AULA 4 - Instituto de Física / UFRJ

Colisões – M.F.B, 2004
Física 1 – 2004/2 – turma IFA
AULA 4
Objetivo: discutir processos de colisão em que os objetos em
interação possuem estrutura interna.
Assuntos: o momento angular de um sistema de partículas, sua
conservação, e processos de colisão que envolvem movimentos
internos (de rotação) dos corpos
O que você deve ser capaz ao final desta aula:
Ö calcular a velocidade angular de um sistema num pocesso de
colisão.
1. Introdução
Na primeira aula, apresentamos a idéia de espalhamento com a seguinte figura:
antes
durante
depois
e discutimos, ESQUECENDO O QUE ACONTECE DURANTE A COLISÃO, a relação
entre as variáveis cinemáticas (velocidades e momentos) antes e depois da colisão.
No entanto, imaginemos que utilizamos uma lupa e somos capazes de observar
que um dos objetos que constituem nosso sistema (ou ambos) são na verdade constituídos
de outros objetos menores – isto é, que possua estrutura interna
antes
e gire em torno de si mesma, ou tenha algum outro tipo de movimento relativo.
Nossa pergunta: como analisar uma situação como esta?
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2. O momento angular total de um sistema de partículas e sua lei de conservação
É imediato: só sobrou o momento angular... Já discutimos que o momento
angular de uma partícula k em relação a um ponto O escolhido por nós num dado sistema
de referência é definido como
r (k ) r r
r r
l O ≡ rk × p k = mk rk × v k
r
r
onde rk é o vetor posição da partícula em relação ao ponto O, v k é a velocidade da
r
partícula e p k o seu momento linear. (Faça um desenho esquemático, indicando esses
vetores para uma partícula livre – com velocidade constante.)
O momento angular total de um sistema de partículas é, como sempre, a soma dos
momentos angulares individuais de cada constituinte do sistema:
r
L O = ∑ l (Ok )
k
Já discutimos que a taxa de variação do momento angular total do sistema em
relação ao tempo é dado pela soma de todos os torques das forças externas que agem
sobre as componentes do sistema. Para rever esta discussão, leia a seção 4.5 do livro
texto (H.M. Nussenzveig). Demonstramos que
r
dL O
r
r EXT
= ∑ τ Oext (k ) = τRES
dt
k
pois os torques das forças internas não são capazes de alterar o momento angular do
sistema.
Isto significa que se tivermos um sistema isolado, ou um sistema sobre o qual a
soma de todos os torques externos seja nulo, teremos mais uma grandeza conservada: o
MOMENTO ANGULAR TOTAL.
A lei de conservação do momento angular pode ser expressa como
r
r EXT
τRES = 0 ⇒ L O = const
Exemplo 1
O problema dos patinadores – veja na Lista 14 o exercício 12.
Dois patinadores de mesma massa m movem-se um em relação ao outro com
velocidades de mesmo módulo v ο e sentidos opostos. A distância entre eles é d .
Quando passam um pelo outro, se dão as mãos.
Na figura abaixo, à esquerda, vemos a situação inicial, e à esquerda vemos
representado o instante imediatamente ao instante da “colisão” – no qual os dois
patinadores se dão as mãos.
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r
vο
m
r
vο
d
d
r
− vο
r
− vο
m
(a) Calcule a velocidade angular de rotação dos dois patinadores em torno do seu
centro de massa.
O sistema considerado é constituído pelos dois patinadores; as forças externas a
este sistema são no caso pesos e normais (desprezando o atrito com a superfície).
Neste caso, a resultante das forças externas sobre o sistema é nula e portanto o
momento linear se conserva; tanto antes, quanto durante, quanto depois da colisão o
momento linear do sistema é sempre o mesmo. Escrevemos
r
r
r
∑ F ext = 0 ⇒ P = MV = constante sempre.
Como antes da colisão
r
r
r
r
P = MV = mv ο + m(− v ο ) = 0 o momento linear e a velocidade do centro de
massa serão nulos todo o tempo.
Isto é, estamos olhando a situação no referencial do centro de massa! E o centro de
massa do sistema está bem no meio dos dois.
Como o centro de massa tem velocidade nula, ele permanece sempre parado no
ponto médio dos dois patinadores. Assim, depois que os patinadores se dão as
mãos (colidem), vão girar com velocidades iguais e opostas em torno de um eixo
perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa.
Do que estudamos nas três aulas anteriores, concluíamos que a velocidade do
centro de massa era nula e que portanto o centro de massa permanecia parado.
Agora podemos observar o que acontece com o momento angular – e analisar o
movimento de rotação dos patinadores em torno do centro de massa do sistema.
Como as forças externas são peso e normal, e cada uma delas atua no mesmo ponto
(cada patinador é uma “partícula”) temos que
r
r
∑ τext = 0 ⇒ L = const
Assim, podemos calcular (em relação ao centro de massa dos dois corpos) o
momento angular antes de eles se darem as mãos:
m
r
vο
⊗ k̂
r
r1
CM
r
r2
d
r
− vο
m
r
r r
r
r r
r
r r
r
r
L i = mr1 × v ο + mr2 × (− v ο ) = mr1 × v ο + m(− r1 ) × (− v ο ) = 2mr1 × v ο = mv ο d k̂
onde usamos a notação da figura (e observamos que r1 = d / 2 ).
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Assim, depois da colisão o momento angular terá o mesmo valor. Como depois da
colisão os dois patinadores estarão girando com velocidade angular ω em torno do
centro
escrevemos
r de massa,
r
r
r
r
r
r
d
L f = mr1f × v 1 + mr2f × (− u1 ) = 2mr1f × u1 = 2mu 1 k̂ = mu1d k̂
2
Mas u1 = ωd / 2 e portanto
r
1
L f = mωd 2 k̂
2
Igualando,
r
r
1
L i = mv ο d k̂ = L f = mωd 2 k̂
2
ou seja
ω = 2v ο / d
(b) Calcule a variação da energia cinética do sistema constituído pelos dois
patinadores antes e depois de se darem as mãos. Discuta e justifique o resultado
encontrado.
A energia cinética antes de se darem as mãos vale
1
1
2
K i = mv ο2 + m(− v ο ) = mv ο2
2
2
Depois da colisão, temos
2
2
1
1
1
1  2v 
d
2
K f = mu 12 + m(− u1 ) = mu 12 = mω 2   = mω 2 d 2 = m ο  = mv ο2
2
2
4
4  d 
2
e portanto a energia cinética é conservada!
Se isto ocorre, é porque a força interna (as mãos se segurando) não realiza trabalho
sobre cada um dos patinadores...
3. Finalização: suas tarefas
Exercício 7
Resolver o exercício 12 (completo) da lista 14.
Exercício 8
Resolver o exercício 16 da lista 14.
Entregar, até quarta feira ao meio dia (dia 3/11), os Exercícios 7 e 8 FEITOS EM
PARCERIA COM UM OU DOIS COLEGAS.
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