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Aula-2
O campo elétrico
Curso de Física Geral F-328
10 semestre, 2011
O campo elétrico
Pelo princípio da superposição, vimos que a força que um
conjunto de cargas puntiformes q1 , q2 ,..., qn exerce sobre uma carga
de prova q0




é dada por: F0 = F01 + F02 + ... + F0 n ,

que pela lei de Coulomb se escreve como F0 =

r0i
onde rˆ0i =  ≡
| r0i |

r0 −

| r0 −

ri

ri |
 
r0 − ri
qi
•

ri
•

r0
n
∑
i= 1
1 q0 qi
rˆ0 i ,
2
4π ε 0 r0i
q0

n
 F0
1 qi
,
=
r
ˆ
Assim, podemos definir uma grandeza E ≡
0i
q0 i = 1 4π ε 0 r02i
que só depende da distribuição das cargas q1 , q2 ,..., qn e das suas
O
∑
distâncias ao ponto onde q0 se encontra.
O campo elétrico
Portanto, o campo elétrico devido a uma distribuição discreta de
cargasq1 , q2 ,..., qn em um dado pontor0 é dado por:

 F0
E≡
=
q0
n
∑
i= 1
1 qi
rˆ
2 0i
4π ε 0 r0 i
Para medir o campo devido à distribuição de cargas, devemos
medir a força exercida por esse conjunto de cargas sobre uma carga
de prova q0 e dividir pelo próprio valor de q0 . Para que não haja
influência da carga de prova sobre a distribuição de cargas, podemos
definir o campo como


F0
E ≡ lim
q0 → 0 q0
Linhas de força
As linhas de força são linhas a partir das quais pode-se visualizar
a configuração do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas
no espaço. Elas são traçadas de forma que:
a) A tangente a cada ponto da linha é a direção
do campo elétrico;
b) O número de linhas por
unidade de área de uma super_
fície perpendicular à direção
das linhas é proporcional ao
módulo do campo;
c) As linhas saem das cargas
positivas e chegam nas
cargas negativas.
Duas linhas de campo nunca
se cruzam.
Linhas de força
Duas cargas iguais
Cargas +2q e -q
Um dipolo elétrico
Dada uma distribuição de cargas, o campo
elétrico criado pela distribuição em
qualquer ponto do espaço é dado pelo
princípio da superposição :
  

E = E1 + E 2 + ...+ E n ,

onde Ei é o campo criado por cada
parte individual da distribuição.
Alguns campos elétricos importantes
Carga puntiforme

E=
1 q
rˆ
2
4π ε 0 r
Dipolo elétrico
Ao longo da linha que une as
cargas e para z >> d :
1 p
,
E = E( + ) − E( − ) ≈
3
2π ε 0 z
onde p é o módulo do momento
de dipolo elétrico dado por:


p ≡ qd
Distribuição contínua de cargas
ẑ

dq (r ′ )
 
r − r′

r

r′
  
dE ( r , r ′ )
ŷ
 
E (r ) =
x̂
P
  
dE (r , r ′ )

1 dq (r ′ )  
  2 uˆ (r , r ′ )
4π ε 0 | r − r ′ |
(V , S ou L )
∫
onde

r−
 
′
uˆ (r , r ) ≡ 
|r −

r′

r′ |
Distribuições contínuas de carga

dq (r ′ )
dq
densidade linear: λ =

 dl 
ou : dq( r ′ ) = λ ( r ′ ) dl ( r ′ )

dq (r ′ )

dq (r ′ )
dq
densidade superficial: σ =
dA



ou : dq( r ′ ) = σ ( r ′ ) dA( r ′ )
dq
densidade volumétrica: ρ =
dV



ou : dq( r ′ ) = ρ ( r ′ ) dV ( r ′ )
Distribuições contínuas de carga
Campo devido a um anel uniformemente carregado
com carga q
Ao longo do eixo perpendicular ao plano do
anel e que passa pelo seu centro o campo é
dado por:

qx
E=
xˆ
2
2 3/ 2
4π ε 0 ( x + a )
Note que em pontos bem longe do
anel (x >> a):

E≈
q
xˆ
2
4π ε 0 x
(campo semelhante ao de uma carga puntiforme)

dE
Distribuições contínuas de carga
Campo devido a uma haste isolante em
forma de arco circular uniformemente
carregada de carga -Q
No centro do arco circular de raio r o campo é
dado por:
 0,83Q
E≈
4π ε 0 r
2
xˆ
Distribuições contínuas de carga
Campo devido a um disco de raio R uniformemente
carregado com densidade superficial de carga σ
Ao longo do eixo perpendicular ao plano do
disco e que passa pelo seu centro o campo é dado
por:
 σ  x

x
E=
 −
 xˆ
2
2 1/ 2 
2ε 0  |x| ( x + R ) 
Note que se R >> x (ou plano infinito) :
 σ x
E≈
xˆ
2ε 0 |x|

dE
Campo de um fio infinito carregado com densidade
linear de carga λ uniforme
Contribuição dE devida ao elemento de carga dq ( = λ dz ):
1 dq
1
λ dz
dE =
=
4π ε 0 r 2 4π ε 0 z 2 + x 2
z
dz
As componentes dE z cancelam-se por simetria e
dE x = dE cos θ
Ex =
∫ dE
∞
x
=
+∞
∫ dE cosθ
−∞
λ
= 2 ∫ dE cos θ =
2π ε 0
0
=
∞
∫
0
dz
cos θ
z2 + x2
dz = x sec 2 θ dθ
Faz-se: z = x tgθ ∴
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r
x
x 2 + z 2 = x 2 (1+ tg 2θ ) = x 2 sec 2 θ
Substituindo estas duas relações no integrando acima, tem-se:
λ
E=
2π ε 0 x
π /2
∫
0
cos θ dθ =
λ
λ
[ senθ ]π0 / 2 =
2π ε 0 x
2π ε 0 x
P
θ
dE z
dE x
 x
dE
Movimento de uma carga num campo elétrico
2


d r
F = m 2 = qE
dt
Experiência de Millikan
O peso de uma gotícula
carregada pode ser equilibrado
pela ação de um campo elétrico.
A condição de equilíbrio é:
4
π R 3 ρ g = qE
3
q = ne, onde n = ± 1,± 2,...
e = 1,6 × 10
− 19
C
Movimento de uma carga num campo elétrico
Impressora de jato de tinta
Mantém-se o campo elétrico
fixo e varia-se a carga da gota
de tinta
QEL2
y=
2mvx2
Dipolo num campo elétrico
Torque
τ = Fd sin θ = qEd sin θ = pE sin θ
  
τ = p× E
Energia potencial
θ
U ( θ ) − U ( θ 0 ) = W = ∫ τ dθ = − pE ( cosθ − cosθ 0 )
θ0
π
Se escolhermos θ 0 =
:
2
 
U = − p⋅ E
Dipolo num campo elétrico
Forno de micro-ondas