2. (a)

Mestrado em Engenharia
Biomédica
1º Semestre, 2012/2013
Instituto Superior Técnico
Relatório do Segundo Trabalho de Matemática
Computacional
Matemática Computacional
Prof. Pedro Lima
Grupo 7
Ana Raquel Aguiar, nº 72727
Marta Ferreira, nº 72767
Nuno Matias, nº 73614
Introdução
Este projecto tem como objectivo aplicar conhecimentos de Matemática
Computacional para resolver problemas de integração numérica e de aproximação de
funções. Nomeadamente, para o primeiro aplicámos a regra dos trapézios e para o
segundo aproximámos no sentido dos mínimos quadrados.
Para responder às questões enunciadas implementámos funções no programa de
software Mathematica, de modo a obtermos resultados que nos permitirão tirar
conclusões sobre a eficiência destes métodos.
1.
Dados:
𝑏−𝑎

Número de sub-intervalos para um dado intervalo [𝑎, 𝑏]: 𝑛 =

Espaçamento dos sub-intervalos para um intervalo [𝑎, 𝑏]: ℎ𝑗 = 𝜋/(8 ∗ 2𝑗 ), 𝑗 =
0, 1, … , 6;
(2)

Nós de integração: 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛

Comprimento da trajectória percorrida durante o intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇: 𝑙(𝑇) =
𝑇
(4)
∫0 √𝑥´(𝑡)2 + 𝑦´(𝑡)2 𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 2 cos(𝑡)
(5)

𝑦(𝑡) = sin(𝑡)
(6)
ℎ
(1)
(3)
Tabela 1
𝑇
0
𝜋/8
𝜋/4
3𝜋/8
𝜋/2
𝑙(𝑇)
0
0.4203609423
0.9656637442
1.6516477475
2.4222112055
1
Nesta pergunta pretende-se calcular uma aproximação do integral (4) através da regra dos
𝜋 2𝜋 3𝜋 𝜋
trapézios usando passos da forma (2), no caso de 𝑇 ∈ {0, 8 , 8 , 8 , 2 }.
A fórmula de quadratura da regra dos trapézios é definida por:
𝐿(𝑓) =
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )]
2
(7)
A fórmula (7) é obtida considerando 𝑛 = 1, ou seja, apenas para um intervalo com dois
nós de integração. Mas no problema pedido pretende-se calcular o integral para vários
sub-intervalos 𝑗 (o que corresponde a vários nós de integração), pelo que deduzimos a
fórmula composta da regra dos trapézios (Nota 1).
Para tal, primeiro começa-se com o exemplo simples de adicionar mais um nó, além dos
dois nós do intervalo de integração. Para uma questão de visualização, o gráfico seguinte
ilustra este caso.
𝑥0
𝑥1
𝑥2
Gráfico 1
Então a fórmula de quadratura para o caso do Gráfico 1 é obtida aplicando a fórmula (7)
aos intervalos [𝑥0 , 𝑥1 ] e [𝑥1 , 𝑥2 ] e somar ambas as fórmulas de cada intervalo:
ℎ
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )] + [𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )] =
2
2
ℎ
= [𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )] =
2
1
ℎ
= ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) + 𝑓(𝑥𝑘+1 ) (8)
2
𝑘=0
De seguida, usando o mesmo método para n sub-intervalos pode-se generalizar a fórmula
(8) do seguinte modo:
ℎ
ℎ
[𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥1 )] + ⋯ + [𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )] =
2
2
𝑛−1
ℎ
= ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ) + 𝑓(𝑥𝑘+1 ) (9)
2
𝑘=0
Para calcular o integral (4) construiu-se a função trap. Esta função recebe um a e um b que
representam os extremos do intervalo. Neste caso o a será sempre igual a 0 e o b irá
variar consoante os valores de 𝑇. A função também receberá um h que representa o
ℎ𝑗 (2), e um f que será a função a que estamos a aplicar o integral. De notar que no
somatório usado na função trap para aplicar a fórmula (9), os nós de integração são dados
pela fórmula (3), ou seja, um nó é obtido somando ao nó inicial um múltiplo (k) de h. Além
(𝑏−𝑎)
disso, o somatório vai de 𝑘 = 0 até 𝑛 − 1 que é o mesmo que dizer ℎ − 1, através da
fórmula (1).
A função f é a função que se obtém substituindo o 𝑥(𝑡) e o 𝑦(𝑡) na equação
√𝑥´(𝑡)2 + 𝑦´(𝑡)2 , respectivamente por (5) e (6). Assim obtém-se a função:
𝑓 = √4 sin(𝑡)2 + cos(𝑡)2
(10)
Apresenta-se em seguida os programas implementados h, f e trap:
h
Function j,
f
Function x , Sqrt 4 Sin x ^2
trap
Function
8 2^j
a, b, h, f , N
;
Cos x ^2
h 2 Sum f a
;
k 1 h
f a k h , k, 0, b
a
h
1
Aplicando a função trap aos diferentes valores de 𝑇 e usando passos ℎ𝑗 , 𝑗 = 0, … ,6
obtém-se a seguinte tabela de aproximações:
Tabela 2
𝒋
𝑻
0
𝝅
𝟖
𝟐𝝅
𝟖
𝟑𝝅
𝟖
𝝅
𝟐
0
1
2
3
4
5
6
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.431915 0.423214 0.421072 0.420539 0.420405 0.420372 0.420364
0.977936 0.968717 0.966426 0.965854 0.965711 0.965676 0.965667
1.6589
1.65346
1.6521
1.65176
1.65168
1.65165
1.65165
2.4221
2.4221
2.4221
2.4221
2.4221
2.4221
2.4221
Nota 1: Nesta pergunta poderíamos ter usado directamente a fórmula dos trapézios
composta deduzida nas aulas mas na altura não tomávamos conhecimento pelo que este
foi o procedimento que realizámos.
;
2.
(a)
Tendo em conta que 𝐿𝑗 é a aproximação do integral quando se utiliza o passo ℎ𝑗 , e 𝐸𝑗 é o
erro absoluto de 𝐿𝑗 , pretende-se determinar uma fórmula do majorante de 𝐸𝑗 para os
𝜋
𝜋
casos de 𝑇 = 8 e 𝑇 = 4 , e estimar de seguida o erro das aproximações obtidas na
pergunta 1.
A fórmula do majorante do erro da regra dos trapézios é dada por:
|𝐸𝑁𝑇 (𝑓)| ≤
(𝑏 − 𝑎) 2
ℎ𝑗 𝑚𝑎𝑥𝑥∈[𝑎,𝑏] |𝑓´´(𝑥)|
12
(11)
A partir da fórmula (11) determina-se facilmente as fórmulas do majorante 𝐸𝑗 para os
outros dois casos, substituindo simplesmente o 𝑎 por 0 e o 𝑏 pelo respectivo 𝑇.
𝜋
Para 𝑇 = 4 ,
|𝐸𝑁𝑇 (𝑓)|
≤
𝜋
(4 − 0)
≤
𝜋
(8 − 0)
12
ℎ𝑗2 𝑚𝑎𝑥𝑥∈[0,𝜋] |𝑓´´(𝑥)| =
𝜋 2
ℎ 𝑚𝑎𝑥𝑥∈[0,𝜋] |𝑓´´(𝑥)|
48 𝑗
4
(12)
ℎ𝑗2 𝑚𝑎𝑥𝑥∈[0,𝜋] |𝑓´´(𝑥)| =
𝜋 2
ℎ 𝑚𝑎𝑥𝑥∈[0,𝜋] |𝑓´´(𝑥)|
96 𝑗
8
(13)
4
𝜋
Para 𝑇 = 8 ,
|𝐸𝑁𝑇 (𝑓)|
12
8
Para estimar o erro das aproximações pode-se fazer uma função baseada na fórmula (11)
que tem de receber os diferentes valores de 𝑇, ou então, como sugerido na pergunta, usar
a fórmula deduzida (13) em que temos de fazer variar uma constante 𝑘, que toma os
valores 𝑘 = 0, 1, 2, 3, 4, para obter os diferentes valores de 𝑇 em função do valor de 𝑇 =
𝜋
, obtendo-se a seguinte fórmula:
8
|𝐸𝑁𝑇 (𝑓)| ≤
𝑘∗𝜋 2
ℎ 𝑚𝑎𝑥
𝑘∗𝜋 |𝑓´´(𝑥)|
𝑥∈[0,
]
96 𝑗
8
(14)
Decidimos tomar a segunda opção e construímos a função erroja1 que recebe um k, um h
e um f, que como já vimos correspondem respectivamente aos diferentes valores 𝑇, ℎ𝑗 e
à função (10). O programa implementado foi:
erroja1
max
k
96
Function
If k
k, h, f , Module
0, 0, FindMaxValue
h ^2 max
x, max ,
Abs D f x , x, 2
,0
x
k
8
, x, 0.1
;
;
Aplicando a função erroja1 para os diferentes valores de k e de j obtém-se a seguinte
tabela de majorantes do erro das aproximações:
Tabela 3
𝒋
𝑻
0
𝝅
𝟖
𝟐𝝅
𝟖
𝟑𝝅
𝟖
𝝅
𝟐
0
1
2
3
4
5
6
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.1514x10−1
0.3785x10−2
0.9462x10−3
0.2366x10−3
0.5914x10−4
0.1478x10−4
0.3696×10-5
0.3028x10−1
0.7570x10−2
0.1892x10−2
0.4731x10−3
0.1183x10−3
0.2957x10−4
0.7393×10-5
0.4542x10−1
0.1135x10−1
0.2839x10−2
0.7097x10−3
0.1774x10−3
0.4435x10−4
0.1109x10−4
0.6056x10−1
0.1514x10−1
0.3785x10−2
0.9462x10−3
0.2366x10−3
0.5914x10−4
0.1478x10−4
(b)
Pretende-se mostrar teoricamente a seguinte fórmula:
1
𝐸𝑗+1 ≈ (𝐿𝑗+1 − 𝐿𝑗 )
3
(15)
Para isso, recorre-se à fórmula do erro de integração:
𝐸 𝑇 (𝑓) = 𝐼(𝑓) − 𝐿(𝑓),
(16)
em que 𝐼(𝑓) é o integral (4) e 𝐿(𝑓) a aproximação.
Mas primeiro tem de se descobrir uma relação entre o 𝐸𝑗+1 e o 𝐸𝑗 , que se deduz a partir
da relação entre o ℎ𝑗+1 e o ℎ𝑗 .
𝜋
Temos que ℎ𝑗 = 8∗2𝑗 logo o ℎ𝑗+1 será definido por:
ℎ𝑗+1 =
𝜋
𝜋
1
𝜋
=
= ∗
𝑗+1
𝑗
8∗2
8∗2∗2
2 8 ∗ 2𝑗
concluindo-se que: ℎ𝑗+1 =
ℎ𝑗
(17)
2
De seguida, usa-se a fórmula do erro da regra dos trapézios,
𝐸𝑗 = −
(𝑏 − 𝑎)ℎ𝑗2
12
𝑓´´(𝑐)
(18)
para deduzir a relação entre 𝐸𝑗+1 e 𝐸𝑗 :
𝐸𝑗+1 = −
(𝑏 −
2
𝑎)ℎ𝑗+1
12
ℎ 2
(𝑏 − 𝑎) ( 𝑗 )
(𝑏 − 𝑎)ℎ𝑗2
1
2
𝑓´´(𝑐) = −
𝑓´´(𝑐) = (−
𝑓´´(𝑐))
12
4
12
1
conclui-se que: 𝐸𝑗+1 = 4 𝐸𝑗 (19)
Recorrendo agora à fórmula (16):
𝐸𝑗 − 𝐸𝑗+1 = (𝐼(𝑓) − 𝐿𝑗 ) − (𝐼(𝑓) − 𝐿𝑗+1 ) ⇔ 𝐸𝑗 − 𝐸𝑗+1 = 𝐿𝑗+1 − 𝐿𝑗 ⇔
1
⇔ 4𝐸𝑗+1 − 𝐸𝑗+1 = 𝐿𝑗+1 − 𝐿𝑗 ⇔ 𝐸𝑗+1 ≈ (𝐿𝑗+1 − 𝐿𝑗 )
3
Fica provado assim a fórmula pretendida.
De seguida pretende-se aplicar esta fórmula às aproximações obtidas na pergunta 1.
Neste caso, o erro 𝐸𝑗 cujo majorante foi calculado na alínea anterior corresponde a 𝐸𝑗+1 .
Por exemplo, 𝐸5 passa a ser representado por 𝐸4+1 . Dado que neste problema é somado 1
ao j, este tem de variar entre 0 e 5 de modo a que o último valor seja 𝐸6 . Por esta razão,
esta fórmula é aplicável para obter os erros 𝐸𝑗 , 𝑗 = 1, … 6, mas não para calcular 𝐸0 . Isto
seria impossível dado que teríamos de substituir o 𝑗 por −1 na fórmula, o que nos levaria
a aparecer um termo 𝐿−1 para o qual não existem valores.
Para os outros 𝐸𝑗 , construímos a função errojb que recebe um a e um b, que serão
respectivamente 0 e os valores de 𝑇, um h, o ℎ𝑗 , um f, a função (10) e um j, que varia de 0
a 5 e calcula o erro através da fórmula (15). A implementação desta função foi a seguinte:
errojb
1 3
Function
a, b, h, f, j ,
trap a, b, h j
1 ,f
trap a, b, h j , f
;
Assim pode-se obter a seguinte tabela de aproximações do erro, em que as colunas desta
representam respectivamente 𝐸0 e 𝐸𝑗+1 , em que j varia de 0 a 5. Desta forma obtêm-se os
valores de 𝐸0 , 𝐸0+1 , 𝐸1+1 ,…, 𝐸5+1 , aplicados a cada valor de T.
Tabela 4
𝒋
0
1
2
3
4
5
0
0.
0.
0.
0.
0.
0.
𝝅
𝟖
-0.2900x10−2
-0.7140x10−3
-0.1778x10−3
-0.4440x10−4
-0. 1110x10−4
-0.2774×10-5
𝟐𝝅
𝟖
-0.3073x10−2
-0.7638x10−3
-0.1906x10−3
-0.4763x10−4
-0.1191x10−4
-0.2976×10-5
𝟑𝝅
𝟖
-0.1814x10−2
-0.4522x10−3
-0.1129x10−3
-0. 2822x10−4
-0.7054×10-5
-0.1764×10-5
𝝅
𝟐
0.2986×10-5
0.1562×10-9
0.1480×10-15
-0.1480×10-15
0.1480×10-15
-0.1480×10-15
𝑻
É de notar que, apesar de alguns valores do erro serem negativos, o que importa no
critério de comparação é o seu valor absoluto.
(c)
Nesta alínea pede-se para comparar os erros obtidos nas duas alíneas anteriores com os
erros de facto cometidos, isto é, a diferença entre os valores dos integrais considerados
registados na Tabela 1 com as aproximações obtidas na pergunta 1.
Para sabermos essa diferença construiu-se a função qq que recebe uma lista l, que neste
caso será a lista dos valores dos integrais 𝑙(𝑇) da Tabela 1, e uma tabela m, que será a
tabela das aproximações obtida na pergunta 1, e devolve a diferença dos valores da
primeira com os respectivos da tabela de aproximações.
Seja tab essa lista e aprox essa tabela:
tab
aprox
0, 0.4203609423, 0.9656637442, 1.6516477475, 2.4222112055 ;
Table trap 0, i, h j , f , i, 0,
8, 2
8, 3
8,
2
, j, 0, 6
;
A função qq foi implementada da seguinte forma:
qq
Function
i
l, m , Module
i, j, aux, res ,
1;
res
;
While i
j
Length l ,
1;
aux
;
While j
aux
j
j
res
i
Length m
Append aux, l
i
,
i
m
i, j
;
1; ;
Append res, aux ;
i
res
1 ;
;
Ao aplicar qq a tab e a aprox, a tabela das diferenças é a seguinte:
Tabela 5
𝒋
0
1
2
3
4
5
6
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
-0.1155x10−1
-0.2853x10−2
-0.7109x10−3
-0.1776x10−3
-0.4438x10−4
-0. 1110x10−4
-0.2774×10-5
𝟐𝝅
-0.1227x10−1
𝟖
-0.3054x10−2
-0.7623x10−3
-0.1905x10−3
-0.4762x10−4
-0.1191x10−4
-0.2976×10-5
-0.1808x10−3
-0.4516x10−3
-0.1129x10−3
-0.2822x10−4
-0.7054×10-5
-0.1764×10-5
0.9915x10−4
0.9915x10−4
0.9915x10−4
0.9915x10−4
0.9915x10−4
0. 9915x10−4
𝑻
0
𝝅
𝟖
𝟑𝝅
-0.7250x10−2
𝟖
𝝅
0.1081x10−3
𝟐
Comentários relativamente às tabelas 3, 4 e 5:
Em todas as tabelas referidas, para um dado T, verifica-se uma diminuição do valor do
erro. Isto era de esperar já que, de acordo com a fórmula de ℎ𝑗 (2), quanto maior é o valor
de j, menor é o espaçamento entre nós, maior é o número de sub-intervalos, e por isso,
mais precisa é a aproximação do cálculo da função (10).
Comparando os majorantes dos erros (Tabela 3) e as diferenças entre os integrais exactos
e as aproximações correspondentes (Tabela 5), verifica-se que, de facto, todos os
primeiros são superiores aos segundos.
Equiparando agora os resultados da Tabela 4 com os da Tabela 5, pode concluir-se que a
dedução do erro pela fórmula (15) é uma boa aproximação do erro verdadeiramente
cometido (16). No geral observa-se que, para um mesmo valor de j, os erros tendem a
diminuir com o aumento do intervalo de integração, excepto, por exemplo, em 𝑇 = 2𝜋/
8, em que se revela um aumento relativamente aos intervalos anteriores.
Estas conclusões não podem ser tiradas acerca do intervalo 𝑇 = 𝜋/2, pois, em primeiro
lugar, os erros correspondentes a este valor são muito menores na tabela 4 do que na
tabela 5, e segundo porque, a partir de certo j (j = 3 na Tabela 4, e j = 2 na Tabela 5), deixa
de haver variação do erro, tornando-se este constante para qualquer que seja o
espaçamento, ℎ𝑗 entre dois nós, que como já se sabe, depende de j.
3.
Dados:

Função ajustadora: 𝑆(𝜃) = 𝛼0 + 𝛼1 𝜃 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝜃 𝑛 (20)
(a)
Para obtermos a melhor aproximação da função 𝑙(𝑇) no sentido dos mínimos quadrados é
necessário determinar os valores dos coeficientes 𝛼𝑖 , 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 que fazem parte da
função aproximadora que toma a forma:
𝑔(𝑥) = 𝛼0 + 𝛼1 𝜙0 (𝑥) + ⋯ + 𝛼𝑛 𝜙𝑛 (𝑥)
(21)
Neste caso, tomando conhecimento de (20), 𝜙𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛
Para determinar aqueles coeficientes é necessário resolver o sistema normal, 𝐴𝑥 = 𝑏, que
pode ser expresso em termos de produtos internos (Nota 2):
< 𝜙0 , 𝜙0 >
⋮
[
< 𝜙𝑛 , 𝜙0 >
⋯ < 𝜙0 , 𝜙𝑛 > 𝛼0
< 𝑙, 𝜙0 >
⋱
⋮
⋮
] [ ⋮ ]=[
]
⋯ < 𝜙𝑛 , 𝜙𝑛 > 𝛼𝑛
< 𝑙, 𝜙𝑛 >
(22)
Então para programar o método dos mínimos quadrados construímos a função mq que,
ao receber a tabela m e um certo valor n, resolve o sistema normal (22). Observemos esta
função com cuidado: esta implementa um v e um u que são, respectivamente, o vector 𝑏
e a matriz 𝐴. Para a tabela que vamos utilizar, Tabela 1 do enunciado, existe um problema
que advém do ponto 𝑇 = 0: ao realizar determinados produtos internos teremos casos,
tanto em v como em u, em que ocorrerá a indeterminação 00 . Vejamos como ultrapassar
esse problema em ambos os casos:
- No vector v, o problema ocorre quando se calcula 𝑙(0) ∗ 𝜙0 (0) = 0 ∗ 00 na primeira
entrada. Contudo como 𝑙(0) = 0 o contributo deste termo para todos os somatórios é
sempre de 0 pelo que o podemos excluir, começando então o somatório em 𝑘 = 2 (o
equivalente à segunda entrada da tabela).
- Na matriz u, como a função 𝜙𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 só varia no seu exponencial, aplicámos o
produto interno a 𝑥 𝑖+𝑗 , sendo 𝑖 e 𝑗 as entradas da matriz. Assim só se terá o problema
quando 𝑖 = 𝑗 = 0, isto é, na primeira entrada da matriz. Como nesta entrada todos os
termos estão elevados a 0, este somatório baseia-se em somar os pontos da tabela com
que estamos a trabalhar. Por essa razão, usámos a função ReplacePart para substituir essa
entrada pelo comprimento da tabela. De notar, que os somatórios também irão começar
em 𝑘 = 2.
Assim, a função implementada neste problema foi:
mq
Function
m, n , Module
v, u, r ,
v
Table Sum m
2, k
m
u
Table Sum m
1, k
^ i
u
ReplacePart u, 1, 1
r
LinearSolve u, v
1, k
^j, k, 2, Length m
j , k, 2, Length m
Length m
1
1
1
, j, 0, n
;
, i, 0, n , j, 0, n
;
;
;
Nota 2: O produto interno usual em ℝ𝑛+1 é definido por < 𝑢, 𝑣 >= ∑𝑛𝑖=0 𝑢𝑖 𝑣𝑖
(b)
Nesta questão pede-se para aplicar o programa construído em 3 a) nos casos de 𝑛 =
1, 2, 3, 4, e para cada caso devolver os valores dos parâmetros 𝛼𝑖 , 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 e a soma
dos quadrados dos desvios em todos os pontos da tabela.
Aplicando a função mq para a tabela 1 para cada 𝑛 obtemos os valores dos coeficientes
apresentados na seguinte tabela:
Tabela 6
𝒏
𝜶𝟎
𝜶𝟏
𝜶𝟐
𝜶𝟑
1
2
3
-0.123165
-0.00300994
0.0010263
1.54717
0.935221
0.861561
0.389576
0.520443
-0.0555413
4
1.68802×10-14
0.970455
0.140547
0.339891
Para resolver a soma dos quadrados dos desvios tem de se aplicar a fórmula
𝑛
𝐷 = ∑(𝑓𝑖 − 𝑔𝑖 )2
𝑖=0
(23)
𝜶𝟒
-0.12587
Sendo 𝑓𝑖 os valores de 𝑙(𝑇) da Tabela 1 e 𝑔𝑖 a função aproximadora. Como o 𝑛 varia entre
quatro valores vamos ter quatro funções ajustadoras diferentes que tomam os valores dos
coeficientes obtidos. Assim sendo, ter-se-á as seguintes funções ajustadoras:
Tabela 7
𝒏
1
𝒈(𝒙)
−0.123165 + 𝑥 ∗ 1.54717
2
−0.00300994 + 𝑥 ∗ 0.935221 + 𝑥 2 ∗ 0.389576
3
0.0010263 + 𝑥 ∗ 0.861561 + 𝑥 2 ∗ 0.520443 − 𝑥 3 ∗ 0.0555413
4
1.68802 × 10−14 + 𝑥 ∗ 0.970455 + 𝑥 2 ∗ 0.140547 + 𝑥 3 ∗ 0.339891 − 𝑥 4 ∗ 0.12587
A função somadesvios, representada abaixo, recebe uma tabela m e uma função f e aplica
a fórmula acima. A tabela que irá receber será a do enunciado e a função serão as
diferentes funções ajustadoras 𝑔(𝑥).
somadesvios
Sum
m
Function
2, k
f m
m, f ,
1, k
^2, k, 1, Length m
1
;
Assim obtemos os seguintes valores para a soma dos quadrados dos desvios:
Tabela 8
𝒏
𝒏
∑(𝒇𝒊 − 𝒈𝒊 )𝟐
1
2
3
4
0.507671x10−1
0.236643x10−3
0.737306x10−4
0.105465×10-25
𝒊=𝟎
Podemos avaliar o ajustamento das funções aproximadoras para cada 𝑛 comparando o
seu comportamento em relação aos pontos da Tabela 1. Abaixo apresenta-se o gráfico
apenas com esses pontos:
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
Gráfico 2
Apresentamos de seguida a sobreposição do gráfico de cada função ajustadora com o
gráfico acima:
●𝑛 =1
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
Gráfico 3
●𝑛 =2
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
Gráfico 4
●𝑛 =3
2.5
2.0
1.5
1.0
Gráfico 5
0.5
0.5
1.0
1.5
●𝑛 =4
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
Gráfico 6
Como podemos verificar com os gráficos, à medida que o valor de 𝑛 aumenta, a função
delineada aproxima-se cada vez mais da imagem dos pontos da Tabela 1. Este
comportamento está de acordo com os valores da soma dos quadrados dos desvios
apresentados na Tabela 8, dado que quanto maior o 𝑛, menor será o desvio, logo mais
precisa será a função ajustadora. Por exemplo, para 𝑛 = 4, ou seja, para uma função
ajustadora de grau 4, o desvio é muito pequeno (0.105465×10-25) sendo praticamente
nulo, pelo que no Gráfico 6 a função passa praticamente pelos pontos.
Conclusão