Distribuição Normal ou de Gauss

Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
A) Independência estatística
B) Var. aleatórias
C) Distribuição normal
D) Dist. conjuntas e correlação
E) Inferência estatística
18-02-2010
José Filipe Rafael
1
Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição Normal ou de Gauss
18-02-2010
Revisões de Estatística: Distribuição Normal
José Filipe Rafael
2
1
Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição normal
Notação: X ∩ N ( µ , σ2 )
Parâmetros: µ → média;
σ2 → variância;
f(x)
Funções:
f(X) =
1
2πσ2
−
e
1  X −µ 


2 σ 
2
µ
x
F(X) : não tem expressão algébrica ⇒ tabelas
18-02-2010
José Filipe Rafael
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Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição normal (cont.)
Padronização:
 X − µ x1 − µ 
F(X1 ) = P [ X ≤ x1 ] = P 
≤
σ 
 σ
x −µ 

= P Z ≤ 1
σ 

x − µ
=Φ 1

 σ 
onde Z ∩ N ( 0 , 1 ) é a Normal Padrão
e
Φ a distribuição da Normal Padrão
18-02-2010
Revisões de Estatística: Distribuição Normal
José Filipe Rafael
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Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição normal (cont.)
Z ∩ N ( 0 ,1)
P [Z < − 2]
-2
0
z
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
z
18-02-2010
P[Z ≤ z]
0,0223
0,0668
0,1587
0,3085
0,5000
0,6915
0,8413
0,9332
0,9772
P[Z > z]
0,9772
0,9332
0,8413
0,6915
0,5000
0,3085
0,1587
0,0668
0,0223
José Filipe Rafael
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Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição normal (cont.)
Operações com a Normal:
Sendo X e Y duas variáveis aleatórias com distribuição Normal
independentes:
X ∩ N ( µ X , σX )
2
Y ∩ N ( µ Y , σY )
2
(X ± Y) ∩ N ( µ X ± µ Y , σ X + σ Y )
2
2
a sua soma (ou diferença) segue ainda uma lei Normal com
média igual à soma (ou diferença) das médias e variância igual
à soma das variâncias.
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José Filipe Rafael
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Estatística Multivariada
Revisões de Estatística
Distribuição normal (cont.)
Operações com a Normal:
Se tivermos uma família de variáveis Xi com distribuições
normais e independentes :
Xi ∩ N ( µi , σi2 ) , i = 1, ... , m
m
m
m
∑ X ∩ N ( ∑µ , ∑σ
i =1
i
i =1
i
i=1
2
i
)
m
m
m
i =1
i =1
i =1
∑ ai Xi ∩ N ( ∑ ai µi , ∑ ai2σi2 )
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