Elevadores, Polias, Máquina de Atwood e Plano inclinado

Elevadores, Polias, Máquina de Atwood e Plano
inclinado
Duane Damaceno
6 de Março de 2016
Conteúdo
1
Elevadores
1.1 Elevador Subindo . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Elevador Subindo Acelerado . .
1.1.2
Elevador Subindo Retardado . .
1.1.3
Elevador Subindo em MU . . . .
1.2 Elevador Descendo . . . . . . . . . . .
1.2.1 Elevador Descendo Acelerado .
1.2.2 Elevador Descendo Retardado
1.2.3 Elevador Descendo em MU . . .
1.3 Semelhanças . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Pessoa dentro do elevador . . . . . . .
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1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2 Roldanas
2.1 Roldana fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Roldana Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3 Máquina de Atwood
4
4 Plano Inclinado
4
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1 Elevadores
Os elevadores são máquinas que estamos acostumados a utilizar. Apesar disso, podemos nos confundir com as situações que serão ilustradas abaixo.
Para todas as situações abaixo, consideraremos para cima como sentido positivo! As
figuras que serão referenciadas aqui, estão presentes nos slides desta aula.
Na Figura 1, vemos um elevador de massa M . Naturalmente existe a força P⃗ . Caso
houvesse apenas esta força, o elevador sempre cairia; porém, há uma força T⃗ que consegue fazer com que o elevador suba e desça controladamente.
Em todos os casos descrevemos a força resultante no elevador como:
FR = T − P
Lembre-se dos sentidos que convencionamos.
1
(1)
1.1 Elevador Subindo
1.1.1 Elevador Subindo Acelerado
Este é o caso no qual o elevador sobe e ganha velocidade para cima! Provavelmente
ele está começando a sair de algum andar. Obviamente, se ele ganha velocidade para
cima, sua aceleração deve apontar para cima; pela segunda lei de Newton, se a aceleração aponta para cima, a força resultante também aponta para cima! Pela equação (1),
verificamos que, para FR > 0, então T > P . Sendo assim, o motor do elevador deve fazer
uma força maior que o peso do elevador.
Nesta situação, caso você estivesse dentro do elevador, você sentiria uma força nas
suas pernas. Caso o elevador te ”pegasse de surpresa”, você poderia machucar seu joelho.
1.1.2
Elevador Subindo Retardado
Neste caso o elevador está subindo mas perdendo velocidade. Provavelmente ele
está chegando em algum andar. Se ele está subindo e perdendo velocidade, a aceleração
deve ser negativa (lembre-se da nossa convenção); se a aceleração é para baixo, a força
resultante também deve ser para baixo. Pela equação (1), verificamos que, para FR < 0,
T < P . Sendo assim, o motor do elevador deve fazer uma força menor que o peso do
elevador.
Nesta situação você sentiria um ”frio”na barriga.
1.1.3
Elevador Subindo em MU
Se o elevador sobe em Movimento Uniforme, sua velocidade é constante e sua aceleração é nula; se sua aceleração é nula, sua força resultante também é. Pela equação
(1), se FR = 0, T = P . Sendo assim, o motor deve exercer uma força exatamente igual ao
peso do elevador. Neste caso, provavelmente o elevador está no meio de seu trajeto.
Nesta situação, você não sentiria nada de diferente.
1.2
Elevador Descendo
1.2.1 Elevador Descendo Acelerado
Aqui o elevador está descendo e ganhando velocidade para baixo. Provavelmente o
elevador está iniciando seu movimento. Se ele ganha velocidade para baixo, sua aceleração aponta para baixo; se a aceleração aponta para baixo, sua força também aponta
para baixo. Então, pela equação (1), se FR < 0, T < P . Sendo assim, o motor do elevador
deve fazer uma força menor que o peso do elevador.
Neste caso você sentiria um ”frio”na barriga.
1.2.2
Elevador Descendo Retardado
Neste caso o elevador está descendo mas perdendo velocidade. Provavelmente ele
está chegando em algum andar. Se ele está descendo e perdendo velocidade, a aceleração deve ser positiva (lembre-se da nossa convenção); se a aceleração é para cima,
a força resultante também deve ser para cima. Pela equação (1), verificamos que, para
2
FR > 0, T > P . Sendo assim, o motor do elevador deve fazer uma força maior que o peso
do elevador.
Nesta situação, caso você estivesse dentro do elevador, você sentiria uma força nas
suas pernas. Caso o elevador te ”pegasse de surpresa”, você poderia machucar seu joelho.
1.2.3
Elevador Descendo em MU
Se o elevador sobe em Movimento Uniforme, sua velocidade é constante e sua aceleração é nula; se sua aceleração é nula, sua força resultante também é. Pela equação
(1), se FR = 0, T = P . Sendo assim, o motor deve exercer uma força exatamente igual ao
peso do elevador. Neste caso, provavelmente o elevador está no meio de seu trajeto.
Nesta situação, você não sentiria nada de diferente.
1.3
Semelhanças
Perceba que existem semelhanças entre os casos.
Em todos os casos de MU, você não sentiria nada de diferente. Em todos os casos de
força resultante para cima, seus joelhos seriam forçados. Em todos os casos de força
resultante para baixo, você sentiria um frio na barriga.
O que diferencia o elevador estar subindo ou descendo é simplesmente a inércia! Se
ele está subindo, permanece subindo; se ele está descendo, permanece descendo!
1.4 Pessoa dentro do elevador
Caso você queira analisar uma pessoa dentro do elevador, as análises serão idênticas!
Basta trocar a força de tração aplicada pelo motor na corda, pela força normal aplicada
pelo chão no pé da pessoa.
2
Roldanas
Estudaremos dois tipos de roldanas. Sempre quando houver roldanas, não podemos
mais pensar em sentidos definidos em para cima, para direita, para baixo ou para esquerda! Vamos pensar em sentidos de giro da roldana! O que fizer a roldana girar em um
sentido tem um valor, o que fizer a roldana girar em outro sentido, tem outro valor
2.1 Roldana fixa
Este tipo de roldana serve exclusivamente para alterar a direção da força que deve ser
aplicada para deslocar um corpo. Este exemplo é ilustrado na Figura 9.
2.2
Roldana Móvel
Além de também alterar a direção de aplicação de força, a roldana móvel traz uma
vantagem de diminuir o esforço.
Observe a Figura 10. Veja que na roldana que segura o peso (roldana móvel), existem
duas forças para cima. Isso mostra que a força que você aplica na corda é multiplicada
3
por dois. Portanto, para carregar um peso de 400 N você precisaria fazer apenas 200 N
de força! Porém, como ”nada é de graça”a desvantagem é que para levantar o peso a
uma altura qualquer, você precisa puxar o dobro de corda. Ou seja, para levantar o peso
em 10 m, você precisa puxar 20 m de corda.
Sendo n o número de roldanas móveis, a força que você faz é multiplicada por 2n .
3 Máquina de Atwood
Esta máquina consiste em uma roldana fixa, uma corda e dois pesos (um em cada
extremidade da corda). A sua análise é bem semelhante às já realizadas.
Seu esquema é representado na Figura 11
4
Plano Inclinado
Assim como as roldanas móveis, o plano inclinado tem o intuito de diminuir o esforço
para levantar ou abaixar algo. Ele também traz a mesma desvantagem em relação a aumentar o caminho percorrido.
Sua representação é feita na Figura 12.
Este é um exemplo de aplicação de eixos ortogonais inclinados, de decomposição
vetorial e de força normal com direção diferente à da força peso! Se a inclinação do plano
for α:
Para o eixo y teremos sempre:
N = Py = P cos(α)
(2)
Fry = 0
(3)
Px = P sen(α)
(4)
FA = µ.N = µ.Py = µ.P cos(α)
(5)
Frx = Px − FA = P sen(α) − P µcos(α) = P [sen(α) − µcos(α)]
(6)
Para o eixo x teremos sempre:
4