Ondas Eletromagnéticas

Ondas Eletromagnéticas
Física Geral F-428
1
Radiação Eletromagnética
&
Ondas Eletromagnéticas
2
Ondas Eletromagnéticas:
Veremos:
• Radiação eletromagnética é uma forma de energia que se
propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no
vácuo;
• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas
eletromagnéticas com uma velocidade bem definida,
designada c , a velocidade da luz no vácuo;
• Ela é emitida e absorvida por partículas com carga
elétrica aceleradas;
r
• Numa onda eletromagnética,
temos o campo elétrico E
r
e o campo magnético B que oscilam, e guardam uma
relação
r r fixa entre si;
• E e B são perpendiculares entre si, e também
perpendiculares à direção em que a onda se propaga.
3
4
No vácuo!!!!
• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do
campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do
5
campo magnético (elétrico).
Um pouco da história.....
• Oersted mostrou que corrente elétrica produz
campo magnético.
• Faraday mostrou que campos magnéticos
variáveis no tempo produzem campos elétricos.
• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis
no tempo produzem campos magnéticos
variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell).
r r
r r
E (r , t ) ⇔ B(r , t )
(reciprocidade)
6
A equação de onda
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra
vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes
ρ ( r, t ) ≠ 0 e J ( r, t ) ≠ 0 :
7
A equação de onda
Aqui u pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz.
8
A equação de onda
ε0 = 8,85418 × 10-12 C2/ N. m2
µ0
=
4 π 10-7 T.m/A
Hoje:
c = 299792458 m/s
9
James Clerk Maxwell 1862
“A velocidade das ondas transversais em nosso
meio hipotético, calculada a partir dos
experimentos eletromagnéticos dos Srs.
Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente
com a velocidade da luz, calculada pelos
experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil
evitar a inferência de que a luz consiste nas
ondulações transversais do mesmo meio que é
a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”.
10
O experimento de Hertz
(1885-1889)
(Descoberta das ondas de rádio)
11
A confirmação experimental veio
com Heinrich Hertz
12
Ondas podem ser...
• Unidimensionais;
• Bidimensionais;
• Tridimensionais;
Vamos começar simples....
com as unidimensionais
13
Uma brincadeira... peguemos uma função ...
y
x=0
y=x2
x=a
x
y=(x-a)2
y=(x-a)2= (x-vt)2
14
No caso de uma função oscilante...
Podemos fazer a função se deslocar no sentido
positivo ou negativo de x:
sen(kx - ωt) ou
sen(kx +ωt)
No nosso caso:
E y = Emax sen(kx − ωt )
Bz = Bmax sen(kx − ωt )
15
A equação de onda
(onda se propaga na direção x)
2π
k=
λ
16
Ondas eletromagnéticas
Período:
T
Comprimento
de onda:
Freqüência:
1
f =
T
Freqüência
angular:
Número de
onda:
k=
2π
λ
Velocidade de
uma onda:
λ
ω = 2π f
v=
ω
k
=λf
17
ŷ
Ondas eletromagnéticas
x̂
ẑ
(3ª Eq. de Maxwell)
Bz transverso à direção
de propagação da onda:
• Sejam: E y ( x, t ) = E m sen( kx − ωt )
Em ω
= =c
Bm k
→
e Bz ( x, t ) = Bm sen( kx − ωt )
Ey
Bz
=c
c=
1
µ0 ε 0
18
Usando a forma integral...
r r
dΦB
E
.
d
s
=
−
∫
dt
r r
 ∂E 
[
(
)
]
[
(
)
]
E
.
d
s
=
E
x
+
dx,
t
l
−
E
x,
t
l
≈
l
 dx
∫
 ∂x 
dΦB
dB
∂B
= ldx
= ldx
dt
dt xconst
∂t
∂E
∂B
=−
∂x
∂t
19
E ainda...
r r
dΦE
∫ B.ds = ε 0 µ0 dt
r r
 ∂B 
(
)
(
)
B
.
d
s
=
[
B
x,
t
]
l
−
[
B
x
+
dx,
t
]
l
≈
−
l
 dx
∫
 ∂x 
dΦE
dE
∂E
= ldx
= ldx
dt
dt xconst
∂t
∂B
∂E
= −ε 0 µ0
∂x
∂t
20
Ondas eletromagnéticas planas
E y ( x, t ) = E0 sin k ( x − ct ) = E0 sin(kx − ωt ) ; ω = ck
21
Os campos em um ponto distante P....
22
Os campos no ponto distante P:
23
Ondas planas...
E y = Emax sen(kx − ωt )
Bz = Bmax sen(kx − ωt )
• As expressões para Ey e Bz nos dão as
componentes respectivas para cada x e cada t.
• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x
e não dependem das coordenadas y e z do ponto no
espaço. Isso significa que todos os pontos com o
mesmo x terão as mesmas componentes dos
campos.
• Portanto, em todos os pontos do plano que
corresponde a um dado x, os campos serão iguais.
24
Para ajudar você a imaginar uma onda plana...
25
Uma pergunta....
• E se a propagação da onda fosse na
direção y?
• Se a propagação fosse na direção z?
• Se a propagação fosse numa direção
qualquer ?
26
Outra pergunta...
• Por quê escolhemos a função seno?
• Não poderíamos escolher a função
cosseno?
• E se a onda seguisse uma função mais
complicada?
27
• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma
série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno:
uma série de Fourier:
Ex.: Onda quadrada
28
Outro exemplo:
29
Por essa razão...
• Já que as equações de onda são lineares
nos campos (implicando que somas de
soluções são solução),
• E qualquer função periódica pode ser
escrita como uma soma de funções senos
e cossenos,
• Então podemos simplificar e estudar
apenas as soluções senoidais..
30
Ondas eletromagnéticas
c=
Transporte de energia
1
µ 0ε 0
As densidades de energia elétrica e magnética
1
r
u E (r , t ) = ε 0 E 2
2
como
E
B=
c
⇒
e
B2
r
u B (r , t ) =
2µ0
E2
1
r
u B (r , t ) = 2 = ε 0 E 2
2c µ 0 2
A densidade total de energia armazenada no campo de radiação
r
r
r
u (r , t ) = u E (r , t ) + u B (r , t ) = ε 0 E 2
31
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
r
Definindo S (vetor de Poynting) :
r 1 r r
S ≡ E×B
µ0
r
I =| S |
r
E0
y
r
B0
r r
| E × B | = µ0 I
∆U
∆U
I≡
∆a ∆t
r
E0
r
d a = nˆ da
Potência transmitida:
r
dU
P=
= ∫ S ⋅ nˆ da
dt A
r
S
r
B0
z
r
k
x
∆l = c∆t
32
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
Como
r r
r
2
2
E ( r , t ) = E0 sin (k ⋅ r − ω t )
2
A média temporal da densidade de energia é dada por
r r
1
1
2
u = ε0 E = ε0E
sin (k ⋅ r − ω t ) dt = ε 0 E02
T 0
2
144424443
T
2
2
0
∫
=
1
2
y
Intensidade da radiação: definida pela média
r
E0
∆U
r
da
∆U
∆U ∆l ∆U
1
I≡
=
=
c = u c = cε 0 E02
∆a ∆t ∆a ∆l ∆t ∆V
2
r
B0
z
∆l = c∆t
k̂
x
33
Ondas eletromagnéticas
Transporte de energia
r r
r r
r
Como: E ( r , t ) = E0 sin( k ⋅ r − ω t )
r r
r r E02
2
E×B =
sin (k ⋅ r − ω t )kˆ
c
∆U
1
I≡
= cε 0 E02
∆a ∆t 2
y
∆U
r r E02 1
| E×B|=
= cµ0ε 0 E02
2c 2
r r
| E × B | = µ0 I
r
E0
r
da
r
k
r
B0
z
x
∆l = c∆t
34
Ondas eletromagnéticas
eletromagnéticas esféricas
Ondas
Transporte de energia
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos
r
Pf = S ⋅ nˆ da
∫
A
Emissão isotrópica:
Pf = 4π R 2 S
r
r
S ⋅ nˆ = S ⋅ rˆ = S
Pf
I =S =
2
4π R
35
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
O mesmo elemento que transporta
a energia ∆U também transporta o
momento linear
r ∆U ˆ
p=
k
c
r
Densidade de momento linear ( ρ p ):
r
r
r
p
u ˆ |S | ˆ
S = I = uc
= k= 2 k
∆V c
c
r 1 r r
S ≡ E×B
r
µ0
r
r
r
S
ρp = 2 = ε 0 E × B
c
z
r
E0
y
r
S
r
B0
∆U
r
E0
r
ds = nˆ da
r
r
x
k
B0
∆l = c∆t
36
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear: Pressão de radiação
Momento linear transferido para um
objeto em que incide a radiação
r ∆U ˆ
∆pa =
k
c
∆U ˆ
r
∆pr = 2
k
c
r
p
no caso de absorção
total da radiação
r ∆U ˆ
p=
k
c
no caso de reflexão
total da radiação
(colisão elástica)
r
p
k̂
r
−p
r
r
r
r
r
Obs.: ∆prefletido = (− p) − ( p) = −2 p = −∆ptransferido
37
Ondas eletromagnéticas
Transporte de momento linear : Pressão de radiação
∆U = IA ∆t
r ∆U ˆ
∆pa =
k
c
∆U ˆ
r
∆pr = 2
k
c
r
p
Pressão de radiação
∆p
F
IA
I
Fa = a =
⇒ Pressãoabs = a =
na absorção total
∆t
c
A
c
Pressão de radiação
∆pr 2 IA
Fr 2 I
F
=
=
⇒
P
ressão
=
=
r
ref
na reflexão total
∆t
c
A
c
r
p
r
−p
38
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Polarização linear:
r r
Direção do campo elétrico E ( r , t )
Onda linearmente polarizada
39
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
r r
r r
r
E ( r , t ) = E0 sin( k ⋅ r − ω t )
Polarização linear
r r
E ( r , t ) = E0 sin( kz − ω t ) xˆ
+ E0 cos(kz − ω t ) yˆ
Polarização circular
2 r
2 r
E x ( r , t ) + E y ( r , t ) =40E02
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
41
Ondas eletromagnéticas não polarizadas
Em uma onda não polarizada a
direção instantânea do vetor
polarização varia com o tempo.
Pode-se produzir uma onda nãopolarizada superpondo duas
ondas linearmente polarizadas em
direções perpendiculares e com
amplitudes variando
aleatoriamente (ao acaso).
ondas com E em diferentes direções,
mas todas elas saindo do papel
com a mesma amplitude; ou superpondo
duas ondas polarizadas ⊥.
42
Polarização circular
43
Ondas eletromagnéticas
Polarização da radiação
Ey
Polarização elíptica
r r
E ( r , t ) = E x 0 sin(kz − ω t ) xˆ + E y 0 cos(kz − ω t ) yˆ
r
2 r
E (r , t ) E y (r , t )
+
=1
2
2
Ex 0
Ey0
2
x
Ex
44
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.
Exemplo:
eixo de polarização
fios metálicos
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/
45
Você quer testar seus óculos de sol?
As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção,
que absorvem luz que neles incide // à direção do
alinhamento e deixa passar luz polarizada ⊥ ao alinhamento.
46
Uma analogia mecânica
47
Ondas eletromagnéticas
Ao invés de examinar o que está acontecendo
microscopicamente com as moléculas do filtro
ou material polarizador, vamos definir:
eixo de polarização ≡ direção de
polarização
de modo que a componente do E // a essa
direção é transmitida e a componente do E ⊥
a essa direção é absorvida!
48
Exemplo:
luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador:
Apenas a componente da luz na direção de
polarização do filtro consegue atravessá-lo:
I = ½ I0
(regra da metade)
49
Ondas eletromagnéticas não polarizadas
Polarizadores
ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada
(ex.: luz natural)
DEPOIS: Intensidade da
radiação polarizada ao
longo de ŷ :
I = I 0 cos 2 θ =
I0
2π
2π
∫
cos 2 θ dθ =
0
I0
2
Φ
Φ
50
Outro exemplo:
se a luz que incide
no filtro já for polarizada:
y
z
apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida!
Considerando que Ey= E cosθ, a intensidade da luz transmitida será
I = I0 cos2 θ
(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado)
51
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
Intensidade de uma componente
da radiação incidente:
E0|| = E0 cos θ
E0⊥ = E0 sin θ
Intensidade da radiação
polarizada ao longo de ŷ :
r
r
r
E0 = E⊥ 0 xˆ + E// 0 yˆ
1
1
2
I 0 = cε 0 E0 = cε 0 ( E02|| + E02⊥ )
2
2
eixo de
polarização
1
2
I = cε 0 E0||
2
I = I 0 cos θ
2
52
Ondas eletromagnéticas
Polarizadores
Visualização através de um polarizador:
53
54
Resumo da aula
• Ondas eletromagnéticas consistem de campos
elétricos e magnéticos oscilantes;
• Os campos variáveis criam um ao outro
reciprocamente, mantendo a propagação da onda
autossustentável: um E variável cria B e um B
variável cria um E;
• E e B são perpendiculares à direção de
propagação da onda (ondas transversais) e E é
perpendicular a B;
• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo
com velocidade c.
c = 299 792 458 m/s (exato)!
55
Resumo da aula
• A direção de E × B dá a direção de propagação
da onda (lembre da regra da mão direita!);
• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S)
e momento p (e, portanto, exercem pressão P);
• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas
(linear, circular, elíptica) ou não-polarizadas;
• Certos materiais polarizadores deixam passar
apenas a componente do campo elétrico
paralela ao eixo de polarização.
56
Ondas eletromagnéticas
Problema 1 (Cap.33; Ex.4)
Um certo laser de hélio-neônio emite luz
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos
de onda em torno de 632,8 nm, com uma
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em
unidades de frequência, da luz emitida?
57
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?
∆λ
λ=λ ±
= (632,8 ± 0,0050) nm
2
f =
c
λ
= cλ
−1
→
df
c
=− 2
dλ
λ
⇒
∆f = −
c
λ
2
∆λ →
∆f =
c
λ
2
∆λ
3 × 10 8 m / s
−2
−9
10
∆f =
10
×
10
m
≈
0
,
75
×
10
Hz = 7,5 G Hz
(632,8 × 10 −9 ) 2 m 2
mas:
3 × 108
f =
≈ 4,74083 × 1014 Hz !
−9
(632,8 × 10 )
f = f±
Note que:
∆f =
f
λ
∆f
= (474,083 ± 0,004) × 1012 Hz
2
∆λ
→
∆f
f
=
∆λ
λ
58
Ondas eletromagnéticas
Problema 2
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as
extremidades da antena receptora.
59
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal
entre as extremidades da antena receptora.
E = Em sen ( kx − ω t ) ; I =
y
Pf
4π d 2
E
f
B
Pf = 4 kW
L=
0,65 m
x
d = 4 km
1
I = cε 0 Em2
2
1/ 2
→
Pf



 ;
Em ( d ) = 
2 
 2π cε 0 d 
ε 0 ≈ 8,85 × 10−12 F / m
1/ 2
L  Pf 

f .e.m. = ε L = ∫ Em ( d ) dy = Em ( d ) L = 
d  2π cε 0 
0
L
1/ 2

0,65 m 
4 × 10 W


εL ≈
3
8
−12

4 × 10 m  2π × (3 × 10 m / s) × (8,85 × 10 F / m) 
3
≈ 0,080 V = 80 mV
60
Problema 3 (Cap.33; Ex.16)
Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de
onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é
posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição
do detector?
c = 2,998 ×108 m/s
∂B
= 3,44 × 10 6 T / s
∂t max
Ondas eletromagnéticas
Problema 4 (Cap.33; Ex.27)
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá
após transcorrer um dia, por causa do momento linear
associado à luz do laser?
62
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta),
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?
m
r
U
pluz = − xˆ
c
dpluz 1 dU P
=
=
dt
c dt
c
r
v = v xˆ
r
r
pn = − pluz
r d pr n
Fn =
dt
Fn =
dpluz
→ Fn =
dt
P
= ma →
c
a=
P
mc
v(t ) = v0 + at ; se v0 = 0 → v(t ) = at
P = 10 kW ; m = 1500 kg ; 1dia = 24 × 60 × 60 = 86400 s
P
104 W × 86400 s
−3
v=
t=
≈
1
,
9
×
10
m/s!
8
mc 1500 kg × 3 × 10 m / s
63
Problema 5 (Cap.33; Ex.30)
Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente,
0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo
com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso
da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de
19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b)
Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por
que o equilíbrio da esfera seria instável?
Ondas eletromagnéticas
Problema 6 (Cap.33; Ex.37)
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são
θ para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto
vale θ ?
65
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em
relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos
filtros são θ para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale θ ?
dado:
θ
E
I2
= 0,1
I0
I1 = I 0 cos 2 θ ;
900
I2
I1
I0
I 2 = I1 cos 2 (90 − θ ) = I 0 cos 2 θ cos 2 (90 − θ )
I2
= cos 2 θ [cos 90 cosθ + sen 90 senθ ]2 = cos 2 θ sen2θ = 0,1
I0
cos 4 θ − cos 2 θ + 0,1 = 0 →
1 ± 1 − 0,4 1 ± 0,775
x=
=
=
2
2
x 2 − x + 0,1 = 0 ;
x = cos 2 θ
0,8875
→ cosθ1 = 0,9421 → θ1 ≈ 19,6°
0,1125
→ cosθ 2 = 0,3354
→ θ 2 ≈ 70,4°
66