Tsunami!

Tsunami!
E outras ondas
Otaviano Helene
Junho/2014
Eur. J. Phys. 27 (2006) p. 855
Características dos tsunamis
• Ondas de grandes comprimentos de onda (muitas
dezenas de quilômetros)
• Velocidades de centenas de quilômetros por hora
em alto mar; período da ordem de hora
• Amplitudes pequenas em alto mar que crescem na
medida em que se aproximam da costa
• Origem: terremotos, queda de meteoroides,
deslizamentos de terra...
O que vamos discutir inclui não apenas tsunamis, mas
ondas em águas rasas, em geral.
Equação de onda - dedução
t, Δx
Δx+ Δz
Δh
h
t+Δt e
h+y
x
x+z
Hipóteses: z varia com o tempo; não há atrito
com o fundo; viscosidade nula; comprimento de
x é a posição de equilíbrio de uma
porção de água. y é a altura da
superfície da água.
Objetivo: descobrir o comportamento
de y(x,t) e z(x,t)
Conservação da massa
L·h·Δx=L·(h+y)
(Δx+ Δz)
Se y<<h e Δz
<<Δx, então
h·Δz+y·Δx=
0
∂z
y = −h
∂x
(I)
Segunda lei de Newton para a
fatia Δh
∂P
∆F = L ⋅ ∆h ⋅ ( P ( x) − P ( x + ∆x)) = − L ⋅ ∆h ⋅ ⋅ ∆x
∂x
F=ma leva a
∂P
∂2z
L ⋅ ∆h ⋅ ⋅ ∆x = − L ⋅ ρ ⋅ ∆h ⋅ ∆x 2
∂x
∂t
(II)
Como
∂P
∂y
= ρ⋅g⋅
∂x
∂x
a equação (II) fica
∂ z
∂y
= −g ⋅
2
∂x
∂t
2
Derivando a eq. (I) em
relação a x,
∂z
y = −h
(I) , temos
∂x
∂y
∂ z
= −h 2
∂x
∂x
2
Finalmente, combinando essa última
equação com
∂2 z
∂y
= −g ⋅
2
∂x
∂t
obtem
os
∂ y
∂ y
=
g
⋅
h
⋅
2
2
∂t
∂x
2
2
Lembrando: y é a
altura da superfície da
água. (Há uma
equação equivalente
para z.)
A equação anterior mostra que ondas
podem se propagar na superfície de
um líquido:
v = g ⋅h
Notem que v depende da
profundidade. Daí a grande velocidade
de tsunamis. Isso vale para águas
rasas, não apenas tsunamis.
Exemplos: h=4.000 m, v=200 m/s
h=10 m, v=10 m/s
Como a velocidade depende da profundidade,
ondas sempre chegam paralelamente às praias.
Isso é refração.
Refração do tsunami de 2004 no
Oceano Índico
Ondas na água podem formar
“bicos”
Mas em uma corda esticada,
não!
Em uma corda um pedaço de largura
infinitesimal Δx estaria sujeito a uma
força finita
Pode
Não
pode
Reflexão
• Além da oscilação vertical da superfície
da água, há uma oscilação horizontal
em z,
y
Se conhecemos y(x,t), conhecemos
z(x,t).
O fluxo de água
é dado por
• Usando essa expressão para o fluxo e leis
de conservação de massa, encontramos
alguns resultados interessantes.
Reflexão ao mudar de
meio
Reflexão
k=ω/v e
k’=ω/v’
• Como não pode haver “degraus” na
superfície da água (y(x,t) contínua) e
igualando o fluxo em ambos os lados,
obtemos
T
Notem que T é maior do que 1 se v
for maior do que v’; a onda cresce.
Conservação da energia na reflexão
O fluxo de energia é proporcional ao quadrado da
amplitude de uma onda vezes sua velocidade.
Portanto:
• Energia incidente proporcional a v
• Energia refletida proporcional a R2v
• Energia transmitida proporcional a T2v
É imediato verificar a conservação de energia
Energia incidente=energia refletida + energia transmitida
+=
Como a amplitude da onda
transmitida pode aumentar se v’ for
menor do que
v,
T ,
podemos observar vários efeitos:
Ondas de banhistas crescem quando
entram em águas mais rasas
Ondas de surfistas crescem quando
passam por bancadas
Tsunamis crescem quando se aproximam
Ilustração: Reflexão e transmissão em uma interface
Ondas (e tsunamis) entrando em
águas rasas
Exemplos finais de ondas na água
Um dos efeitos destrutivos dos tsunamis ocorre porque eles crescem na medida
em que se aproximam da costa. Mas não é só isso: assim como uma pequena
onda invade a praia por alguns poucos metros, limitado pelo seu comprimento
de onda, um tsunami pode invadir muitos quilômetros da costa, pois seu
comprimento de onda é enorme. É como uma maré alta, muito alta.
•
Há muitos outros efeitos ondulatórios (ou, pelo menos, hidrodinâmicos) que
ocorrem na água
difração
reflexão
ondas estacionárias
macaréus (pororoca)
degrau hidráulico (pias)
Difração na costa da Namíbia
Namíbia, coordenadas 23.129S e 14.432E. Imagem
obtida do Google maps em julho/2013
N
Ressonância em um prato de
sopa
a
l
Chega!