A Equação de Stefan Boltzmann - udesc

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – DFIS
A Equação de Stefan-Boltzmann
Prof. Dr. José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Centro de Ciências Tecnológicas
Universidade do Estado de Sana Catarina
1. As Leis da Termodinâmica aplicada a Radiação de Cavidade
Seja uma cavidade cujas paredes estejam a uma temperatura T; consideramos que esta
cavidade está em equilíbrio termodinâmico com o meio que a cerca. Por conta da temperatura, as
paredes da cavidade irradiam energia, tal que dentro da cavidade coexistem em equilíbrio a radiação
eletromagnética e a matéria que origina esta radiação.
Nesta situação, tratamos a radiação eletromagnética dentro da cavidade como uma máquina
térmica. Podemos então aplica a esta radiação de cavidade as Leis da Termodinâmica.
A Primeira Lei da Termodinâmica expressa a Conservação da Energia e é dada por [1]
dU = ∂Q − ∂W
1
Na Equação 1 U é a energia interna da cavidade, Q é a quantidade de calor existente na cavidade e
W o trabalho mecânico produzido pela radiação eletromagnética.
Já a Segunda Lei da Termodinâmica [2] relaciona a quantidade de calor existente na cavidade
com a temperatura da cavidade e com a entropia S produzida pela radiação eletromagnética.
∂Q = T ⋅ dS
2
Por sua vez, associamos o trabalho mecânico produzido pela radiação eletromagnética com a
variação de volume da cavidade dV provocada pela pressão de radiação das ondas eletromagnéticas,
isto é [3]
∂W = P ⋅ dV
3
Substituímos a Equação 2 e a Equação 3 na Equação 1 e após uma manipulação simples
obtemos
T ⋅ dS = dU + P ⋅ dV
4
2. A Energia Interna da Radiação de Cavidade
Usamos agora o fato da energia interna da cavidade ser uma propriedade extensiva [4]; desta
forma, podemos escrever o elemento de energia interna em termos da densidade de energia u, tal
que
dU = u ⋅ dV
5
Fazemos agora a hipótese que a cavidade representa muito bem o corpo negro. Desta forma,
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ao descrevermos a densidade de energia da cavidade, estamos também descrevendo a densidade de
energia do corpo negro. Para um corpo negro sabemos que a densidade de energia depende apenas
da temperatura do corpo [5], isto é
u = u (T )
6
Desta forma, dado que a energia interna é uma função de estado [6], podemos escrever
U (T ,V ) = u (T ) ⋅ V
7
Tomamos a diferencial em ambos os lados da Equação 7 e escrevemos
dU = u (T ) ⋅ dV + V ⋅ du
8
Uma vez que a densidade de energia do corpo negro depender apenas da sua temperatura,
temos que
 du 
du = 
 ⋅ dT
 dT 
9
Substituímos então a Equação 9 na Equação 8 e obtemos
 du 
dU = u (T ) ⋅ dV + V ⋅ 
 ⋅ dT
 dT 
10
Por fim, substituímos a Equação 10 na Equação 4 e obtemos
 du 
T ⋅ dS = u (T ) ⋅ dV + V ⋅ 
 ⋅ dT + P ⋅ dV
 dT 
11
Simplificamos a Equação 11 ao agruparmos os termos em comum na diferencial dV e
obtemos
 du 
T ⋅ dS = [u (T ) + P ] ⋅ dV + V ⋅ 
 ⋅ dT
 dT 
12
3. A Pressão de Radiação de Cavidade
Na Equação 12, P é a pressão de radiação sobre as paredes da cavidade; esta pressão de
radiação pode ser escrita em termos da densidade de energia da radiação na cavidade tal que [7]
P=
1
⋅ u (T )
3
Substituímos a Equação 13 na Equação 12 e obtemos
13
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u (T ) 

 du 
T ⋅ dS = u (T ) +
⋅ dV + V ⋅ 
 ⋅ dT

3 

 dT 
14
Uma manipulação simples da Equação 14 nos leva a
dS =
V  du 
4 ⋅ u (T )
⋅ dV + ⋅ 
 ⋅ dT
T  dT 
3⋅T
15
4. A Entropia como Função de Estado Termodinâmico
Como sabemos também a entropia S é uma função de estado, isto é
S = S (V , T )
16
A partir da Equação 16 escrevemos a diferencial da entropia como
 ∂S 
 ∂S 
dS = 
 ⋅ dV + 
 ⋅ dT
 ∂V 
 ∂T 
17
A partir da comparação entre a Equação 15 e a Equação 17, é fácil concluir que
 ∂S  4 ⋅ u (T )

=
3⋅T
 ∂V 
 ∂S  V  du 

 = ⋅

 ∂T  T  dT 
18a
18b
Usamos agora o fato que derivadas parciais de segunda ordem são intercambiáveis [8], isto é
 ∂2S   ∂2S

 = 
 ∂V ⋅ ∂T   ∂T ⋅ ∂V



19
As derivadas contidas na Equação 19 são fáceis de serem calculadas. A derivada descrita no
lado esquerdo da Equação 19 é calculada derivando a Equação 18a em relação à temperatura.
 ∂ 2 S  ∂  4 ⋅ u (T )  d  4 ⋅ u (T ) 

 =

=


 ∂V ⋅ ∂T  ∂T  3 ⋅ T  dT  3 ⋅ T 
20
Usamos então as regras das derivadas de multiplicação de funções [9]e obtemos
 ∂ 2 S  4  1  du  u (T ) 

 = ⋅  ⋅ 
− 2 
 ∂V ⋅ ∂T  3  T  dT  T 
21
Já a derivada descrita no lado direito da Equação 19 é calculada derivando a Equação 18b em
relação ao volume.
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 ∂2S

 ∂T ⋅ ∂V
 ∂ V ⋅  du  1  du  dV
 =
 = ⋅ 
⋅
 ⋅
 ∂V  T  dT  T  dT  dV
22
O cálculo simples da derivada no último termo da Equação 22 nos conduz a
 ∂2S

 ∂T ⋅ ∂V
 1  du 
 = ⋅ 

 T  dT 
23
5. A Equação de Stefan-Boltzmann
Igualamos então as derivadas calculadas na Equação 21 e na Equação 23 e obtemos
4  1  du  u (T )  1  du 
⋅
⋅
= ⋅
−

3  T  dT  T 2  T  dT 
24
Aplicamos a propriedade distributiva no primeiro termo da Equação 24 e obtemos
4 1  du  4 u (T ) 1  du 
⋅ ⋅
= ⋅
− ⋅

3 T  dT  3 T 2
T  dT 
25
Redistribuímos os termos na igualdade e obtemos
4 1  du  1  du  4 u (T )
⋅ ⋅
 − ⋅
= ⋅
3 T  dT  T  dT  3 T 2
26
A subtração no primeiro termo da Equação 26 nos leva a
1 1
⋅
3 T
 du  4 u (T )
⋅
= ⋅ 2
 dT  3 T
27
Cancelamos o termo 1/3⋅T em cada termo da Equação 27 e obtemos
u (T )
 du 

 = 4⋅
T
 dT 
28
Invertemos os termos dT e u na Equação 28 e obtemos
du
dT
= 4⋅
u
T
Integramos os dois termos da Equação 29 e obtemos
29
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du
dT
= 4⋅∫
u
T
30
ln u = 4 ⋅ ln T + ln γ
31
∫
O resultado destas integrações nos leva a
Na Equação 31 lnγ é uma constante de integração, adequadamente escrita na forma do logaritmo de
uma constante. Usamos as propriedades dos logaritmos [10] e obtemos
(
ln u (T ) = ln γ ⋅ T 4
)
32
Igualamos os termos dentro de cada logaritmo da Equação 32 e finalmente obtemos que
u (T ) = γ ⋅ T 4
33
Por fim, lembramos que a radiância R(T) e a densidade de energia u(T) estão relacionadas
através de [11]
R=
c
⋅u
4
R (T ) =
γ ⋅c
34
Desta forma, obtemos finalmente que
4
⋅T 4
35
A Equação de Stefan-Boltzmann é expressa na forma
R (T ) = σ ⋅ T 4
36
Observamos que a Equação 35 é a Equação de Stefan-Boltzmann com a constante de StefanBoltzmann σ expressa na forma
σ=
γ ⋅c
4
37
6. A Entropia da Radiação na Cavidade
Para finalizar, vamos calcular a entropia da radiação na cavidade partindo da Equação 17.
Com o resultado obtido pela Equação 33, escrevemos a Equação 18a na forma
4
 ∂S 
⋅γ ⋅T 4

=
 ∂V  3 ⋅ T
Simplificamos a Equação 38 e obtemos
38
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 ∂S  4
3

 = ⋅γ ⋅T
 ∂V  3
39
Também com o resultado obtido pela Equação 33, escrevemos a Equação 18b na forma
4 ⋅ γ ⋅V 3
 ∂S  V d
(
⋅T
γ ⋅T 4 ) =

= ⋅
T
 ∂T  T dT
40
Simplificamos o último termo da Equação 40 e obtemos
 ∂S 
2

 = 4 ⋅ γ ⋅V ⋅ T
 ∂T 
41
Substituímos a Equação 38 e a Equação 41 na Equação 17, e obtemos
dS =
(
4
4
⋅ γ ⋅ T 3 ⋅ dV + 4 ⋅ γ ⋅ V ⋅ T 2 ⋅ dT = ⋅ γ ⋅ T 3 ⋅ dV + 3 ⋅ V ⋅ T 2 ⋅ dT
3
3
)
42
Uma análise do último termo da Equação 42 mostra que
(T
3
) (
⋅ dV + 3 ⋅ V ⋅ T 2 ⋅ dT = d V ⋅ T 3
)
43
Assim, escrevemos a diferencial de entropia dS como sendo
dS =
(
)
 4
4

⋅ γ ⋅ d V ⋅ T 3 = d  ⋅ γ ⋅ V ⋅ T 3 
3

 3
44
Integramos ambos os lados da Equação 44, lembrando que a condição de contorno para a entropia
impõe que S(T = 0) = 0 [12]. Assim, obtemos finalmente que
S (V , T ) =
4
⋅ γ ⋅V ⋅ T 3
3
45
Em termos da constante de Stefan-Boltzmann (γ = 4⋅σ/c) a entropia é dada por
S (V , T ) =
16 ⋅ σ
⋅V ⋅ T 3
3⋅c
46
Bibliografia
[1] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações, Ondas e
Calor) – 3a Edição – páginas 175-178 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1997.
[2] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações, Ondas e
Calor) – 3a Edição – página 221 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1997.
[3] – REITZ, J. R., MILFORD, F. J. e CHRISTY, R. W. – Fundamentos da Teoria Eletromagnética
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – DFIS
– 3a Edição – pg. 329 – Editora Campus – Rio de Janeiro, 1982.
[4] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações, Ondas e
Calor) – 3a Edição – página 224 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1997.
[5] – KIRCHOFF, G. R. – “Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht
und Wärme” – Monatsberichte der Akademie der Wissenchaften zu Berlin, December, p. 783-787.
[6] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações, Ondas e
Calor) – 3a Edição – páginas 176 e 220 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1997.
[7] – FRAGALLI, J. F. – “Ações Mecânicas do Campo de Radiação” – disponível no portal
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/fragalli/ - Julho de 2013.
[8] – SWOKOWSKI, E. W. – “Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2” – 2a Edição – página
377 – Pearson Education do Brasil, São Paulo, 1991.
[9] – LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume I – 1a Edição – pgs. 128-129
– Livros Editora Harper & Row do Brasil – São Paulo, 1977.
[10] – LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E. e MORGADO, A. C. – “A Matemática
do Ensino Médio – Volume 1” – 1 Edição – pg. 190 – Sociedade Brasileira de Matemática – Rio de
Janeiro, 2006.
[11] – FRAGALLI, J. F. – “Definições Importantes para a Radiação” – disponível no portal
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/fragalli/ - Julho de 2013.
[12] – NUSSENZVEIG, H. M. – Curso de Física Básica – Volume 2 (Fluidos, Oscilações, Ondas e
Calor) – 3a Edição – página 229 – Editora Edgard Blücher Ltda. – São Paulo, 1997.