aplicação de algoritmo colônia de formigas na reconfiguração de

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18 a 21 de setembro de 2011
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APLICAÇÃO DE ALGORITMO COLÔNIA DE FORMIGAS NA
RECONFIGURAÇÃO DE REDES ELÉTRICAS DE DISTRIBUIÇÃO
BENEMAR ALENCAR DE SOUZA1, JOSÉ DO PATROCÍNIO DOS SANTOS SILVA1,
NIRALDO ROBERTO FERREIRA2 , LEROY UMASI RAMOS2.
1.
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Campina Grande
Rua Aprigio Veloso, 822, 58429-900, Bodocongó, Campina Grande PB
E-mails: [email protected], [email protected]
2.
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Bahia .
Rua Aristides Novis, 02 Federação, 40210-630 Salvador-BA
E-mails: [email protected], [email protected]
Abstract
 In this article, the problem of find the optimal topological configuration of electrical distribution network is considered. The problem is formulated by taking the total active losses of the network as the
objective function and equations of power flow, the capacity of the connections and the type of network
configuration as constraints. To solve it we employ a heuristic inspired by the behavior of ant colony called
Ant Colony Optimization – ACO. In cooperation, ants find the shortest path between the nest and a food
source using a mechanism of indirect communication. A scheme in which the intermediate solutions are all
feasible has been used to facilitate the search process. The algorithm was tested on a distribution network
supplied by several sources, showing good results.
Keywords
 Ant colony, ACO, Network configuration, Power flow, heuristic.
Resumo
 O problema de encontrar a configuração ótima de uma rede elétrica de distribuição é formulado
tomando a perda total de potência ativa na rede como a função objetivo e as equações do fluxo de potência,
a capacidade das conexões e o tipo de configuração da rede (radial) como restrições. Para resolvê-lo emprega-se uma heurística inspirada no comportamento de colônias de formigas, chamada otimização por colônia
de formigas ou ACO, do inglês ant colony optimization. Em cooperação, as formigas encontram o menor
caminho entre o ninho e fontes de alimento utilizando um mecanismo de comunicação indireta. Uma estratégia de busca em que as soluções intermediárias são todas factíveis é proposta para aumentar a eficiência
do algoritmo, o qual deu bons resultados ao ser testado com redes de distribuição supridas a partir de múltiplas subestações.
Palavras-chave
 Colônia de formigas, ACO, reconfiguração de redes, fluxo de potência, heurística.
1
Introdução
A maioria das redes elétricas primárias de distribuição opera na configuração radial, por questões de
simplicidade operativa e para efetiva coordenação de
seu sistema de proteção. Na ocorrência de uma falta,
algumas chaves seccionadoras do alimentador, normalmente fechadas, são abertas para isolar os trechos
afetados. Para restabelecer o serviço interrompido em
decorrência das aberturas, outras chaves, normalmente abertas, são fechadas. As chaves operadas retomam à suas posições originais após a remoção da
falta. Reconfiguração da rede assim, de caráter emergencial e interino, não é única.
Sob condições operativas normais periodicamente
promove-se a reconfiguração dos alimentadores de
distribuição visando: redução das perdas de potência
ativa e melhoramentos diversos: de continuidade do
serviço, da confiabilidade do sistema ou do balanceamento da carga (Shirmohammadi e Hong, 1989),
(Kargar et al, 2008).
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
A minimização das perdas de potência ativa é um
problema não linear e de natureza combinatória em
razão dos estados das chaves manobráveis. Considerando-se as dimensões dos sistemas elétricos de
médio e grande porte, a busca por uma solução ótima
é uma tarefa árdua, pois requer a avaliação de um
numero muito grande de possibilidades. Outro aspecto que eleva a complexidade do problema são os
requisitos da rede ser radial e conexa (Souza et al,
2010).
Diversas metodologias tem sido empregadas para
lidar com o problema da reconfiguração, tais como,
têmpera simulada (Cheng e Kou, 1994), algoritmos
genéticos (Lin et al, 2000), métodos clássicos de
otimização (Wagner et al, 1991), algoritmos evolutivos (Amasifen et al, 2005), regras heurísticas (Hsu et
al, 1992) e colônia de formigas (Pereira et al, 2008).
O algoritmo de formigas ou ACO foi idealizado para
resolver problemas de otimização combinatória sendo inicialmente aplicado ao problema do caixeiro
viajante (Dorigo e Gambardella, 1997) e depois para
resolver o problema da configuração de redes (Perei-
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ra et al, 2008). Algumas aplicações do ACO para
configurar redes foram propostas sem se desvincular
do problema do caixeiro viajante, comprometendo
assim a eficiência do algoritmo. Ao incorporar peculiaridades do problema na elaboração de uma versão
do ACO (Souza et al, 2009), procurou-se evitar que
as configurações intermediárias fossem infactíveis,
porém até completá-las as formigas podiam fazer
deslocamentos e cancelá-los, desperdiçando tempo
de processamento. Posteriormente propôs-se um
algoritmo tal que todas as soluções intermediárias
eram factíveis, o que evita movimentos desnecessários das formigas e regras complicadas (Souza et al,
2010). Neste trabalho o algoritmo proposto é avaliado com novos casos, buscando verificar suas aplicabilidade e robustez, além de testar uma programação
nova e mais abrangente, em Matlab®.
2 Algoritmo Colônia de Formigas
2.1 O comportamento das Formigas
O ACO é uma heurística inspirada nas formigas,
que conseguem descobrir os menores caminhos entre
o formigueiro e uma fonte de alimento através da
cooperação e de um mecanismo de comunicação
indireta (Dorigo e Gambardella, 1997). Ao retornar
ao ninho depois de ter encontrado uma fonte de alimento, a formiga deposita no caminho uma substância química denominada feromônio. Esta substância
atrai outras formigas do ninho para a coleta do alimento encontrado. Se existirem várias trilhas de
feromônio conduzindo a uma dada fonte, a seleção é
probabilística com base na concentração da substância em cada uma delas.
As formigas que percorrem a trilha menor até a
fonte de alimento, retornam ao ninho mais cedo fazendo com que nela haja alta concentração de feromônio. Isso atrairá um grande número de formigas.
Deste modo, a colônia é capaz de selecionar o menor
caminho para uma determinada fonte de alimento de
forma cooperativa. Tal processo é exemplificado na
Figura 1.
Inicialmente, as formigas partem do formigueiro
de forma aleatória em busca do alimento (Figura 1a).
Com o tempo, elas passam a percorrer o menor caminho, o qual é apontado pela maior concentração de
feromônio (Figura 1b).
formigueiro
formigueiro
obstáculo
obstáculo
fonte de alimento
fonte de alimento
(a)
(b)
Figura 1. Caminhos (a) iniciais aleatórios; (b) final e de
comprimento mínimo
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
2.2 Formulação do Problema
O problema de configuração ótima de redes radiais
consiste em suprir n nós de carga a partir de p nósfontes mediante a ativação de n ligações das m existentes (m > n). Para a formulação do algoritmo é
considerado que os nós têm estados binários e as
ligações têm estados ternários: um nó pode estar
ligado ou desligado, enquanto uma ligação pode ser
desativada, ativável ou ativada. Durante a escolha
das ligações que formam uma configuração radial, a
ligação pode estar em um dos três estados, dependendo de seus nós. Se uma ligação está ativada então
seus dois nós devem estar necessariamente ligados.
Se inicialmente uma ligação está desativada então
seus dois nós devem estar necessariamente desligados. Se uma ligação está ativável então um de seus
nós deve estar ligado e o outro não. Explicando de
outra forma, uma ligação está ativada quando tiver
sido percorrida pela formiga. Do contrário, a ligação
será considerada desativada se não há possibilidade
de ser percorrida naquele instante, ou ativável se for
uma das opções que a formiga tem naquele momento
para seguir em sua expedição.
A reconfiguração de redes de distribuição pode ser
formulada como um problema de otimização não
linear. Encontrar a solução consiste em selecionar
dentre todas as configurações possíveis aquela em
que as perdas totais de potência ativa sejam mínimas,
satisfazendo a um conjunto de restrições.
A capacidade de condução de corrente nas ligações é limitada, assim o problema pode ser formulado do seguinte modo:
Minimizar ∆Ptotal,
(1)
tendo-se como restrições:
i. equações de fluxo de carga,
ii. capacidade das ligações Ii ≤ Imax,i ,
iii. configuração da rede radial.
∆Ptotal são as perdas de potência ativa totais na rede.
A primeira restrição é intrínseca, haja vista que o
valor da função objetivo (perdas totais de potência
ativa) é calculado mediante um método computacional que tem por base as equações de fluxo. Aproveitando-se da terceira restrição emprega-se no cálculo
do fluxo de carga o método da soma de potências
(Cespedes, 1990), por ser de eficiência computacional reconhecida.
A segunda restrição é efetiva e pode ser tratada de
duas maneiras: (i) incorporando-a à função objetivo
mediante funções de penalidade para onerar soluções
que violem os limites impostos, tanto mais quanto
maior for a violação; ou (ii) simplesmente descartando soluções que não satisfaçam os limites de capacidade dos trechos. Essa segunda alternativa é muito
rígida e em geral inadequada. Portanto, se decidiu
por adotar a primeira. Ou seja, o problema de otimização com restrição expresso por (1) é convertido em
um problema de otimização irrestrita cuja função
objetivo incorpora a restrição de corrente máxima
nas ligações (Lin et al, 2000):
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(
F = ∆Ptotal + ∑ λ i max(0, I i − I max i )
)2
(2)
i
sendo λi um fator de peso, Ii a amplitude da corrente
na ligação i cuja capacidade de condução é limitada
em Imaxi. Os termos do somatório na expressão (2) é
uma função de penalidade interior que onera toda
eventual violação de restrição, tanto mais quanto
maior for a violação.
2.3 Fluxo de Carga e o Cálculo das Perdas
As perdas de potência são calculadas pelo método da
soma de potência – MSP, um método de cálculo do
fluxo de carga iterativo nas variáveis perdas de potência ativa e reativa do tipo forward-backward
(Cespedes, 1990). As amplitudes das tensões de barra
são calculadas seqüencialmente no sentido das subestações para as barras terminais.
A tensão na barra final do trecho j depende da
tensão na barra inicial i:
V j = A + A2 − B ,
sendo
A=
e
Vi 2
− ( R j Pj + X j Q j )
2
B = ( R 2j + X 2j )( Pj2 + Q 2j ) .
Rj e Xj são a resistência e a reatância do trecho j. Pj e
Qj são os fluxos de potência ativa e reativa no fim do
trecho, respectivamente.
Após todas as tensões de barra ser calculadas, as
estimativas das perdas de potência ativa e reativa
podem ser refinadas:
R( Pj2 + Q 2j )
∆Pj =
V j2
e
∆Q j =
X j ∆Pj
Rj
.
Sendo j o trecho que termina na barra j e Φ j o conjunto de todos os trechos que começam nessa mesma
barra j. Então os fluxos no final do trecho j se expressam do seguinte modo:
Pj = PL j +
Q j = QL j +
∑ ( Pk + ∆Pk )
k ∈Φ j
∑ (Qk + ∆Qk )
k ∈Φ j
sendo PL j e Q L j as potências da carga instalada na
barra j, final do trecho j.
No caso de j ser uma barra terminal, Φj é um conjunto vazio. Logo, Pj = PLj e Qj = QLj. Na iteração
inicial consideram-se nulas as perdas de potência
ativa e reativa nos diversos trechos e obtém-se uma
estimativa inicial dos fluxos e do perfil de tensão.
Uma iteração se completa quando o procedimento
acima é repetido para todas as barras. O processo
iterativo do MSP converge quando o erro absoluto
percentual, entre as perdas totais de uma iteração e a
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iteração precedente é menor que uma tolerância préestabelecida.
2.4 Escolha Pseudo-Aleatória das Ligações no Percurso das Formigas
A formiga escolhe a próxima barra a ser visitada com
base em seu próprio conhecimento (resistência das
ligações entre a barra que está e as vizinhas) e no
conhecimento coletivo (quantidade de feromônio
depositado em cada uma dessas mesmas ligações). O
conhecimento coletivo é cumulativo, sendo alterado
sempre que uma nova configuração radial se completa.
A probabilidade de uma das ligações ativáveis ser
escolhida por uma formiga para sair da barra em que
se encontra para outra é dada pela seguinte expressão:
 τiα ηβi
, se i ∈ Ψ
α β

Pi =  ∑ τ j η j
 j∈Ψ

0
se i ∉ Ψ
em que τi é a quantidade de feromônio na ligação i,
ηi o inverso da resistência da ligação i, α o peso da
carga de feromônio, β é o peso da resistência e Ψ o
conjunto das ligações ativáveis.
2.5 Distribuição do Feromônio
Tão logo as formigas completem uma configuração
factível, são calculadas as perdas na rede e a carga de
feromônio nas ligações ativadas da nova configuração é incrementada do seguinte modo:
τi = τi + ∆τi , para ∀i ∈ Ω
(3)
sendo Ω o conjunto das ligações ativadas e ∆τi a
carga incremental de feromônio na ligação i, que se
expressa como:
γ
∆τi = ,
F
com F sendo a função objetivo (2) e γ um fator de
ajuste. Assim, se consegue distinguir as soluções pela
qualidade que apresentem: configurações com perdas
menores, por serem soluções melhores, recebem um
incremento de feromônio maior em suas ligações.
Na realidade o feromônio é uma substância volátil
(Dorigo e Gambardella, 1997). Essa propriedade
evita que soluções antigas fiquem registradas de
modo demasiadamente persistente, continuando a
influenciar o processo de busca pela solução ótima e
acabando por estagná-lo. A evaporação do feromônio foi incorporada ao algoritmo do seguinte modo: o
número total de expedições é dividido em partes
iguais denominado de ciclos, findo o qual a carga de
feromônio é atualizada do seguinte modo:
(1 − ρ)τi + ρ∆τi , se i ∈ Ω
τi = 
se i ∉ Ω
 (1 − ρ)τi ,
(4)
em que Ω é o conjunto das ligações ativadas da nova
ligação, ∆τi é a carga incremental de feromônio na
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ligação i e ρ é a taxa de evaporação, um número
entre 0 e 1.
2.6 Resolução do Problema com o Algoritmo de
Formigas
Inicialmente todos os nós-fontes estão ligados, enquanto os nós de carga estão todos desligados, de
modo que nenhuma ligação está ativada. As formigas partem simultaneamente de nós ligados respeitando as seguintes regras:
1. As formigas se deslocam exclusivamente por
ligações ativáveis;
2. Quando uma formiga chega ao nó desligado
da ligação ativável que tenha percorrido:
i. este nó torna-se ligado e a ligação ativada;
ii. surge outra formiga para ocupar o nó originalmente ligado deixado por ela;
3. O percurso de uma formiga se completa
quando ela não puder mais seguir por ligações ativáveis;
4. A expedição termina quando nenhuma formiga tiver mais mobilidade, ou seja, quando
não houver nenhuma ligação ativável.
Ao término de uma expedição sempre se terá determinado uma configuração radial. O número de
formigas por expedição é variável. Começa igual ao
número de nós-fontes e termina igual ao número de
nós ligados. As formigas vão surgindo aleatoriamente de nós ligados e se movimentam por ligações
ativáveis enquanto puderem. De acordo com as regras estabelecidas acima o ACO proposto para configuração ótima de redes de distribuição radial é aquele que se apresenta na figura 2. A carga de feromônio
é atualizada aplicando-se (4) se expedição for a última de um ciclo. Do contrário se aplica (3).
Início
Ler os dados da rede
e os parâmetros do
ACO e do MSP
Depositar uma quantidade inicial de feromônio
τ0, em todas as liga-
Incrementar o
contador
de expedição
Incrementar o contador de expedição
Fazer todos os nós-fontes
ligados e os nós-de-carga
desligados
Executar o MSP:
calcular fluxos e as
perdas ativas totais
Posicionar uma formiga
em cada nó ligado
Não
Existe
ligação ativável?
Sim
Calcular o valor da
função objetivo correspondente à configuração
atual empregando (2)
Escolher uma das ligações ativáveis com
probabilidade
calculada
por (8)
Atualizar a carga de
feromônio empregando
(3) ou (4)
Deslocar a formiga que
esteja no nó ligado da
ligação ativável selecionada
e aplicar a regra 2
Não
Última
expedição ?
Sim
Apresentar a configuração radial final indicando suas ligações ativas e
as perdas totais
Figura 2. Fluxograma do ACO
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3 Resultados
O algoritmo de formiga foi programado em Matlab®
e testado com uma rede elétrica de distribuição primária hipotética de doze barras e quatorze ligações
suprida a partir de duas subestações, conforme esquematizado na Figura 3. A tensão de linha nas saídas das subestações, (barras 1 e 9), é 13,8 kV. Os
dados da rede são apresentados na Tabela 1. A condição necessária, porém não suficiente para a rede ser
radial é que quatro das quatorze ligações sejam desativadas, pois as barras de carga são apenas dez. Com
o programa desenvolvido obteve-se a solução de
perda mínima indicada na Tabela 2 e Figura 4. A
tensão e os fluxos na configuração ótima são mostrados na Tabela 3 e os parâmetros do ACO empregados são mostrados na Tabela 4.
Um limite para o número possível de configurações a partir da rede da Figura 3 é recomendada por
Gomes (2005), ou seja, as combinações de quatorze
ligações em grupo de quatro (ligações desativadas).
De fato, o número de configurações radiais é bem
menor. Testando cada uma das 1001 configurações
obtidas ao se desativarem quatro ligações, descobriuse que apenas 373 delas são verdadeiramente radiais.
As perdas totais nessa configuração ótima são de
0,4338 MW. Para se chegar a esse resultado foram
realizados 20 ciclos de 10 iterações, totalizando 200
iterações.
Os perfis de tensão da rede nas configurações
inicial e ótima são mostrados na Figura 5 indicam
uma melhoria geral nas tensões de barra em conseqüência da reconfiguração do sistema.
4 Conclusão
Uma rede de distribuição primária reconfigurável
suprida por múltiplas subestações foi empregado
para testar o desempenho de um algoritmo de formigas com finalidade de minimizar as perdas totais de
potência ativa. No início do processo a carga de
feromônio é pequena e uniforme em todas as ligações da rede, prevalecendo o conhecimento individual dos agentes: escolha com base na resistência relativa das ligações. Com o decorrer das iterações há
um crescimento sistemático da carga de feromônio
vindo a prevalecer o conhecimento coletivo das formigas.
O algoritmo tem a vantagem de gerar apenas soluções intermediárias radiais, o que reduz o espaço de
Fim
Figura 3. Configuração inicial da rede de distribuição a ser reconfigurada
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Tabela 1. Dados da rede de distribuição.
de – para
R,
Ω
1- 2
2-3
5–4
8– 5
11 – 5
6–7
9–8
2 – 10
9 – 11
10 - 12
3–4
7–3
5 – 12
11 – 6
X,
Ω
2
3
3
4
3
4
2
3
2
3
1
1
2
2
3
4
4
3
4
5
3
2
3
2
1
2
1
2
barra
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
–
–
–
–
Potência
MW
Mvar
0,4
0,6
0,6
0,5
0,6
0,4
0,8
0,2
0,9
0,1
0,8
0,2
0,7
0,1
0,7
0,4
0,8
0,2
0,6
0,5
–
–
–
–
–
–
–
–
Tabela 2. Redução de perdas com a reconfiguração da rede.
Configuração
Ligações desativadas
Perdas, kW
Redução de perdas
Inicial
3, 4, 10 e 14
781,1
–
Ótima
3, 5, 10 e 12
433,8
44,5%
Tabela 3. Tensão e fluxo na configuração ótima.
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tensão,
p.u
1.0000
0.9405
0.8982
0.8923
0.9177
0.9395
0.9152
0.9620
1.0000
0.9240
0.9624
0.9079
Barra
de
1
2
8
6
9
2
9
3
5
11
---
para
2
3
5
7
8
10
11
4
12
6
---
Fluxo,
kW
2359.64
1203.43
1407.77
800.00
2169.55
700.00
2553.36
600.00
600.00
1717.05
---
Tensão de base: 13,8 kV.
Tabela 4. Valor dos parâmetros utilizados.
Parâmetros
Peso da visibilidade, β
Peso da carga de feromônio, α
Taxa de evaporação, ρ
Iterações
Fator de ajuste, γ
Tolerância no MSP
Valor
1,0
1,0
0,10
200
10-2
10-3
Figura 4. Configuração ótima da rede
busca, e está apto a lidar com redes supridas por
múltiplas subestações.
A técnica apresentou bom desempenho na obtenção da configuração ótima de sistemas elétricos de
distribuição de pequeno porte. As pesquisas atuais
são no sentido de dotar o algoritmo de eficiência em
otimizar a configuração de redes de médio porte
(com várias centenas de ligações).
5 Agradecimentos
Este trabalho teve apoio do PROCAD/CAPES
mediante concessão de bolsas de doutorado e de pósdoutorado. Também foi apoiado pelo CNPq que
concedeu bolsa de iniciação científica. Os autores
agradecem a essas agências.
Referências Bibliográficas
Amasifen, J.C.C., Romero, R., Mantovani, J.R.S.
(2005). Algoritmos Evolutivos Dedicados à Reconfiguração de Redes Radiais de Distribuição
sob Demandas Fixas e Variáveis – Estudo dos
Operadores Genéticos e Parâmetros de Controle.
Revista Controle e Automação, Vol.16 No3,
PP.303-317.
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
Figura 5. Perfis de tensão inicial e ótimo.
R.G. Cespedes (1990). New method for the analysis
of distribution networks. IEEE Trans. PWRD,
vol. 5, n. 1; pp. 391-396.
Cheng, H.C., Kou, C.C. (1994). Network Reconfiguration in Distribution Systems Using Simulated
Annealing. Electric Power Systems Research.
Vol.29, pp.227-238.
Dorigo, M., Gambardella, L.M. (1997). Ant Colony
System: A Cooperative Learning Approach to
the Traveling Salesman Problem. IEEE Transactions on Evolutionary computation. Vol.1 No1,
pp. 53-66.
Gomes, F.V. (2005). Reconfiguração de Sistemas de
Distribuição Utilizando Técnicas de Otimização
Contínua e Heurística para Minimização de Custos. Tese de Doutorado, COPPE/UFRJ.
Hsu,Y.Y., Huang, M.M., Kuo, H.C., Peng, S.K.,
Chang, C.W., Chang, K.J., Yu, H.S., Chow,
C.E., Kuo, R.T. (1992). Distribution System
Service Restoration Using a Heuristic Search
761
X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
Approach. IEEE Transaction on Power Delivery,
Vol.7, No2, PP. 734-740.
Kargar, H.K. (2008). Reconfiguration of large-Scale
Deregulated Distribution Network for Minimizing Energy Supply Cost by Using BGA. In: The
International Conference on Electrical Engineering 2008, Okinawa.
Lin, W.M., Cheng, F.S., Tsay, M.T. (2000). Distribution Feeder Reconfiguration with Refined Genetic Algorithm. IEE Proceedings Generation,
Transmission and Dsitribution, Vol.147 No 6,
pp.349-354.
Pereira, F.S., Vittory, K., Costa, G.R.M. (2008). Ant
Colony Based Method for reconfiguration. In:
IEEE PES Transmission and Distribution Conference and Exposition, 2008, Bogotá.
Shirmohammadi, D., Honh,H.W. (1989). Reconfigu-
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
ration of Electric Distribution Networks for Resistive Line Loss reduction. IEEE Transactions
on Power Delivery, Vol.4 No2, pp.1492-1498.
Souza, B.A., Cabral Neto, J.P., leite, M.F., Vittori, K.
(2009). Configuração de Redes de Distribuição
Via Algoritmo de Formigas. IX SBAI, Brasília.
Souza, B.A., Silva, J.P.S., Ferreira, N.R. (2010).
Configuração Ótima de Redes de Distribuição
Aplicando Um Algoritmo Colônia de Formigas.
In: IEEE PES Transmission and Distribution
Latin America Conference and Exposition,
2010, São Paulo.
Wagner, T.P., Chikhani, A.Y., Hackam, R. (1991).
Feeder Reconfiguration from Loss Reduction:
An Application of Distribution automation.
IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.6
No4, pp. 1922-1933.
762