o uso de uma trajetória hipotética de aprendizagem no
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O USO DE UMA TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM NO ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO SUPERIOR Josney Freitas Silva – [email protected] Universidade do Estado de Minas Gerais Av. Prof. Mário Pamério, 1001 – Bairro Universitário Frutal – MG Universidade Cruzeiro do Sul Rua Galvão Bueno, 868 – Bairro Liberdade São Paulo - SP Juliano Schimiguel – [email protected] Universidade Cruzeiro do Sul Rua Galvão Bueno, 868 – Bairro Liberdade São Paulo - SP Resumo: Este artigo tem o intuito de apresentar uma proposta de ensino de Fluxo de Caixa por meio das formulações do pesquisador americano Martin Simon. Ele defende a reformulação da Educação Matemática baseado em pressupostos construtivistas e propõe um modelo de ensino que contemple a ideia de Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA). Deste modo, é elaborada uma THA que propõe uma sequência de atividades diferentes da apresentada por Assaf Neto (2009). Esta THA é aplicada em uma turma do curso de Administração na disciplina de Matemática Financeira. Palavras-chave: Matemática Financeira, Fluxo de Caixa, Série de Pagamentos, Trajetória Hipotética de Aprendizagem. 1 INTRODUÇÃO O ensino de matemática é e sempre foi um grande desafio na vida de professores e alunos ao longo da história. Constantemente nos deparamos com alunos completamente desestimulados com as disciplinas de matemática, principalmente aqueles que escolhem a área das ciências humanas ou das ciências sociais aplicadas justamente pensando em fugir da área das ciências exatas pela sua complexidade e dificuldade de compreensão. O fato é que até mesmo nestas áreas, existem disciplinas provenientes das ciências exatas, mais precisamente disciplinas da área de matemática. A Matemática Financeira é uma destas disciplinas, sendo comum aos cursos de Administração. Fundamental à saúde de empresas e às finanças pessoais, esta disciplina amedronta a maioria dos discentes deste curso pela complexidade das fórmulas e cálculos que naturalmente não configuram no rol das preferências destes alunos. Oferece ferramentas capazes de auxiliar no processo de tomada de decisão, como por exemplo, optar entre diferentes opções de Fluxos de Caixa que representam uma Série de Pagamentos, como empréstimos, financiamentos e aquisições de bens com pagamento parcelado, situações que fazem parte do cotidiano empresarial, bem como no âmbito pessoal de todos nós. A experiência em ministrar esta disciplina no curso de Administração nos confirma esta realidade, que reflete negativamente na sequência de disciplinas que exigem por parte do corpo discente um conhecimento mais apurado dos conceitos abordados na disciplina de Matemática Financeira, como por exemplo, as disciplinas de Gestão Financeira, Gestão de Custos e Contabilidade Gerencial. A pesquisa tem como fundamentação teórica os estudos de Simon (1995) sobre o uso da Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) no ensino de matemática, apoiado nas três fases propostas por Gravemeijer (2004) para o desenvolvimento das atividades onde propomos uma alteração na sequencia adotada por Assaf Neto (2009) no estudo dos Fluxos de Caixa e Série de Pagamentos. O objetivo deste artigo é apresentar uma proposta para o ensino de Fluxo de Caixa e Série de Pagamentos que procure valorizar o conhecimento prévio dos alunos sob uma perspectiva construtivista de modo a tornar a compreensão destes conceitos algo mais palpável e significativo, Utilizamos uma abordagem qualitativa da pesquisa, por meio do Estudo de Caso, buscando verificar a aplicação da THA desenvolvida em uma turma do curso de Administração da Universidade do Estado de Minas Gerais, na cidade de Frutal/MG. Apresentamos inicialmente uma revisão da literatura a cerca da Trajetória Hipotética de Aprendizagem e as três fases para desenvolver a sequência de atividades, o Fluxo de Caixa, a Metodologia e o Estudo de Caso. Concluímos o presente artigo com as considerações finais e a proposição de trabalhos futuros. 2 TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM A aprendizagem é um processo individual e social de construção onde o professor faz a mediação por meio da utilização de trabalhos estruturados e onde o aprendizado dos alunos é compreendido. É de grande utilidade à compreensão do desenvolvimento da aprendizagem e como tal fato remete à questão de como o construtivismo poderia contribuir para a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 153). O aluno aprende e constrói seu conhecimento com o auxilio do professor, que conduz as atividades e oferece apoio para atender às especificidades de cada aluno, que podem se constituir de uma simples atenção, da socialização de um conteúdo ou de uma demonstração minuciosa (COLL & SOLÉ, 2009, apud TRALDI JUNIOR & ROSEMBAUM, 2010, p. 372). A experiência com alunos mostrou que o professor, ao formular seu plano de atividades, precisa compreender como se dá o entendimento dos alunos, que conduz a formulação da ideia de trajetórias hipotéticas de aprendizagem. Os objetivos de aprendizagem, as atividades de aprendizagem e o conhecimento dos alunos que estarão envolvidos no processo de aprendizagem constituem elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Por parte do conhecimento dos professores, além das hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros saberes exercem interferência como teorias de ensino de matemática, representações matemáticas, materiais didáticos e atividades, teorias sobre como os alunos constroem seu conhecimento a cerca de um dado assunto (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 154). O professor, ao propor atividades planejadas, se comunica com os alunos e os observa. Os alunos passam a resolver estas atividades. A observação leva o professor a uma nova compreensão da concepção dos estudantes e com isso há a evolução do ambiente de aprendizagem com o resultado desta interação entre professor e alunos e como eles se envolvem com o conteúdo matemático. O potencial de aprendizagem é determinado pela relação entre os alunos e a tarefa proposta pelo professor e sua experiência com ela (SIMON, 1995, p. 132). O trabalho de Simon (1995) contribuiu para o ensino em sala de aula, mostrando que se pode construir o currículo assim como materiais de ensino podem ser desenvolvidos, justificando que o ensino assim realizado origina-se em uma perspectiva de construção do conhecimento (MIRANDA, 2011, p. 25). Um Ciclo de Ensino de Matemática foi desenvolvido por SIMON (1995) para demonstrar como ocorre o processo cíclico entre os conhecimentos do professor, pensamento, reflexões e ações. Ao iniciar a execução de um planejamento, este muitas vezes necessita ser modificado em virtude das intervenções dos alunos, que requerem adaptações. Assim, novos ciclos se iniciam e novos esforços demandam novas ações (SIMON, 1995 apud ROSEMBAUM, 2010, p. 26). GRAVEMEIJER (2004) propõe três fases para o desenvolvimento da sequência de atividades: a) elaborar um desenho preliminar das atividades (THA); b) concretizar a THA em sala de aula e c) realizar uma análise da THA aplicada em sala de aula e indica em suas teorias locais de ensino que sua proposta é a descrição e a fundamentação para o caminho de aprendizagem prevista em sua relação com uma coleção de atividades de ensino relacionados a um tema (GRAVEMEIJER, 2004, p. 107). 3 FLUXO DE CAIXA Os cálculos financeiros constituem ferramentas essenciais na tomada de decisão de empresas, comunidades, famílias e pessoas e o seu desconhecimento pode levar a grandes perdas financeiras. Na sociedade moderna, é comum a qualquer cidadão o oferta de diversas opções de pagamento, adquirindo um bem ou efetuando pagamentos de contas, despesas correntes e impostos (ROSETTI & SCHIMIGUEL, 2009, p. 4). O Fluxo de Caixa consiste na representação uma série de pagamentos que se espera ocorrer em um determinado intervalo de tempo. É muito comum no meio empresarial, encontrar operações financeiras desta natureza, como empréstimos e financiamentos de diferentes tipos que costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa, assim como pagamentos / recebimentos de aluguéis, de prestações provenientes de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos, entre outros (ASSAF NETO, 2009, p. 101). Existem variadas formas e tipos de Fluxos de Caixa em termos de períodos de ocorrência, que podem ser postecipados, antecipados ou diferidos, de periodicidade, onde temos os períodos iguais entre si ou diferentes, de duração, que se apresentam como limitados ou ilimitados, de valores, que podem ser constantes ou variados (ASSAF NETO, 2009, p. 101). O estudo das formulações e aplicações do Fluxo de Caixa configura como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira. O Fluxo de Caixa uniforme apresenta uma característica de formação-padrão, sendo conhecido como modelo-padrão de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos aqueles que apresentam ao mesmo tempo, as classificações de: postecipados, periódicos, limitados e constantes (ASSAF NETO, 2009, p. 101-102). Simbolicamente, chamamos de PMT os termos do Fluxo de Caixa referentes às prestações, PV o Valor Presente, n ao Número de Períodos e i à Taxa de Juros (ASSAF NETO, 2009, p. 101). 4 METODOLOGIA De acordo com BOGDAN & BIKLEN (1994, p. 47 apud MENDONÇA, 2011, p. 25) a metodologia utilizada nesta pesquisa é de cunho qualitativa, pois consiste em estudos que recorrem à observação participante e apresenta características como: a fonte de dados é o ambiente natural; trata-se de uma investigação descritiva e os investigadores interessam-se mais pelo processo do que pelos resultados ou produto. O desenvolvimento da THA ocorreu em sala de aula, ou seja, em ambiente natural aos alunos. A coleta de dados foi realizada por meio de registros descritivos sobre a forma de aplicação, as intervenções dos alunos e suas perspectivas. O interesse do estudo diz respeito ao processo de desenvolvimento da THA em sala de aula. 5 ESTUDO DE CASO O Estudo de Caso foi realizado em uma turma com 43 alunos do 3° Período do Curso de Administração da Universidade do Estado de Minas Gerais – UEMG - Campus de Frutal. As Unidades Didáticas sobre Juros Simples, Juros Compostos, Fluxo de Caixa para operações de Juros Simples e Juros Compostos já foram trabalhadas anteriormente. A seguir, descrevemos as fases propostas por GRAVEMEIJER (2004). 5.1 Desenho preliminar das aprendizagens (THA) 5.1.1 Expectativas de aprendizagem: a) associar o método utilizado em uma operação de Juros Compostos, seu respectivo Fluxo de Caixa e as variáveis envolvidas nesta operação a um Fluxo de Caixa de uma Série de Pagamentos/Recebimentos e as respectivas variáveis; b) reconhecer o Fluxo de Caixa como uma representação de uma Série de Entradas e Saídas e contextualizar seu uso com atividades do cotidiano pessoal e empresarial; c) identificar as Séries de Pagamentos / Recebimentos e o Modelo-padrão; d) compreender o uso do Valor Presente e do Fator de Valor Presente para uma Série de Pagamentos / Recebimentos e a sua formulação matemática. 5.1.2 Sequência de atividades: Aula 1: Foi solicitado aos alunos que se dividissem em grupos de até três integrantes para facilitar a solução dos problemas propostos, onde cada integrante poderia auxiliar os demais nos cálculos e proposições de estratégias de cálculo, bem como proceder as anotações do grupo para se chegar a resposta. Pretendeu-se com esta dinâmica, estimular o trabalho colaborativo e a aprendizagem significativa. Para a solução das problematizações propostas a seguir os grupos fizeram o uso de calculadoras científicas como recurso tecnológico indispensável à realização de diversos cálculos, principalmente os que envolvem potências com expoente negativo. Para agilizar e dinamizar o desenvolvimento da aula, as problematizações e suas respectivas soluções foram projetadas em forma de apresentação em PowerPoint utilizando-se do recurso de um computador ligado ao Datashow como recursos tecnológicos de apoio. Para identificar o conhecimento prévio dos alunos, foram propostas duas problematizações que utilizava o conceito de Juros Compostos e Diagrama de Fluxo de Caixa, questionando-os sobre a compreensão dos conceitos, identificação das variáveis: Valor Presente (PV), Valor Futuro (FV), Número de Períodos (n), a Taxa de Juros (i), a Data Focal e o uso da fórmula básica FV=PV.(1+i)n; a) “Se uma pessoa deseja obter $ 12.000,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa caderneta de poupança que rende 6% de juros compostos ao mês?” b) “Uma pessoa precisa de $1.000,00 daqui três meses. Quanto ela deve depositar hoje em uma caderneta de poupança que remunera 4% ao mês?” Com o intuito de introduzir o assunto proposto, ou seja, o Fluxo de Caixa para uma Série de Pagamentos / Recebimentos, foram propostas duas problematizações reais, comum ao cotidiano dos alunos, em que uma determinada mercadoria é adquirida em n Prestações, a uma determinada taxa de juros: c) “Determinado bem é vendido em três pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o aparelho a vista?” d) “Calcular o valor de um financiamento a ser quitado mediante seis pagamentos mensais de $1.500,00, com vencimento da primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros negociada na operação.” O professor fez a associação do valor da Prestação (PMT) ao Valor Futuro (FV) já estudado anteriormente e presente na identificação do conhecimento prévio realizado nos itens a) e b). Para que os alunos resolvam os itens c) e d), foi utilizado o Diagrama de Fluxo de Caixa por meio do levantamento de hipóteses, para levar os alunos a identificar a necessidade de deslocar o valor de cada prestação para a Data Focal (0), ou seja, para identificar o Valor Presente (PV) da Série de Pagamentos proposta com a problematização. Os alunos procedem a atualização de cada um dos três pagamentos da problematização proposta no item c) para a Data Focal (0) utilizando a fórmula básica de Juros Compostos e somando o valor atualizado de cada prestação, encontrando o Valor Presente (PV) e repetiram o procedimento do item c) para a problematização proposta no item d). Aula 2: Nesta aula, o professor deve contextualizar a prática de compra a prazo em diversos pagamentos mensais e levá-los a perceber a dificuldade de realizar este mesmo cálculo, para encontrar o Valor Presente (PV) de uma operação com muitas prestações; e) “Determinar o valor presente de um fluxo de 24 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $700,00 sendo a taxa de juros igual a 2% ao mês.” O professor deve então partir para a generalização da fórmula, desenvolvendo a atualização de cada uma das n prestações (PMT) para a Data Focal (0) e chegar à fórmula do cálculo do Valor Presente (PV) para uma Série de Pagamentos, identificando o Fator de Valor Presente (FPV), utilizando a apresentação em PowerPoint e o Datashow para dinamizar a explanação, sempre promovendo questionamentos aos alunos e solicitando contribuições dos mesmos. O professor deve solicitar aos alunos que resolvam às problematizações propostas anteriormente nos itens c) e d) utilizando a fórmula desenvolvida no item com a generalização, levando-os a perceber que os procedimentos chegam ao mesmo resultado. Solicita-se então que os alunos utilizem os dados da problematização do item e) na fórmula obtida com a generalização. 5.1.3 Trajetória Hipotética de Aprendizagem que antecipe como o pensamento dos alunos pode evoluir quando se trabalha essa sequência em sala de aula Aula 1: Partindo do pressuposto de que o aluno já compreende o Regime de Capitalização Composto, sabendo identificar as variáveis: Valor Presente (PV), Valor Futuro (FV), Taxa de Juros (i) e Número de Períodos de Capitalização (n). Sabendo utilizar a fórmula FV=PV.(1+i)n e sabendo construir e interpretar o Fluxo de Caixa de uma operação envolvendo Juros Compostos, acredita-se que o entendimento de uma operação envolvendo uma Série de Pagamentos / Recebimentos em um Fluxo de Caixa, associando o FV ao PMT e atualizando cada PMT na Data Focal (0) seja uma trajetória que faça um sentido lógico para o aluno. Pois parte-se de um conhecimento já identificado como apropriado pelo aluno na identificação do conhecimento prévio, para se construir um novo conhecimento. Ao associar cada Prestação (PMT) da Série de Pagamentos / Recebimentos ao Valor Futuro (FV) que o aluno já conhece, ele consegue encontrar o Valor Presente (PV) com as ferramentas que ele já possui: a fórmula básica de Juros Compostos. Aula 2: Com a problematização com um número maior de parcelas, a ferramenta que o aluno já possui se torna inviável de aplicar. Assim, o desenvolvimento da fórmula genérica para uma Série de Pagamentos / Recebimentos, passa a fazer sentido, principalmente pelo fato de que o uso desta fórmula facilita o cálculo para qualquer número de prestações. Após a generalização da fórmula, o seu uso em dois exemplos resolvidos anteriormente contribuirão para que os alunos comprovem que a fórmula simplifica os cálculos para se encontrar o Valor Presente (PV) e torna possível, sem maiores dificuldades, encontrar a solução para o problema proposto com 24 parcelas. Ao resolverem as problematizações com a nova formulação, espera-se que os alunos possam compreender melhor a relação entre os PMT´s e o Valor Presente (PV) e sua aplicação, bem como sua representação e um Fluxo de Caixa. 5.2 Concretização da THA em sala de aula 5.2.1 Desenvolvimento da sequência de atividades em sala de aula: Aula 1: Foi solicitado que os alunos formassem grupos de até três participantes, onde em cada grupo houvesse pelo menos uma calculadora científica. Os alunos formaram seus grupos de maneia já habitual e praticamente todos estavam com suas calculadoras, pois fazemos o seu uso em todas as aulas. Todos os grupos deveriam ficar voltados para frente da sala, para que pudessem acompanhar as apresentação dos slides pelo DataShow, as problematizações, explanações, intervenções e até mesmo as colaborações dos outros alunos. Apresentamos o primeiro problema para identificar o conhecimento prévio dos alunos. Este problema envolvia uma situação de juros compostos onde queríamos conhecer o Valor Presente (PV) de uma operação financeira em que eram conhecidos o prazo, a taxa e o Valor Futuro (FV). A grande maioria dos alunos resolveram rapidamente o problema e encontraram a resposta esperada. Apenas dois alunos apresentaram dúvidas em relação ao prazo da operação, que estava expresso em anos enquanto a taxa estava expressa em meses. Mas logo perceberam o equivoco e conseguiram chegar ao resultado esperado. Após apresentar o segundo problema, semelhante ao primeiro, esta dúvida não voltou a se repetir, pois tanto a taxa de juros quanto o prazo da operação estavam expressos em meses. Nenhum grupo apresentou dúvidas em relação ao uso da taxa unitária durante o uso da formula para efetuar os cálculos e novamente a resposta esperada foi encontrada rapidamente. Identificamos então que os alunos haviam compreendido bem o uso da formula para o calculo do Valor Presente (PV), conhecendo-se o Valor Futuro, o prazo da operação e a taxa de juros. Para introduzir o novo assunto, tema da aula em questão, em que trabalhamos com uma Serie de Pagamentos / Recebimentos, propomos uma problematização onde tínhamos uma operação financeira contendo três parcelas e gostaríamos de conhecer o Valor Presente (PV) desta taxa de juros e os diferentes meses onde as parcelas se encontravam. Ao serem questionados pelo professor sobre como proceder para encontrar o Valor Presente (PV) desta operação, alguns alunos sugeriram que fosse construído um fluxo de caixa que representasse a situação proposta. O Professor pede que avaliem a situação proposta e busquem identificar qual a relação que estas três parcelas possuem com o Valor Futuro dos problemas propostos anteriormente. Alguns alunos perguntaram se cada parcela poderia ser considerada como Valores Futuros. Ao observarem o Fluxo de Caixa, alguns alunos perceberam que uma alternativa seria deslocar cada parcela para a Data Focal (0) e depois, que os Valores Presentes fossem todos somados, encontrando-se o Valor Presente (PV) de toda a operação. Trabalhando em conjunto, os alunos logo responderam qual seria o Valor Presente (PV) da primeira problematização proposta. Aqueles alunos que não conseguiram resolver rapidamente, se esforçaram para chegar ao resultado dos grupos que obtiveram a resposta primeiro. Só depois de um determinado tempo, percebendo que a grande maioria havia terminado, o professor pediu que um dos alunos resolvesse no quadro a problematização proposta. Quando este aluno terminou, o professor verificou se algum aluno havia feito diferente. Alguns apresentaram diferenças na forma como procederam para colocar os números na calculadora, uns inserindo os números por partes, outros colocando todos os números e suas operações diretamente na calculadora. Aqueles que fizeram por partes e trabalharam com um número reduzido de casas decimais, perceberam que os valores finais, principalmente as casas decimais, ficaram diferentes de quem resolveu sem retirar os números da calculadora nos cálculos intermediários ou mesmo de quem colocou os números e as operações diretamente na calculadora. Ao ser colocado a segunda problematização, agora com seis parcelas, os grupos se organizaram e resolveram com mais facilidade e rapidez. Logo chegaram ao resultado esperado e os primeiros grupos que terminaram, após esperar que os outros alunos terminassem a atividade, procederam à correção do exercício, colocando a resolução da problematização no quadro. Desta vez, poucos alunos ainda insistiram em realizar o cálculo em partes ou trabalhando com um número pequeno de casas decimais. Após demostrar que é possível encontrar o Valor Presente (PV) de uma Série de Pagamentos / Recebimentos deslocando os valores do PMT em cada Data Focal para a data Focal (0), o professor perguntou se algum aluno já havia adquirido um bem em mais de doze prestações. Alguns alunos responderam que já havia adquirido carros e motos em vinte e quatro ou trinta e seis meses. Perguntei se estariam dispostos a usar o método que utilizamos nesta aula para encontrar o Valor Presente (PV) dos bens que eles adquiriram. Praticamente todos responderam que seria quase impossível e muito trabalhoso proceder a este cálculo por meio deste método. Aula 2: Ao iniciar a aula seguinte, retomamos a discussão iniciada na aula anterior e logo propomos uma problematização contendo vinte e quatro parcelas, onde queríamos conhecer o Valor Presente (PV) desta operação. Os alunos pensaram que o professor estava louco e que seria uma tortura resolver este problema com o método aplicado nas problematizações da aula anterior. Perceberam então que o método utilizado não seria tão eficiente em qualquer situação. O professor então iniciou a generalização da fórmula, fazendo indagações aos alunos e moldando junto com eles a sequência a ser desenvolvida para se chegar até a fórmula utilizada para calcular o Valor Presente (PV) de uma operação financeira conhecendo-se o valor de cada prestação (PMT), a taxa de juros da operação e o número de parcelas. Encontrada a fórmula em questão, os alunos foram incentivados a utilizar esta nova fórmula nas problematizações anteriores, presentes em c) e d). Compararam seus resultados com a resolução por meio do método antigo, deslocando cada PMT até a data Focal (0) e verificaram que os resultados eram equivalentes. Os alunos não demonstraram dificuldades na operacionalização da nova fórmula e como colocar os números e operações em uma sequência que fizesse sentido e que retornasse o valor esperado. Procederam então ao cálculo do problema e) do início desta aula e encontraram sem dificuldades o Valor Presente (PV) esperado. 5.3 Reconstrução da sequência, a partir das reflexões realizadas após a primeira e segunda fases Aplicação de uma atividade em grupo: Para avaliar aprendizado dos alunos, foi aplicado uma atividade em grupo de quatro integrantes com quatro questões. Para a resolução desta atividade, não foi permitido a comunicação entre integrantes de grupos diferentes. Os alunos puderam fazer o uso da calculadora, mas não poderiam consultar o material de aula, ou seja, nem cadernos, nem livros. A primeira questão tratava do assunto abordado nesta THA, onde os alunos deveriam fazer o uso da fórmula do PV para encontrar o valor da prestação, o PMT, tendo como dados o n° de prestações (n), a taxa de juros (i) e o Valor Presente (PV). Esta questão apresentou 100% de acerto. A segunda questão exigia o uso da fórmula do Valor Futuro (FV), que foi o conteúdo trabalhado na sequência imediata ao que foi abordado nesta THA. Apesar de a fórmula ser diferente, o conceito da operação financeira é semelhante e os alunos também acertaram a questão de forma unanime. A terceira questão envolveu o conceito de carência, à fórmula do Valor Presente (PV) era acrescido o calculo do juro sobre o Valor Presente, sem o pagamento de parcelas no período de carência. Apenas um grupo cometeu o erro de subtrair o n° de períodos de carência do n° de parcelas, o que não seria necessário. Desta forma, diminuiu-se o n° de parcelas e o término da operação coincidiu com o n° de parcelas indicado no enunciado da questão. Outro grupo confundiu uma operação ao proceder à resolução algébrica da formulação. Onde era para usar uma divisão, o grupo utilizou uma multiplicação. Este mesmo grupo não resolveu a próxima questão, não efetuaram nenhum tipo de escrita referente a ela. A última questão envolvia o conceito de equivalência entre duas Séries de Pagamentos diferentes. Uma das Séries envolvia carência e a outra não. O conceito de Equivalência em Série de Pagamentos foi trabalhado após a aplicação desta THA. Para a resolução, era necessário encontrar o Valor Presente (PV) de cada uma das duas Séries propostas e ao final, verificar se elas possuíam o mesmo Valor Presente (PV). Nesta questão, onze dos doze grupos que realizaram a atividade, sendo que oito acertaram a mesma na totalidade e três acertaram o uso das fórmulas, mas se equivocaram ao interpretar que $ 100.000,07 era equivalente a $ 99.989,95. Após analisar a atividade de avaliação, verificamos que não houve erros na aplicação da fórmula que foi abordada nesta THA. Sugerimos então, para aumentar o envolvimento dos alunos, que ao final da primeira aula, o professor peça que cada grupo procure para a próxima aula uma situação real de compra de um bem em que o pagamento seja realizado por meio de parcelas e que o número de parcelas seja superior a doze. Na segunda aula, após a generalização da fórmula e da verificação de que ela funciona nas problematizações resolvidas na aula anterior, o professor deve solicitar que eles tentem utilizar a fórmula nas situações que eles trouxeram, buscando fazer com que eles identifiquem nas operações realizadas em seu cotidiano a formulação aprendida. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo, apresentamos a implementação de uma sequência de atividades para o ensino de Fluxos de Caixa que levasse em consideração o conhecimento prévio dos alunos e por meio deste conhecimento, juntamente com o direcionamento planejado pelo professor, novos conceitos foram construídos e novas formulações foram desenvolvidas. Notamos um aprendizado considerável, uma vez que os acertos nas atividades propostas posteriormente foram excelentes. Vale ressaltar a dificuldade de construir a THA, conforme explicitado por GRAVEMEIJER (2004, p. 107) por parte dos professores, uma vez que o trabalho não consiste apenas em elencar uma sequência de atividades, mas contextualizá-las e adequá-las no momento exato em que a demanda exige, ou seja, quando os alunos realizam intervenções e se exige que o professor introduza novas problematizações que auxiliem na eliminação das possíveis dúvidas dos alunos. O processo de elaboração e aplicação da THA em sala de aula proporcionou aos autores o entendimento da complexidade do modelo proposto por SIMON (1995) demonstra que é possível desmistificar a imagem obscura da matemática em outras áreas do conhecimento obtendo resultados surpreendentes. Agradecimentos À FAPEMIG pela concessão de bolsa de mestrado por meio do Programa PC-RH à Josney Freitas Silva. 7 REFERÊNCIAS ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. – 11. ed. – São Paulo: Atlas, 2009. GRAVEMEIJER, K. Local instruction theories as means of support for teachers in reform mathematics education. Mathematical Thinking and Learning. v. 6, n. 2, p. 105-128, 2004. MENDONÇA, L. Trajetória hipotética de aprendizagem: análise combinatória. São Paulo, 246 p. Dissertação (Mestrado). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010. MIRANDA, M. C. S. R. Uma trajetória hipotética de aprendizagem: leitura e interpretação de gráficos e tabelas e medidas de tendência central em uma perspectiva construtivista. São Paulo, 240 p. Dissertação (Mestrado). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2011. PIRES, C. M. C. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com as formulações de Martin Simon. In: Educação Matemática Pesquisa. v. 11, n. 1, p. 145-166, 2009. Disponível em: <HTTP://revistas.pucsp.br/índex.php/emp/article/ download/2136/1660 >. Acesso em: 03-06-2012. ROSEMBAUM, L. S. Uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre funções trigonométricas numa perspectiva construtivista. São Paulo, 255 p. Dissertação (Mestrado). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2010. ROSETTI JUNIOR, H.; SCHIMIGUEL, J. Educação matemática financeira: conhecimentos financeiros para a cidadania e inclusão. In: Revista Científica Internacional. a. 2, n. 2, set.-out. 2009. SIMON, M. A. Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist perspective. In: Journal for Research in Mathematics Education. v. 26, n. 2, p. 114-145, 1995. TRALDI JUNIOR, A.; ROSEMBAUM; L. S. Uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre funções trigonométricas numa perspectiva construtivista. In: Educação Matemática Pesquisa. v. 12, n. 2, p. 369-393, 2010. Disponível em: < http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/4192>. Acesso em: 26-06-2012. USE OF A HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORIES IN TEACHING OF FINANCIAL MATHEMATICS IN HIGHER EDUCATION Abstract: This paper aims to introduce a proposal teaching of Cash Flow by Martin Simon’s postulates .He defends reform of Mathematics Education based on constructivist assumptions and proposes a teaching model that includes the idea of Hypothetical Learning Trajectories (HLT). Thus, it is developed a HLT proposing a different sequence of actives displayed by Assaf Neto (2009). The HLT is applied to a class of Business Administration course in Financial Mathematics. Key-words: Financial Mathematics, Cash Flow, Series of Payments, Hypothetical Learning Trajectories
