A Lei de Ampère

Eletromagnetismo
A Lei de Ampère
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O Campo Magnético
O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação
às demais interações. Isso porque não há como fazer uma descrição dos fenômenos elétricos e
magnéticos sem fazer uso de tal conceito. Numa linguagem científica mais precisa, dizemos que
os atributos dos constituintes geram campos. Assim, uma partícula como o elétron gera, com sua
mera presença, campos ditos eletromagnéticos. A interação com os demais objetos dotados do
mesmo atributo ocorre por meio deles. Essa é a base da descrição das interações eletromagnéticas.
Assim, objetos dotados de atributos como a carga elétrica produzem campos que ocupam o
espaço físico. Os demais objetos dotados do mesmo atributo interagem com os primeiros por meio
desse campo. Assim, não há como falar dos fenômenos eletromagnéticos sem introduzir o conceito
de campo. Em particular, as leis do eletromagnetismo são expressas em termos de taxas de variação
pontual ou taxas de variação instantânea de campos.
A ideia de descrever as interações utilizando campos parte do pressuposto de que um objeto
(uma partícula, um átomo, uma maçã etc.) altera, com a sua mera presença, as propriedades do
espaço. A descrição dessa alteração nas propriedades do espaço se dá através do campo, que
ocupa todo o espaço.
O campo abriga o conteúdo de informações, do ponto de vista das interações, que se pode
extrair a respeito de objetos existentes numa determinada região do espaço. Isso se torna verdadeiro na medida em que os objetos interagem entre si através dos campos gerados por eles. Nesse
sentido,a interação com o campo é equivalente à interação com aquilo que o produziu.
É importante ressaltar que o campo existe independentemente da existência de outros objetos
que interajam com ele.
Além do campo elétrico, outro campo desempenha um papel fundamental no eletromagnetismo:

o campo magnético representado por B. Para indicar sua dependência em relação aos pontos do
espaço, escrevemos:
  
B = B (r )
( 1 )
A unidade de medida do campo magnético, no sistema SI, é o Tesla.
Para determinarmos se existe um campo magnético numa determinada região do espaço, basta
utilizar uma bússola ou um ímã. Fios percorridos por correntes também geram campos magnéticos.
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Ímãs produzem campos magnéticos relativamente intensos. A terra faz o mesmo.
Uma forma de determinar o campo magnético num determinado ponto é por meio da medida
da força experimentada por uma partícula. De fato, no caso do campo magnético, a relação entre a
força magnética e o campo magnético é:
 
  
F ( r ) = qV ∧ B ( r )
( 2 )
As linhas de força do campo magnético indicam sua direção e sentido em cada ponto.
Cargas Elétricas em Movimento:
A Densidade de Corrente
Cargas elétricas em movimento dão origem a campos magnéticos. Para caracterizar o fluxo de
partículas lançamos mão do conceito de densidade de corrente. Essa grandeza ocupa um papel
central na teoria do eletromagnetismo.
Consideremos a situação na qual cargas elétricas estão em movimento. Para caracterização de
cargas em movimento utilizamos o conceito de densidade de corrente.
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Imaginemos que a cada instante de tempo a distribuição volumétrica de cargas em movimento
seja dada pela função

ρ = ρ (r ,t )
( 3 )
E que, a cada instante de tempo, a velocidade de cada uma das cargas infinitesimais seja conhecida:
  
V = V (r ,t )
( 4 )
Definimos o vetor densidade de carga como o dado pelo produto:
 
  
J ( r , t ) = ρ ( r , t )V ( r , t )
( 5 )
A densidade de corrente, em geral, é muito importante porque ela dá a taxapela qual uma
grandeza física flui através de uma superfície. Mais especificamente, o fluxo da densidade de
corrente através de uma superfície dá a taxa por unidade de tempo pela qual uma grandeza flui
através dessa superfície. No caso da densidade de corrente elétrica, essa grandeza é a carga elétrica.
O que produz Campos Magnéticos?
Neste capítulo, apresentaremos duas leis do eletromagnetismo. A primeira delas estipula que os
campos magnéticos não resultam da existência de cargas magnéticas (que seriam, se existissem, um
atributo análogo à carga elétrica). Ela expressa o fato de que as partículas que constituem a matéria
não são dotadas do atributo cargas magnéticas. Não existem, portanto, monopolos magnéticos.
Não existindo tal atributo, cabe a pergunta: Como são gerados os
campos magnéticos?
A segunda lei aqui apresentada foi formulada por Maxwell e ela responde a essa questão. Essa
lei estabelece uma relação entre a taxa de variação de um campo magnético e os dois campos que
podem dar-lhe origem: um campo elétrico variando com o tempo, a uma dada taxa instantânea,
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e o campo densidade de corrente. O fato é que dois fenômenos distintos dão origem a campos
magnéticos: Cargas em movimento (fenômeno já discutido no capítulo anterior) e campos elétricos
variando com o tempo. Temos, assim, duas formas de gerar campos magnéticos. Nenhuma delas
faz referência ao conceito de monopolos magnéticos.
Neste capítulo, abordaremos as leis que descrevem os dois fenômenos acima, e que dão origem
ao campo magnético. Trata-se de duas leis que, como bem entendeu Maxwell, podem ser condensadas em uma só.
Inicialmente, procuraremos apresentar uma formulação mais geral da lei de Biot-Savart para
estabelecer uma relação entre as causas (cargas em movimento) e os efeitos (geração do campo
magnético). Nesse caso, procura-se estabelecer uma relação entre taxas de variação do campo
magnético e a densidade de corrente. A essa lei damos o nome de Lei de Ampère. Ela estabelece
que cargas em movimento geram um campo magnético, cujas taxas de variação se relacionam de
uma forma simples (linear) com a densidade de corrente.
Campos elétricos variando com o tempo, por outro lado, podem dar origem a um campo
magnético. Essa foi a maior contribuição de Maxwell para o eletromagnetismo, pois ela levou à
previsão das ondas eletromagnéticas e propiciou, numa segunda etapa, tratar a Óptica como um
ramo da ciência do eletromagnetismo.
Campos Magnéticos são produzidos por meio de partículas dotadas
de cargas elétricas em movimento e/ou pelos spins dessas partículas.
Podem ser gerados também quando campos elétricos variam com
o tempo.
A Lei de Ampère
Grosso modo, esta lei estabelece que a existência de uma densidade de corrente dá origem a um
campo magnético. Existem duas formas de enunciar essa lei. Começaremos pela formulação que
faz uso do conceito de circulação de um vetor. Trata-se de uma formulação que trata de aspectos
globais do campo (em detrimento do campo analisado ponto a ponto).
A partir de uma sólida formação matemática, Ampère elaborou, utilizando um formalismo matemático que hoje denominamos cálculo avançado, a lei que rege os fenômenos observados por Oersted e
4
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5
por ele mesmo. Com isso, estabeleceu os fundamentos para uma formulação da teoria do eletromagnetismo, isto é, que trata os fenômenos elétricos e magnéticos como fenômenos interligados.
Tal lei tem, contudo, uma limitação. Ela é válida para correntes estacionárias, algo que será interpretado a seguir como correntes que não variam com o tempo. O caso geral será tratado ao final
deste capítulo.
Conceito
A ideia básica é a de que a passagem de uma corrente leva à criação de um campo
magnético. A relação entre a corrente elétrica num fio e o campo magnético gerado por ele
não é tão simples, pois envolve o conceito de circulação do campo B ao longo do fio. A lei
da Ampère estabelece uma relação linear entre a circulação do campo magnético ao longo
de um caminho fechado e a corrente elétrica que passa por uma superfície imaginária que
contenha esse caminho, ou seja,
circulação do campo magnético = µ0 I
( 6 )
onde µ0 é uma constante denominada permeabilidade do vácuo e cujo valor é:
µ0 = 4π 10−7 Henry/metro
( 7 )
A formulação matemática mais precisa da lei de Ampère é:
B
∫ ⋅ dl = µ0 I
( 8 )
Γ
Assim, a lei de Ampère (00) estabelece uma relação não local entre o campo magnético e a corrente
elétrica que o gera. Estabelece assim uma relação entre um fenômeno elétrico (cargas elétricas em
movimento) e o elemento essencial dos fenômenos magnéticos (o campo magnético). Estabelece,
ademais, que a origem dos fenômenos magnéticos tem relação com fenômenos elétricos, ou seja,
cargas elétricas em movimento.
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Cerca de quarenta anos depois, Maxwell formulou a mesma lei (a lei de Ampère) em termos de
uma relação entre taxas de variação do campo magnético e a densidade de corrente.
Na formulação da lei de Ampère proposta por Maxwell, temos uma formulação mais geral do
que aquela que envolve uma corrente passando num fio. Nessa formulação Maxwell estabelece
uma relação linear entre uma densidade de corrente e a taxa de variação do campo que ela gera.
Para densidades de corrente que não dependem do tempo, escrevemos:
 

∇ × B ( r ) = µ0 J ( r )
( 9 )
 
onde J ( r ) é o vetor densidade de corrente.
O vetor densidade de corrente, de acordo com a expressão (000), atua como uma fonte do
campo magnético. Observe que agora temos uma relação entre campos calculados no mesmo
ponto do espaço.
Note que, nessa formulação, uma grandeza típica dos fenômenos elétricos (a corrente) tem
relação direta com uma grandeza que dá origem aos fenômenos magnéticos. Esse é o aspecto
essencial em relação à unificação da eletricidade com o magnetismo.
Consideremos agora o fluxo dos campos da expressão (000) numa superfície arbitrária, porém
aberta, cujo contorno é uma curva aqui designada por Γ. Obtemos, portanto, a relação entre fluxos:
∫∫ ∇ × B ( r )idS = µ ∫∫ J ( r )idS
0
A
Figura 5: Visão em corte(seção transversal)
de um fio com fluxo da densidade de uma
corrente de área A e o caminho sobre o qual
se calcula a circulação do campo B.
( 10 )
A
De acordo com o teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de um vetor é igual à circulação do
mesmo ao longo da curva fechada que estabelece o seu contorno, ou seja:
∫∫ ∇ × B ( r )idS = ∫ B ( r )idl
A
( 11 )
Γ
Lembrando a relação entre o fluxo da densidade de corrente e a corrente elétrica,
∫∫ J ( r )idS = I
( 12 )
A
Assim, constatamos que podemos deduzir a lei (000) a partir da lei expressa em termos dos
campos locais - a expressão (000).
Figura: Atenção especial deve ser dada à
regra da mão direita. Se o polegar indica
o sentido da corrente, os dedos indicam o
sentido do campo magnético.
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O uso de Simetrias na Lei de Ampère
Na magnetostática, temos duas alternativas para determinar o campo magnético, uma vez
conhecidas as correntes. A primeira envolve efetuar integrais como aquelas das expressões (000)
ou, equivalentemente, (000). A segunda alternativa envolve o cálculo da circulação de vetores,
fazendo uso da expressão (000).
A lei de Ampère, quando expressa em termos da circulação do campo, não é muito útil, em geral,
para se determinar o campo magnético. Isso ocorre porque o cálculo da circulação pressupõe o
conhecimento do campo. No entanto, como no caso da lei de Gauss, podemos fazer uso de argumentos de simetria para a determinação do campo magnético produzido por uma corrente elétrica
a partir da lei de Ampère quando escrita em termos da circulação do campo. Quando lançamos
mão de tais argumentos, isso simplifica enormemente o cálculo do campo magnético.
Os argumentos de simetria aludidos acima dizem respeito à simetria da distribuição de correntes
e, a partir desses argumentos de simetria, podemos fazer inferência sobre a dependência dos
campos bem como sobre a direção desses campos.
Consideremos o caso de uma densidade de corrente que tenha uma simetria cilíndrica. Isso
quer dizer que a densidade de corrente tem apenas a componente z e que ela depende apenas da
coordenada ρ. Explicitamente, escrevemos:


J (ρ ) = Jz (ρ )k
( 13 )
Tomando uma superfície de raio r e perpendicular ao cilindro, podemos escrever para um
elemento dessa superfície:


dS = ρ d ρ dϕ k
( 14 )
ao passo que para o elemento de comprimento, para a superfície da figura (00), temos:


dl = reϕ
( 15 )
Figura 6: Direção e sentido do campo magnético
produzido por um fio retilíneo.
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Por argumentos de simetria espera-se que, no caso da densidade de corrente com as propriedades acima descritas, o campo magnético seja tal que


B ( ρ ) = B ( ρ ) eϕ
( 16 )
Atenção
O argumento de simetria aludido acima não é nada trivial. Na realidade, ele advém da lei
de Ampère na formulação local (9). Grosso modo, podemos sempre fazer uso da regra da
mão direita. Por essa regra, que segue a lei de Ampère (000), podemos especificar a direção
do campo magnético utilizando os dedos da mão direita. Por essa regra, se utilizarmos
o polegar para indicar a direção da corrente, os demais dedos darão a direção do campo
magnético em cada ponto.
Figura 7: Regra da mão direita.
Campo produzido por um fio grosso e infinito
Consideremos, a título de ilustração, o caso de um fio infinito percorrido por uma corrente de
intensidade total I. Admitamos que o fio seja grosso, ou seja, ele é caracterizado por um raio R.
Por argumentos de simetria, admitiremos agora as expressões gerais já consideradas.
No caso de um fio infinito obtemos, a partirdo caminho circular de raio r em torno do fio e utilizando as expressões acima, que a circulação do campo B ao longo desse caminho será dada por:
2π
B
∫ ⋅ dl = ∫ B ( r )rdϕ = 2π rB ( r )
Γ
Figura 8: Direção e sentido do campo magnético
produzido por um fio retilíneo.
( 17 )
0
A integral da densidade de corrente sobre a superfície plana contendo o círculo de raio r e para
o caminho escolhido (Figura 00) nos leva ao resultado:
I (r ) =
2π
r
0
o
∫ dϕ ∫ d ρρ J ( ρ )
( 18 )
Figura 9: Caminho circular em torno do fio.
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9
onde I(r) é a corrente no interior da superfície de raio r. Consequentemente, a lei de Ampère nos
permite prever, para a componente azimutal do campo elétrico, a seguinte expressão:
B (r ) =
µ0 I ( r )
2π r
( 19 )
Apesar da escolha da superfície plana contendo o círculo, o resultado acima vale para qualquer
superfície que o contenha.
Para os pontos externos ao fio, isto é, para pontos tais que:
r>R
( 20 )
o campo magnético é dado por:
B (r ) =
µ0 I
2π r
( 21 )
onde, agora, a corrente I é a corrente total fluindo através do fio.
A expressão (000) nos dá o módulo da corrente. Para obtermos a informação completa sobre o
campo magnético (inclusive a direção e o sentido), devemos recorrer à expressão vetorial. Utilizando
(000) e (000) escrevemos:

µI 
B ( ρ ) = 0 eϕ
2πρ
( 22 )
Consideremos agora o caso dos pontos no interior do fio grosso considerando-se o caso de uma
densidade de corrente uniforme. Para esse caso escrevemos:


J ( ρ ) = J 0k
( 23 )
I ( r ) = J 0 ∫∫ dS = J 0π r 2
( 24 )
E, portanto,
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Tendo em vista a corrente total, I é dada por:
I = J 0π R 2
( 25 )
Obtemos, a partir da expressão acima, que
r2
I ( r ) = J 0π r = I
R
2
( 26 )
Donde inferimos, utilizando (000) e (000), que
Campo produzido por um solenoide infinito
O solenoide é um arranjo de espiras circulares dispostas uma ao lado da outra, ou superpostas,
pelas quais passa uma corrente i. As espiras são dispostas paralelamente umas às outras e com a
máxima aproximação possível. Isso gera um campo magnético com as características descritas a
seguir. O solenoide é um dispositivo bastante útil. Por exemplo, podemos criar campos magnéticos
de grande intensidade e bastante uniformes. Um dos maiores solenoides do mundo está instalado
num dos maiores laboratórios do mundo (o CERN) (vide foto).
A utilização da regra da mão direita pode convencer-nos de que, para um solenoide infinito, o
campo magnético nos pontos externos ao solenoide se anula;
Figura 10: Solenoide do ATLAS.

B fora = 0
( 27 )
enquanto, para os pontos internos ao solenoide, o campo magnético é uniforme e é dado pela
expressão vetorial:


B dentro = B0 k
( 28 )

onde k é um versor na direção do eixo do solenoide (Figura 00). A demonstração desses resultados,
em geral, não é muito simples, pois envolve cancelamentos de campos produzidos por espiras
alinhadas numa determinada direção.
Figura 11: Direção do campo magnético
interior do solenoide.
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11
A razão para as expressões acima é o fato de que a superposição do campo magnético das
várias espiras terá um efeito destrutivo fora do arranjo de espiras e terá um efeito de superposição
construtiva para os pontos no interior das espiras. No caso de um solenoide finito, as expressões
acima valem apenas como uma boa aproximação (vide figura). Quanto maior o tamanho do solenoide tanto melhor é a aproximação no que tange à validade das expressões (000) e (000)).
Considerando um caminho fechado como o da figura (000), concluiremos que a circulação será
igual à integral de caminho ao longo de 4 caminhos distintos. Nos caminhos 2, 3 e 4, a circulação
é nula. No caminho 3, ela se anula porque o campo magnético é igual a zero fora do solenoide.
Nos caminhos 2 e 4, a circulação se anula porque o campo magnético é perpendicular à direção do
caminho. A integral ao longo de um caminho de comprimento L é dada por:
Figura 12: Direção do campo magnético nos
extremos do solenoide.
Figura 13: Percurso utilizado na determinação do campo magnético.
L
B
∫ ⋅ dl = ∫ B0dz = B0 L
Γ
( 29 )
0
O lado direito da equação envolve a corrente total que passa no interior da superfície. Nesse
caso, temos que, se ao longo do percurso de comprimento L tivermos n espiras, a corrente total I
se escreve como:
I ≡ ni
( 30 )
A lei de Ampère implica, portanto, que o campo magnético será dado pela expressão:
B0 L = µ0 ni
( 31 )
Eletromagnetismo » A Lei de Ampère
12
Donde se infere que o campo magnético no interior do solenoide será dado por:
n
B0 = µ0i  
L
( 32 )
O campo magnético uniforme depende, assim, além da corrente que passa pelo fio, do número
de espiras por unidade de comprimento (a grandeza  n  na equação acima).
L
O Toroide
Conceito
O toroide é um outro arranjo de espiras. Neste caso, as espiras são enroladas, formando
uma superfície de revolução, que pode ser pensada como a de um círculo que percorre uma
circunferência de raio R (vide figura).
Figura 14: Ilustração do toroide.
Levando em conta as considerações de simetria já enunciadas, podemos prever que, como no
solenoide infinito, o campo magnético nos pontos externos ao toroide se anula;

B fora = 0
( 33 )
Eletromagnetismo » A Lei de Ampère
13
enquanto, para os pontos internos ao toroide, o campo magnético tem a direção azimutal e seu
módulo é constante. Na linguagem de vetores podemos escrever, para o campo magnético no
interior do toroide:


B dentro = B0 eϕ
( 34 )
onde eϕ é um versor na direção azimutal.
A validade das aproximações acima depende de duas hipóteses: primeira, que as espiras devem
estar bem próximas umas das outras; segunda, que o raio do círculo r deve ser muito pequeno.
Considerando o caminho indicado na figura (000), podemos escrever a circulação em termos da
contribuição de quatro caminhos,ou seja:
∫ B ⋅ dl =∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
Γ
1
2
3
( 35 )
4
Tendo em vista que ao longo do caminho 3 não temos campo magnético, escrevemos:


∫ B ⋅ dl
=0
( 36 )
3
Ao longo dos caminhos 2 e 4, o campo magnético ou é nulo ou é perpendicular (nos pontos

internos ao toroide) ao vetor infinitesimal de caminho B ⋅ dl = 0 . Portanto,


∫ B ⋅ dl
2
 
= 0 = ∫ B ⋅ dl
( 37 )
4
Ao longo do caminho 1


dl = Rdϕ eϕ
( 38 )
ϕ2
B
⋅
dl
=
B
⋅
dl
=
B
R
0 ∫ dϕ =B0 R (ϕ 2 − ϕ1 )
∫
∫
( 39 )
Donde inferimos que:
Γ
1
ϕ1
Eletromagnetismo » A Lei de Ampère
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Escrito em termos do comprimento de arco, temos:
∫ B ⋅ dl
=B0 R (ϕ 2 − ϕ1 ) = B0 L
( 40 )
Γ
Por outro lado, para a corrente, de acordo com a figura (000), encontramos
I total = nI
( 41 )
onde n é o número de espiras enfeixadas pelo caminho escolhido. Temos assim que
∫ B ⋅ dl
=µ0 I total = µ0 nI
( 42 )
Γ
Consequentemente, obtemos de (000) e (000):
B0 = µ0 I
n
L
( 43 )
Resultado semelhante, no que diz respeito ao módulo, ao do solenoide.
Considerando o solenoide como contendo N espiras (onde N, agora, é o número total de espiras),
a corrente total I se escreve nesse caso como:
I ≡ Ni
( 44 )
Assim, levando em conta todas as espiras, o comprimento do arco corresponde ao comprimento
da circunferência de raio R. Assim, podemos expressar o valor de B0 em termos do número total de
espiras e o comprimento total da circunferência:
 N 
B0 = µ0i 

 2π R 
Figura 15: Percurso utilizado na determinação
de um campo magnético de um toroide.
( 45 )
A expressão acima tem uma forma bastante semelhante à do campo magnético de um solenoide.
A diferença está no fato de que, no caso do toroide, o campo magnético não é uniforme. Nos dois
casos, os módulos do vetor magnético serão constantes e determinados pelo número de espiras
por unidade de comprimento do arranjo.
Figura 16: Corrente total levando-se em conta
apenas n espiras percorridas por uma corrente “i ”.
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
Fotografia: Jairo Gonçalves.
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