NDMAT – Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos Profº Eliton

NDMAT – Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos
Profº Eliton Mendes
As resoluções que são apresentadas, foram feitas, em cima das questões que seguiam a ordem da prova
“GABARITO 5”. Por isso, todos os problemas estão com numeração que obedecem a ordem da referida prova.
Espero que as resoluções que seguem, possam servir de instrumento para seu crescimento e uma posterior
aprovação.
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Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que
acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa
ordem, igual a
. Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os
dias?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Temos aqui uma questão simples envolvendo proporção. Os dados do problema informam que três em cada quatro
homens acessam a rede diariamente, ou seja,
diariamente, ou seja,
dos homens. E que duas em cada três mulheres acessam a rede
das mulheres. Que fique bem claro que, essas frações não se referem ao total de pessoas e
sim, ao total de homens e mulheres respectivamente. O problema também informa que a razão entre o número de
. Com essa proporção (
mulheres e homens, nessa ordem é de , logo temos que
) que se refere ao total
das pessoas, podemos concluir que do total, as mulheres correspondem a uma parte e os homens duas partes,
totalizando três partes (1 + 2). Dessas três partes duas são homens, então
do total de pessoas são homens e
dessas três partes uma parte é mulher, logo do total são mulheres. Podemos ver melhor no esquema abaixo:
Assim temos que
do total de homens
acessam a rede diariamente e
do total de mulheres
diariamente. Logo a fração do total de pessoas que acessam a rede diariamente é igual a:
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1
acessam a rede
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(
)
(
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)
Outra forma de resolver, caso prefira, é estipulando quantidades. Como ele diz que a razão de mulheres para
homens é de 1 para 2, ou seja
. Isso nos diz que o número de homens é o dobro do número de
mulheres. Então escolha uma quantidade para as mulheres e os homens correspondem ao dobro. É interessante
que a escolha seja de um número múltiplo de três e quatro, pois as frações que o enunciado informa têm
denominadores três e quatro. Vamos escolher a quantidade de 60 mulheres, logo os homens são na quantidade de
120 (o dobro). Entenda que a escolha aqui foi aleatória. Qualquer quantidade múltipla de 3 e 4 servirão (Faça o
teste!). Logo temos que o total de pessoas pesquisadas são de
⏟
Sabemos que 3/4 dos homens acessam a rede diariamente, ou seja,
rede, ou seja
⏟
.
. E 2/3 das mulheres acessam a
. Temos então um total de 90 + 40 = 130 pessoas (entre homens e mulheres) que acessam
a rede diariamente. Então a fração do total de pessoas que acessam a rede diariamente é de
.
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No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto
B dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C está a 48,7 mm do ponto A.
Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C?
(A) 24,8
(B) 17,1
(C) 23,1
(D) 23,5
(E) 23,9
Essa questão é bem simples. Podemos aproveitar a reta que ele dá na questão e escrever as distâncias que ele
fornece no enunciado. Veja:
41,9
65,8
Veja que é possível descobrir a distância de A até B, basta subtrair 65,8 – 41,9 = 23,9.
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2
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41,9
23,9
65,8
Vamos agora colocar a distância de A até C que ele informa:
41,9
23,9
65,8
48,7
Passe uma linha vertical por B e veja que a distância de B até C é a diferença entre 48,7 e 23,9:
41,9
23,9
65,8
48,7
Logo a distância de B até C é igual a 48,7 – 23,9 = 24,8 Letra A
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No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg
de latas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas. De acordo com essas informações, quantos reais
receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?
(A) 30,40
(B) 23,15
(C) 23,98
(D) 28,80
(E) 28,96
Essa questão é bem simples. Envolve proporção e através de uma regra de três simples chegaremos a resposta. Ele
informa que 100 kg de latas valem 320 reais e também é dito que 1 kg de lata corresponde a 74 latas. Pois bem, se 1
kg de lata são 74 latas, então 100 kg de latas correspondem a 7400 latas e vale 320 reais. Logo, montamos nossa
regra de três simples:
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Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a
reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta.
Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões
de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo
recicladas na China e nos EUA em um ano?
(A) 24,80
(B) 9,08
(C) 10,92
(D) 12,60
(E) 21,68
Pelo gráfico II vemos que a China recicla 30% da sua produção de lixo que é de 300 milhões de toneladas conforme
o gráfico I. Então a China recicla
milhões de toneladas. Os EUA reciclam 34% da sua produção que é
de 238 milhões de ton, logo eles reciclam
Letra B
milhões de ton. A diferença entre eles é de
15
2
Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,..., en,...) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n + 6n. O quarto termo
dessa sequência é igual a
(A) 40
(B) 9
(C) 13
(D) 17
(E) 32
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2
Seja Sn = n + 6n a soma dos n termos iniciais. Se a sequência for de um termo, temos n = 1, se for de dois termos
então n = 2, se for de três termos então n = 4 e assim sucessivamente. Vamos substituir n por 1, 2, 3... para descobrir
a soma dos primeiros termos e com isso descobrimos termo a termo:
2
n=1
S1 = 1 + 6 . 1 = 7 como é a soma do 1º termo, temos que o primeiro termo é igual a 7
n=2
S2 = 2 + 6 . 2 = 16 isso diz que a soma dos dois primeiros é 16, como o 1º é 7, então o segundo é 16 – 7 = 9
n=3
S3 = 3 + 6 . 3 = 27 isso diz que a soma dos três primeiros é 27, como a soma dos dois primeiros é 16, então o
2
2
terceiro termo é igual a 27 – 16 = 11
Temos então uma PA de razão dois, veja: ( 7, 9, 11, 4º termo, ...) Logo o 4º termo é 13
Letra C
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Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de
a moeda ser lançada exatamente três vezes?
(A) 3/4
(B) 1/8
(C) 1/4
(D) 1/3
(E) 1/2
O problema, como se percebe, é sobre probabilidade e é tendencioso. É preciso ter atenção ao que o enunciado
informa. A moeda será lançada até que se obtenha duas faces consecutivas, então, se obtermos uma face igual a
anterior paramos o lançamento. Como ele diz que vai lançar a moeda exatamente três vezes, pode-se concluir que,
no segundo lançamento a face obtida não será igual a primeira e, como paramos no terceiro lançamento significa
que a terceira face será igual a segunda. A primeira face pode ser qualquer uma, então a probabilidade é de 1 (ou
100%), a segunda face tem que ser diferente da primeira logo probabilidade de 1/2 e a terceira face igual a segunda
logo probabilidade de 1/2. Então a probabilidade é
Letra C
17
O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse investimento renderá R$ 6.000,00
no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa empresa pretende
fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é
(A) 15%
(B) 1%
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5
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(C) 1,5%
(D) 5%
(E) 10%
Por definição, a taxa interna de retorno é a taxa que faz com que o somatório das receitas e o somatório das
despesas, sejam iguais na data atual (zero).
Fica simples pensar da seguinte forma: “ a taxa interna de retorno é a taxa que vai corrigir o capital investido”.
Houve um investimento de 10 000 e posteriores receitas de 6 000 no ano um e 5 500 no ano dois. Logo, esse capital
investido (10000) é equivalente ao somatório dessas receitas. Agora, lembre-se que, essa igualdade é na mesma
data, pois na matemática financeira o dinheiro nunca fica parado.
Vamos corrigir os capitais de 10 000 (despesa) e 6 000 (receita) até a data dois anos. Poderíamos ter corrigido para
qualquer data, mas corrigi-los até a última data torna os cálculos mais simples.
6 000
n
N = A . (1 + i) ( lembre-se que desconto Racional composto é a mesma coisa que
5 500
2
Montante composto M = C. (1 + i) )
Corrigindo o capital investido (10 000):
2
N1 = 10 000 . (1 + i) (valor do capital investido na data 2 anos)
1m
2m
Corrigindo a receita de 6 000:
1
N2 = 6 000 . (1 + i) (valor da receita na data 2 anos)
10 000
O somatório das receitas é igual ao somatório das despesas, logo temos
a seguinte equação:
1
5 500 + 6 000 . (1 + i) = 10 000 . (1 + i)
2
Para facilitar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Trocaremos (1 + i) por x, logo (1 + i) = x.
2
5 500 + 6 000 x = 10 000 x divida a equação por 500, ficaremos com:
11 + 12 x = 20 x
2
resolveremos a seguinte equação do segundo grau
2
20 x – 12 x – 11 = 0
Usando a fórmula de Bháskara encontramos como raízes – 0,5 ( o que não convém pois a taxa é positiva) e 1,1 que é
a taxa que procuramos, logo:
(1 + i) = x
(1 + i) = 1,1
i = 1,1 – 1
i = 0,1 multiplica por 100% , logo i = 10%
Letra E
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Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento
correspondente é, aproximadamente,
(A) 13,43%
(B) 12%
(C) 12,49%
(D) 12,55%
(E) 13%
Observe que aparece uma taxa nominal. Taxa nominal só acontece no regime composto e não serve para ser usada
nas fórmulas do regime composto. Antes de tudo temos que passar a taxa nominal para taxa efetiva (aquela que
efetivamente aplicamos nas fórmulas do regime composto). É fácil perceber quando uma taxa é nominal. Quando a
unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização temos uma taxa nominal.
VALE LEMBRAR QUE: “a taxa nominal é uma taxa proporcional, por isso, que não a utilizamos. No regime composto
utilizamos em uma outra unidade de tempo, uma taxa equivalente a efetiva.”
Vamos mudar de nominal para efetiva: “Embora estejamos no regime composto utilizamos o conceito de taxa
proporcional para fazer essa mudança, pois a taxa nominal é uma taxa proporcional”.
Taxa efetiva
Mesma unidade da capitalização
12 dividido por 4
i = 12% aa, com capitaliz. trimestral= 3% at
Unidade da tx ≠ da unid. Da cap
Taxa Nominal
Agora que temos a taxa efetiva vamos reler o problema e onde tiver a taxa nominal, iremos ler a taxa efetiva:
“Um investimento rende a taxa 3% ao trimestre. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente,”
Percebeu o que ele deseja? Ele quer que você mude a taxa de trimestral para anual e como se trata da taxa efetiva,
vamos utilizar o conceito de taxas equivalentes: 1 + I = (i + i)
n
Onde: I é a taxa de maior período, i é a taxa de menor período, n é o número de vezes em que o período menor cabe
no maior.
⏟
⏟ ⏟
(
)
(
Teremos que calcular essa potência (
)
)
uma aproximação com quatro casas decimais está de bom
tamanho.
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(
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)
(
)
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João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e,
um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,
(A) 538,00
(B) 240,00
(C) 330,00
(D) 429,00
(E) 489,00
Podemos resolver esse problema de duas maneiras, lógico que uma delas é bem “trivial”. Veja o desenho que
representa o problema:
+ 90 (10%)
990
900
1089
- 600 = 489
1 mês
2 meses
X = 489 + 48,9 = 537,90 Letra A
3 meses
Poderíamos corrigir todos os valores a juros compostos para a data 3 meses e lá fazemos a equivalência de valores.
Acho que dessa maneira há uma clareza maior. Mas tem quem goste de usar a fórmula: M = C. (1 + i)
3
n
3
Corrigindo o valor do empréstimo: M = 900. (1 + 0,1) = 900.(1,1) = 900 . 1,331 = 1.197,90
1
Corrigindo o primeiro pagamento: M = 600. (1 + 0,1) = 600.(1,1) = 660
Chamemos de X o valor que temos que pagar no mês 3 para quitar o débito, então o débito de 1.197,90 tem que ser
igual a soma dos pagamentos:
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X + 660 = 1.197,90
X = 1.197,90 – 660
X = 537,90
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Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10%
ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um
dos pagamentos mensais é, em reais, de
(A) 806,40
(B) 704,00
(C) 705,60
(D) 719,00
(E) 739,20
Podemos fazer um desenho que retrata o problema, veja:
1 344
P
P
1m
Como houve um pagamento no ato da compra, este servirá como entrada, devendo então reduzir o valor que será
financiado. Então podemos entender o problema assim:
P
1 344 - P
1m
O problema não especifica o regime dessa compra, mas, como o segundo pagamento é feito um mês depois da
compra, para 1 período, tanto regime simples como o composto fornecem os mesmos juros. Para efeito de
praticidade, aplicarei a fórmula dos juros compostos. Caso você esqueça da fórmula dos juros compostos, ou
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qualquer outra, basta entender que o débito de 1 344 – P tem que ser corrigido em 10% e essa correção vai gerar o
montante P. Então:
P = 1,1 . (1 344 – P)
P = 1 478,40 – 1,1P
P + 1,1P = 1 478,40
2,1P = 1 478,90
Dessa forma espero ter contribuído para um melhor aprendizado.
Bons Estudos e muito sucesso!
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