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1 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Questão: um protão que está em repouso é sujeito à acção de um campo eléctrico como se esquematiza na figura. Determine a velocidade com que choca sobre a placa negativa. Descrição do evento e acções físicas: Escolha do referencial e variáveis no referencial: Equacinar o problema: Teorema da energia cinética Cálculos intermédios: Trabalho do campo eléctrico ao longo do percurso x Variação da energia cinética da partícula Velocidade final da partícula + E + + + + + v=0 + + +q + + + + x + - 2 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Resposta final Questão : um electrão deslocase como se esquematiza na figura impacto com o ecrã. E v0 -e Descrição do evento e acções físicas: ---------- -l1 Escolha do referencial e variáveis no referencial: Equacinar o problema: lei do movimento lei do movimento a= a= v= v= = = Cálculos intermédios: deflexão em l1 deflexão em l2 y2 +++++++++ ao lado. Calcule a sua deflexão no y1 ecrã l2 3 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Resposta final Cálculo de campos eléctricos devidos a distribuições contínuas de carga Densidade de carga: dq = Aplicação da lei de Coulomb: dE = Simetria do problema - sistema de coordenadas e variáveis a usar: Expressão do campo elementar: dE = Integração sobre toda a distribuição de carga: 4 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Operador gradiente em coordenadas esféricas Para uma carga pontual q Para um dipolo pontual p 5 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Potencial eléctrico devido a distribuições contínuas de carga Densidade de carga: dq = Potencial devido a carga pontual: dV = Sistema de coordenadas e variáveis a usar: Expressão do potencial devido a carga pontual no referencial e segundo as variáveis definidas: dV = Integração sobre toda a distribuição de carga: V= 6 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Utilização da lei de Gauss para o cálculo de campos eléctricos Exemplo I: Calcule o campo eléctrico que a distribuição da carga Q em todo o volume de uma esfera de raio R cria em todo o espaço. As regiões onde se deve calcular o vector E são definidas por: A distribuição de carga tem simetria ______________________, pelo que a superfície gaussiana a usar é _____________________ centrado(a) em ___________________ Na superfície escolhida: - o campo eléctrico é: - a normal é: - e o produto escalar: pelo que o integral de superfície vem: A carga que está contida dentro da superfície escolhida é: Usando a lei de Gauss para obter E, tem-se: Q/e 0 7 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Utilização da lei de Gauss para o cálculo de campos eléctricos Exemplo II: Calcule o campo eléctrico que uma linha infinita com a densidade linear de carga ? cria em todo o espaço. As regiões onde se deve calcular o vector E são definidas por: A distribuição de carga tem simetria ______________________, pelo que a superfície gaussiana a usar é _____________________ centrado(a) em ___________________ Na superfície escolhida: - o campo eléctrico é: - a normal é: - e o produto escalar: pelo que o integral de superfície vem: A carga que está contida dentro da superfície escolhida é: Usando a lei de Gauss para obter E, tem-se: Q/e 0 8 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Utilização da lei de Gauss para o cálculo de campos eléctricos Exemplo III: Calcule o campo eléctrico que um plano infinito com a densidade superficial de carga s cria em todo o espaço. As regiões onde se deve calcular o vector E são definidas por: A distribuição de carga tem simetria ______________________, pelo que a superfície gaussiana a usar é _____________________ centrado(a) em ___________________ Na superfície escolhida: - o campo eléctrico é: - a normal é: - e o produto escalar: pelo que o integral de superfície vem: A carga que está contida dentro da superfície escolhida é: Usando a lei de Gauss para obter E, tem-se: Q/e 0 9 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Condições fronteira do campo electrostático Problema 1: A figura representa a fronteira de separação entre dois meios materiais onde existem campos eléctricos diferentes. Os dois meios têm diferentes permitividades e1 e e2. a) Calcule a circulação do campo eléctrico ao longo de um quadrado localizado junto à fronteira de modo a que dois dos lados se situem cada um em seu material. b) Repita o cálculo para a hipótese de o perímetro do quadrado ser muito reduzido. c) Considere ainda a hipótese de os lados que atravessam os dois meios tenderem para zero, continuando os outros dois em materiais diferentes. Qual é o valor da circulação do campo eléctrico? d) Que pode concluir a propósito do campo eléctrico na fronteira? a) O integral Lados Meio 2 Meio 1 deve considerar 4 lados em que se tem, num plano XY: 1 2 3 4 Ex Ey dlx dly A circulação do campo eléctrico é: b) Uma hipótese interessante é a de os 2 lados em cada um dos materiais se reduzirem de modo a ficarem paralelos à fronteira. Nesse caso: Lados Ex Ey dlx dly 1 2 3 4 10 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 A circulação do campo eléctrico é: A circulação do campo eléctrico deve ter valor nulo, porque ele é conservativo. c) No limite em que h tende para zero tem-se: Lados 1 2 3 4 Ex Ey dlx dly A circulação do campo eléctrico é: d) No meio 1 o campo eléctrico é _________________________________________ e tem a grandeza _____________________________. No meio 2 o campo eléctrico é _________________________________________ e tem a grandeza _____________________________. Deve concluir-se que O que se traduz pela equação: Quanto à componente normal do campo eléctrico, nada se pode concluir. 11 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 Problema 2: A figura representa a fronteira de separação entre dois meios materiais onde existem campos eléctricos diferentes. Os dois meios têm diferentes permitividades e1 e e2. a) Calcule o fluxo do vector campo eléctrico que sai da superfície de um cilindro cujas bases se situem cada uma em seu material. b) Repita o cálculo para a hipótese de a área das bases ser muito reduzida. c) Considere ainda a hipótese de a altura do cilindro tender para zero, continuando cada uma das bases em seu material. Qual é o valor do fluxo do campo eléctrico? Qual é a carga contida na superfície fechada? d) No caso c) use a lei de Gauss para caracterizar o campo eléctrico na fronteira. a) O integral Meio 2 Meio 1 deve considerar 3 superfícies em que se tem, num plano XY: Superfície 1 2 3 Ex Ey dSx dSy O fluxo do campo eléctrico é: b) Uma hipótese interessante é a de as bases em cada um dos materiais se reduzirem de modo a que a sua normal fique perpendicular à fronteira. Nesse caso: Superfície Ex Ey dSx dSy 1 2 3 12 Electromagnetismo I Cursos de Licenciatura em Engenharia Física e em Física - Ramo Científico Questões teorico-práticas ano lectivo 2004-2005 O fluxo do campo eléctrico através da superfície fechada é: c) No limite em que h tende para zero tem-se: Superfície 1 2 3 Ex Ey dSx dSy O fluxo do campo eléctrico é: A carga contida na superfície fechada fica limitada à carga que se localize sobre a fronteira de separação dos dois meios: d) Como se trata de meios de permitividade diferente, é mais cómodo aplicar a lei de Gauss considerando o vector deslocamento, porque para campo eléctrico havia que considerar as cargas _____________ e de ______________. Para o vector deslocamento apenas se devem considerar as cargas _____________. Tem-se então: Se existir carga superficial, tem-se: o que se traduz pela equação: Se não existir carga superficial, a componente _____________ de ___________ é igual nos dois materiais; é contínua na superfíce de separação. Para concluir da componente tangencial do campo eléctrico, há que estudar _______
