associado ao Campo Eletromagnético
4.2.1 Conceito e Interpretação Física
2
4.2.2 Lei de Conservação do Momento Linear - Eletromagnético e Mecânico
a) Expressão Geral
b) Forma Diferencial
4.2.3 Momento Angular Associado ao Campo Eletromagnético
4.2.4 Exemplos e Aplicações
5. Resumo
• QUESTÕES PROPOSTAS
Os exemplos e problemas indicados, referem-se à referência principal (Griffiths, 3a. edição).
Exercícios Básicos e de Revisão
- Identidades Vetoriais (Griffiths, Cap. 1):
~ · [F~ × G
~]=G
~ · [∇
~ × F~ ] − F~ · [∇
~ ×G
~]
∇
~ F~ · G
~ ] = F~ × [∇
~ ×G
~ ]+G
~ × [∇
~ × F~ ] + [F~ · ∇]
~ G
~ + [G
~ · ∇]
~ F~
∇[
~ :
Para F~ = G
~ × F~ ] + 2 [F~ · ∇
~ ]F~
2 F~ × [∇
- Problemas 2.12 e 2.43
- Exemplo 7.8
- Exemplo 5.9 e Problema 7.15 (aproximação quase-estacionária).
1. Introdução: Leis de Conservação Locais
Questão 1. Explique o que significa uma lei de conservação local.
2. Conservação da Carga Elétrica - Revisão
Questão 2. Considere um volume fixo (imaginário) ν, limitado por uma superfície S, contendo cargas elétricas que variam com o tempo. Deduza a equação de continuidade (conservação da carga elétrica) nas formas integral e diferencial.
3. Conservação da Energia
Questão 3. Considere uma região do espaço de volume ν, limitado por uma superfície
~ Sejam E
~ eB
~ os campos
S, contendo cargas e correntes, densidades volumétricas ρ e J.
3
produzidos por essas densidades, os quais atuam sobre as próprias cargas e correntes. Mostre
que a taxa temporal de realização de trabalho pela força eletromagnética sobre cargas, pode
ser expressa por
Z
dW
~ · J~ dτ.
= E
dt
ν
Questão 3. a) Utilizando as equações de Maxwell da eletrodinâmica, expresse a resposta da
questão anterior em termos dos campos elétrico e magnético, demonstrando o Teorema de
Poynting:
Z I ~
~
dW
1
E ×B
B2
d
2
ǫ0 E +
dτ −
=−
· n̂ da.
dt
dt ν 2
µ0
µ0
S
b) Qual é o significado físico de cada termo dessa equação?
c) Qual é o significado físico do vetor definido por
~
~
~ ≡ E×B
S
µ0
(Vetor de Poynting)
e de seu fluxo através da superfície S?
Questão 5. a) Com base nos resultados da questão anterior e discutindo as conexões entre
energia eletromagnética e energia mecânica (não eletromagnética), deduza a equação de
continuidade da densidade de energia, na forma diferencial (lei de conservação da energia):
∂ dUem dUmec
~ · S.
~
= −∇
+
∂t dτ
dτ
b) Interprete fisicamente cada termo dessa equação e discuta as analogias com a equação de
continuidade da questão 2 (conservação da carga elétrica).
Questão 6. Exemplo 8.1.
Questão 7. Problema 8.15, ítem (a).
4. Conservação do Momento
Questão 8. Considere a seguinte grandeza vetorial
~ ·A
~ ]A
~ + [A
~·∇
~ ]A
~ − 1∇
~ 2 [A2 ].
~g = [∇
2
~ e∇
~ em termos de componentes numa base retangular (cartesiana)
a) Expressando ~g , A
{x̂1 , x̂2 , x̂3 }, mostre que uma componente genérica gj de ~g é dada por:
3
X
δij 2
∂
Ai Aj − A ,
gj =
∂xi
2
i=1
j = 1, 2, 3.
4
b) Como o termo entre parêntesis da expressão acima depende de dois índices, pode-se
definir
Ai Aj −
δij 2
A ≡ Aij ,
2
de modo que a componente gj é expressa por
3
X
∂
gj =
Aij
∂xi
i=1
j = 1, 2, 3.
Denotando uma matriz quadrada 3×3 por M, uma matriz coluna 3×1 por |Mi e uma matriz
linha 1 × 3 por hM|, escreva a representação matricial da equação acima. Dê as expressões
explícitas de cada matriz, em termos de seus elementos.
c) Qual a notação vetorial para a representação matricial do ítem anterior? O que significa o
símbolo de uma seta com dois sentidos?
↔
~ · A.
c) ~g = ∇
Respostas: b) hg| = h∂/∂x|A;
Questão 9. Considere um volume ν limitado por uma superfície S, contendo cargas (ρ)
~ Mostre que a densidade volumétrica de força sobre as cargas, devida aos
e correntes (J).
~ e magnético B,
~ pode ser escrita como:
campos elétrico E
dF~
~ + J~ × B.
~
= ρE
f~ ≡
dτ
Questão 10. a) Expresse o resultado da questão anterior somente em termos dos campos
elétrico e magnético. Para tanto, elimine ρ e J~ através das equações de Maxwell da eletrodinâmica, obtendo
1~ 2
~
~
~
~
~
~
~
f = ǫ0 (∇ · E)E + (E · ∇)E − ∇(E )
2
1~ 2
1
~
~
~
~
~
~
(∇ · B)B + (B · ∇)B − ∇(B )
+
µ0
2
∂ ~
~
− ǫ0 (E
× B).
∂t
b) Mostre que esse resultado pode ser escrito na forma compacta (questão 8):
~
↔
~ · T − µ0 ǫ0 ∂ S ,
f~ = ∇
∂t
↔
~ é o vetor de Poynting e T o tensor das tensões de Maxwell, com elementos de matriz
onde S
dados por
1
δij 2
δij 2
Bi Bj − B .
Tij = ǫ0 Ei Ej − E +
2
µ0
2
5
c) Mostre que a força sobre as cargas no volume ν de superfície S pode ser expressa por
Z
I
↔
d
~
Sdτ.
T · d~a − µ0 ǫ0
F~ =
dt ν
S
d) Interprete fisicamente cada termo nessa equação. O que há de notável no termo correspondente à integral de superfície?
Questão 11. Explique o significado físico do tensor das tensões de Maxwell em termos de
pressões e de cisalhamentos.
Questão 12. Problema 8.4.
Questão 13. Problema 8.5, ítens (a) e (b).
Questão 14. Exemplo 8.2.
Questão 15. Mostre que o tensor das tensões de Maxwell, da questão anterior, possui a
seguinte representação matricial, em coordenadas cartesianas

x21 − x22 − x23
2x1 x2
2x1 x3
C 
,
(Tij ) =
2x2 x1
x22 − x21 − x23
2x2 x3
2
2
2
2
2x3 x1
2x3 x2
x3 − x1 − x2

onde
C=

 = ǫ0 (kQ/R3 )2 dentro da esfera

= ǫ0 (kQ/r 3 )2 fora da esfera
Obs. A definição formal de um tensor é baseada no modo como suas componentes (elementos) se transformam numa rotação (transformação) do sistema de coordenadas.
Questão 16. a) Com base nos resultados da questão 10 e considerando a segunda lei de
Newton,
d~pmec
F~ =
,
~pmec : mecânico,
dt
explique o conceito de momento linear (quantidade de movimento) associado ao campo
eletromagnético, mostrando que
Z
~ dτ.
p~em = µ0 ǫ0 S
ν
Discuta as propriedades de armazenamento e transporte de quantidade de movimento pelos
campos eletromagnéticos.
b) Mostre que a lei de conservação do momento linear, na forma diferencial, é expressa por:
↔
∂ d~pem d~pmec
~ · T.
=∇
+
∂t dτ
dτ
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c) Interprete fisicamente cada termo dessa equação e discuta as analogias com a equação de
continuidade da carga elétrica e da energia (questões 2 e 5).
Questão 17. Exemplo 8.3.
Questão 18. Problema 8.5, ítens (c) e (d).
Questão 19. Os campos eletromagnéticos transportam momento angular? Explique como
são estabelecidas as conexões analíticas.
Questão 20. Exemplo 8.4.
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